PUC Escola de Arquitetura e Urbanismo Prof. Edgar A.e Graeff
|Estruturas isostáticas Conceitos fundamentais
parte 2
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ARQ 1061 – Sistemas Estruturais I
Prof.: Alberto Boaventura
• Momento estático
• Centro de gravidade
• Momento de inércia
• Raio de giração
• Módulo de resistência
• Tabela
• Exercícios
Sumário
Conceito: “O momento estático de uma figura plana em relação ao eixo contido no plano é a soma dos produtos resultante da multiplicação de cada elemento de área pela distância do seu centro de gravidade ao eixo em questão” (Aluízio Margarido)
A= b.hMS = A. h/2 = bh²/ 2
Momento estático
Exemplo 1) Calculo do momento estático a partir do eixo que passa pelo CG
A1 = A2 = b . (h/2)ME = A1 (h/2) + A2 (-h/2)
ME = (bh²/ 2) – (bh²/2) = 0
Conceito: “É um ponto localizado na figura, ou fora desta, no qual se concentra a superfície”
O conceito de momento estático permite calcular o centro de gravidade de figuras que possam ser decompostas em outras cujos momentos estáticos são conhecidos
Centro de gravidade
Exemplo 2) Calcular o centro de gravidade da figura:
8cm
Passo 1: Cálculo da área A
A = 2 . (3.2) + 2. 7 = 12 + 14 = 26cm²
Passo 2: Cálculo do momento estático em relação ao eixo xx
ME = (3. 2. 6) + (3. 2. 6) + (2. 7. 3,5) = 36+ 36+ 49 = 121cm³
Passo 3: Encontrar o y do CG em relação ao eixo xx:
A . YCG = ME => YCG = ME / A
YCG 121 cm²/ 26 cm² = 4, 65 cm
Conceito: “O momento de inércia de uma figura plana em relação a um eixo contido no plano é a soma dos produtos resultantes da multiplicação de cada um dos elementos de área que a compõem pelo quadrado das suas respectivas distâncias ao eixo em questão” (Aluísio Margarido)
Fórmula para formas genéricaJ = ∫ y² . ds
Momento de inércia (I ou J)
Conceito: “Teorema dos eixos paralelos” Momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo CG e do qual conhecemos seu momento de inércia
Y = yG + y1
Jxx= A. yG ² + JCG
Centro de gravidade
Jxx = Sy² + JCG
Passo 1: Cálculo do CG da figura composta
a) Calculo do momento estático em relação ao eixo xx
Figura 1 => Me = 2. 6. 3 = 36 cm²
Figura 2 => Me = 2 ( 1. 3. 5,5) = 33cm²
Total = 69 cm²
b) Cálculo da área S e do YCG
Área = 2 . 6 + 2 . (3 . 1) = 18 cm²
YCG = Me / S = 69/18 = 3,83 cm
Passo 2: Cálculo do momento de inércia:
Calcular o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo seu CG, dado pelo valor em tabela:
J = b.h³/ 12
Desta forma temos:
Jxx = Ay²c + JCG = (bh²/ 12 ) + A. YC²
Figuras 2 => J2CG = 2[(b2h2²/ 12) + A2y2²] = 2[( 3. 1² / 12 ) + 2 ( 3. 1) . (1,67 )²] = 17, 23 cm4
Figura 1 => J1CG = (b1h1²/ 12) + A1y1² = 2. 6³ / 12 + 2. 6 . (0, 83) ² = 44, 27 cm4
Total => 17,23 + 44, 27 = 61, 50 cm4
Conceito: A inércia da seção (dificuldade de uma seção girar em relação a outra) aumenta com o quadrado da distancia da massa (ou área) ao centro de gravidade da seção (centro de giro). Daí a distancia r ser chamada de raio de giração
Dado a relação do momento de inércia J = Y² . A
Chamando a distância ao centro de gravidade ou centro de giro da seção de r , tem-se:
R² = J/ A
Raio de giração (r ou i )
Conceito: O módulo de resistência de uma superfície plana em relação aos eixos que passa pelo CG como sendo a relação entre o momento de inércia relativo a esse eixos e a distancia máxima entre o eixo e a extremidade da seção transversal estudada
Módulo de resistência (w)
WX = ICG / Y max
Wy = ICG / X max
Y sup
Y inf
X dirX esq
TabelaFiguras Momento de inércia Momento Resistente Raio de Giração
Ix= h₄ / 12 Wx = h³ / 6 ix= h/√¯12
IXCG= bh³ / 12 Wx = b. h² / 6 ix= h/√¯12
IXCG= bh³ / 12 Wx = b. h² / 12 ix= h√¯2
2
Ix= πd₄ / 64 Wx = π. D³ / 32 ix=D/ 4
Ix= h₄ / 12 Wx = π(D³-d³) 32
ix=√¯(D²- d²)/ 4
qu
adra
do
retâ
ngu
lotr
iân
gulo
círc
ulo
Cír
culo
vaz
ado
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