Exercicios Integral Dupla Resolvido

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni

1

Exercícios Resolvidos Assunto: Integral Dupla Comentários Iniciais: É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles são excelente fonte de aprendizado. Qualquer Dúvida me escreva. e-mail: [email protected]

Reflexão

" Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos. Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos,

sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude

e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos do teu coração, conforme o que teus olhos vêem. Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui,

Deus te pedirá conta."

Salomão 935 a. C


2

1. Integral Dupla

( )∫∫R

dxdyyxf ,

( )∫ = cteydxyxf ,

Exercícios Resolvidos 1.

( )5

1610322

101

|51

2121

|21

5

2

0

5

2

0

4

2

0 0

2

2

0 0

2

2

==

⋅

∫

∫

∫ ∫= =

x

dxx

dxy

ydydx

x

y

x

y

2.

( )

( )

( )

( )

5252

|x22x2

dx2x2

dx22x

|y2x

dydx2x

1

0

2

1

0

1

0

1

0

2

0

1

0

2

0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

+

+

+

∫

∫

∫

∫ ∫

Outra forma:

( )

∫

∫ ∫

+

+

2

0

1

0

2

2

0

1

0

dx|x22x

dxdy2x


3

5|y25

dy25

2

0

2

0

=

∫

Encontrou-se o mesmo resultado. 3.

( )

[ ]4

1lneln4

|Lny4y

dy4

dy4y

1

dy0arctg1arctgy1

dy|yxarctg

y1

dxdyyx

1

e

1

e

1

e

1

e

1

e

1

y

0

e

1

y

022

ππ

πππ

=−

==

−

+

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

2. Interpretação da Integral Dupla ( )∫∫

R

dxdyyxf ,

Seja ( )yxfz ,= contínua na região R

( )( )

( )

( )

( )R

R

R

n

1i

m

1jjiji

mn

n

1i

m

1jjiji

jijii

Adxdy

1y,xffazendobAV

1hsehbAV

dxdyy,xfV

yxy,xfLimV

yxy,xfV

yxy,xfV

=

=⋅=

=⋅⋅=

=

=

≅

=

∫∫

∫∫

∑∑

∑∑

= =∞→∞→

= =

∆∆

∆∆

∆∆


4

1. Cálcule a área retangular R

8816

|4

4

26

|

6242

4

2

4

2

4

2

4

2

6

2

4

2

6

2

=−=

=

=

−=

=

=

⎩⎨⎧

≤≤≤≤

=

∫

∫

∫

∫ ∫

∫∫

=

=

=

= =

R

R

xR

xR

xR

x yR

RR

A

xA

dxA

dxA

dxyA

dydxA

yx

R

dxdyA

3. Cálculo de áreas por Integral Dupla

∫∫=R

dxdyA

x

y

z

R 4

2

2 6


5

1. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyexy 43 == no 1º Quadrante.

( )∫

∫

∫ ∫

=−=−=

=

=

⎩⎨⎧

≤≤

≤≤=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=−

⎩⎨⎧

==

= =

2

0

2

0

423

2

0

x4

x

2

0x

x4

xy

3

3

3

4|4x

2x4dxxx4A

dx|yA

dydxA

x4yx

2x0R

22

00x4x

x4yxy

3

3

2. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyex2y == no 1º Quadrante.

0 2

y=x

0 2

xy 2=


6

( )

( )

( )

32

346

342A

|6y

2y

A

dy2y

yA

dxdyA

formaOutra32

3682

38A

22232A

|2

x2232A

dxxx2A

dydxA

yx2y

2y0Rou

x2yx

2x0R

2x0x

02xx0x2x

x2x

xyx2y

xyex2y

2

0

32

2

0

2

2

0y

y

2y

x

3

2

0

2

23

2

0

21

2

0x

x2

xy

2

2

2

2

2

2

21

=−

=−=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=

=−

=−=

−=

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤

≤≤

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤

≤≤

⎩⎨⎧

==

=−=−

=⎩⎨⎧

==

==

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

==

= =


7

4. Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas

xAm

yAm

y

x

⋅=

⋅=

4.1. Coordenadas do Centro de Gravidade

∫∫

∫∫

∫∫

=

=

=

=

=

Ry

Rx

R

x

y

xdydxm

ydydxm

dydxAA

my

Am

x

1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º Quadrante por x4yexy 3 == .

x

y ( )yxCG ;

0 2

8


8

( )

( )

( )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⋅

==

=⋅

==

=−=−⋅

=

−=

−=

=

=

=−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

=

=

==

⎩⎨⎧

≤≤

≤≤=

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

=

=

= =

=

=

= =

= =

2164;

1516.G.C

2164

421256

AM

y

1516

41564

AM

x

1564

532

332

532

384M

|5x

3x4M

dxxx4M

dx|xyM

xdydxM

21256

764

364M

7128

3816

21M

|7x

3x16

21M

dxxx1621M

dx|y21M

ydydxM

4dydxA

x4yx

2x0R

x

y

y

2

0

53

y

2

0x

42y

2

0x

x4

xy

2

0x

x4

xyy

x

x

2

0

73

x

2

0x

62x

2

0x

x4

xx

2

0x

x4

xyx

2

0x

x4

xy

3

3

3

3

3

3


9

2. 02;2 ==+= yeyxxy 1º Quadrante

( )

( )

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

−

−

−

−

−

−

=

=

=

−−=

−−=

=

=

=

−−=

−−=

=

=

⎩⎨⎧

=−=

=−+

⎩⎨⎧

=+=

⎩⎨⎧

−≤≤

≤≤

1

0

y2

y

2

y

1

0

y2

yy

x

1

0

432

x

1

0

32x

1

0

y2

yx

1

0

y2

yx

1

0

32

1

0

2

1

0

y2

y

1

0

y2

y

2

2

2

dy|2xM

xdxdyM

125M

|4y

3yyM

dyyyy2M

dy|yxM

ydxdyM

67A

|3y

2yy2A

dyyy2A

dy|xA

dxdyA

1P2S

02yy

2yxxy

y2xy

1y0R

2

2

2

2

2

2

0 2

2

1


10

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

==

==

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

−+−= ∫

145;

3532..

1453532

1516

51

3124

21

|53

2421

4421

1

0

532

1

0

42

GC

AM

y

AM

x

M

M

yyyyM

dyyyyM

x

y

y

y

y

y

5. Momento de Inércia (Ix; Iy; I0)

( )∫∫

∫∫

∫∫

+=+=

=

=

Ryx

Ry

Rx

dxdyyxIouIII

dxdyxI

dxdyyI

2200

2

2

1. Determinar os momentos de inércia 0; IeII yx da região limitada pelas curvas

04;42 === yexxy no 1º Quadrante.

xi

yj


11

28,1077

512155127

51212874

|74

2

|

1551232

1516

|52

38

831

|31

20

40

0

4

0

27

4

0

25

4

0

2

0

2

4

0

2

0

2

4

0

25

4

0

23

4

0

2

0

3

4

0

2

0

2

21

21

21

21

=+=+=

=⋅=

=

=

=

=

=⋅=

=

=

=

=

⎩⎨⎧

≤≤

≤≤

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

yx

y

y

y

x

y

x

y

x

x

x

x

x

x

x

III

I

xI

dxxI

dxyxI

dydxxI

I

xI

dxxI

dxyI

dydxyI

xy

xR

0 4

xy 2=


12

2. 0;3;42 ==+= yyxxy

( )

97,8746

512

746

512

122"6'

40124

343

34

34

20

0

2

0

3

4

2

2

0

3

4

2

2

2

2

2

2

2

=+=+=

=

=

=

=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⎩⎨⎧

=−=

−==−+

−=

−=⎩⎨⎧

=+=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤≤

≤≤

∫ ∫

∫ ∫

−

−

yx

y

y

yy

x

y

yx

III

I

dxdyxI

I

dxdyyI

Pyy

Syy

yyyx

yxxy

yxyy

R

3

yx

yx

−=

=

34

2

0

3

2

1º Q.


13

6. Volume por Integral Dupla

( )yxfz ,=

( )( )

( )( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

===

=

=

=

=

∫∫

∫∫

y,xfxy,xfyy,xfz

0z,y,xF

zdxdyV

Vdxdyy,xf

yxy,xfV

R

R

jii ∆∆

3=++ zyx

yzplanoDzyxxzplanoDzxyxyplanoDyxz

→−−=→−−=→−−=

333

( )yxfz ,=

3

3

3


14

1. Determinar o volume do Sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano 3=++ zyx no 1º octante.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

000

.zyx

CoordPlanos ⎩⎨⎧

−≤≤≤≤

x3y03x0

R

( )

.v.u29V

627

227

227V

|6x

2x3x

29V

dx2xx3

29V

dx|2yxyy3V

dydxyx3V

3

0

32

3

0

2

3

0

x3

0

2

3

0x

x3

0y

=

+−=

+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

−−=

−−=

∫

∫

∫ ∫−

=

−

=

3

3

3


15

2. Determinar o volume do sólido limitado por 0;0;6;0;4 2 ====−= yzyxxz .

..321648

|224

624

|4

4

6

0

3

2

0

2

2

0

6

0

2

2

0

6

0

2

vuVV

xxV

dxxV

dxyxyV

dydxxV

=−=

−=

−=

−=

−=

∫

∫

∫ ∫

3. Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros

222222 azxeayx =+=+ .

22 xaz −=

6

2

R

6

2

24 xz −=

6

2

4

R

4

222 ayx =+

0 a

a


16

..3

23

33

|3

|

0

0

333

33

0

32

0

22

0

2222

0 0

22

0 0

22

22

22

22

vuaaaV

aaV

xxaV

dxxaV

dxxaxaV

dxxaV

dydxxaV

xay

axR

a

a

x

a

x

a

x

xa

a

x

xa

y

=−

=

−=

−=

−=

−⋅−=

−=

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤≤

≤≤=

∫

∫

∫

∫ ∫

=

=

=

−

=

−

=

4. Determinar o volume do sólido limitado superiormente por 42 ++= yxz e inferiormente por 2+−−= yxz e lateralmente pela superfície definida pelo contorno

da região D limitada pelas curvas 22

42

2 −=−=xyexy .

242

22

4

20

22

4

2

1

22

2

2

+−−=++=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≤≤−

≤≤

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=

yxzyxz

xyx

xR

xy

xyD

4º Quad.


17

( )

( )

( )

( )

..15338

16123406

596

|833

58

35

3

8652

34

3

|23

223

223

2

0

2345

2

0

234

2

0

22

4

2

2

0

22

4

2

0

22

4

2

0

22

421

2

2

2

2

2

2

2

2

vuV

V

xxxxxV

dxxxxxV

dxyyxyV

dydxyxV

dydxyxV

dydxzzV

x

x

x

x

x

x

x

x

=

−++−=

−++−−=

−++−−=

++=

++=

++=

−=

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

−

−

−

−

−

−

−

Exercicios Integral Dupla Resolvido

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