Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni
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Exercícios Resolvidos Assunto: Integral Dupla Comentários Iniciais: É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles são excelente fonte de aprendizado. Qualquer Dúvida me escreva. e-mail: [email protected]
Reflexão
" Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos. Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos,
sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude
e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos do teu coração, conforme o que teus olhos vêem. Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui,
Deus te pedirá conta."
Salomão 935 a. C
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1. Integral Dupla
( )∫∫R
dxdyyxf ,
( )∫ = cteydxyxf ,
Exercícios Resolvidos 1.
( )5
1610322
101
|51
2121
|21
5
2
0
5
2
0
4
2
0 0
2
2
0 0
2
2
==
⋅
∫
∫
∫ ∫= =
x
dxx
dxy
ydydx
x
y
x
y
2.
( )
( )
( )
( )
5252
|x22x2
dx2x2
dx22x
|y2x
dydx2x
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
2
0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫ ∫
Outra forma:
( )
∫
∫ ∫
+
+
2
0
1
0
2
2
0
1
0
dx|x22x
dxdy2x
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3
5|y25
dy25
2
0
2
0
=
∫
Encontrou-se o mesmo resultado. 3.
( )
[ ]4
1lneln4
|Lny4y
dy4
dy4y
1
dy0arctg1arctgy1
dy|yxarctg
y1
dxdyyx
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
y
0
e
1
y
022
ππ
πππ
=−
==
−
+
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
2. Interpretação da Integral Dupla ( )∫∫
R
dxdyyxf ,
Seja ( )yxfz ,= contínua na região R
( )( )
( )
( )
( )R
R
R
n
1i
m
1jjiji
mn
n
1i
m
1jjiji
jijii
Adxdy
1y,xffazendobAV
1hsehbAV
dxdyy,xfV
yxy,xfLimV
yxy,xfV
yxy,xfV
=
=⋅=
=⋅⋅=
=
=
≅
=
∫∫
∫∫
∑∑
∑∑
= =∞→∞→
= =
∆∆
∆∆
∆∆
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4
1. Cálcule a área retangular R
8816
|4
4
26
|
6242
4
2
4
2
4
2
4
2
6
2
4
2
6
2
=−=
=
=
−=
=
=
⎩⎨⎧
≤≤≤≤
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫∫
=
=
=
= =
R
R
xR
xR
xR
x yR
RR
A
xA
dxA
dxA
dxyA
dydxA
yx
R
dxdyA
3. Cálculo de áreas por Integral Dupla
∫∫=R
dxdyA
x
y
z
R 4
2
2 6
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1. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyexy 43 == no 1º Quadrante.
( )∫
∫
∫ ∫
=−=−=
=
=
⎩⎨⎧
≤≤
≤≤=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=−
⎩⎨⎧
==
= =
2
0
2
0
423
2
0
x4
x
2
0x
x4
xy
3
3
3
4|4x
2x4dxxx4A
dx|yA
dydxA
x4yx
2x0R
22
00x4x
x4yxy
3
3
2. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyex2y == no 1º Quadrante.
0 2
y=x
0 2
xy 2=
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6
( )
( )
( )
32
346
342A
|6y
2y
A
dy2y
yA
dxdyA
formaOutra32
3682
38A
22232A
|2
x2232A
dxxx2A
dydxA
yx2y
2y0Rou
x2yx
2x0R
2x0x
02xx0x2x
x2x
xyx2y
xyex2y
2
0
32
2
0
2
2
0y
y
2y
x
3
2
0
2
23
2
0
21
2
0x
x2
xy
2
2
2
2
2
2
21
=−
=−=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=
=−
=−=
−=
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
≤≤
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤
≤≤
⎩⎨⎧
==
=−=−
=⎩⎨⎧
==
==
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
==
= =
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4. Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas
xAm
yAm
y
x
⋅=
⋅=
4.1. Coordenadas do Centro de Gravidade
∫∫
∫∫
∫∫
=
=
=
=
=
Ry
Rx
R
x
y
xdydxm
ydydxm
dydxAA
my
Am
x
1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante por x4yexy 3 == .
x
y ( )yxCG ;
0 2
8
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( )
( )
( )
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⋅
==
=⋅
==
=−=−⋅
=
−=
−=
=
=
=−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
=
=
==
⎩⎨⎧
≤≤
≤≤=
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
=
=
= =
=
=
= =
= =
2164;
1516.G.C
2164
421256
AM
y
1516
41564
AM
x
1564
532
332
532
384M
|5x
3x4M
dxxx4M
dx|xyM
xdydxM
21256
764
364M
7128
3816
21M
|7x
3x16
21M
dxxx1621M
dx|y21M
ydydxM
4dydxA
x4yx
2x0R
x
y
y
2
0
53
y
2
0x
42y
2
0x
x4
xy
2
0x
x4
xyy
x
x
2
0
73
x
2
0x
62x
2
0x
x4
xx
2
0x
x4
xyx
2
0x
x4
xy
3
3
3
3
3
3
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2. 02;2 ==+= yeyxxy 1º Quadrante
( )
( )
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
−
−
−
−
−
−
=
=
=
−−=
−−=
=
=
=
−−=
−−=
=
=
⎩⎨⎧
=−=
=−+
⎩⎨⎧
=+=
⎩⎨⎧
−≤≤
≤≤
1
0
y2
y
2
y
1
0
y2
yy
x
1
0
432
x
1
0
32x
1
0
y2
yx
1
0
y2
yx
1
0
32
1
0
2
1
0
y2
y
1
0
y2
y
2
2
2
dy|2xM
xdxdyM
125M
|4y
3yyM
dyyyy2M
dy|yxM
ydxdyM
67A
|3y
2yy2A
dyyy2A
dy|xA
dxdyA
1P2S
02yy
2yxxy
y2xy
1y0R
2
2
2
2
2
2
0 2
2
1
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10
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
==
==
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
−+−= ∫
145;
3532..
1453532
1516
51
3124
21
|53
2421
4421
1
0
532
1
0
42
GC
AM
y
AM
x
M
M
yyyyM
dyyyyM
x
y
y
y
y
y
5. Momento de Inércia (Ix; Iy; I0)
( )∫∫
∫∫
∫∫
+=+=
=
=
Ryx
Ry
Rx
dxdyyxIouIII
dxdyxI
dxdyyI
2200
2
2
1. Determinar os momentos de inércia 0; IeII yx da região limitada pelas curvas
04;42 === yexxy no 1º Quadrante.
xi
yj
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11
28,1077
512155127
51212874
|74
2
|
1551232
1516
|52
38
831
|31
20
40
0
4
0
27
4
0
25
4
0
2
0
2
4
0
2
0
2
4
0
25
4
0
23
4
0
2
0
3
4
0
2
0
2
21
21
21
21
=+=+=
=⋅=
=
=
=
=
=⋅=
=
=
=
=
⎩⎨⎧
≤≤
≤≤
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
yx
y
y
y
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
III
I
xI
dxxI
dxyxI
dydxxI
I
xI
dxxI
dxyI
dydxyI
xy
xR
0 4
xy 2=
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12
2. 0;3;42 ==+= yyxxy
( )
97,8746
512
746
512
122"6'
40124
343
34
34
20
0
2
0
3
4
2
2
0
3
4
2
2
2
2
2
2
2
=+=+=
=
=
=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⎩⎨⎧
=−=
−==−+
−=
−=⎩⎨⎧
=+=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−≤≤
≤≤
∫ ∫
∫ ∫
−
−
yx
y
y
yy
x
y
yx
III
I
dxdyxI
I
dxdyyI
Pyy
Syy
yyyx
yxxy
yxyy
R
3
yx
yx
−=
=
34
2
0
3
2
1º Q.
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6. Volume por Integral Dupla
( )yxfz ,=
( )( )
( )( )( )( )⎪
⎩
⎪⎨
⎧
===
=
=
=
=
∫∫
∫∫
y,xfxy,xfyy,xfz
0z,y,xF
zdxdyV
Vdxdyy,xf
yxy,xfV
R
R
jii ∆∆
3=++ zyx
yzplanoDzyxxzplanoDzxyxyplanoDyxz
→−−=→−−=→−−=
333
( )yxfz ,=
3
3
3
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1. Determinar o volume do Sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano 3=++ zyx no 1º octante.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
000
.zyx
CoordPlanos ⎩⎨⎧
−≤≤≤≤
x3y03x0
R
( )
.v.u29V
627
227
227V
|6x
2x3x
29V
dx2xx3
29V
dx|2yxyy3V
dydxyx3V
3
0
32
3
0
2
3
0
x3
0
2
3
0x
x3
0y
=
+−=
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
−−=
−−=
∫
∫
∫ ∫−
=
−
=
3
3
3
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2. Determinar o volume do sólido limitado por 0;0;6;0;4 2 ====−= yzyxxz .
..321648
|224
624
|4
4
6
0
3
2
0
2
2
0
6
0
2
2
0
6
0
2
vuVV
xxV
dxxV
dxyxyV
dydxxV
=−=
−=
−=
−=
−=
∫
∫
∫ ∫
3. Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros
222222 azxeayx =+=+ .
22 xaz −=
6
2
R
6
2
24 xz −=
6
2
4
R
4
222 ayx =+
0 a
a
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16
..3
23
33
|3
|
0
0
333
33
0
32
0
22
0
2222
0 0
22
0 0
22
22
22
22
vuaaaV
aaV
xxaV
dxxaV
dxxaxaV
dxxaV
dydxxaV
xay
axR
a
a
x
a
x
a
x
xa
a
x
xa
y
=−
=
−=
−=
−=
−⋅−=
−=
−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−≤≤
≤≤=
∫
∫
∫
∫ ∫
=
=
=
−
=
−
=
4. Determinar o volume do sólido limitado superiormente por 42 ++= yxz e inferiormente por 2+−−= yxz e lateralmente pela superfície definida pelo contorno
da região D limitada pelas curvas 22
42
2 −=−=xyexy .
242
22
4
20
22
4
2
1
22
2
2
+−−=++=
⎪⎩
⎪⎨⎧
−≤≤−
≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
yxzyxz
xyx
xR
xy
xyD
4º Quad.
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( )
( )
( )
( )
..15338
16123406
596
|833
58
35
3
8652
34
3
|23
223
223
2
0
2345
2
0
234
2
0
22
4
2
2
0
22
4
2
0
22
4
2
0
22
421
2
2
2
2
2
2
2
2
vuV
V
xxxxxV
dxxxxxV
dxyyxyV
dydxyxV
dydxyxV
dydxzzV
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−++−=
−++−−=
−++−−=
++=
++=
++=
−=
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
−
−
−
−
−
−
−
−