.Exerccios de lgebra Linear
Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente
Mestrado Integrado em Engenharia Biolgica
Nuno Martins
Departamento de Matemtica
Instituto Superior Tcnico
Setembro de 2010
1
ndice
1a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Sistemas de equaes lineares).................3 Resoluo da 1a cha de exerccios...........................................................................................5 2a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Matrizes)................................................17 Resoluo da 2a cha de exerccios.........................................................................................19 3a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Determinante)........................................34 Resoluo da 3a cha de exerccios.........................................................................................38 4a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Espaos lineares)....................................46 Resoluo da 4a cha de exerccios.........................................................................................54 5a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Transformaes lineares).......................118 Resoluo da 5a cha de exerccios........................................................................................126 6a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Valores prprios e vectores prprios)....179 Resoluo da 6a cha de exerccios........................................................................................183 7a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Produtos internos e ortogonalizao)....212 Resoluo da 7a cha de exerccios........................................................................................216 1a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................247 Resoluo da 1a Ficha de exerccios facultativos...................................................................249 2a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................254 Resoluo da 2a Ficha de exerccios facultativos...................................................................256 3a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................266 Resoluo da 3a Ficha de exerccios facultativos...................................................................267 4a Ficha de exerccios facultativos.........................................................................................272 Resoluo da 4a Ficha de exerccios facultativos...................................................................273
2
1a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Sistemas de equaes lineares)
1. Quais das seguintes equaes so equaes lineares em x; y e z ?
(a) 3x+p3y + z = 1 (b)
1
2x+ z = 0 (c) x1 + 3y z = 2 (d) x yz = 1
2. Diga qual dos seguintes pontos: (0; 0) ; (1; 1) ; (1;1) ; (1; 1) a soluo do seguinte sistema deequaes lineares nas variveis x; y. 8
(a)
8
Resoluo da 1a Ficha de exerccios
1. As equaes das alneas (a) e (b) so lineares.
2. O ponto (1;1) a soluo desse sistema de equaes lineares.
3. Os pontos: (1;1; 1; 0) ; (1;1; 1; 2) ;3;9; 7;
3p
2
so solues desse sistema de equaes lineares.
4 (a)
Tem-se
8>>>>>:x = 1
4w
y = 54w
z = 34w.
A soluo geral do sistema : X =
2664xyzw
3775 =2666666664
14s
54s
34s
s
3777777775, para qualquer s 2 R, isto , o conjunto soluo
dado por: S =
14s; 54s; 34s; s: s 2 R.
Para s = 4, tem-se a seguinte soluo da equao qumica: x = 1; y = 5; z = 3; w = 4:
(b) Tem-se
8
5. (a)2 3 j 15 7 j 3
!
52L1+L2!L2
2 3 j 10 1
2j 1
2
. Logo,
2x+ 3y = 112y = 1
2
,x = 2y = 1.
A soluo geral do sistema S = f(2;1)g.
(b)2 4 j 103 6 j 15
!
32L1+L2!L2
2 4 j 100 0 j 0
. Logo, 2x+ 4y = 10, x = 5 2y.
A soluo geral do sistema S = f(5 2s; s) : s 2 Rg.
(c)4 2 j 56 3 j 1
!
32L1+L2!L2
4 2 j 50 0 j 17
2
. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel).
S = ?.
(d)
24 2 1 3 j 53 2 2 j 55 3 1 j 16
35 ! 32L1+L2!L2
52L1+L3!L3
24 2 1 3 j 50 7=2 13=2 j 5=20 11=2 13=2 j 7=2
35 ! 11
7L2+L3!L3
! 11
7L2+L3!L3
24 2 1 3 j 50 7=2 13=2 j 5=20 0 26=7 j 52=7
35.
Logo,
8
(g)
24 2 3 j 31 2 j 53 2 j 7
35 !L1$L2
24 1 2 j 52 3 j 33 2 j 7
35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3
24 1 2 j 50 7 j 70 8 j 8
35 ! 87L2+L3!L3
24 1 2 j 50 7 j 70 0 j 0
35.Logo,
x 2y = 57y = 7 ,
x = 3y = 1. A soluo geral do sistema S = f(3;1)g.
(h)
24 1 2 1 3 j 32 4 4 3 j 93 6 1 8 j 10
35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3
24 1 2 1 3 j 30 0 6 3 j 30 0 2 1 j 1
35 ! 13L2+L3!L3
24 1 2 1 3 j 30 0 6 3 j 30 0 0 0 j 0
35.Logo,
x+ 2y z + 3w = 36z 3w = 3 ,
x = 2y 5
2w + 7
2
z = 12w + 1
2.
A soluo geral do sistema S =2s 5
2t+ 7
2; s; 1
2t+ 1
2; t: s; t 2 R.
(i)
24 1 5 4 13 j 33 1 2 5 j 22 2 3 4 j 1
35 !3L1+L2!L22L1+L3!L3
24 1 5 4 13 j 30 16 10 44 j 70 8 5 22 j 5
35 ! 12L2+L3!L3
! 12L2+L3!L3
24 1 5 4 13 j 30 16 10 44 j 70 0 0 0 j 3
2
35.Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.
(j)
26640 0 2 3 j 42 0 6 9 j 72 2 5 2 j 40 100 150 200 j 50
3775 !L1$L3150L4!L4
26642 2 5 2 j 42 0 6 9 j 70 0 2 3 j 40 2 3 4 j 1
3775 !L1+L2!L2!
L1+L2!L2
26642 2 5 2 j 40 2 1 7 j 30 0 2 3 j 40 2 3 4 j 1
3775 !L2+L4!L426642 2 5 2 j 40 2 1 7 j 30 0 2 3 j 40 0 2 3 j 4
3775 !L3+L4!L4!
L3+L4!L4
26642 2 5 2 j 40 2 1 7 j 30 0 2 3 j 40 0 0 0 j 0
3775.
Logo,
8>>>>>>:x1 =
192 9x4
x2 =174x4 52
x3 = 32x4 + 2
7
A soluo geral do sistema dada por S =
192 9s; 17
4s 5
2;3
2s+ 2; s
: s 2 R.
(k)
24 1 2 3 1 j 13 1 2 5 j 23 6 9 3 j 6
35 !3L1+L2!L23L1+L3!L3
24 1 2 3 1 j 10 5 7 8 j 10 0 0 0 j 3
35.Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.
6. (a) Sejam A =
24 1 11 11 1
35 e B =24 111
35.
[A j B] =24 1 1 j 11 1 j 11 1 j 1
35 !L1$L3
24 1 1 j 11 1 j 1 1 1 j 1
35 !L1+L2!L2L1+L3!L3
!L1+L2!L2L1+L3!L3
24 1 1 j 10 1 1 j 00 1 1 2 j 1
35 !L2+L3!L3
24 1 1 j 10 1 1 j 00 0 (1 ) (+ 2) j 1
35.
Se = 1 ento carA = car [A j B] = 1 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se x + y + z = 1. A soluo geral deste sistema ento dada porS = f(1 s t; s; t) : s; t 2 Rg.
Se = 2 ento carA| {z }=2
< car [A j B]| {z }=3
. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.
Se 6= 1 e 6= 2 ento carA = car [A j B] = 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e determinado, tendo-se8
Se 6= 4 ento carA = car [A j B] = 2 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvele indeterminado, tendo-se
x+ 2y + z = 1( 4) y + (8 2) z = 1 ,
8>>>>>:x = 1 2
4 (+ 4) z
y =1
4 + 2z.
A soluo geral deste sistema ento dada por S =1 2
4 (+ 4) s;1
4 + 2s; s: s 2 R
.
Se = 4 ento carA| {z }=1
< car [A j B]| {z }=2
. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.
(c) Sejam A =
24 1 1 3 4 22 3 1
35 e B =24 21
35. [A j B] =24 1 1 j 23 4 2 j 2 3 1 j 1
35 !3L1+L2!L22L1+L3!L3
!3L1+L2!L22L1+L3!L3
24 1 1 j 20 1 2 3 j 60 1 1 2 j 3
35 !L2+L3!L3
24 1 1 j 20 1 2 3 j 60 0 3 + j 3
35.
Se = 3 ento carA = car [A j B] = 2 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvele indeterminado, tendo-se
x+ y + 3z = 2y 7z = 3 ,
8
!L2+L3!L3
24 1 1 j 20 1 1 j (1 )0 0 (1 ) (+ 2) j (1 + ) (1 2)
35.
Se = 1 ento carA = car [A j B] = 1 < 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se x + y + z = 1. A soluo geral deste sistema ento dada porS = f(1 s t; s; t) : s; t 2 Rg.
Se = 2 ento carA| {z }=2
< car [A j B]| {z }=3
. O sistema no tem soluo ( impossvel). S = ?.
Se 6= 1 e 6= 2 ento carA = car [A j B] = 3 = no de incgnitas do sistema. Logo o sistema possvel e determinado, tendo-se8
Se = 1 ento carA| {z }=2
< car [A j B]| {z }=3
. Logo, o sistema no tem soluo ( impossvel).
S1 = ?:
Se 6= 1 e 6= 1 e 6= 2 ento carA = car [A j B] = 3 = no de incgnitas do sistema. Logo osistema possvel e determinado, tendo-se8
(b) Sejam A =
26640 0 2 1 1 1 32 2 1 11 1 3 14
3775 e B =2664124
3775 : [A j B] =26640 0 2 j 1 1 1 3 j 12 2 1 1 j 21 1 3 14 j 4
3775 !L1$L3!L1$L3
26642 2 1 1 j 21 1 1 3 j 10 0 2 j 1 1 3 14 j 4
3775 !L1$L226641 1 1 3 j 12 2 1 1 j 20 0 2 j 1 1 3 14 j 4
3775 !2L1+L2!L2L1+L4!L4
!2L1+L2!L2L1+L4!L4
26641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 2 j 0 0 2 11 j 3
3775 !2L2+L3!L32L2+L4!L4
26641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 0 10 j 0 0 0 1 j 3
3775 !L1$L2!L1$L2
26641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 0 1 j 30 0 0 10 j
3775 !(10)L3+L4!L426641 1 1 3 j 10 0 1 5 j 00 0 0 1 j 30 0 0 0 j 3 ( 10) +
3775.
Se = 3 ( 10) ento carA = car [A j B] = 3 < 4 = no de incgnitas do sistema.Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se8
8:x = +1
2+1 1 (+1)2
(21) y = z +1
2+1 1
w = +1(21) +
.
A soluo geral do sistema ento dada por
S; =
( + 12+ 1
1 (+ 1)2
(2 1)
; s + 1
2+ 1 1; s; + 1
(2 1) +
!):
Se = 0 e = 1 ento carA = car [A j B] = 2 < 4 = no de incgnitas do sistema.Logo o sistema possvel e indeterminado, tendo-se
x y + z + w = 1y + z = 0 ,
x = 1 wy = z.
A soluo geral deste sistema ento dada por S; = f(1 s; t; t; s) : s; t 2 Rg.
Se ( = 0 e 6= 1) ou = 12ento carA| {z }
=2
< car [A j B]| {z }=3
. Logo, o sistema no tem soluo (
impossvel). S; = ?.
8. (a) Sejam A =
24 1 2 33 1 21 5 8
35 e Ba;b;c =24 abc
35 : [A j Ba;b;c] =24 1 2 3 j a3 1 2 j b1 5 8 j c
35 !3L1+L2!L2L1+L3!L3
!3L1+L2!L2L1+L3!L3
24 1 2 3 j a0 7 11 j b 3a0 7 11 j c a
35 !L2+L3!L3
24 1 2 3 j a0 7 11 j b 3a0 0 0 j c b+ 2a
35.Para que haja soluo necessrio que carA = car [A j Ba;b;c], isto , necessrio que
c b+ 2a = 0:
(b) Sejam A =
24 1 2 42 3 13 1 2
35 e Ba;b;c =24 abc
35 : [A j Ba;b;c] =24 1 2 4 j a2 3 1 j b3 1 2 j c
35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3
!2L1+L2!L23L1+L3!L3
24 1 2 4 j a0 7 9 j b 2a0 7 10 j c 3a
35 !L2+L3!L3
24 1 2 4 j a0 7 9 j b 2a0 0 1 j c b a
35.Como carA = car [A j Ba;b;c], este sistema tem soluo para quaisquer valores de a; b; c.
13
9. (a) Sejam x = 1 + t e y = 1 t. Logo
x+ y = 2:
(b) Sejam x = t, y = 1 2t e z = 1. Tem-se ento o seguinte sistema:8>>>:
x = 2 (w + 1) 3z 12
y = w + 1 +z 12
1.
14
Deste modo, obtm-se o sistema de equaes lineares:8>:
p(0) = 10p(1) = 7p(3) = 11p(4) = 14.
O que equivalente a existir soluo para o seguinte sistema de equaes lineares nas variveis a; b; c e d:8>>>:d = 10a+ b+ c+ d = 727a+ 9b+ 3c+ d = 1164a+ 16b+ 4c+ d = 14.
Ou seja: 8>>>:d = 10a+ b+ c = 327a+ 9b+ 3c = 2116a+ 4b+ c = 6.
Atendendo a que: 24 1 1 1 j 327 9 3 j 2116 4 1 j 6
35 !27L1+L2!L216L1+L3!L3
24 1 1 1 j 30 18 24 j 600 12 15 j 42
35 !16L2!L2
15
!16L2!L2
24 1 1 1 j 30 3 4 j 100 12 15 j 42
35 !4L2+L3!L3
24 1 1 1 j 30 3 4 j 100 0 1 j 2
35 ;tem-se 8>>>:
a = 1b = 6c = 2d = 10.
(ii) Para que os pontos P1 = (2; 7); P2 = (4; 5) e P3 = (4;3) pertenam circunferncia de equaox2 + y2 + ax+ by + c = 0; necessrio que8
2a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Matrizes)
1. Efectue, sempre que possvel, as seguintes operaes.
(i) 1
32 3
(ii)0 1
+
10
(iii)
322
1 1 1
32 4
3 p5 12
(iv) 2
1 03 1
2
1
3
0 6
2 3
(v)
13
0 21 1
(vi)
2 p3 4 01
(vii) p
23
4 1
22
(viii)
0@24 214
1
35 2 p2 3 1AT
(ix)
0BBBB@224 13 0 1213121
35T 24 1 0 1213121
35266664
89
131
13
121
531 5
2
3777751CCCCAT
(x)
24 1 12 0 20 1 14
06 2 5 1
35T 24 1 02 4133
35 (xi)24 1 02 4133
35T 24 1 12 0 20 1 14
06 2 5 1
352. Determine as caractersticas e as nulidades das seguintes matrizes reais, identicando os respectivospivots.
(i)
24 0 00 00 0
35 (ii)24 1 2 30 1 11 2 3
35 (iii)24 2 12 41 2
35 (iv)24 1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
35
(v)
24 0 1 1 11 1 1 01 1 2 1
35 (vi)2664
1 2 1 3 21 1 3 2 12 7 1 9 83 3 2 4 6
3775 (vii)26641 3 1 20 11 5 32 5 3 14 1 1 5
3775(viii)
5 1 20 2 0
(ix)
24 3 6 92 4 61 2 3
35 (x)24 2 10 6 8 41 5 3 4 22 10 6 8 4
353. Seja 2 R. Em funo do parmetro , calcule a caracterstica e a nulidade das seguintes matrizes.Em cada alnea, indique ainda (se existirem), justicando, os valores de para os quais essas matrizesso invertveis:
(i)
24 1 0 11 0 1
35 (ii)24 1 2 1 23 2 1
35 (iii)24 2 2 2 1 10 2 1 + 1
35
(iv)
26641 0 1 0 1 0 03 0 0
1 1 1 2
3775 (v)26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2
3775 (vi)26641 1 01 1 01 1 3 01 1 2 1
3775
17
4. Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes.
(i)0 11 0
(ii)
1 00 1
(iii) [1] (iv)
1 23 4
(v)
24 1 2 34 5 67 8 9
35(vi)
24 1 0 20 3 04 0 5
35 (vii)24 1 2 14 0 61 8 1
35 (viii) cos sen sen cos
(ix)
2664k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
3775, com k 6= 0 (x)26640 0 0 k10 0 k2 00 k3 0 0k4 0 0 0
3775, com k1; k2; k3; k4 6= 0
(xi)
2666666664
513
213
213
813
213
713
613
213
213
613
713
213
813
213
213
513
3777777775(xii)
2666666664
1 1212
12
12
1 0 12
12
0 1 12
12
1212
1
3777777775
5. Seja A; =
26641 0 1 01 2 + 0 1 1 2 + +
3775, com ; 2 R:(a) Determine a caracterstica e a nulidade de A; em funo de e .
(b) Determine os valores dos parmetros e para os quais A; invertvel.
6. Seja A =
26641 0 22 2 44 0 3 8 0 2 2
3775, com 2 R.(a) Determine a caracterstica e a nulidade de A em funo do parmetro e diga, justicando,quais so os valores de para os quais A invertvel.
(b) Para = 1; determine a inversa da matriz A1.
7. Seja Ba;b =
26640 0 a 12 2 0 a0 0 a b3 0 6 0
3775, com a; b 2 R:(a) Determine a caracterstica e a nulidade de Ba;b em funo de a e b.
(b) Para a = 1 e b = 0 calcule a matriz inversa da matriz B1;0, isto , (B1;0)1.
(c) Determine a soluo geral do sistema linear B1;0X = C, C =1 2 3 1 T .
(d) Para b = 1, determine a soluo geral do sistema linear Ba;1X = D, em que D o simtrico da3a coluna de Ba;1.
18
Resoluo da 2a Ficha de exerccios
1. (i) 1
32 3
= [2 1] (ii) No possvel.
(iii)
24 32 21 1
3524 13 2 43 p5 1
2
35 =24 112 3 2p5 5
83
2p5 72
35
(iv) 21 03 1
2
1
3
0 6
2 3=
2 22032
(v) No possvel. (vi) No possvel.
(vii) p
23
4 1
22=
24 4p2 12p2 2p212 3
26
35
viii)
0@24 214
1
35 2 p2 3 1AT =
24 4p2 12p2 2p212 3
26
35
(ix)
0BBBB@224 13 0 1213121
35T 24 1 0 1213121
35266664
89
131
13
121
531 5
2
3777751CCCCAT
=
24 0 0 00 0 00 0 0
35
(x)
24 1 12 0 20 1 14
06 2 5 1
35T 24 1 02 4133
35 =2666666664
1 1856
10
7616
73
3
3777777775
(xi)
24 1 02 4133
35T 24 1 12 0 20 1 14
06 2 5 1
35 = 1 56 76 7318 10 16 3
2. (i) Seja A =
24 0 00 00 0
35. carA = 0; nulA = 2. No existem pivots.19
(ii)
24 1 2 30 1 11 2 3
35 !L1+L3!L3
24 1 2 30 1 10 0 0
35.
Assim, sendo A =
24 1 2 30 1 11 2 3
35, tem-se carA = 2 e nulA = 1. Pivots: 1 e 1.
(iii)
24 2 12 41 2
35 !L1$L3
24 1 22 42 1
35 !2L1+L2!L22L1+L3!L3
24 1 20 00 3
35 !L1$L3
24 1 20 30 0
35.
Assim, sendo A =
24 2 12 41 2
35, tem-se carA = 2 e nulA = 0. Pivots: 1 e 3.
(iv)
24 1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
35 !5L1+L2!L29L1+L3!L3
24 1 2 3 40 4 8 120 8 16 24
35 !2L2+L3!L3
24 1 2 3 40 4 8 120 0 0 0
35.
Assim, sendo A =
24 1 2 3 40 4 8 120 0 0 0
35, tem-se carA = 2 e nulA = 2. Pivots: 1 e 4.
(v)
24 0 1 1 11 1 1 01 1 2 1
35 !L1$L2
24 1 1 1 00 1 1 11 1 2 1
35 !L1+L3!L3
!L1+L3!L3
24 1 1 1 00 1 1 10 2 1 1
35 !2L2+L3!L3
24 1 1 1 00 1 1 10 0 3 3
35.
Assim, sendo A =
24 1 1 1 00 1 1 10 0 3 3
35, tem-se carA = 3 e nulA = 1. Pivots: 1; 1 e 3.
(vi)
26641 2 1 3 21 1 3 2 12 7 1 9 83 3 2 4 6
3775 !L1+L2!L22L1+L3!L33L1+L4!L4
26641 2 1 3 20 3 2 1 10 3 1 3 40 3 1 5 12
3775 !L2+L3!L3L2+L4!L4
20
!L2+L3!L3L2+L4!L4
26641 2 1 3 20 3 2 1 10 0 1 2 30 0 3 4 11
3775 !3L3+L4!L426641 2 1 3 20 3 2 1 10 0 1 2 30 0 0 2 2
3775.
Assim, sendo A =
26641 2 1 3 21 1 3 2 12 7 1 9 83 3 2 4 6
3775, tem-se carA = 4 e nulA = 1. Pivots: 1; 3;1 e 2.
(vii)
26641 3 1 20 11 5 32 5 3 14 1 1 5
3775 !2L1+L3!L34L1+L4!L4
26641 3 1 20 11 5 30 11 5 30 11 5 3
3775 !L2+L3!L3L2+L4!L4
26641 3 1 20 11 5 30 0 0 00 0 0 0
3775.
Assim, sendo A =
26641 3 1 20 11 5 32 5 3 14 1 1 5
3775, tem-se carA = 2 e nulA = 2. Pivots: 1 e 11.
(viii) Sendo A =5 1 20 2 0
, tem-se carA = 2 e nulA = 1. Pivots: 5 e 2.
(ix)
24 3 6 92 4 61 2 3
35 !L1$L3
24 1 2 32 4 63 6 9
35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3
24 1 2 30 0 00 0 0
35.Assim, sendo A =
24 3 6 92 4 61 2 3
35, tem-se carA = 1 e nulA = 2. Pivot: 1.
(x)
24 2 10 6 8 41 5 3 4 22 10 6 8 4
35 !12L1+L2!L2L1+L3!L3
24 2 10 6 8 40 0 0 0 00 0 0 0 0
35.
Assim, sendo A =
24 2 10 6 8 41 5 3 4 22 10 6 8 4
35, tem-se carA = 1 e nulA = 4. Pivot: 2.
3. (i)
24 1 0 11 0 1
35 !L1+L2!L2
24 1 0 10 + 10 1
35 !L2+L3!L3
24 1 0 10 + 10 0
35.21
Seja A =
24 1 0 11 0 1
35. Se 6= 0 ento carA = 3 e nulA = 0.Se = 0 ento carA = 2 e nulA = 1.
Assim, A invertvel se e s se 6= 0, uma vez que s neste caso que carA = no de colunas de A.
(ii)
24 1 2 1 23 2 1
35 !2L1+L2!L23L1+L3!L3
24 1 0 1 + 2 2 + 20 2 4 1 3
35 !2L2+L3!L3
24 1 0 1 + 2 2 (1 + )0 0 3 +
35.Seja A =
24 1 2 1 23 2 1
35. Se 6= 3 e 6= 12ento carA = 3 e nulA = 0.
Se = 3 ou = 12ento carA = 2 e nulA = 1.
Assim, A invertvel se e s se 6= 3 e 6= 12, uma vez que s neste caso que carA = no de
colunas de A.
(iii)
24 2 2 2 1 10 2 1 + 1
35 !L1+L2!L2
24 2 2 0 1 2 1 + 0 2 1 + 1
35 !L2+L3!L3
24 2 2 0 (1 ) (1 + ) 1 + 0 0 2 (+ 1)
35.Seja A =
24 2 2 2 1 10 2 1 + 1
35. Se = 1 ento carA = 1 e nulA = 2.Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 1.
Se 6= 1 e 6= 1 ento carA = 3 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 1 e 6= 1, uma vez que s neste caso que carA = no de
colunas de A.
(iv)
26641 0 1 0 1 0 03 0 01 1 1 2
3775 !3L1+L3!L3L1+L4!L4
26641 0 1 0 1 0 00 0 + 3 30 1 0 2
3775 !L2+L4!L426641 0 1 0 1 0 00 0 + 3 30 0 0 2
3775.
Seja A =
26641 0 1 0 1 0 03 0 01 1 1 2
3775. Se = 2 ou = 3 ento carA = 3 e nulA = 1.22
Se 6= 2 e 6= 3 ento carA = 4 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 2 e 6= 3, uma vez que s neste caso que carA = no de
colunas de A.
(v)
26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2
3775 !L1+L3!L32L1+L4!L4
26641 0 1 0 1 1 00 0 (1 ) (1 + ) 10 0 0 2 ( 1)
3775.
Seja A =
26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2
3775. Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 2.Se = 1 ento carA = 3 e nulA = 1.Se 6= 1 e 6= 1 ento carA = 4 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 1 e 6= 1, uma vez que s neste caso que carA = no de
colunas de A.
(vi)
26641 1 01 1 01 1 3 01 1 2 1
3775 !L1+L2!L2L1+L3!L3L1+L4!L4
26641 1 00 + 1 1 00 0 ( 1) (+ 1) 00 0 0 ( 1) (+ 1)
3775.
Seja A =
26641 0 1 0 1 1 01 0 2 12 0 2 2
3775. Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 2.Se = 0 ento carA = 3 e nulA = 1.
Se = 1 ento carA = 1 e nulA = 3.Se = 1 ento carA = 2 e nulA = 2.
Se 6= 0 e 6= 1 e 6= 1 ento carA = 4 e nulA = 0.Assim, A invertvel se e s se 6= 1 e 6= 1, uma vez que s neste caso que carA = no de
colunas de A.
4. (i)0 1 j 1 01 0 j 0 1
!L1$L2
1 0 j 0 10 1 j 1 0
. Logo
0 11 0
1=
0 11 0
23
(ii)1 00 1
1=
1 00 1
(iii) [1]1 = [1]
(iv)1 2 j 1 03 4 j 0 1
!
3L1+L2!L2
1 2 j 1 00 2 j 3 1
!
L2+L1!L1
!L2+L1!L1
1 0 j 2 10 2 j 3 1
!
12L2!L2
1 0 j 2 10 1 j 3
212
.
Logo1 23 4
1=
2 132
12
.
(v)
24 1 2 3 j 1 0 04 5 6 j 0 1 07 8 9 j 0 0 1
35 !4L1+L2!L27L1+L3!L3
24 1 2 3 j 1 0 00 3 6 j 4 1 00 6 12 j 7 0 1
35 !2L2+L3!L3
!2L2+L3!L3
24 1 2 3 j 1 0 00 3 6 j 4 1 00 0 0 j 1 2 1
35.
Logo,
24 1 2 34 5 67 8 9
35 singular e como tal no invertvel.
(vi)
24 1 0 2 j 1 0 00 3 0 j 0 1 04 0 5 j 0 0 1
35 !4L1+L3!L3
24 1 0 2 j 1 0 00 3 0 j 0 1 00 0 3 j 4 0 1
35 !23L3+L1!L1
!23L3+L1!L1
24 1 0 0 j 53 0 230 3 0 j 0 1 00 0 3 j 4 0 1
35 !13L2!L2
13L3!L3
24 1 0 0 j 53 0 230 1 0 j 0 13
00 0 1 j 4
30 1
3
35.
Logo
24 1 0 20 3 04 0 5
351 =24 53 0 230 1
30
43
0 13
35.
(vii)
24 1 2 1 j 1 0 04 0 6 j 0 1 01 8 1 j 0 0 1
35 !4L1+L2!L2L1+L3!L3
24 1 2 1 j 1 0 00 8 2 j 4 1 00 6 0 j 1 0 1
35 !34L2+L3!L3
24
!34L2+L3!L3
24 1 2 1 j 1 0 00 8 2 j 4 1 00 0 3
2j 4 3
41
35 !23L3!L3
24 1 2 1 j 1 0 00 8 2 j 4 1 00 0 1 j 8
312
23
35 !2L3+L2!L2L3+L1!L1
!2L3+L2!L2L3+L1!L1
2666641 2 0 j 11
31223j
0 8 0 j 43
0 43j
0 0 1 j 83
12
23
377775 ! 18L2!L22666641 2 0 j 11
31223j
0 1 0 j 16
0 16j
0 0 1 j 83
12
23
377775 !2L2+L1!L1
!2L2+L1!L1
2666641 0 0 j 4 1
21
j0 1 0 j 1
60 1
6j0 0 1 j 8
312
23
377775.
Logo
24 1 2 14 0 61 8 1
351 =266664
4 121
16
0 16
83
12
23
377775.
(viii) Para 6= k2; (k 2 Z)
cos sen j 1 0sen cos j 0 1
!
(cos)L1!L1(sen)L2!L2
cos2 cos sen j cos 0sen2 sen cos j 0 sen
!
L2+L1!L1
!L2+L1!L1
1 0 j cos sen
sen2 sen cos j 0 sen
!( sen2 )L1+L2!L2
!( sen2 )L1+L2!L2
1 0 j cos sen0 sen cos j sen2 cos sen (1 sen2 )
!
1sen cos
L2!L2
!1
sen cosL2!L2
1 0 j cos sen0 1 j sen cos
. Note que sen cos 6= 0 para todo o 6= k
2; (k 2 Z).
Logocos sensen cos
1=
cos sen sen cos
, para todo o 6= k
2; (k 2 Z)
Se =
2+ 2k; (k 2 Z) ;cos sensen cos
1=
0 11 0
1=
0 11 0
=
cos sen sen cos
.
25
Se = 2k; (k 2 Z),cos sensen cos
1=
1 00 1
1=
1 00 1
=
cos sen sen cos
.
Se = + 2k; (k 2 Z) ;cos sensen cos
1=
1 00 1
1=
1 00 1
=
cos sen sen cos
.
Se =3
2+ 2k; (k 2 Z),cos sensen cos
1=
0 11 0
1=
0 11 0
=
cos sen sen cos
.
Logo, para todo o 2 R cos sensen cos
1=
cos sen sen cos
.
(ix) Seja k 6= 0.
2664k 0 0 0 j 1 0 0 01 k 0 0 j 0 1 0 00 1 k 0 j 0 0 1 00 0 1 k j 0 0 0 1
3775 ! 1kL1+L2!L21kL3!L3
1kL4!L4
2664k 0 0 0 j 1 0 0 00 k 0 0 j 1
k1 0 0
0 1k1 0 j 0 0 1
k0
0 0 1k1 j 0 0 0 1
k
3775 ! 1k2L2+L3!L31kL1!L1
! 1k2L2+L3!L31kL1!L1
26641 0 0 0 j 1
k0 0 0
0 k 0 0 j 1k
1 0 00 0 1 0 j 1
k3 1k2
1k0
0 0 1k1 j 0 0 0 1
k
3775 ! 1kL3+L4!L41kL2!L2
26641 0 0 0 j 1
k0 0 0
0 1 0 0 j 1k2
1k
0 00 0 1 0 j 1
k3 1k2
1k
00 0 0 1 j 1
k41k3
1k2
1k
3775.
Logo
2664k 0 0 01 k 0 00 1 k 00 0 1 k
37751
=
26641k
0 0 0 1k2
1k
0 01k3
1k2
1k
0 1k4
1k3
1k2
1k
3775.
(x) Sejam k1; k2; k3; k4 6= 0.
26
26640 0 0 k1 j 1 0 0 00 0 k2 0 j 0 1 0 00 k3 0 0 j 0 0 1 0k4 0 0 0 j 0 0 0 1
3775 !L1$L4L2$L3
2664k4 0 0 0 j 0 0 0 10 k3 0 0 j 0 0 1 00 0 k2 0 j 0 1 0 00 0 0 k1 j 1 0 0 0
3775 !1k4L1!L1
1k3L2!L2
1k2L3!L3
1k1L4!L4
!1k4L1!L1
1k3L2!L2
1k2L3!L3
1k1L4!L4
26641 0 0 0 j 0 0 0 1
k4
0 1 0 0 j 0 0 1k3
0
0 0 1 0 j 0 1k2
0 0
0 0 0 1 j 1k11 0 0 0
3775.
Logo
26640 0 0 k10 0 k2 00 k3 0 0k4 0 0 0
37751
=
26640 0 0 1
k4
0 0 1k3
0
0 1k2
0 01k11 0 0 0
3775.
(xi)
2666666664
513
213
213
813
213
713
613
213
213
613
713
213
813
213
213
513
3777777775= 1
13
2666666664
5 2 2 8
2 7 6 2
2 6 7 2
8 2 2 5
3777777775:
2666666664
5 2 2 8 j 1 0 0 0j
2 7 6 2 j 0 1 0 0j
2 6 7 2 j 0 0 1 0j
8 2 2 5 j 0 0 0 1
3777777775!L1$L3
2666666664
2 6 7 2 j 0 0 1 0j
2 7 6 2 j 0 1 0 0j
5 2 2 8 j 1 0 0 0j
8 2 2 5 j 0 0 0 1
3777777775!
L1+L2!L2 52L1+L3!L3
4L1+L4!L4
!L1+L2!L2 52L1+L3!L3
4L1+L4!L4
2666666664
2 6 7 2 j 0 0 1 0j
0 13 13 0 j 0 1 1 0j
0 13 392
13 j 1 0 520
j0 26 26 13 j 0 0 4 1
3777777775!
L2+L3!L32L2+L4!L4
27
!L2+L3!L32L2+L4!L4
2666666664
2 6 7 2 j 0 0 1 0j
0 13 13 0 j 0 1 1 0j
0 0 132
13 j 1 1 320
j0 0 0 13 j 0 2 2 1
3777777775!
12L1!L1
113L2!L2
213L3!L3
113L4!L4
!12L1!L1
113L2!L2
213L3!L3
113L4!L4
2666666664
1 3 72
1 j 0 0 12
0j
0 1 1 0 j 0 113
113
0j
0 0 1 2 j 213
213
313
0j
0 0 0 1 j 0 213
213
113
3777777775!
L4+L1!L12L4+L3!L3
!L4+L1!L12L4+L3!L3
2666666664
1 3 720 j 0 2
13926
113j
0 1 1 0 j 0 113
113
0j
0 0 1 0 j 213
213
113
213j
0 0 0 1 j 0 213
213
113
3777777775!
L3+L2!L272L3+L1!L1
!L3+L2!L272L3+L1!L1
2666666664
1 3 0 0 j 713
513
813
613j
0 1 0 0 j 213
113
213
213j
0 0 1 0 j 213
213
113
213j
0 0 0 1 j 0 213
213
113
3777777775!
3L2+L1!L1
2666666664
1 0 0 0 j 113
213
213
0j
0 1 0 0 j 213
113
213
213j
0 0 1 0 j 213
213
113
213j
0 0 0 1 j 0 213
213
113
3777777775.
Logo
2666666664
513
213
213
813
213
713
613
213
213
613
713
213
813
213
213
513
3777777775
1
=
0BBBBBBBB@113
2666666664
5 2 2 8
2 7 6 2
2 6 7 2
8 2 2 5
3777777775
1CCCCCCCCA
1
=
= 13
2666666664
113
213
213
0
213
113
213
213
213
213
113
213
0 213
213
113
3777777775=
2666666664
1 2 2 0
2 1 2 2
2 2 1 2
0 2 2 1
3777777775.
28
(xii)
2666666664
1 1212
12
12
1 0 12
12
0 1 12
12
1212
1
3777777775= 1
2
2666666664
2 1 1 1
1 2 0 1
1 0 2 1
1 1 1 2
3777777775.
2666666664
2 1 1 1 j 1 0 0 0j
1 2 0 1 j 0 1 0 0j
1 0 2 1 j 0 0 1 0j
1 1 1 2 j 0 0 0 1
3777777775!L1$L4
2666666664
1 1 1 2 j 0 0 0 1j
1 2 0 1 j 0 1 0 0j
1 0 2 1 j 0 0 1 0j
2 1 1 1 j 1 0 0 0
3777777775!
L1+L2!L2L1+L3!L32L1+L4!L4
!L1+L2!L2L1+L3!L32L1+L4!L4
2666666664
1 1 1 2 j 0 0 0 1j
0 1 1 1 j 0 1 0 1j
0 1 1 1 j 0 0 1 1j
0 1 1 3 j 1 0 0 2
3777777775!
L2+L3!L3L2+L4!L4
2666666664
1 1 1 2 j 0 0 0 1j
0 1 1 1 j 0 1 0 1j
0 0 0 2 j 0 1 1 2j
0 0 2 4 j 1 1 0 3
3777777775!L3$L4
!L3$L4
2666666664
1 1 1 2 j 0 0 0 1j
0 1 1 1 j 0 1 0 1j
0 0 2 4 j 1 1 0 3j
0 0 0 2 j 0 1 1 2
3777777775!
2L4+L3!L3 12L4+L2!L2
L4+L1!L1
2666666664
1 1 1 0 j 0 1 1 1j
0 1 1 0 j 0 12
12
0j
0 0 2 0 j 1 1 2 1j
0 0 0 2 j 0 1 1 2
3777777775!
12L3!L3
12L4!L4
!12L3!L3
12L4!L4
2666666664
1 1 1 0 j 0 1 1 1j
0 1 1 0 j 0 12
12
0j
0 0 1 0 j 12
12
1 12j
0 0 0 1 j 0 12
12
1
3777777775!
L3+L2!L2L3+L1!L1
2666666664
1 1 0 0 j 12120 1
2j0 1 0 0 j 1
21 1
212j
0 0 1 0 j 12
12
1 12j
0 0 0 1 j 0 12
12
1
3777777775!
L2+L1!L1
!L2+L1!L1
2666666664
1 0 0 0 j 1 12
120
j0 1 0 0 j 1
21 1
212j
0 0 1 0 j 12
121 1
2j0 0 0 1 j 0 1
2121
3777777775.
29
Logo
2666666664
1 1212
12
12
1 0 12
12
0 1 12
12
1212
1
3777777775
1
=
0BBBBBBBB@12
2666666664
2 1 1 1
1 2 0 1
1 0 2 1
1 1 1 2
3777777775
1CCCCCCCCA
1
= 2
2666666664
1 12
120
121 1
212
12
121 1
2
0 12
121
3777777775=
2666666664
2 1 1 0
1 2 1 1
1 1 2 1
0 1 1 2
3777777775.
5. A; =
26641 0 1 01 2 + 0 1 1 2 + +
3775 !L2$L326641 0 1 00 1 1 2 + 1 2 + +
3775 !L1+L3!L3L1+L4!L4
!L1+L3!L3L1+L4!L4
26641 0 1 00 1 0 2 + + 1 0 2 + + 1 +
3775 !L2+L3!L3L2+L4!L4
26641 0 1 00 1 0 0 + 1 00 0 + 1
3775 !L3+L4!L4
!L3+L4!L4
26641 0 1 00 1 0 0 + 1 00 0 0
3775.Se = 1 e = 0 ento carA = 2 e nulA = 2.
Se ( = 1 e 6= 0) ou ( 6= 1 e = 0) ento carA = 3 e nulA = 1.
Se 6= 1 e 6= 0 ento carA = 4 e nulA = 0.
Assim, A; invertvel se e s se 6= 1 e 6= 0, uma vez que s neste caso que carA; = no decolunas de A;.
6. (a) Tem-se
A =
26641 0 22 2 44 0 3 8 0 2 2
3775 !2L1+L2!L24L1+L3!L3L1+L4!L4
26641 0 20 ( 2) 00 0 (2 ) (2 + ) 00 0 0 ( 2)
3775 :Logo, como carA + nulA = 4,se = 0 ento carA = 1 e nulA = 3;se = 2 ento carA = 2 e nulA = 2;se = 2 ento carA = 3 e nulA = 1;se 6= 0 e 6= 2 e 6= 2 ento carA = 4 e nulA = 0.
30
Assim, A invertvel se e s se 2 Rn f2; 0; 2g, uma vez que s nestes casos que carA = no decolunas de A.
(b)A1 j I
=
=
26641 0 1 2 j 1 0 0 02 1 1 4 j 0 1 0 04 0 1 8 j 0 0 1 01 0 1 1 j 0 0 0 1
3775 !2L1+L2!L24L1+L3!L3L1+L4!L4
26641 0 1 2 j 1 0 0 00 1 1 0 j 2 1 0 00 0 3 0 j 4 0 1 00 0 0 1 j 1 0 0 1
3775 !2L4+L1!L1 13L3+L1!L1
13L3+L2!L2
!2L4+L1!L1 13L3+L1!L1
13L3+L2!L2
26641 0 0 0 j 7
30 1
32
0 1 0 0 j 231 1
30
0 0 3 0 j 4 0 1 00 0 0 1 j 1 0 0 1
3775 !L4!L413L3!L3
26641 0 0 0 j 7
30 1
32
0 1 0 0 j 231 1
30
0 0 1 0 j 43
0 13
00 0 0 1 j 1 0 0 1
3775Logo
(A1)1 =
2664730 1
32
231 1
30
43
0 13
01 0 0 1
3775 :
7. (a) Ba;b =
26640 0 a 12 2 0 a0 0 a b3 0 6 0
3775 !L1$L226642 2 0 a0 0 a 10 0 a b3 0 6 0
3775 !L2$L4
!L2$L4
26642 2 0 a3 0 6 00 0 a b0 0 a 1
3775 ! 32L1+L2!L2
L3+L4!L4
26642 2 0 a0 3 6 3
2a
0 0 a b0 0 0 1 b
3775.Se a = 0 ou ( a 6= 0 e b = 1) ento carBa;b = 3 e nulBa;b = 1.Se a 6= 0 e b 6= 1 ento carBa;b = 4 e nulBa;b = 0.
(b) [B1;0 j I] =
26640 0 1 1 j 1 0 0 02 2 0 1 j 0 1 0 00 0 1 0 j 0 0 1 03 0 6 0 j 0 0 0 1
3775 !L1$L426643 0 6 0 j 0 0 0 12 2 0 1 j 0 1 0 00 0 1 0 j 0 0 1 00 0 1 1 j 1 0 0 0
3775 ! 23L1+L2!L2
L3+L4!L4
! 23L1+L2!L2
L3+L4!L4
26643 0 6 0 j 0 0 0 10 2 4 1 j 0 1 0 2
3
0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0
3775 !L4+L2!L26L3+L1!L1
26643 0 0 0 j 0 0 6 10 2 4 0 j 1 1 1 2
3
0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0
3775 !12L2!L2
13L1!L1
31
!12L2!L2
13L1!L1
26641 0 0 0 j 0 0 2 1
3
0 1 2 0 j 12
12
12
13
0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0
3775 !2L3+L2!L226641 0 0 0 j 0 0 2 1
3
0 1 0 0 j 12
12
52
13
0 0 1 0 j 0 0 1 00 0 0 1 j 1 0 1 0
3775.
Logo (B1;0)1 =
26640 0 2 1
312
12
52
13
0 0 1 01 0 1 0
3775.
(c) Como B1;0 invertvel,
B1;0X = C , X = (B1;0)1C , X =
26640 0 2 1
312
12
52
13
0 0 1 01 0 1 0
377526641231
3775 =2666666664
193
193
3
2
3777777775:
(d) Seja X = (x1; x2; x3; x4).
Ba;1X = D ,
26640 0 a 12 2 0 a0 0 a 13 0 6 0
37752664x1x2x3x4
3775 =2664a0a6
3775 .A soluo geral de Ba;1X = D dada por:
(Soluo particular de Ba;1X = D) + (Soluo geral de Ba;1X = 0).
O vector (0; 0;1; 0) uma soluo particular de Ba;1X = D. Determinemos a soluo geral deBa;1X = 0.
Tem-se
26640 0 a 12 2 0 a0 0 a 13 0 6 0
3775 !L1+L3!L3 32L2+L4!L4
26640 0 a 12 2 0 a0 0 0 00 3 6 3
2a
3775 !L1$L2L3$L4
!L1$L2L3$L4
26642 2 0 a0 0 a 10 3 6 3
2a
0 0 0 0
3775 !L2$L326642 2 0 a0 3 6 3
2a
0 0 a 10 0 0 0
3775.
Logo,
8>>:x = 2x3x2 =
2 +
a2
2
x3
x4 = ax3
32
Assim, a soluo geral de Ba;1X = 0 dada por:(2s;
2 +
a2
2
s; s;as) : s 2 R
Logo, a soluo geral do sistema linear Ba;1X = D dada por:
f(0; 0;1; 0)g+2s;
2 +
a2
2
s; s;as
: s 2 R
=
2s;
2 +
a2
2
s; s 1;as
: s 2 R
.
Resoluo Alternativa.
[Ba;1 j D] =
26640 0 a 1 j a2 2 0 a j 00 0 a 1 j a3 0 6 0 j 6
3775 !L1+L3!L3 32L2+L4!L4
26640 0 a 1 j a2 2 0 a j 00 0 0 0 j 00 3 6 3
2a j 6
3775 !L1$L2L3$L4
!L1$L2L3$L4
26642 2 0 a j 00 0 a 1 j a0 3 6 3
2a j 6
0 0 0 0 j 0
3775 !L2$L326642 2 0 a j 00 3 6 3
2a j 6
0 0 a 1 j a0 0 0 0 j 0
3775.
Tem-se ento
8>:2x+ 2y + aw = 0
3y + 6z 32aw = 6
az + w = a,
8>:x = 2z 2y =
a2
2+ 2(z + 1)
w = a az
Logo, a soluo geral do sistema linear Ba;1X = D dada por:2s 2;
a2
2+ 2
(s+ 1) ; s;a as
: s 2 R
=
2s;
2 +
a2
2
s; s 1;as
: s 2 R
:
33
3a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Determinante)
1. Classique quanto paridade as seguintes permutaes de nmeros de 1 a 6:
(i) (312645) (ii) (234516) (iii) (654321) (iv) (123456)
(v) (546321) (vi) (453261) (vii) (634125) (viii) (123465)
2. Na expresso do determinante de uma matriz do tipo 6 6 diga qual o sinal que afecta cada umadas seguintes parcelas:
(i) a23a31a42a56a14a65 (ii) a16a25a34a43a52a61(iii) a54a45a63a32a26a11 (iv) a16a23a34a41a62a55
3. Verique que
(i)
0 0 a130 a22 a23a31 a32 a33
= a13a22a31 (ii)0 0 0 a140 0 a23 a240 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
= a14a23a32a414. Calcule os seguintes determinantes e diga quais so as matrizes singulares:
(i) 1 23 4
(ii) 18563 1857321472 21482 (iii) 1 +p2 2p32 +p3 1p2
(iv)
cos sen sen cos (v)
2 0 15 3 05 1 2
(vi)2 3 25 1 32 1 1
(vii)
2 1 15 1 32 3 2
(viii)8 12 85 1 32 1 1
(ix)1 2 34 5 67 8 9
(x)0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0
(xi)
2 2 8 60 1 2 00 0 3 230 0 0 5
(xii)1 3 1 11 2 1 12 1 1 12 0 2 0
(xiii)0 0 0 50 0 3 230 1 2 02 2 8 6
(xiv)
12 22 32 42
22 32 42 52
32 42 52 62
42 52 62 72
(xv)0 4 0 0 00 0 0 2 00 0 0 0 10 0 3 0 05 0 0 0 0
(xvi)
a 0 0 0 bb a 0 0 00 b a 0 00 0 b a 00 0 0 b a
5. Que condies devem os parmetros reais a; b e c vericar para que a matriz24 1 a a21 b b2
1 c c2
35seja invertvel?
34
6. Verique que a matriz 2666640 a 0 0 0e 0 b 0 00 f 0 c 00 0 g 0 d0 0 0 h 0
377775no invertvel para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h 2 R.
7. Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz AI singular, onde A dada por:
(i)0 32 1
(ii)
24 1 0 20 1 22 2 0
358. Use a frmula de inverso de matrizes para inverter:
(i)1 23 4
(ii)
24 1 1 10 1 10 0 1
35 (iii)24 1 0 41 1 30 6 0
359. Sejam
A =
26643 2 0 21 0 0 30 9 2 03 1 0 2
3775 B =26641 0 0 24 0 1 00 1 0 30 1 2 2
3775 .Sem calcular A1 e B1, determine a entrada (2; 2) de A1 e a entrada (2; 3) de B1.
10. Use a regra de Cramer para calcular as solues dos sistemas:
(i)2x+ 3y = 15x+ 7y = 3
(ii)
8
(i)
d e fg h ia b c
(ii)a b c2d 2e 2fg h i
(iii)a+ d b+ e c+ fd e fg h i
(iv)
a b c
d 3a e 3b f 3c2g 2h 2i
(v)a g db h ec i f
13. Sejam a; b; c 2 R. Sabendo que
a b c2 1 01 2 1
= 1; calcule:(i)
a b c6 3 0121 1
2
(ii)
a b c2a+ 2 2b+ 1 2ca+ 1 b+ 2 c+ 1
(iii)a 1 b 2 c 13 3 11 2 1
(iv)
1 1 12 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
14. Sejam ; 2 R. Sabendo que
1 2 1 11 + 2
= 1; calcule1 2 + 2 2
.15. Seja 2 R. Verique que
1 1 1 1 1 + 1 2 2 2 2 + 1 + 2 3 3 3 + 1 + 2 + 3 4 4 + 1 + 2 + 3 + 4 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5
= 6.
16. Seja 2 R. Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n.2666666664
: : : 1 + 1 1 : : : 1... 1 + 1
. . .... 1
. . . 1...
.... . . + 1 1
1 1 1 : : : 1 + 1
377777777517. Verique que
1 1 1x1 y1 y1x2 x2 y2
= (y1 x1) (y2 x2) .18. Mostre que:
(i)
a1 b1 a1 + b1 + c1a2 b2 a2 + b2 + c2a3 b3 a3 + b3 + c3
=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
(ii)b+ c c+ a b+ aa b c1 1 1
= 036
(iii)
a1 + b1 a1 b1 c1a2 + b2 a2 b2 c2a3 + b3 a3 b3 c3
= 2a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
19. Verique que a1 + b1 c1 + d1a2 + b2 c2 + d2
= a1 c1a2 c2+ a1 c1b2 d2
+ b1 d1a2 c2+ b1 d1b2 d2
:20. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x = 0 e x = 2 se tem
x2 x 22 1 10 0 5
= 0.21. Sem calcular o determinante, diga qual o coeciente de x3 na expresso
2x x 1 21 x 1 13 2 x 19 8 7 x
.22. Resolva as seguintes equaes.
(i)
1 x 10 1 11 0 2
= 0 (ii)x x x xx 4 x xx x 4 xx x x 4
= 0 (iii)x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x
= 0
23. Sabendo que 533; 715 e 871 so mltiplos de 13, justique que
5 3 37 1 58 7 1
tambm mltiplo de 13,sem calcular o determinante.
24. Sem calcular o determinante, verique que
2 1 81 0 103 7 4
mltiplo de 5.25. Seja A = (aij)nn com n mpar e tal que aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n: Mostre que A no
invertvel.
37
Resoluo da 3a Ficha de exerccios
1.(i) (312645) par pois tem 4 inverses. (ii) (234516) par pois tem 4 inverses.(iii) (654321) mpar pois tem 15 inverses. (iv) (123456) par pois tem 0 inverses.(v) (546321) mpar pois tem 13 inverses. (vi) (453261) par pois tem 10 inverses.(vii) (634125) mpar pois tem 9 inverses. (viii) (123465) mpar pois tem 1 inverso.
2. (i) (234516) par pois tem 4 inverses e (312645) par pois tem 4 inverses. Logo, tem-se
+a23a31a42a56a14a65
uma vez que (234516) e (312645) tm a mesma paridade.
(ii) (123456) par pois tem 0 inverses e (654321) mpar pois tem 15 inverses. Logo, tem-se
a16a25a34a43a52a61uma vez que (123456) e (654321) tm paridades diferentes.
(iii) (546321) mpar pois tem 13 inverses e (453261) par pois tem 10 inverses. Logo, tem-se
a54a45a63a32a26a11uma vez que (546321) e (453261) tm paridades diferentes.
(iv) (123465) mpar pois tem 1 inverso e (634125) mpar pois tem 9 inverses. Logo, tem-se
+a16a23a34a41a62a55
uma vez que (123465) e (634125) tm a mesma paridade.
3. (i) (123) par pois tem 0 inverses e (321) mpar pois tem 3 inverses. Atendendo denio dedeterminante, tem-se
0 0 a130 a22 a23a31 a32 a33
= a13a22a31uma vez que (123) e (321) tm paridades diferentes.
(ii) (1234) par pois tem 0 inverses e (4321) par pois tem 6 inverses. Atendendo denio dedeterminante, tem-se
0 0 0 a140 0 a23 a240 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
= a14a23a32a41uma vez que (1234) e (4321) tm a mesma paridade.
4. (i) 1 23 4
= 4 6 = 2 6= 0, logo a matriz no singular.38
(ii) 18563 1857321472 21482
= 18563 1021472 10 = 18563 102909 0
= 29090 6= 0, logo a matriz no singular.(iii)
1 +p2 2p32 +p3 1p2 = 1 2 (4 3) = 2 6= 0, logo a matriz no singular.
(iv) cos sen sen cos
= cos2 ( sen2 ) = 1 6= 0, logo a matriz no singular.(v)
2 0 15 3 05 1 2
= 12 + 5 (15) = 8 6= 0, logo a matriz no singular.
(vi)
2 3 25 1 32 1 1
= 2 + 18 + 10 4 15 (6) = 13 6= 0, logo a matriz no singular.
(vii)
2 1 15 1 32 3 2
= 2 3 25 1 32 1 1
=por (vi) 13 6= 0, logo a matriz no singular.
(viii)
8 12 85 1 32 1 1
= 42 3 25 1 32 1 1
=por (vi) 52 6= 0, logo a matriz no singular.
(ix)
1 2 34 5 67 8 9
=1 2 32 1 04 2 0
=1 2 32 1 00 0 0
= 0, logo a matriz singular.
(x)
0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0
=0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0
=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
= 1 6= 0, logo a matriz no singular.
(xi)
2 2 8 60 1 2 00 0 3 230 0 0 5
= 30 6= 0, logo a matriz no singular.(xii)
1 3 1 11 2 1 12 1 1 12 0 2 0
=1 3 1 10 1 2 22 1 1 12 0 2 0
= 2(1)4+1
3 1 11 2 21 1 1
+ (2)(1)4+31 3 10 1 22 1 1
== 2 [6 + 1 + (2) (1) (2) 6] + 2 [1 + 12 2 2] = 20 + 18 = 38 6= 0,
logo a matriz no singular.
39
(xiii)
0 0 0 50 0 3 230 1 2 02 2 8 6
=2 2 8 60 1 2 00 0 3 230 0 0 5
=por (xi) 30 6= 0, logo a matriz no singular.
(xiv)
12 22 32 42
22 32 42 52
32 42 52 62
42 52 62 72
=12 22 32 42
3 5 7 95 7 9 117 9 11 13
=12 22 32 42
3 5 7 92 2 2 22 2 2 2
=12 22 32 42
3 5 7 92 2 2 20 0 0 0
== 0, logo a matriz singular.
(xv)
0 4 0 0 00 0 0 2 00 0 0 0 10 0 3 0 05 0 0 0 0
= 5(1)5+1
4 0 0 00 0 2 00 0 0 10 3 0 0
= 5244(1)1+1
0 2 00 0 13 0 0
35 =
= 120 6= 0, logo a matriz no singular.
(xvi)
a 0 0 0 bb a 0 0 00 b a 0 00 0 b a 00 0 0 b a
= a5 + b5 6= 0 se e s se a 6= b, logo a matriz no singular se e s se
a 6= b.
5. Seja
A =
24 1 a a21 b b21 c c2
35 ,com a; b; c 2 R. A matriz A invertvel se e s se detA 6= 0. Tem-se
detA =
1 a a2
1 b b2
1 c c2
=1 a a2
0 b a b2 a20 c a c2 a2
= 0se a = b ou a = c. Se a 6= b e a 6= c ento
detA =
1 a a2
1 b b2
1 c c2
=1 a a2
0 b a b2 a20 c a c2 a2
=1 a a2
0 b a b2 a20 0 c2 a2 (c a)(b+ a)
=
=
1 a a2
0 b a b2 a20 0 (c a) [(c+ a) (b+ a)]
=1 a a2
0 b a b2 a20 0 (c a) (c b)
= 0se b = c. Logo, a matriz A invertvel se e s se a 6= b; a 6= c e b 6= c.
40
6. Seja
A =
2666640 a 0 0 0e 0 b 0 00 f 0 c 00 0 g 0 d0 0 0 h 0
377775 ,com a; b; c; d; e; f; g; h 2 R. Se a = 0 ou h = 0 ento detA = 0, isto , A no invertvel. Se a 6= 0 e
h 6= 0 ento
detA =
0 a 0 0 0e 0 b 0 00 f 0 c 00 0 g 0 d0 0 0 h 0
=
0 a 0 0 0e 0 b 0 00 0 0 0 00 0 g 0 d0 0 0 h 0
= 0,
isto , A no invertvel. Logo, A no invertvel para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h 2 R.
7. Determinemos todos os valores do escalar para os quais a matriz A I singular, isto , todosos valores prprios de A.
(i) det (A I) = 32 1
= (1 + ) 6 = 2 + 6.Logo, det (A I) = 0, ( = 2 ou = 3).
(ii) det (A I) =1 0 20 1 22 2
= 1 2+ 4 (1 + ) 4 (1 ) ==
1 2+ 8. Logo, det (A I) = 0, ( = 0 ou = 3 ou = 3).
8. (i) A1 =1
detA(cof A)T =
1
24 32 1
T=
2 13=2 1=2
(ii) A1 =1
detA(cof A)T =
1
1
24 1 0 01 1 00 1 1
35T =24 1 1 00 1 10 0 1
35
(iii) A1 =1
detA(cof A)T =
1
6
24 18 0 624 0 64 1 1
35T =24 3 4 2=30 0 1=61 1 1=6
359. Tem-se
detA =
3 2 0 21 0 0 30 9 2 03 1 0 2
= (2) (1)3+3
3 2 21 0 33 1 2
= (2) (2 + 18 (4) 9) = 30.
41
Logo,
A1
(2;2)
=1
detA
(cof A)T
(2;2)
=1
detA(cof A)(2;2) =
1
30(1)2+2
3 0 20 2 03 0 2
= 45 .
detB =
1 0 0 24 0 1 00 1 0 30 1 2 2
=1 0 0 20 0 1 80 1 0 30 0 2 1
= (1)(1)1+1
0 1 81 0 30 2 1
= 17.Logo,
B1
(2;3)
=1
detB
(cof B)T
(2;3)
=1
detB(cof B)(3;2) =
1
17(1)3+2
1 0 24 1 00 2 2
= 1417 .
10. (i) x =
1 33 7 2 35 7 =
21 = 2 e y =
2 15 3 2 35 7 =
1
1 = 1
(ii)
x =
1 1 01 0 11 2 2
1 1 02 0 11 2 2
=55 = 1; y =
1 1 02 1 11 1 2
1 1 02 0 11 2 2
= 0 e z =
1 1 12 0 11 2 1
1 1 02 0 11 2 2
=
5
5 = 1
11. detC =
1 0 12 3 20 1 2
= 6 6= 0, logo C invertvel. detD =9 8 17 3 02 0 0
= 6 6= 0, logo D invertvel.
(i) det (2C1) = 231
detC= 4
3
(ii) detC3 (2C)1
= (detC)3
1
231
detC= (detC)2
1
8=9
2
(iii) detCT (trC)C
1= det
C1
1
trC(C1)T
=
1
(trC)3det (C1) det (C1) =
=1
23
1
detC
2=
1
288
(iv) detCT tr
14CT
C2=1
23detCTdet (C2) =
1
23detC
1
(detC)2=
42
=1
231
detC= 1
48
(v) det2CT 2
3D31
DT1
C1
= (2)3 det CT 1det2
3D3 1det(DT )1C
== 8 (detC)
32
31
(detD)3detD
detC= 8
1
(detD)227
8=27
36= 3
4.
12. (i)
d e fg h ia b c
= 5 (ii)a b c2d 2e 2fg h i
= 10 (iii)a+ d b+ e c+ fd e fg h i
= 5
(iv)
a b c
d 3a e 3b f 3c2g 2h 2i
= 10 (v)a g db h ec i f
= 5
13.(i)
a b c6 3 0121 1
2
= 32 (ii)
a b c2a+ 2 2b+ 1 2ca+ 1 b+ 2 c+ 1
= 1 (iii)a 1 b 2 c 13 3 11 2 1
= 1(iv)
1 1 12 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
= 1 1 12 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
==
1 2 12 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
= 1 2 12 1 03a 3b 3c
= 3a b c2 1 01 2 1
= 3
14.
1 2 + 2 2
= .15.
1 1 1 1 1 + 1 2 2 2 2 + 1 + 2 3 3 3 + 1 + 2 + 3 4 4 + 1 + 2 + 3 + 4 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5
=
1 1 1 1 10 1 1 1 10 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 0
= 6.
43
16.
: : : 1 + 1 1 : : : 1... 1 + 1
. . .... 1
. . . 1...
.... . . + 1 1
1 1 1 : : : 1 + 1
=
0 0 : : : 01 0 : : : 0... 0
. . .... 0
. . . 0...
.... . . 0
1 0 0 : : : 0
= n.
17.1 1 1x1 y1 y1x2 x2 y2
=1 0 0x1 y1 x1 y1 x1x2 0 y2 x2
= (y1 x1) (1)2+2 det 1 0x2 y2 x2
= (y1 x1) (y2 x2) .
18.(i)
a1 b1 a1 + b1 + c1a2 b2 a2 + b2 + c2a3 b3 a3 + b3 + c3
=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
(ii)
b+ c c+ a b+ aa b c1 1 1
=a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c
a b c1 1 1
=0 0 0a b c1 1 1
= 0
(iii)
a1 + b1 a1 b1 c1a2 + b2 a2 b2 c2a3 + b3 a3 b3 c3
=2a1 a1 b1 c12a2 a2 b2 c22a3 a3 b3 c3
=2a1 b1 c12a2 b2 c22a3 b3 c3
= 2a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3
19. a1 + b1 c1 + d1a2 + b2 c2 + d2
= a1 c1a2 c2+ a1 c1b2 d2
+ b1 d1a2 c2+ b1 d1b2 d2
:20.
0 0 22 1 10 0 5
=0 0 22 1 10 0 0
= 0 e4 2 22 1 10 0 5
=0 0 02 1 10 0 5
= 0
21.O coeciente de x3 na expresso
2x x 1 21 x 1 13 2 x 11 1 1 x
1.
44
22. (i)
1 x 10 1 11 0 2
= 0,1 x 00 1 11 0 1
= 0, 1 + x = 0, x = 1
(ii)
x x x xx 4 x xx x 4 xx x x 4
= 0,x x x x0 4 x 0 00 0 4 x 00 0 0 4 x
= 0, x (4 x)3 = 0, (x = 0 ou x = 4)
(iii)
x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x
= 0,x 1 1 10 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 1 1 x
= 0,
,
x 1 x 1 x 1 x0 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 0 0 x 1
= 0,0 1 x 1 x 1 x20 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 0 0 x 1
= 0,
,
0 0 0 3 2x x20 x 1 0 1 x0 0 x 1 1 x1 0 0 0
= 0,0 0 0 3 2x x20 x 1 0 00 0 x 1 01 0 0 0
= 0,
,
1 0 0 00 x 1 0 00 0 x 1 00 0 0 3 2x x2
= 0, (x 1)2 (3 2x x2) = 0, (x = 1 ou x = 3)
23.
5 3 37 1 58 7 1
=5 53 37 71 58 87 1
=5 53 5337 71 7158 87 871
. Como 533; 715 e 871 so mltiplos de 13 ento a 3acoluna tambm mltipla de 13. Logo
5 3 37 1 58 7 1
mltiplo de 13.
24.
2 1 81 0 103 7 4
=2 1 8 + (3) 11 0 10 + (3) 03 7 4 + (3) (7)
=2 1 51 0 103 7 25
. Como a 3a coluna mltiplade 5, logo
2 1 51 0 103 7 25
mltiplo de 5.25. Seja A = (aij)nn com n mpar e tal que aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n: Mostre que A
no invertvel.Dem. (aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n), AT = A. Logo
detA = detAT= det (A) = (1)n detA =
n mpar detA, detA = 0:
Pelo que A no invertvel.
45
4a Ficha de exerccios para as aulas de problemas (Espaos lineares)
1. Verique que os seguintes subconjuntos de R2, com as operaes usuais, no so subespaos de R2.(i) f(x; y) 2 R2 : x 0g (ii) f(x; y) 2 R2 : xy = 0g (iii) f(x; y) 2 R2 : y = x2g
2. Verique que os seguintes conjuntos, com as operaes usuais, so (todos os) subespaos de R2.(i) f(0; 0)g(ii) Vk = f(x; kx) : x 2 Rg com k 2 R(iii) U = f(0; a) : a 2 Rg(iv) R2
3. No espao linear R3, considere o subconjunto
Uk = f(x; y; k) : x; y 2 Rg
onde k uma constante real. Determine os valores de k para os quais Uk subespao de R3.
4. Considere o espao linear V = R3. Diga quais dos seguintes subconjuntos de V , com as operaesusuais, so subespaos de V e indique os respectivos conjuntos geradores.
(i) f(x; y; z) 2 R3 : z = 2g (ii) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y z = 0g(iii) f(x; y; z) 2 R3 : x > 0g (iv) f(0; 0; z) : z 2 Rg(v) f(x; y; z) 2 R3 : y = 2x e z = 3xg (vi) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y = 1g(vii) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0 e x y z = 0g(viii) f(x; y; z) 2 R3 : x = y ou y = zg(ix) f(x; y; z) 2 R3 : x y = 0 e 2y + z = 0g (x) f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g
5. Seja Pn o espao linear de todos os polinmios reais de varivel real e de grau menor ou igual a n,com as operaes usuais: Diga quais dos seguintes subconjuntos de P2, com as operaes usuais, sosubespaos de P2 e indique os respectivos conjuntos geradores.(i) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a0 = 0g (ii) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 = 2a0 e a1 = 0g(iii) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a1 = 1g (iv) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 = 2g(v) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 + 2a0 = 0g
6. SejaMmn(R) o espao linear de todas as matrizes do tipo mn com entradas reais. Diga quais dosseguintes subconjuntos deM23(R), com as operaes usuais, so subespaos deM23(R) e indiqueos respectivos conjuntos geradores.
(i)
a b cd 0 0
2M23(R) : b = a+ c
(ii)
a b cd 0 f
2M23(R) : b < 0
(iii)
a b cd e f
2M23(R) : a = 2c e f = 2e+ d
:
46
7. Determine o espao das colunas, o espao das linhas e o ncleo das seguintes matrizes.
(i)1 10 0
(ii)
1 2 30 0 0
(iii)
0 0 00 0 0
(iv)
24 2 1 10 0 10 0 0
35(v)
24 1 02 32 1
35 (vi)24 1 22 42 4
35 (vii)24 0 00 00 0
35 (viii)24 1 0 12 3 02 1 0
358. Verique que, com as operaes usuais, o seguinte conjunto de matrizes8
Encontre uma matriz 2 2 que no pertena a
L
1 11 0
;
0 01 1
;
0 20 1
:
Antes de a determinar, explique porque que essa matriz existe.
15. Determine os vectores (a; b; c) de R3 que pertencem a L (fu; v; wg) onde
u = (2; 1; 0); v = (1;1; 2) e w = (0; 3;4):
16. Sejam
A =
1 1 52 3 13
e B =
24 1 1 14 3 13 1 3
35 :Verique que o espao das linhas de A igual ao espao das linhas de B: Conclua ento que osespaos das colunas de AT e de BT so iguais.
17. Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaos do espao linear R4.(i) f(x; y; z; w) 2 R4 : x = 0 e y + z = 0g(ii) f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ y + z + w = 0g(iii) f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y z = 0 e x+ y + 2w = 0 e y z + w = 0g
18. Dena por meio de sistemas de equaes homogneas os seguintes subespaos.
(i) Em P2: L (f1 t2; 1 + tg) (ii) L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (2; 1;2)g)(iii) L (f(0; 1; 0); (2; 1;2)g) (iv) L (f(1; 1; 2); (2; 1; 1)g) (v) L (f(1; 0;1; 1)g)(vi) L (f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2); (3;6; 11;1); (0; 0; 1;2)g)
19. Determine as condies que os parametros i; i(i = 1; 2) devem vericar para que os vectores(1; 1; 3) e (2; 2; 9), no espao linear R3, sejam linearmente independentes.
20. Diga se os seguintes conjuntos de vectores em R3 so linearmente dependentes ou linearmente inde-pendentes? Nos casos em que sejam linearmente dependentes, indique (para cada um) um subcon-junto linearmente independente com o maior no possvel de elementos e escreva os restantes comocombinao linear desses vectores.
(i) f(4; 2; 1); (2; 6;5); (1;2; 3)g (ii) f(1; 2;1); (3; 2; 5)g(iii) f(1; 2; 3); (1; 1; 1); (1; 0; 1)g (iv) f(1; 0;1); (0; 0; 0); (0; 1; 1)g(v) f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g (com x; y; z 2 R).
21. Determine todos os valores de a para os quais f(a2; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)g uma base de R3:22. Sejam U = L (f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0)g) e Vk = L (f(2; k; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g) subespaos deR4:Determine
os valores de k para os quais dim (U \ Vk) = 1.23. No espao linear R3, construa uma base que inclua os vectores:
(i) (1; 0; 2) e (0; 1; 2). (ii) (2;1; 1) e (4; 2; 1). (iii) (1; 2; 1) e (1; 0;1).
48
24. Verique que os seguintes subconjuntos do espao linear de todas as funes reais de varivel real solinearmente dependentes. Indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com omaior no possvel de elementos e escreva os restantes como combinao linear desses vectores.
(i) S = fcos2 t; sen2 t; cos 2tg (ii) S = f2; sen2 t; cos2 tg(iii) S = fet; et; cosh tg (iv) S = 1; t; t2; (t+ 1)2Determine uma base para cada subespao L(S) e calcule a respectiva dimenso.
25. Seja V o espao linear de todas as funes reais de varivel real. Sejam f; g; h 2 V , com f (t) = sen t,g (t) = cos t e h (t) = t. Mostre que o conjunto ff; g; hg linearmente independente.
26. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de R2. Determine bases e as dimenses dosespaos gerados por cada um desses conjuntos. Em cada base de R2 encontrada, exprima o vector(0;1) como combinao linear dos vectores dessa base ordenada. Isto , determine as coordenadasdo vector (0;1) em cada base ordenada encontrada. Relativamente a cada base ordenada de R2,determine ainda o vector cujas coordenadas so (0;1).(i) f(1; 3); (1;1)g (ii) f(0; 0); (1; 2)g (iii) f(2; 4)g(iv) f(5; 0); (0; 2)g (v) f(1; 2); (2;3); (3; 2)g (vi) f(1; 0); (0; 1)g
27. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de R3. Determine bases e as dimensesdos espaos gerados por cada um desses conjuntos. Em cada base de R3 encontrada, exprima ovector (1; 1;2) como combinao linear dos vectores dessa base ordenada. Isto , determine ascoordenadas do vector (1; 1;2) em cada base ordenada encontrada. Relativamente a cada baseordenada de R3, determine ainda o vector cujas coordenadas so (1; 1;2).(i) f(1; 2; 3); (0; 0; 0); (0; 1; 2)g (ii) f(1; 2; 0); (0; 1;1)g(iii) f(3; 2; 2); (1; 2; 1); (0; 1; 0)g (iv) f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g(v) f(1; 1;1); (2; 3; 4); (4; 1;1); (0; 1;1)g (vi) f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g
28. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de R4. Determine bases e as dimenses dosespaos gerados por cada um desses conjuntos. Em cada alnea indique uma base de R4 que incluapelo menos dois vectores do conjunto apresentado.
(i) f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 0; 0); (1; 1; 1; 1); (0; 1; 1; 1)g(ii) f(1;1; 0; 2); (3;1; 2; 1); (1; 0; 0; 1)g(iii) S = f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0); (0; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 0); (0; 0; 1; 1)g(iv) f(1; 0; 0; 2); (1; 0; 2; 0); (1; 2; 0; 0); (3; 0; 0; 0)g(v) f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2); (3;6; 11;1); (0; 0; 5; 5)g(vi) S = f(2; 1;1; 2); (1;1; 1; 2); (4;2; 2;2); (5;2; 2; 2)g :Nesta alnea, verique que (8;3; 3; 5) 2L (S) e determine uma base de L (S) que inclua o vector (8;3; 3; 5).
29. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores so bases de P2 (espao linear dos polinmios reais degrau menor ou igual a 2). Determine bases e as dimenses dos espaos gerados por cada um dessesconjuntos. Determine as coordenadas do vector 1 t em cada base ordenada de P2 encontrada.Relativamente a cada base ordenada de P2, determine ainda o vector cujas coordenadas so (1; 3; 2).(i) f2 + t t2; 2t+ 2t2;t2g (ii) f2t t2; 1 2t2; 2 + t; 1 4tg(iii) f1 + t2; t t2; 1 t+ 2t2; 1 + tg (iv) f1 + 2t+ t2; 2 tg
49
(v) f1 + 2t t2; 3 + t2; 5 + 4t t2;2 + 2t t2g (vi) f1; t; t2g30. Mostre que as matrizes
1 10 0
;
0 01 1
;
1 00 1
e0 11 1
formam uma base para o espao linearM22(R):
31. Seja S =
1 31 2
;
0 115 3
;
2 53 1
,4 11 5
;
3 22 3
. Seja W um subespao de
M22(R) gerado por S. Determine uma base para W que inclua vectores de S.32. Determine uma base paraM32(R). Qual a dimenso do espao linearM32(R)?33. Determine uma base para cada um dos seguintes subespaos de M33(R) e calcule a respectiva
dimenso:
(i) O conjunto de todas as matrizes (reais) diagonais do tipo 3 3:(ii) O conjunto de todas as matrizes (reais) simtricas do tipo 3 3:
34. Determine as dimenses e indique bases para: o ncleo, o espao das linhas e o espao das colunasdas seguintes matrizes.
(i)3 16 2
(ii)
3 0 6 01 0 2 0
(iii)
24 0 1 0 00 0 1 00 0 0 1
35 (iv)24 1 1 21 2 10 1 1
35
(v)
26641 0 00 1 00 0 10 0 0
3775 (vi)24 1 3 0 20 2 2 01 3 0 2
35 (vii)26641 2 3 12 3 2 03 4 1 11 1 1 1
3775 :Determine tambem a caracterstica e a nulidade de cada uma delas.
35. Sejam U e V subespaos de W tais que dimU = 4; dimV = 5 e dimW = 7. Diga quais as dimensespossveis para U \ V .
36. Determine bases e calcule as dimenses de U + V e U \ V , dizendo em que casos U + V a somadirecta U V (determine-a) dos subespaos U e V .(i) U = L (f(1;1; 1); (0; 1; 1)g) ; V = L (f(1; 1; 2); (1; 1; 1)g) em R3:(ii) U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y z = 0 e x+ y = 0g ; V = L (f(1; 1; 1)g) em R3:(iii) U = L (f(1; 0; 1); (1; 1; 2)g) ; V = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + 3z = 0g em R3:(iv) U = f(x; y; z) 2 R3 : x = y = zg ; V = f(x; y; z) 2 R3 : x = 0g em R3:(v) U = L (f1 + t; 1 t2g), V = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 + a0 = 0g em P2.(vi) U = L (f1 + t; 1 t3g), V = L (f1 + t+ t2; t t3; 1 + t+ t3g) em P3.(vii) U = L (f(2;2; 1;2); (1; 1; 1; 3); (0; 0;6;8); (1; 1;5;5)g) ;V = L (f(0; 0; 0;1); (0; 1; 2; 3); (0; 2; 4; 8)g) em R4:(viii) U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y + 3z = 0 e y + 2z + 3w = 0g,
50
V = L (f(2; 5;4; 1); (0; 9;6; 1); (4;1; 2;1)g) em R4:Neste alnea (viii) mostre que U = V .
(ix) Seja U o subespao de R5 gerado por
f(1;1;1;2; 0); (1;2;2; 0;3); (1;1;2;2; 1)g .Seja V o subespao de R5 gerado por
f(1;2;3; 0;2); (1;1;3; 2;4); (1;1;2; 2;5)g .
Comece por escrever U e V como solues de sistemas de equaes lineares homogneas.
(x) Sejam U e V subespaos de R4 gerados respectivamente por F e por G, com
F = f(1; 0;1; 0); (0; 1; 1; 1); (1; 0; 0;2) ; (0; 0;1; 2)g ;G = f(1; 1; 1; 1); (1; 2; 0;1); (0; 0; 1; 1)g .
37. Seja A =
2666641 1 0 2 10 0 2 4 02 2 1 2 11 1 2 2 10 0 0 0 0
377775 :(i) Calcule a nulidade e a caracterstica de A:
(ii) Determine bases para o espao das colunas de A e para o ncleo de A:
(iii) Usando a alnea anterior, determine a soluo geral do sistema de equaes lineares homogneoAu = 0.
(iv) Resolva o sistema de equaes Au = b, com b = (1; 0; 2;1; 0): Note que b igual 1a colunade A e use esse facto de modo a encontrar uma soluo particular de Au = b.
38. Utilize a informao da seguinte tabela para, em cada caso, determinar a dimenso do espao geradopelas linhas de A, do espao gerado pelas colunas de A, do ncleo de A e do ncleo de AT . Digatambem se o correspondente sistema de equaes lineares no homogneo AX = B possvel,determinando para esses casos, o nmero de parmetros que entram na soluo geral de AX = B.
A 3 3 3 3 3 3 5 9 9 5 4 4 6 2car A 3 2 1 2 2 0 2
car [A j B] 3 3 1 2 3 0 2
39. Construa uma matriz cujo ncleo seja gerado pelo vector (2; 0; 1).
40. Existe alguma matriz cujo espao das linhas contm o vector (1; 1; 1) e cujo ncleo contm (1; 0; 0)?
41. Quais so as matrizes do tipo 3 3 cujo ncleo tem dimenso 3?42. Seja A 2 Mmn(R) tal que C(A) = N (A). Prove que A 2 Mnn(R) com n par. D um exemplo
para n = 4.
43. Seja A 2Mnn(R) tal que carA = n e A2 = A. Prove que A = I.
51
44. Sejam B1 = f(1; 2); (0; 1)g e B2 = f(1; 1); (2; 3)g duas bases ordenadas de R2. Seja v = (1; 5).(i) Determine as coordenadas de v em relao base B1.
(ii) Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2.
(iii) Determine as coordenadas de v em relao base B2, usando as alneas anteriores.
(iv) Determine, directamente, as coordenadas de v em relao base B2.
(v) Determine a matriz SB2!B1 de mudana da base B2 para a base B1.
(vi) Determine as coordenadas de v em relao base B1, usando a alnea anterior, e compare como resultado obtido em (i).
45. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de R2, onde
v1 = (1; 2), v2 = (0; 1).
Suponha que a matriz SB2!B1 de mudana da base B2 para a base B1, dada por:
SB2!B1 =2 11 1
.
Determine B2.
46. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1, onde
w1 = 1 + t, w2 = 1 + t.
Suponha que a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2, dada por:
SB1!B2 =2 31 2
.
Determine B1.
47. Sejam B1 = f1; 1 t; t2g e B2 = f1; 1 + t; 1 + t+ t2g duas bases ordenadas de P2.(i) Suponha que as coordenadas de um vector p(t) 2 P2 em relao base B2 so dadas por (1; 2; 3).Determine as coordenadas do mesmo vector p(t) em relao base B1.
(ii) Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2 e utilize-a para determinaras coordenadas do vector 2 t+ t2 na base B2.
48. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1, onde
w1 = t, w2 = 1 t.
Suponha que a matriz SB2!B1 de mudana da base B2 para a base B1, dada por:
SB2!B1 =2 31 2
.
Determine B1.
52
49. Sejam B1 = fv1; v2; v3g e B2 = fw1; w2; w3g duas bases ordenadas de R3, onde
v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 0), v3 = (0; 0; 1).
Suponha que a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2, dada por:
SB1!B2 =
24 1 1 22 1 11 1 1
35 .Determine B2.
50. Sejam B1 =
1 00 0
;
0 10 0
;
0 01 0
,0 00 1
e
B2 =
1 11 1
;
1 11 1
;
1 11 1
,1 11 1
duas bases ordenadas deM22(R). Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a baseB2 e utilize-a para determinar as coordenadas do vector
1 23 4
em relao base B2.
51. Seja B = fv1; v2g uma base ordenada de P1. Sejam (1;1) e (2; 2) respectivamente as coordenadasde dois polinmios 1 + t e 1 t em relao base B: Determine B.
52. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1. Suponha que (1;1) e (2; 2) sorespectivamente as coordenadas de um polinmio p (t) em relao s bases B1 e B2: Suponha aindaque (1; 1) e (2;2) so respectivamente as coordenadas de um polinmio q (t) em relao s basesB1 e B2: Determine a matriz SB1!B2 de mudana da base B1 para a base B2.
53
Resoluo da 4a Ficha de exerccios
1. (i) Seja U = f(x; y) 2 R2 : x 0g. Por exemplo:
(1; 1) 2 U , mas (1)(1; 1) = (1;1) =2 U .
Logo, U no subespao de R2.
(ii) Seja U = f(x; y) 2 R2 : xy = 0g. Por exemplo:
(1; 0); (0; 1) 2 U , mas (1; 0) + (0; 1) = (1; 1) =2 U .
Logo, U no subespao de R2.
(iii) Seja U = f(x; y) 2 R2 : y = x2g. Por exemplo:
(1; 1) 2 U , mas 2(1; 1) = (2; 2) =2 U .
Logo, U no subespao de R2.
2. Atendendo s respectivas dimenses, os seguintes subespaos de R2, com as operaes usuais, sotodos os subespaos de R2.(i) f(0; 0)g subespao de R2.
(ii) Seja Vk = f(x; kx) : x 2 Rg com k 2 R (xo). Sejam (x1; kx1); (x2; kx2) 2 Vk e 2 R. Tem-se
(x1; kx1) + (x2; kx2) = (x1 + x2; k (x1 + x2)) 2 Vke, com (x; kx) 2 Vk,
(x; kx) = (x; k (x)) 2 Vk.Logo, para todo o k 2 R, Vk subespao de R2.Em alternativa, uma vez que
Vk = L (f(1; k)g) ,para todo o k 2 R, conclui-se que Vk subespao de R2 (para todo o k 2 R).
(iii) Seja U = f(0; a) : a 2 Rg. Sejam (0; a1) ; (0; a2) 2 U e 2 R. Tem-se
(0; a1) + (0; a2) = (0; a1 + a2) 2 U
e, com (0; a) 2 U ,(0; a) = (0; a) 2 U .
Logo, U subespao de R2.Em alternativa, uma vez que
U = L (f(0; 1)g) ,conclui-se que U subespao de R2.
(iv) R2 subespao de R2.
54
3. Uk subespao de R3 se e s se k = 0.
4. (i) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : z = 2g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U no subespao de R3.(ii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y z = 0g. Tem-se
U = f(x; y; x+ y) : x; y 2 Rg .Uma vez que
(x; y; x+ y) = (x; 0; x) + (0; y; y) = x(1; 0; 1) + y(0; 1; 1),
para quaisquer x; y 2 R, tem-se:U = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 1)g) .
Logo, U subespao de R3.Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A = 1 1 1 :(iii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x > 0g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U no subespao de R3.(iv) Seja U = f(0; 0; z) : z 2 Rg. Uma vez que (0; 0; z) = z(0; 0; 1), para qualquer z 2 R, tem-se:
U = L (f(0; 0; 1)g) .Logo, U subespao de R3.
(v) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : y = 2x e z = 3xg. Tem-se U = f(x; 2x; 3x) : x 2 Rg.Uma vez que (x; 2x; 3x) = x(1; 2; 3), para qualquer x 2 R, tem-se:
U = L (f(1; 2; 3)g) .Logo, U subespao de R3.
Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A = 2 1 03 0 1
:
(vi) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y = 1g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U no subespao de R3.(vii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0 e x y z = 0g. Tem-se
U = f(0; y;y) : y 2 Rg .Uma vez que
(0; y;y) = y(0; 1;1),para qualquer y 2 R, tem-se:
U = L (f(0; 1;1)g) .Logo, U subespao de R3.
Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A =1 1 11 1 1
:
(viii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x = y ou y = zg. Tem-se:U =
(x; y; z) 2 R3 : x = y [ (x; y; z) 2 R3 : y = z
55
Por exemplo:(1; 1; 2); (1; 2; 2) 2 U , mas (1; 1; 2) + (1; 2; 2) = (2; 3; 4) =2 U .
Logo, U no subespao de R3.
(ix) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x y = 0 e 2y + z = 0g. Tem-se
U = f(x; x;2x) : x 2 Rg .
Uma vez que(x; x;2x) = x(1; 1;2),
para qualquer x 2 R, tem-se:U = L (f(1; 1;2)g) .
Logo, U subespao de R3.
Alternativamente, note que U = N (A) subespao de R3, com A =1 1 00 2 1
:
(x) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g. Por exemplo:
(1; 0; 1); (0; 1; 0) 2 U , mas (1; 0; 1) + (0; 1; 0) = (1; 1; 1) =2 U .
Logo, U no subespao de R3.O conjunto de todos os polinmios reais de grau igual a n:
U = fa0 + a1t+ + antn 2 Pn : a0; a1; :::; an 2 R e an 6= 0g ,
com as operaes usuais, no um espao linear. Por exemplo: o polinmio nulo p(t) = 0 =2 U .
5. Seja P2 o espao linear de todos os polinmios reais de varivel real e de grau menor ou igual a 2,com as operaes usuais:(i) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a0 = 0g. Tem-se
U =a1t+ a2t
2 : a1; a2 2 R= L
t; t2.
Logo, U subespao de P2.
(ii) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 = 2a0 e a1 = 0g. Tem-se
U =a0 + 2a0t
2 : a0 2 R.
Uma vez quea0 + 2a0t
2 = a0(1 + 2t2),
para qualquer a0 2 R, tem-se:U = L
1 + 2t2
.
Logo, U subespao de P2.
(iii) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a1 = 1g. Por exemplo: o polinmio nulo p(t) = 0 =2 U . Logo, Uno subespao de P2.
56
(iv) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 = 2g. Por exemplo: o polinmio nulo p(t) = 0 =2 U .Logo, U no subespao de P2.
(v) Seja U = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 a1 + 2a0 = 0g. Tem-se
U =a0 + a1t+ (a1 2a0) t2 : a0; a1 2 R
.
Uma vez quea0 + a1t+ (a1 2a0) t2 = a0(1 2t2) + a1(t+ t2),
para quaisquer a0; a1 2 R, tem-se:U = L
1 2t2; t+ t2 .
Logo, U subespao de P2.
6. SejaM23(R) o espao linear de todas as matrizes do tipo 2 3 com entradas reais.(i) Seja U =
a b cd 0 0
2M23(R) : b = a+ c
. Tem-se
U =
a a+ c cd 0 0
: a; c; d 2 R
.
Uma vez que a a+ c cd 0 0
= a
1 1 00 0 0
+ c
0 1 10 0 0
+ d
0 0 01 0 0
,
para quaisquer a; c; d 2 R, tem-se:
U = L
1 1 00 0 0
;
0 1 10 0 0
;
0 0 01 0 0
.
Logo, U subespao deM23(R).
(ii) Seja U =
a b cd 0 f
2M23(R) : b < 0
. Por exemplo: a matriz nula
0 0 00 0 0
=2 U .
Logo, U no subespao deM23(R).
(iii) Seja U =
a b cd e f
2M23(R) : a = 2c e f = 2e+ d
. Tem-se
U =
2c b cd e 2e+ d
: b; c; d; e 2 R
.
Uma vez que 2c b cd e 2e+ d
= b
0 1 00 0 0
+ c
2 0 10 0 0
+ d
0 0 01 0 1
+ e
0 0 00 1 2
,
57
para quaisquer b; c; d; e 2 R, tem-se:
U = L
0 1 00 0 0
;
2 0 10 0 0
;
0 0 01 0 1
;
0 0 00 1 2
.
Logo, U subespao deM23(R). :
7. (i) Seja A =1 10 0
. Tem-se C(A) = L (f(1; 0)g) e L(A) = L (f(1;1)g).
Seja u = (x; y) 2 R2. Atendendo a que1 10 0
xy
= 0, x y = 0,
o ncleo de A dado por:
N (A) = u 2 R2 : Au = 0 = (x; y) 2 R2 : x y = 0 == f(x; x) : x 2 Rg = fx(1; 1) : x 2 Rg = L (f(1; 1)g) .
(ii) Seja A =1 2 30 0 0
. Tem-se C(A) = L (f(1; 0)g) e L(A) = L (f(1; 2; 3)g).
Seja u = (x; y; z) 2 R3. Atendendo a que1 2 30 0 0
24 xyz
35 = 0, x+ 2y + 3z = 0,o ncleo de A dado por:
N (A) = u 2 R3 : Au = 0 = (x; y; z) 2 R3 : x+ 2y + 3z = 0 == f(2y 3z; y; z) : y; z 2 Rg = fy(2; 1; 0) + z(3; 0; 1) : y; z 2 Rg= L (f(2; 1; 0); (3; 0; 1)g) .
(iii) Seja A =0 0 00 0 0
. Tem-se C(A) = f(0; 0)g e L(A) = f(0; 0; 0)g.
O ncleo de A dado por: N (A) = R3.
(iv) Seja A =
24 2 1 10 0 10 0 0
35. Tem-seC(A) = L (f(2; 0; 0); (1; 1; 0)g) e L(A) = L (f(2; 1; 1); (0; 0; 1)g) :
Seja u = (x; y; z) 2 R3. Atendendo a que24 2 1 10 0 10 0 0
3524 xyz
35 = 0,8
o ncleo de A dado por:
N (A) = u 2 R3 : Au = 0 = (x; y; z) 2 R3 : 2x+ y + z = 0 e z = 0 == f(x;2x; 0) : x 2 Rg = fx(1;2; 0) : x 2 Rg = L (f(1;2; 0)g) .
(v) Seja A =
24 1 02 32 1
35. Tem-seC(A) = L (f(1; 2; 2); (0; 3; 1)g) e L(A) = L (f(1; 0); (2; 3)g) ,
pois
(2; 1) =4
3(1; 0) +
1
3(2; 3).
Seja u = (x; y) 2 R2. Atendendo a que
24 1 02 32 1
35 xy
= 0,
8>>>>>>>:x = 0
2x+ 3y = 0
2x+ y = 0
o ncleo de A dado por:
N (A) = u 2 R2 : Au = 0 = (x; y) 2 R2 : x = 0 e 2x+ 3y = 0 e 2x+ y = 0 = f(0; 0)g .
(vi) Seja A =
24 1 22 42 4
35. Tem-seC(A) = L (f(1; 2; 2)g) e L(A) = L (f(1; 2)g) .
Seja u = (x; y) 2 R2. Atendendo a que24 1 22 42 4
35 xy
= 0,
8
O ncleo de A dado por:N (A) = R2.
(viii) Seja A =
24 1 0 12 3 02 1 0
35. Tem-seC(A) = L (f(1; 2; 2); (0; 3; 1); (1; 0; 0)g) e L(A) = L (f(1; 0; 1); (2; 3; 0); (2; 1; 0)g) .
Seja u = (x; y; z) 2 R3. Atendendo a que
24 1 0 12 3 02 1 0
3524 xyz
35 = 0,24 1 0 10 1 20 0 4
3524 xyz
35 = 0,8>>>>>>>:x+ z = 0
y 2z = 0
4z = 0
o ncleo de A dado por:N (A) = u 2 R3 : Au = 0 = f(0; 0; 0)g .
Observao: Como N (A) = f(0; 0; 0)g e sendo A quadrada 3 3, tem-se L(A) = C(A) = R3.
8. Seja
U =
8
10. Considere, no espao linear R4, os vectores v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (1;1; 0; 0) e v3 = (0; 1; 2; 1).Tem-se2664
1 1 0 j 1 j 2 j 1 j 00 1 1 j 4 j 0 j 1 j 10 0 2 j 2 j 2 j 2 j 11 0 1 j 2 j 2 j 2 j 0
3775 !L1+L4!L426641 1 0 j 1 j 2 j 1 j 00 1 1 j 4 j 0 j 1 j 10 0 2 j 2 j 2 j 2 j 10 1 1 j 3 j 0 j 1 j 0
3775 !L2+L4!L4
!L2+L4!L4
26641 1 0 j 1 j 2 j 1 j 00 1 1 j 4 j 0 j 1 j 10 0 2 j 2 j 2 j 2 j 10 0 0 j 1 j 0 j 0 j 1
3775 : (*)Logo, (2; 0; 2; 2); (1; 1;2; 2) 2 L (fv1; v2; v3g), com
(2; 0; 2; 2) = (1; 0; 0; 1) + (1;1; 0; 0) + (0; 1; 2; 1)(1; 1;2; 2) = 3(1; 0; 0; 1) + (2)(1;1; 0; 0) + (1)(0; 1; 2; 1).
Atendendo a (*), (1; 4; 2; 2); (0; 1; 1; 0) =2 L (fv1; v2; v3g).
11. Tem-se24 3 2 j 10 1 j 22 5 j k
35 !23L1+L3!L3
24 3 2 j 10 1 j 20 11=3 j k + 2=3
35 ! 11
3L2+L3!L3
24 3 2 j 10 1 j 20 0 j k + 8
35 :Logo, 8 o nico valor de k para o qual o vector u = (1;2; k) 2 R3 combinao linear dos vectores
v = (3; 0;2) e w = (2;1;5):
12. Considere, no espao linear P2, os vectores p1(t) = 2+ t+2t2, p2(t) = 2t+ t2, p3(t) = 25t+5t2e p4(t) = 2 3t t2. O vector
q(t) = 2 + t+ t2
pertence expanso linear L (fp1(t); p2(t); p3(t); p4(t)g)? Podem os vectores p1(t), p2(t), p3(t) e p4(t) gerarP2? Tem-se 24 2 0 2 2 j 21 2 5 3 j 1
2 1 5 1 j 1
35 ! 12L1+L2!L2
L1+L3!L3
24 2 0 2 2 j 20 2 6 2 j 00 1 3 1 j 1
35 !12L2+L3!L3
!24 2 0 2 2 j 20 2 6 2 j 00 0 0 0 j 1
35 . (**)Atendendo a (**), q(t) = 2 + t+ t2 =2 L (fp1(t); p2(t); p3(t); p4(t)g). Logo,
fp1(t); p2(t); p3(t); p4(t)g no pode gerar P2:
61
13. (i) Seja U = f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g. Seja (x; y; z) 2 R3. Tem-se(x; y; z) = x(1; 0; 0) + y(0; 1; 0) + z(0; 0; 1).
Logo, U gera R3.
(ii) Seja U = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g. Seja (x; y; z) 2 R3. Tem-se(x; y; z) = x(1; 1; 1) + (y x) (0; 1; 1) + (z y) (0; 0; 1).
Logo, U gera R3.
(iii) Seja U = f(1; 1; 1) ; (1; 1;1); (1;1;1); (1;1; 1)g. Seja (x; y; z) 2 R3. Determinemos osvalores dos escalares 1; 2; 3; 4 para os quais se tem24 xy
z
35 = 124 111
35+ 224 111
35+ 324 111
35+ 424 111
35 .Ora a ltima igualdade equivalente a24 xy
z
35 =24 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1
3526641234
3775 .24 1 1 1 1 j x1 1 1 1 j y1 1 1 1 j z
35 !L1+L2!L2L1+L3!L3
24 1 1 1 1 j x0 2 2 0 j y x0 0 2 2 j z x
35 .Logo 8>>>>>>>>>>>>>>>:
1 =12x+ 1
2y + s
2 =12y 1
2z + s
3 =12x 1
2z + s
4 = s, s 2 Re assim24 xy
z
35 = 12x+
1
2y + s
24 111
35+ 12y 1
2z + s
24 111
35+ 12x 1
2z + s
24 111
35+ s24 111
35 ,com s 2 R. Logo, U gera R3.
14.
3 11 1
= 1A+ 2B + 3C =
1 1 + 23
1 + 2 2 3,
8>>>:1 = 31 + 23 = 11 + 2 = 12 3 = 1
,8
Logo 3 11 1
= 3
1 11 0
2
0 01 1
0 20 1
.
Seja U = L
1 11 0
;
0 01 1
;
0 20 1
.
Existe D 2M22 (R) tal que D =2 U uma vez que
U M22 (R) e dimU| {z }3
< dimM22 (R)| {z }=4
.
Sejaa bc d
2 U . Tem-se
a bc d
2 U se e s se existirem escalares ; ; 2 R tais quea bc d
= A+ B + C.
a bc d
= A+ B + C ,
a bc d
=
1 1 + 23
1 + 2 2 3,
8>>>:1 = a1 + 23 = b1 + 2 = c2 3 = d2664
1 0 0 j a1 0 2 j b1 1 0 j c0 1 1 j d
3775 !L1+L2!L2L1+L3!L3
26641 0 0 j a0 0 2 j b a0 1 0 j c a0 1 1 j d
3775 !L3+L4!L412L2+L4!L4
!L3+L4!L412L2+L4!L4
26641 0 0 j a0 0 2 j b a0 1 0 j c a0 0 0 j d+ 1
2(b+ a) c
3775 !L2$L326641 0 0 j a0 1 0 j c a0 0 2 j b a0 0 0 j d+ 1
2(b+ a) c.
3775Logo, para que o sistema linear anterior seja possvel necessrio que se tenha
d+1
2(b+ a) c = 0.
Deste modo podemos escrever
U =
a bc d
2M22 (R) : d+ 1
2(b+ a) c = 0
e assim, sendo V =
a bc d
2M22 (R) : d+ 12 (b+ a) c 6= 0
, tem-se
M22 (R) = U V .
Ou seja, qualquer vector de V que no seja o vector nulo, esse vector no pertence a U . Por exemplo1 11 1
=2 U = L
1 11 0
;
0 01 1
;
0 20 1
.
63
15. Sejamu = (2; 1; 0); v = (1;1; 2) e w = (0; 3;4):
O vector (a; b; c) de R3 pertencer a L (fu; v; wg) se existirem ; ; 2 R tais que
(a; b; c) = (2; 1; 0) + (1;1; 2) + (0; 3;4),
isto , se o seguinte sistema (nas variveis , e ) fr possvel e determinado:8
Alm disso, uma vez que(1;1;1) = (1; 1; 5) 2(0; 1; 3),
tem-seL(A) = L(A0) = L(B0) = L(B).
Finalmente, como se tem sempre
C(AT ) = L(A) e L(B) = C(BT ),
conclui-se que C(AT ) = C(BT ).
17. (i) Seja U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x = 0 e y = zg. Tem-se
U = f(0;z; z; w) : z; w 2 Rg .
Atendendo a que(0;z; z; w) = z(0;1; 1; 0) + w(0; 0; 0; 1),
tem-seU = L (f(0;1; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g) .
(ii) Seja U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ y + z + w = 0g. Tem-se
U = f(y z w; y; z; w) : y; z; w 2 Rg .
Atendendo a que
(y z w; y; z; w) = y(1; 1; 0; 0) + z(1; 0; 1; 0) + w(1; 0; 0; 1),
tem-seU = L (f(1; 1; 0; 0); (1; 0; 1; 0); (1; 0; 0; 1)g) .
(iii) Seja U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y z = 0 e x+ y + 2w = 0 e y z + w = 0g. Observe-seque
U = N (A), com A =24 1 2 1 01 1 0 20 1 1 1
35 .Tem-se
A =
24 1 2 1 01 1 0 20 1 1 1
35 !L1+L2!L2
24 1 2 1 00 1 1 20 1 1 1
35 !L2+L3!L3
24 1 2 1 00 1 1 20 0 0 3
35 = A0.Logo, U = N (A) = N (A0). Assim,
U =(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y z = 0 e y + z + 2w = 0 e 3w = 0 =
= f(z; z; z; 0) : z 2 Rg = fz(1; 1; 1; 0) : z 2 Rg = L (f(1; 1; 1; 0)g) .
65
18. (i) Seja U = L (f1 t2; 1 + tg) um subespao de P2. Seja p (t) 2 U , com p (t) = a0 + a1t + a2t2.Ento, existiro ; 2 R tais que
p (t) = a0 + a1t+ a2t2 =
1 t2+ (1 + t) .
Tem-se ento a matriz aumentada24 1 1 j a00 1 j a11 0 j a2
35 !L1+L3!L3
24 1 1 j a00 1 j a10 1 j a0 + a2
35 !L2+L3!L3
24 1 1 j a00 1 j a10 0 j a0 + a2 a1
35 .Logo, para que o sistema linear anterior seja possvel preciso que a0 + a2 a1 = 0. Assim,
U =p (t) = a0 + a1t+ a2t
2 2 P2 : a0 + a2 a1 = 0.
(ii) Seja U = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (2; 1;2)g). Seja (x; y; z) 2 U . Ento, existiro ; ; 2 R taisque
(x; y; z) = (1; 0; 1) + (0; 1; 0) + (2; 1;2).Tem-se ento a matriz aumentada24 1 0 2 j x0 1 1 j y
1 0 2 j z
35 !L1+L3!L3
24 1 0 2 j x0 1 1 j y0 0 0 j z x
35 .Assim,
U =(x; y; z) 2 R3 : z x = 0 .
Observao extra: U = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (2; 1;2)g) = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0)g), uma vez que
(2; 1;2) = (2)(1; 0; 1) + (0; 1; 0).
(iii) Seja V = L (f(0; 1; 0); (2; 1;2)g). Seja (x; y; z) 2 V . Ento, existiro ; 2 R tais que
(x; y; z) = (0; 1; 0) + (2; 1;2).
Tem-se ento a matriz aumentada24 0 2 j x1 1 j y0 2 j z
35 !L1 !L2
24 1 1 j y0 2 j x0 2 j z
35 !L2+L3!L3
24 1 1 j y0 2 j x0 0 j z x
35 .Assim,
V =(x; y; z) 2 R3 : z x = 0 .
Observao extra: V = L (f(0; 1; 0); (2; 1;2)g) = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0)g), uma vez que
(2; 1;2) = (2)(1; 0; 1) + (0; 1; 0) e (1; 0; 1) =12
(2; 1;2) + 1
2(0; 1; 0).
66
(iv) Seja W = L (f(1; 1; 2); (2; 1; 1)g). Seja (x; y; z) 2 V . Ento, existiro ; 2 R tais que(x; y; z) = (1; 1; 2) + (2; 1; 1).
Tem-se ento a matriz aumentada24 1 2 j x1 1 j y2 1 j z
35 !L1+L2!L22L1+L3!L3
24 1 2 j x0 1 j y x0 3 j z 2x
35 !3L2+L3!L3
24 1 2 j x0 1 j y x0 0 j z 3y + x
35 .Assim,
W =(x; y; z) 2 R3 : x 3y + z = 0 .
Observao extra: W = L (f(3; 1; 0); (1; 0; 1)g) = L (f(1; 1; 2); (2; 1; 1)g), uma vez que(3; 1; 0) = 2(2; 1; 1) + (1)(1; 1; 2), (1; 0; 1) = (1; 1; 2) + (1)(2; 1; 1)
e(1; 1; 2) = (3; 1; 0) + 2(1; 0; 1), (2; 1; 1) = (3; 1; 0) + (1; 0; 1).
(v) Seja U = L (f(1; 0;1; 1)g). Seja (x; y; z; w) 2 U . Ento, existir 2 R tal que(x; y; z; w) = (1; 0;1; 1).
Tem-se ento a matriz aumentada26641 j x0 j y1 j z1 j w
3775 !L1+L3!L3L1+L4!L4
26641 j x0 j y0 j x+ z0 j w x
3775 .Assim,
U =(x; y; z; w) 2 R4 : y = 0 e x+ z = 0 e w x = 0 .
(vi) Seja U = L (f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2); (3;6; 11;1); (0; 0; 1;2)g). Como
(3;6; 11;1) = (1;2; 5;3) + (2;4; 6; 2) e (0; 0; 1;2) = 12(1;2; 5;3) 1
4(2;4; 6; 2)
entoU = L (f(1;2; 5;3); (2;4; 6; 2)g) .
Seja (x; y; z; w) 2 U . Ento, existiro ; 2 R tais que(x; y; z; w) = (1;2; 5;3) + (2;4; 6; 2).
Tem-se ento a matriz aumentada26641 2 j x2 4 j y5 6 j z3 2 j w
3775 !2L1+L2!L25L1+L3!L33L1+L4!L4
26641 2 j x0 0 j 2x+ y0 4 j 5x+ z0 8 j 3x+ w
3775 !2L3+L4!L4 .67
!2L3+L4!L4
26641 2 j x0 0 j 2x+ y0 4 j 5x+ z0 0 j 7x+ 2z + w
3775 !L2$L326641 2 j x0 4 j 5x+ z0 0 j 2x+ y0 0 j 7x+ 2z + w
3775 :Assim,
U =(x; y; z; w) 2 R4 : 2x+ y = 0 e 7x+ 2z + w = 0 .
19. Podemos colocar os vectores do conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g como colunas de uma matriz A ede seguida aplicar a essa matriz o mtodo de eliminao de Gauss. Se 1 6= 0, tem-se
A =
24 1 21 23 9
35 ! 11L1+L2!L2
31L1+L3!L3
266666664
1 2
0 112 + 2
0 312 + 9
377777775= A0.
As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g linearmenteindependente se 1 6= 0 e
2 6=
112 ou 21 6= 3
. Se 1 = 0, tem-se
24 0 21 23 9
35 !L1$L3
24 3 91 20 2
35 !1
3L1+L2!L2
24 3 90 31 + 20 2
35 .Logo, o conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g linearmente independente se 1 = 0 e (2 6= 31 ou 2 6= 0).Assim, o conjunto f(1; 1; 3); (2; 2; 9)g linearmente independente se e s se
1 6= 0 e2 6=
112 ou
216= 3
ou (1 = 0 e (2 6= 31 ou 2 6= 0)) .
20. (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(4; 2; 1); (2; 6;5); (1;2; 3)g como colunas de umamatriz A e de seguida aplicar a essa matriz o mtodo de eliminao de Gauss:
A =
24 4 2 12 6 21 5 3
35 !L1$L3
24 1 5 32 6 24 2 1
35 !2L1+L2!L24L1+L3!L3
!24 1 5 30 16 80 22 11
35 !18L2!L2
111L3!L3
24 1 5 30 2 10 2 1
35 !L2+L3!L3
24 1 5 30 2 10 0 0
35 = A0.As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto f(4; 2; 1); (2; 6;5); (1;2; 3)g
68
linearmente dependente, mas o conjunto f(4; 2; 1); (2; 6;5)g linearmente independente. Procuremosento ; 2 R tais que
(1;2; 3) = (4; 2; 1) + (2; 6;5).Atendendo ao que j se fez e considerando a 3a coluna como o termo independente do sistema, tem-se8>>>>>>>:
4+ 2 = 1
2+ 6 = 2
5 = 3
,8
(v) Como a dimenso de R3 3, ento qualquer conjunto de vectores de R3 com mais do que trsvectores linearmente dependente. O conjunto
f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g formado por quatro vectores de R3, logo linearmente dependente para quaisquer x; y; z 2 R.Resoluo alternativa para vericar a dependncia linear: Podemos colocar os vectores do
conjunto f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essamatriz o mtodo de eliminao de Gauss.
A =
24 1 0 1 x1 2 2 y0 3 3 z
35 !L1+L2!L2
24 1 0 1 x0 2 1 y x0 3 3 z
35 ! 32L2+L3!L3
! 32L2+L3!L3
24 1 0 1 x0 2 1 y x0 0 3
2z 3
2(y x)
35 = A0.As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto
f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g linearmente dependente para quaisquer x; y; z 2 R, mas o conjunto f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3)g linear-mente independente.
Observao extra: encontrmos trs vectores de R3 linearmente independentes. Como a dimenso deR3 3, ento o conjunto f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3)g desde logo uma base de R3, sem ser preciso vericarse gera R3.Procuremos ento ; ; 2 R tais que
(x; y; z) = (1; 1; 0) + (0; 2; 3) + (1; 2; 3).
Atendendo ao que j se fez e considerando a 4a coluna como o termo independente do sistema, tem-se8>>>>>>>:+ = x
+ 2 + = y
3 + 3 = z
,
8>>>>>>>:+ = x
2 + = y x32
= z 3
2(y x)
,
8>>>>>>>: = x 2
3z + y
= (y x) 13z
= 23z y + x.
Pelo que
(x; y; z) =
x 2
3z + y
(1; 1; 0) +
(y x) 1
3z
(0; 2; 3) +
2
3z y + x
(1; 2; 3).
21. Podemos colocar os vectores do conjunto f(a2; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)g como colunas de uma Amatriz e de seguida aplicar a essa matriz o mtodo de eliminao de Gauss.
A =
24 a2 0 10 a 01 2 1
35 !L1$L3
24 1 2 10 a 0a2 0 1
35 !a2L1+L3!L3
70
!a2L1+L3!L3
24 1 2 10 a 00 2a2 1 a2
35 !2aL2+L3!L3
24 1 2 10 a 00 0 1 a2
35 = A0.As colunas da matriz A correspondentes s colunas da matriz em escada A0 que contm os pivots, formamum conjunto de vectores linearmente independente. Logo, o conjunto
Sa =(a2; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)
linearmente independente se e s se a =2 f1; 0; 1g. Logo
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