7/30/2019 Exercicios Prep Profmat
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
Programa de Aperfeicoamento para Professores de Matematica do Ensino Medio
PROPORCIONALIDADE
1. Por um trabalho adicional a seu emprego, Alvaro deve descontar 27, 5% de Imposto
de Renda sobre o que receber. Quanto deve ele cobrar por esse trabalho para que
seu ganho lquido seja dois mil reais?
2. Dois comerciantes formaram uma sociedade. Um deles, que trabalha 3 dias por
semana, contribuiu com 45 mil reais. O outro, que trabalha 2 dias por semana,
entrou com 55 mil reais. (Eles nao trabalham sabado nem domingo.) Apos algumas
semanas, venderam o negocio por 198 mil reais. Quanto desse total coube para cada
um deles?
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Teorema de Pitgoras Exerccios
1) Na figura abaixoABCD um quadrado. Se AP 3 e PQ 1 calcule o lado do quadrado.
DA
P
QB C
2) 31 fios de 1mm de dimetro foram dispostos no interior do cabo circular como mostra a
figura. Calcule o dimetro desse cabo.
3) Em um tringulo retngulo de hipotenusa a e catetos b e c mostre que b c a 2 .
4) Um helicptero sai de um ponto P no solo e faz os seguintes movimentos sucessivos:
500m verticalmente para cima, 900m horizontalmente na direo norte, 200m verticalmente
para cima, 700m horizontalmente na direo oeste e 100m verticalmente para baixo
pousando no ponto Q de uma montanha prxima. Determine um valor aproximado para a
distncia PQ.
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Problemas do Primero Grau
1. (PROFMAT) Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus trs filhos, com estebilhete: Dividam igualmente o dinheiro. Beijos. O primeiro filho chegou, pegou atera parte do dinheiro e saiu.O segundo chegou e no viu ningum. Pensando que era
o primeiro, pegou a tera parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4notas de 5 reais. Achou que era o ltimo, pegou tudo e saiu. Quanto em dinheiro a medeixou?(A) 25 reais(B) 35 reais(C) 45 reais(D) 48 reais(E) 55 reais
2. (PROFMAT) Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada
um de n lpis, tendo gastado em mdia R$7,50 por item comprado. Em seguida,Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lpis tivessecustado 1 real a mais, ele teria pago, em mdia, R$7,75 por cada item comprado.Determine a quantidade de canetas que Joaquim comprou.
3. (OBMEP) Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$8,00 faltaro R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobraro R$ 3,50.Qual o preo da pizza?A) R$ 45,50B) R$ 48,50C) R$ 50,50D) R$ 52,50E) R$ 54,50
4. (OBMEP) Para ir com Maria ao cinema, Joo pode escolher dois caminhos. Noprimeiro, ele passa pela casa de Maria e os dois vo juntos at o cinema; nesse caso, eleanda sozinho 2/3 do caminho. No segundo, ele vai sozinho e encontra Maria na frentedo cinema; nesse caso ele anda 1 km a menos que no primeiro caminho, mas o dobro doque Maria ter que caminhar. Qual a distncia entre a casa de Maria e o cinema?
A) 1 kmB) 2 kmC) 3 kmD) 4 kmE) 6 km
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Combinatoria
Prof.Luciano Monteiro de Castro
1. Para fazer uma viagem de ida e volta de Lisboa a Paris, Manoel pode usar onibus, trem ou aviao,
tanto na ida como na volta. De quantos modos Manoel pode escolher os transportes, se ele nao
quer voltar utilizando o mesmo meio de transporte da ida?
2. Isabella dispoe de 8 torres em um tabuleiro de xadrez (8 8). De quantas maneiras ela pode
arrumar essas pecas no tabuleiro de modo que nao haja duas torres na mesma linha e nem na
mesma coluna?
3. Um grupo de 15 amigos se reune para jogar basquetebol. De quantas maneiras eles podem formar
3 times de 5 jogadores cada?
4. Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos (totalizando 12 amigos
e 12 amigas diferentes). De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um
deve convidar 6 pessoas?
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
Programa de Aperfeicoamento para Professores de Matematica do Ensino Medio
PROBLEMAS DO SEGUNDO GRAU
1. Seja uma raiz da equacao x2 + px + q = 0. Mostre que se tem x2 + px + q =
(x )(x ), onde o numero tambem e raiz. Conclua, a partir da, que uma
equacao do segundo grau nao pode ter tres razes distintas.
2. Para quais valores da abcissa x a parabola y = 3x24x+3 situa-se acima da parabola
y = 2x2 + x 9?
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Estatstica
1. (ENEM 2010) O grfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros
das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 at a de 2006.
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados
pelos artilheiros das Copas do Mundo?
A) 6 gols
B) 6,5 gols
C) 7 gols
D) 7,3 gols
E) 8,5 gols
2. (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no
ltimo campeonato. A coluna da esquerda mostra o nmero de gols marcados e a coluna
da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele nmero de gols.
Se X, Y e Z so, respectivamente, a mdia, a mediana e
a moda desta distribuio, entoA) X = Y < Z.
B) Z < X = Y.
C) Y < Z < X.
D) Z < X < Y.
E) Z < Y < X.
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3. (ENEM 2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para
classificao no concurso, o candidato deveria obter mdia aritmtica na pontuao
igual ou superior a 14. Em caso de empate na mdia, o desempate seria em favor da
pontuao mais regular. No quadro a seguir so apresentados ospontos obtidos nas provas de Matemtica, Portugus e Conhecimentos Gerais, a mdia,
a mediana e o desvio padro dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuao mais regular, portanto mais bem classificado no concurso,
A) Marco, pois a mdia e a mediana so iguais.
B) Marco, pois obteve menor desvio padro.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuao da tabela, 19 em Portugus.
D) Paulo, pois obteve maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio padro.
4. (OBMEP) O Professor Mrcio aplicou uma prova de Matemtica valendo 10
pontos. Para ter uma idia do desempenho da turma, ele organizou a tabela abaixo.
Qual a nica alternativa que mostra um possvel valor para a mdia aritmtica das
notas da turma?
A) 3,9
B) 4,1
C) 4,5
D) 4,9
E) 7,9
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Aritmetica
Prof.Luciano Monteiro de Castro
1. (OBMEP) Paula iniciou um programa de ginastica no qual os dias de treino sao separados
por dois dias de descanso. Se o primeiro treino foi em uma segunda-feira, em qual dia da
semana caira o centesimo treino?
2. (OBM) Esmeralda rasgou uma folha de papel em n pedacos e, em seguida, pegou uma
dessas partes e rasgou-a tambem em n pedacos. Nao satisfeita, pegou uma destas ultimas
partes e tambem a rasgou em n partes. Qual dos numeros a seguir poderia ser a quantidade
total de pedacos obtida por Esmeralda?
(A) 15 (B) 18 (C) 24 (D) 26 (E) 28
3. (ProfMat 2011) O maximo divisor comum entre dois numeros naturais e 16 e o mnimo
multiplo comum desses mesmos numeros e 576. Podemos garantir que:
(A) Os dois numeros sao maiores que 50 (B) O produto dos dois numeros e maior que
8000 (C) Os dois numeros sao multiplos de 32 (D) Os dois numeros sao divisores de 96
(E) Um dos numeros e multiplo do outro
4. (OBM) O numero n = 9999...99 tem 2011 algarismos e todos iguais a 9. Quantos
algarismos 9 tem o numero n2
?
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reas Exerccios
1) PROFMAT-2011
Na figura ao lado as retas re s so paralelas
a uma distncia 2 uma da outra.AB umsegmento unitrio contido em s,X um
ponto de rcom AX 5 e P o p da
perpendicular baixada deB sobreAX. O
comprimento deBP :
P
X
BA
r
sA) 2/3
B) 1/5
C) 2/5
D) 3/2
E) 3/4
2) PROFMAT-2011Se espremermos um crculo de raio 10cm entre duas retas paralelas que distam entre
si 10cm, obteremos uma figura de rea menor mas de mesmo permetro que o crculo
original (v. desenho ao lado). Se as partes curvas
da figura so semicircunferncias a razo da rea
da figura espremida pela rea o crculo inicial :
A) 3/4
B) 4/3
C) 2/3
D) 3/2
E) /4
3) PROFMAT-2011
20m40m
C B
A
Um terreno triangular foi dividido em trs terrenos menores
conforme a figura ao lado.
Ento:
A) A rea do terreno B a metade da rea do terreno A.
B) A rea do terreno C maior do que a rea do terreno A.
C) A rea do terreno B 1/3 da rea do terreno A.
D) A rea do terreno A igual rea do terreno C.
E) A rea do terreno B maior que a rea do terreno A.
4) Na figura ao lado ,OA a OB b e OX x.
X
B
AO
Se AOX XOB 60o , calculex em funo d
a e b.
e
5) Em um trapzioABCD de basesAB e CD as
diagonaisACeBD cortam-se em P.
a) Mostre que os tringulosAPD eBPCtm mesma rea.
b) Se a rea deABP e se a earea de CPD , calcule a rea do trapzio.a2
b2
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