F 315 Mecânica Geral I
Prof. Antonio Vidiella Barranco
Departamento de Eletrônica Quântica (Prédio A-6)
Sala 218
Fone 3521-5442
c.e.: [email protected]
www: https://www.ifi.unicamp.br/~vidiella
Atendimento: Horário a ser definido
F315 – Mecânica Geral I – 2º semestre de 2019
Tópicos a serem abordados: três blocos
Cálculo vetorial (revisão); Mecânica Newtoniana; dinâmica do
ponto material; forças dependentes do tempo e da velocidade;
Cap. 1 do Marion (parcial); teoremas de conservação e forças
conservativas; Oscilador harmônico: simples, amortecido e
forçado; Principio de Superposição e forças impulsivas - Marion e
Symon.
Sistemas de partículas; rotação de um corpo rígido em torno de um
eixo fixo; Gravitação Universal – Symon e Marion.
Introdução ao cálculo variacional – Cap. 6 do Marion.
Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana – Cap. 7 do Marion
Bibliografia, Provas e Testes:
Provas
P1 – 17/09/19
P2 – 22/10/19
P3 – 28/11/19
Exame Final:
10/12/19
Livros texto:
• Classical Dynamics of Particles and Systems;
J.B. Marion, S.T Thornton, Saunders College Publishing, 5ª Ed.
• Mecânica;
Keith R. Symon, Ed. Campus, 5ª Ed.
Testes
T1 – 27/08/19
T2 – 10/10/19
T3 – 14/11/19
Listas de problemas:
Thornton/Marion
Cap 1: 9,10,13,24,28,31,32,33,41
Cap 2: 3,9,12,15,19,21,22,24,32,34,38,40,42,43,47,52,53
Cap 3: 1-4,9-14,18,19,28,31,35,36,39,42,45
Cap 5: 2-7,10,13-16,20,21
Cap 6: 2-4,8,10, 14,15
Cap 7: 2-7,9-12,14,15,21-32,34,38-41
Cap 9: 1,3,5,9,21,23, 55
Cap 11: 1,4,6,11,20
Symon
Cap 4: 3-7,11 (tem um expoente errado no livro)
Cap 5: 5,7,10,15, 22, 24
Mecânica
Importância da Física como ciência natural
Aborda praticamente todos os fenômenos da
natureza em diversas escalas.
Importância da Mecânica para a Física
Primeira Teoria Física.
Base para outras teorias:
Mecânica Quântica → teoria do mundo
sub-microscópico
Mecânica Newtoniana
I. Sistema axiomático
I. Estabelecimento de um sistema de referência
(e.g., sistema de coordenadas cartesiano)
II. Grandezas mensuráveis: posição, tempo massa
e força
II. Axiomas – Leis do movimento de Newton
Proposições a serem verificadas pela
experimentação
III. Limitação: válida para velocidades << c (velocidade da luz no vácuo c = 3 x 108 m/s)
Representação algébrica de vetores: componentes
Coordenadas Cartesianas
zyxzyx AAAzAyAxAA ,,ˆˆˆ
z
A
y
x
Ax
Ay
Az
módulo de A
222
zyx AAAA
Álgebra vetorial
Algumas propriedades dos vetores:
zzyyxx
zzyyxx
zyx
BABABABABAiii
BABABABAii
cAcAcAAci
,,)()
,,)
,,)
Produtos:
BA
Produto escalar
zzyyxx BABABABABA cos
B
A
θ
Propriedades:
CABACBA
i)
ii)
iii)
ABBA
2
AAA
Álgebra vetorial
BA
Produto vetorial
zyx
zyx
BBB
AAA
zyx
BA
ˆˆˆ
Propriedades:
CABACBA
i)
ii)
iii)
ABBA
0 AA
senBABA
B
A
θ
BA
BABA
,
Álgebra vetorial
Análise vetorial
Diferenciação de vetores:
zdt
dAy
dt
dAx
dt
dA
t
tAttA
dt
Ad zyx
tˆˆˆ
)()(lim
0
i)
ii)
iii)
Propriedades:
dt
Bd
dt
AdBA
dt
d
dt
AdfA
dt
dfAf
dt
d
Adt
BdB
dt
AdBA
dt
d
dt
BdAB
dt
AdBA
dt
d
)( ttA
)(tA A
Sistema de coordenadas cartesiano
),,(ˆˆˆ zyxzzyyxxr
Vetor posição
Mecânica Newtoniana
r
zyx ˆ,ˆ,ˆ
Vetores unitários (versores)
Também representados por
321ˆ,ˆ,ˆou,, eeekji
Sistema de coordenadas cartesiano (1D)
Velocidade (taxa de variação da posição)
)()(
txdt
tdxvx
Aceleração (taxa de variação da velocidade)
)()()(
2
2
txtvdt
xd
dt
dx
dt
d
dt
tdva x
xx
Mecânica Newtoniana
x(t) posição como
função do tempo x
x(t)
xtxtr ˆ)()(
Coordenadas cartesianas: x,y
yxyyxxr ,ˆˆ
y
r
x x
y
Vetor posição
Velocidade
ydt
dyx
dt
dx
dt
rdv ˆˆ
Aceleração
ydt
ydx
dt
xd
dt
rd
dt
vda ˆˆ
2
2
2
2
2
2
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
yrxrr ˆsenˆcos
y
r
θ
x x
y
Vetor posição
Coordenadas polares: versores
yxr
rr ˆsenˆcosˆ
x
y
yxr
ry
rx
arctg
sen
cos
22
r
yx ˆcosˆsenˆ
0ˆˆ,1ˆˆˆˆ rrrObs: rrr ˆ
Vetor posição:
ˆˆ
d
rdr
d
dˆ
ˆ
Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
dt
rdrr
dt
dr
dt
rdv
ˆˆ
y
r
θ
x x
y
Vetor velocidade
x
y
yxr
ry
rx
arctg
sen
cos
22
r
ˆˆ
rrrv Notação:
fdt
fdf
dt
df 2
2
;
Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
dt
drrr
dt
rdrr
dt
rd
dt
vda
ˆˆˆˆ
ˆ
y
r
θ
x x
y
Vetor aceleração x
y
yxr
ry
rx
arctg
sen
cos
22
r
ˆ2ˆ2
rrrrra
Mecânica Newtoniana
Cinemática no plano (2D)
Coordenadas polares: 𝑟, 𝜃
Leis do
movimento
Mecânica Newtoniana
Publicado em 1687
Mecânica Newtoniana
Leis do movimento:
I. Um corpo material permanece em repouso ou
em movimento retilíneo uniforme a menos que
uma força resultante atue sobre o mesmo; v cte.
II. A aceleração de um corpo é proporcional (massa
inercial m) e tem a mesma direção da força
resultante.
III. Se um corpo A exercer uma força FBA sobre
outro corpo B, o corpo B exercerá uma força FAB
sobre A. Essas forças terão mesmo módulo e
direção, mas sentidos opostos (ação e reação).
2ª Lei requer conceitos de massa e força
Massa inercial m: conceito associado à resistência, de um corpo
material, à mudança do seu “estado de movimento” (velocidade)
causada por alguma interação (força). Quanto maior a massa, menor
a taxa de variação da velocidade do corpo (aceleração, quantidade
vetorial) para uma dada força. A massa é uma quantidade escalar.
Força F: Interação que modifica, o “estado de movimento” (velocidade)
de corpos materiais. Quanto maior a força, maior a taxa de variação da
velocidade do corpo (aceleração). A força é uma quantidade vetorial.
Mecânica Newtoniana
am
F
ação
resistência
Mudança de
velocidade
2ª Lei de Newton
dt
vmd
dt
pdFR
)(
amdt
vdm
dt
vmdFR
)(Força resultante
i
iR FF
Mecânica Newtoniana
Grandeza importante: momento linear vmp
2ª Lei de Newton
m
Fa
Se , por quê, sob a força da gravidade, corpos
com massas diferentes caem com a mesma aceleração?
Mecânica Newtoniana
O motivo é que e portanto, como
mgR
mMGF
T
gT
G 2
gmm
2
T
T
R
MGg
Não depende
da massa do
corpo!
massa gravitacional
Em geral, a força pode ser função de x, v e t
Movimento unidimensional
2
2
),,(dt
xdmtvxFx
A resolução do problema de
mecânica consiste em encontrar
a solução 𝑥(𝑡) (única) da equação
diferencial acima dadas as condições
iniciais 𝑥(𝑡 = 0) ≡ 𝑥0 𝑒 𝑣(𝑡 = 0) ≡ 𝑣0.
𝑥(𝑡)
t
𝑥(0)
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