Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 1 de 34
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos
Formulação do problema básico
Equações básicas (para NBk ,,2,1 L= )
( )∑∈
+=Km
kmkmkmkmmkk BGVVP θθ sencos (1)
( )∑∈
−=Km
kmkmkmkmmkk BGVVQ θθ cossen (2)
NB×2 equações
NB×4 variáveis
• NB equações tipo (1) • NB equações tipo (2) • NB×4 variáveis ( kV , kθ , kP e kQ ).
Tipos de barra no fluxo de carga convencional. Tipo de barra Notação Dados Incógnitas
Barra de carga PQ kP e kQ kV e kθ Tensão controlada PV kP e kV kθ e kQ Referência Vθ kV e kθ kP e kQ
Resolvido o fluxo de carga → estado da rede ( )kkV θ, para NBk ,,2,1 L= é conhecido.
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Subsistemas 1 e 2 NPQ – número de barras PQ NPV – número de barras PV
• Subsistema 1 (dimensão NPVNPQ +×2 )
Dados: iP e iQ , PQ barras∈i : esp
ii PP = espii QQ =
jP e jV , PV barras∈j : espjj PP =
espjj VV =
kV e kθ , Vθ barra∈k : espkk VV =
espkk θθ =
Incógnitas: iV e iθ , PQ barras∈i jθ , PV barras∈j Equações algébricas não-lineares (funções quadráticas e trigonométricas ). Parte das incógnitas aparece de forma implícita ( )mkkm θθθ −= .
( )( ) ( )
∈=−−
∈=+−
∑
∑
∈
∈
PQ barras0cossen
PV e PQ barras0sencos
S1 esp
esp
kBGVVQ
kBGVVP
Kmkmkmkmkmmkk
Kmkmkmkmkmmkk
θθ
θθ
• Subsistema 2 (dimensão 2+NPV ) – Resolvido após o Subsistema 1. Dados: kV e kθ , NBk ,,2,1 L=
Incógnitas: iP e iQ , Vθ barra∈i jQ , PV barras∈j
Todas as incógnitas ( )kk QP e aparecem isoladas de forma explícita.
( )( ) ( )
∈−=
∈+=
∑
∑
∈
∈
Vθ e PV barrascossen
Vθ barrasencos
S2kBGVVQ
kBGVVP
Kmkmkmkmkmmkk
Kmkmkmkmkmmkk
θθ
θθ
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Características dos subsistemas que constituem o fl uxo de carga.
Variáveis Subsistema Dimensão
Especificadas Calculadas
S1 NPVNPQ +×2 iP e iQ , PQ barras∈i
jP e jV , PV barras∈j
kV e kθ , Vθ barra∈k
iV e iθ , PQ barras∈i
jθ , PV barras∈j
S2 2+NPV kV e kθ , NBk ,,2,1 L= iP e iQ , Vθ barra∈i
jQ , PV barras∈j Exemplo 1 – Considerando o sistema elétrico cujos dados encontram-se na figura a seguir, formular as equações referentes ao Subsistema 1 do fluxo de carga.
pu 011 =V
1 2
( ) pu 4,08,02 jS +=
222 θVV =
( ) pu 1,001,0 jZ LT +=
1S
12I
Sistema elétrico de duas barras.
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Exemplo 2 – Empregando a notação na forma vetorial, determinar as variáveis e equações do Subsistema 1 do problema definido no Exemplo 1.
-0.14-0.12
-0.1-0.08
-0.06
0.9
0.95
1-1
-0.5
0
0.5
1
theta2V2
dP2(theta2,V2)
dQ2(theta2,V2)
dP2=dQ2
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Formulação matricial
• Incógnitas Subsistema 1 agrupadas no vetor x : NPQ
NPVNPQ
Vx
+
=
θ
θ – vetor dos ângulos das tensões nodais das barras PQ e PV V – vetor das magnitudes das tensões nodais das barras PQ.
• Subsistema 1 : ( ) ( ) ( )
∈=−=∆∈=−=∆
PQ barras0,
PV e PQ barras0,S1
esp
esp
kVQQQ
kVPPP
kkk
kkk
θθ
( ) ( )( )
=−=∆=−=∆
0,
0,S1 esp
esp
θθ
VQQQ
VPPP
P – vetor das injeções de potência ativa nas barras PQ e PV Q – vetor das injeções de potência reativa nas barras PQ.
( ) ( ) NPQ
NPVNPQ
Q
Pxg
+
∆∆
=S1
( ) ( ) 0S1 =xg
• Sistema de equações não-lineares → resolvido por um número muito grande de métodos (Gauss, Newton, Desacoplado Rápido).
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Exemplo 3 – Para a rede de quatro barras cujos dados estão a seguir, determinar as equações do fluxo de carga.
12Y
shjb12 shjb12
23Y
shjb23 shjb23
13Y
shjb13 shjb13
34:1 a
34Y
14:1 ϕje
14Y
1 2 3 4
1S
3S
4S
2S 1V 2V 3V 4V
shjb3
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Dados das barras do sistema de 4 barras. Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu]
espQ [pu] 1 Vθ 1,05 0,0 — — 2 PQ — — – 0,4 – 0,2 3 PV 0,95 — 0,2 — 4 PQ — — – 0,8 – 0,4
Dados dos ramos do sistema de 4 barras. k m kmY [pu]
shkmb [pu] kma [pu] kmϕ [rad]
1 2 0,3 – j2,0 0,01 — — 1 3 0,3 – j2,0 0,01 1 4 – j2,0 — — 0,15 2 3 0,2 – j1,0 0,02 — — 3 4 – j1,0 — 0,95 —
+−−−+++++−−
−+++−−−−++++
=
−
3414343414
3434323133423423132313
232312231212
1413121312141312
0
0
14
14
YYYaYe
YajbjbjbYaYYYY
YjbjbYYY
YeYYjbjbYYY
Y
j
shshsh
shsh
jshsh
ϕ
ϕ
−−−
−−−−
=
0002989,0
05,02,03,0
02,05,03,0
2989,03,03,06,0
G e
−−
−−
=
395,009775,1
95,0805,312
0197,22
9775,12298,5 j
B
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Equações do fluxo de carga:
( ) ( ) ( )[( )]141414144
13131313esp
312121212211111111esp
111
sencos
sencossencossencos
θθθθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVP esp
++++++++=
( ) ( ) ( )[ ]23232323esp
322222222221212121esp
12esp
2 sencossencossencos θθθθθθ BGVBGVBGVVP +++++=
( ) ( ) ( )[
( )]343434344
33333333esp
332323232231313131esp
1esp
3esp
3
sencos
sencossencossencos
θθθθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVP
++++++++=
( ) ( ) ( )[ ]44444444443434343esp
341414141esp
14esp
4 sencossencossencos θθθθθθ BGVBGVBGVVP +++++=
( ) ( ) ( )[( )]141414144
13131313esp
312121212211111111esp
111
cossen
cossencossencossen
θθθθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVQ esp
−++−+−+−=
( ) ( ) ( )[ ]23232323esp
322222222221212121esp
12esp2 cossencossencossen θθθθθθ BGVBGVBGVVQ −+−+−=
( ) ( ) ( )[( )]343434344
33333333esp
332323232231313131esp
1esp
33
cossen
cossencossencossen
θθθθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVQ
−++−+−+−=
( ) ( ) ( )[ ]44444444443434343241414141esp
14esp4 cossencossencossen θθθθθθ BGVBGVBGVVQ −+−+−=
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Subsistema 1
=
4
2
4
3
2
V
V
x θθθ
( )
( )( )( )
( )( )
==∆
=−=∆=−=∆
==∆
=−=∆=−=∆=−=∆
4,2PQ barras00
0
4,3,2PV e PQ barras0
0
0
0
S1
4esp44
2esp22
4esp
44
3esp
33
2esp
22
QxQQQ
xQQQ
P
xPPP
xPPP
xPPP
Subsistema 2
( )
( ) ( )( )
=
==
==
3,1Vθ e PV barras
1Vθ barras
S2
33
11
11
xQQ
xQQ
xPP
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Resolução de sistemas algébricos não lineares pelo método de Newton-Raphson
Sistema unidimensional (determinar x tal que a função ( )xg seja nula): ( ) 0=xg
Expansão em série de Taylor (em torno de 0x ) e aproximação linear
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) K+−∂
∂+−∂
∂+=20
2
020
00
!2
1
!1
1xx
x
xgxx
x
xgxgxg ( ) ( ) ( ) ( )0
00 xx
x
xgxgxg −
∂∂+≈
x0 x1
g(x)
( )0xg
( ) ( )001 xxgxg ∆+=
x
Equação da reta tangente por x0:
( ) ( ) ( )( )00
0 xxx
xgxgxg −
∂∂+=
Ponto no qual a reta tangente por x0 é nula: x1
010 xxx −=∆
( ) ( ) ( ) ( ) 0010
01 =−∂
∂+= xxx
xgxgxg
( ) ( )0
1001 xg
x
xgxx
−
∂∂−=
( ) ( ) ( )00
0000 =∆
∂∂+=∆+ x
x
xgxgxxg
( ) ( )0
100 xg
x
xgx
−
∂∂−=∆
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Algoritmo do método de Newton-Raphson unidimensiona l ( ) 0=xg
i. Fazer 0=ν e escolher uma aproximação inicial 0xx =ν .
ii. Calcular o valor da função ( )xg , no ponto νxx = : ( )νxg
iii. Comparar o valor calculado ( )νxg com a tolerância especificada ε: se ( ) εν ≤xg , então νxx =
será a solução procurada (dentro da faixa de tolerância ±ε); se ( ) εν >xg , prosseguir.
iv. Linearizar a função ( )xg em torno do ponto ( )( )νν xgx , . Isto se resume na determinação da seguinte derivada:
( )x
xg
∂∂ ν
v. Calcular a correção νx∆ que resolve o problema linearizado:
( ) ( )νν
ν xgx
xgx
1−
∂∂−=∆
vi. Determinar a nova estimativa de x passa a ser: ννν xxx ∆+=+1
vii. Fazer 1+= νν e voltar para o Passo (ii).
Variante (Von Mises): considerar derivada constante → no Passo (iv) ( ) ( )
x
xg
x
xg
∂∂=
∂∂ 0ν
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Exemplo 4 – Utilizando o método de Newton-Raphson, determinar a solução para a equação xx sen2 −= , considerando uma tolerância 001,0=ε .
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
x
g(x)
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
x
g(x)
Processo de convergência para 00 =x e 20 =x .
Exemplo 5 – Utilizando o método de Newton-Raphson com derivada constante (Von Mises), determinar a solução para a equação xx sen2 −= , considerando uma tolerância 001,0=ε . Exercício 1 –Utilizando os métodos de Newton-Raphson e de Von Mises, determinar, com uma
tolerância 001,0=ε , o valor de x tal que 53sen 2 +−= xxe x .
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Algoritmo do método de Newton-Raphson n-dimensional ( ) 0=xg
i. Fazer 0=ν e escolher uma aproximação inicial 0xx =ν.
ii. Calcular ( )xg , no ponto νxx = : ( )νxg
iii. Testar convergência: se ( ) [ ]nixg i ,1 para ∈≤ εν, então o processo convergiu para a solução
νxx = ; caso contrário, prosseguir.
iv. Linearizar a função vetorial ( )xg em torno do ponto ( )( )νν xgx , . Isto se resume na determinação da seguinte matriz de derivadas, denominada matriz Jacobiana:
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂
∂=
n
nnn
n
n
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xgxJ
ννν
ννν
ννν
νν
L
MOMM
L
L
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
v. Calcular a correção νx∆ que resolve o problema linearizado: ( )[ ] ( )ννν xgxJx1−
−=∆
vi. Determinar a nova estimativa de x passa a ser: ννν xxx ∆+=+1
vii. Fazer 1+= νν e voltar para o Passo (ii).
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Exemplo 6 – Utilizando o método de Newton-Raphson, determinar a solução considerando uma
tolerância 001,0== yx εε , para o seguinte sistema de equações: 62
422 =+
=+
yx
yx
Resultados parciais do processo iterativo – método de Newton-Raphson n-dimensional.
ν ν
ν
2
1
x
x ( )
( )ν
ν
xg
xg
2
1 ( )[ ] 1−− νxJ ν
ν
2
1
x
x
∆∆
0 0 3
–1 3 2,02,0
1,06,0
−−
0,9 –0,8
1 0,9 2,2
0 0,64 294,0294,0
147,0647,0
−−
0,094 –0,188
2 0,994 2,012
0 0,0354 331,0331,0
165,0665,0
−−
0,00586 –0,0117
3 0,999977 2,000046
0 0,000137
— —
Exemplo 7 – Utilizando o método de Von Mises, determinar a solução do sistema de equações do exemplo anterior. Exercício 2 –Utilizando os métodos de Newton-Raphson e de Von Mises, determinar, com uma
tolerância 001,0=ε , a solução do seguinte sistema de equações: 52
432
2
−=−
=+
yxy
xyx
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Fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson
Aplicado ao Subsistema 1 (S1)
( ) ( )( )
( ) ( )
∈=−=∆∈=−=∆
⇒
=−=∆=−=∆
=PQ barras0,
PV e PQ barras0,
0,
0,S1
esp
esp
esp
esp
kVQQQ
kVPPP
VQQQ
VPPP
kkk
kkk
θθ
θθ
( )PQ
PV PQ
←+←
∆∆
= υ
υυ
Q
Pxg
PQ
PV PQ
←+←
= υ
υυ θ
Vx PQ
PV PQ
←+←
∆∆=∆ υ
υυ θ
Vx
Matriz Jacobiana
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )PQ
PV PQ
PQPVPQ
←
+←
↑+↑
∂∆∂
∂∆∂
∂∆∂
∂∆∂
=∂
∂=
υ
υυ
θ
θ
V
V
PP
x
xgxJ
→
( )( ) ( )
( ) ( )PQ
PV PQ
PQPVPQ
,,
,,
←
+←
↑+↑
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
υ
υθ
θθ
θθ
θ
V
VQVQV
VPVP
xJ
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Submatrizes do Jacobiano
∆∆
=
∆∆
υ
υυ
υ
υ θVLM
NH
Q
P
( )θ
θ∂
∂= ,VPH
( )V
VPN
∂∂= θ,
( )θ
θ∂
∂=
,VQM
( )V
VQL
∂∂
=θ,
( )∑∈
+=Km
kmkmkmkmmkk BGVVP θθ sencos ou ( )∑Ω∈
++=km
kmkmkmkmmkkkkk BGVVGVP θθ sencos2
( )
( )
( )
Ω∉=
Ω∈−=∂∂
=
+−=∂∂=
∂∂=
∑Ω∈
kkl
kklklklkllkl
kkl
mkmkmkmkmmk
k
kkk
lH
lBGVVP
H
BGVVP
H
VPH
k
0
cossen
cossen
, θθθ
θθθ
θθ
( )
( )
( )
Ω∉=
Ω∈+=∂∂
=
++=∂∂=
∂∂=
∑Ω∈
kkl
kklklklklkl
kkl
mkmkmkmkmmkkk
k
kkk
lN
lBGVV
PN
BGVGVV
PN
V
VPN
k
0
sencos
sencos2
, θθ
θθ
θ
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Submatrizes do Jacobiano (continuação)
( )∑
∈
−=Km
kmkmkmkmmkk BGVVQ θθ cossen ou ( )∑Ω∈
−+−=km
kmkmkmkmmkkkkk BGVVBVQ θθ cossen2
( )( )
( )
Ω∉=
Ω∈+−=∂∂
=
+=∂∂
=
∂∂
=
∑Ω∈
kkl
kklklklkllkl
kkl
mkmkmkmkmmk
k
kkk
lM
lBGVVQ
M
BGVVQ
M
VQM
k
0
sencos
sencos
,θθ
θ
θθθ
θθ
( )( )
( )
Ω∉=
Ω∈−=∂∂
=
−+−=∂∂
=
∂∂
=
∑Ω∈
kkl
kklklklklkl
kkl
mkmkmkmkmmkkk
k
kkk
lL
lBGVV
QL
BGVBVV
QL
V
VQL
k
0
cossen
cossen2
,θθ
θθ
θ
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Fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson – Algo ritmo
i. Fazer 0=υ e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e PV ( )0θθθ υ == e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV == υ
.
ii. Calcular: ( )θ,VPk para as barras PQ e PV ( )θ,VQk para as barras PQ
e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) υP∆ e
υQ∆ .
iii. Testar a convergência: se Pk
kP ευ ≤∆
+∈ PVPQmax e
Qkk
Q ευ ≤∆∈ PVmax , o processo convergiu para a
solução ( )υυ θ,V ; caso contrário, continuar.
iv. Calcular a matriz Jacobiana: ( ) ( ) ( )( ) ( )
−= υυυυ
υυυυυυ
θθθθθ
,,
,,,
VLVM
VNVHVJ
v. Determinar a nova solução ( )11, ++ υυ θV , onde: υυυ
υυυ θθθVVV ∆+=
∆+=+
+
1
1
sendo υV∆ e
υθ∆ obtidos com a solução do seguinte sistema linear:
( ) ( )( ) ( )
∆∆
=
∆∆
υ
υυ
υυυυ
υυυυ
υ
υ θθθθθ
VVLVM
VNVH
Q
P
,,
,,
vi. Fazer 1+=υυ e voltar para o Passo (ii).
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Solução do Subsistema 2 (S2) : trivial , após a determinação do fasor tensão de todas as barras.
( )( ) ( )
∈−=
=+==
∑
∑
∈
∈
referência e PV barrascossen
referência de barrasencos
2SkBGVVQ
kBGVVP
Kmkmkmkmkmmkk
Kmkmkmkmkmmkk
θθ
θθ
Exemplo 8 – Utilizando o método Newton, determinar a solução do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado no Exemplo 1 , considerando uma tolerância 001,0== QP εε . Incógnitas e equações do Subsistema 1:
=
2
2
Vx
θ
( ) ( )( )
=+−−−−=∆=++−−−=∆
09010,9cos9010,9sen9901,04,0
09901,0sen9010,9cos9901,08,0S1
22222
22222
VVQ
VVP
θθθθ
O Subsistema 2:
( ) ( )[ ]( )[ ]
−−=++=
11112121212211
11112121212211
cossen
sencosS2
BVBGVVQ
GVBGVVP
θθθθ
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Exemplo 9 – Utilizando o método de Newton , determinar a solução do fluxo de carga da rede cujos dados se encontram a seguir. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε .
12z
shjb12shjb12
23z
shjb23shjb23
shjb1
1 2 3
1S
3S
2S1V 2V 3V
Dados das barras do sistema de 3 barras.
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu]
shkb [pu]
1 PQ — — – 0,15 0,05 0,05 2 Vθ 1,00 0,0 — — — 3 PV 1,00 — 0,20 — —
Dados dos ramos do sistema de 3 barras. k m kmz [pu]
shkmb [pu]
1 2 0,03 + j0,3 0,02 2 3 0,05 + j0,8 0,01
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 21 de 34
shjb1
05,015,01 jS +−= 0064,02,03 jS −=1152,00469,02 jS −−=
o71,20307,11 −=V
o012 =Vo20,913 =V
1031,015,012 jS +−=
1336,01511,021 jS −=
0184,0198,023 jS +−= 0064,02,021 jS −=
0531,01 jSsh
=
1 2 3
Resultado do fluxo de carga do sistema exemplo de 3 barras (Exemplo 8).
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 22 de 34
Exercício 3 – No sistema de três barras do Exemplo 8, em função da barra de referência (Barra 2) ocupar uma posição central e de não existir ligação direta entre as Barras 1 e 3, o sistema elétrico de três barras pode ser dividido em dois sistemas de duas barras independentes, conforme mostrado a seguir.
12z
shjb12shjb12
shjb1
1 2
1S
AS 2
1V 2V 23z
shjb23shjb23
2 3
3S
BS 22V 3V
BASSS 222 +=
Sistema A Sistema B
Desta forma, as duas redes podem ser resolvidas separadamente, sendo a injeção de potência da
Barra 2 dada pela soma das injeções calculadas para as duas redes, ou seja, BA
SSS 222 += . Resolver o fluxo de carga das duas redes separadamente e comprar com os resultados do Exemplo 8 para comprovar estas afirmações. Exercício 4 – Para o mesmo sistema elétrico utilizado no Exemplo 8, determinar solução do fluxo de carga considerando os dados da Tabela e utilizando uma tolerância 001,0== QP εε .
Dados das barras do sistema de 3 barras.
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu]
shkb [pu]
1 PQ — — – 0,15 0,05 – 0,05 2 PV 1,00 — – 0,0469 — — 3 Vθ 1,00 0,1605 — — —
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 23 de 34
Métodos desacoplados
Em redes de AT e EAT (≥ 230 kV):
• Fluxo Pkm muito menos sensível às mudanças em V que às mudanças nos V∠ (θθθθ).
• Fluxo Qkm muito menos sensível às mudanças V∠ que às mudanças nas V .
Sensibilidades θ∂∂P e V
Q∂
∂ mais intensas que V
P∂
∂ e θ∂∂Q
→ desacoplamento P θθθθ-QV.
Método de Newton desacoplado
Subsistema 1 (S1):
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
∆+=∆+=
∆⋅+∆⋅=∆∆⋅+∆⋅=∆
+
+
PQ barras
PV e PQ barras
PQ barras,,,
PV e PQ barras,,,
Iteração 1
1
1
ννν
ννν
ννννννννν
ννννννννν
θθθθθθθθθθθ
VVV
VVLVMVQ
VVNVHVP
Desprezando N e M:
( ) ( )
( ) ( )
∆+=∆⋅=∆
∆+=∆⋅=∆
+
++
+
PQ barras
PQ barras,,QV Iteração
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,Pθ Iteração
1
11
21
121
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθθθθ
VVV
VVLVQ
VHVP
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 24 de 34
Fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado – Algoritmo i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e
PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == .
ii. Calcular ( )pqk VP θ, para as barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)
pP∆ . iii. Testar a convergência:
a) Se P
pk
kP ε≤∆
+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu:
• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV).
iv. Calcular a submatriz ( )pqVH θ, .
v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1
sendo pθ∆ obtido de ( ) ( ) ppqpqp VHVP θθθ ∆⋅=∆ ,,
vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii).
vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para as barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)
qQ∆ .
viii. Testar a convergência:
a) Se q
qk
kQ ε≤∆
∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu:
• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (ii) (Iteração Pθ).
ix. Calcular a submatriz ( )υυ θ,VL .
x. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1
sendo qV∆ obtido de ( ) ( ) qpqpqq VVLVQ ∆⋅=∆ θθ ,,
xi. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (ii).
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 25 de 34
Exemplo 10 – Utilizando o método Newton desacoplado , determinar a solução do Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de três barras utilizado no Exemplo 8 considerando uma tolerância 001,0== QP εε (vide Exemplo 8).
−−−
−=
0778,00778,00
0778,04078,033,0
033,033,0
G
−−
−=
2351,12451,10
2451,15154,43003,3
03003,32303,3
B
=
1
3
1
V
x θθ
( )
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]
=−+−−=∆=++−=∆=++−=∆
0cossen
0sencos
0sencos
S1
1212121221111esp11
3333232323223esp
33
1212121221111esp
11
θθθθ
θθ
BGVBVVQQ
GVBGVVPP
BGVGVVPP
=
3331
1311
HH
HHH [ ]11LL =
Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado.
p p
p
3
1
θθ ( )
( )qp
qp
xP
xP,
3
,1
∆∆
( )[ ]qpxH ,− ( )[ ] 1, −qpxH p
p
3
1
θθ
∆∆
q qV 1 ( )qpxQ ,
1∆ ( )[ ]qpxL ,− ( )[ ] 1, −qpxL qV1∆
0 0 0
–0,15 0,20 2451,10
03003,3
−−
8031,00
03030,0 –0,0455
0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320
1 –0,0455 0,1606
–0,0065 –0,0001 2415,10
03868,3
−−
8055,00
02953,0 –0,0019
–0,0001 1 1,0320 –0,0043 –3,3861 0,2953 –0,0013
2 –0,0474 0,1605
2,44×10-4
0 — — — 2 1,0307 –5,10×10-6 — — —
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Normalização em relação à V
Utilizada para acelerar a convergência do FC:
=
NBV
V
V
V
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
⇒
=−
NBV
V
V
V
100
01
0
001
2
1
1
L
MOMM
L
L
Equações normalizadas do fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado:
( ) ( )
( ) ( )
∆+=∆⋅⋅=∆⋅
∆+=∆⋅⋅=∆⋅
+
+−+−
+
−−
PQ barras
PQ barras,, Iteração
PV e PQ barras
PV e PQ barras,, Iteração
1
1111
21
1
11
21
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθθθθθ
VVV
VVLVVQVQV
VHVVPVP
Versão normalizada
( ) ( )
( ) ( )
∆+=∆⋅′=∆⋅
∆+=∆⋅′=∆⋅
+
++−
+
−
PQ barras
PQ barras,,QV Iteração
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,Pθ Iteração
1
111
21
1
1
21
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθθθθ
VVV
VVLVQV
VHVPV
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 27 de 34
( )( )
( )
Ω∉=
Ω∈−=∂∂=
−−=+−=∂∂=
∂∂=
∑Ω∈
kkl
kklklklkllkl
kkl
kkkkm
kmkmkmkmmkk
kkk
lH
lBGVVP
H
BVQBGVVP
H
VPH
k
0
cossen
cossen
,
2
θθθ
θθθ
θθ
( )
( )
Ω∉=
Ω∈−=∂∂=
−−=+−=∂∂=
=′
∑Ω∈
−
kkl
kklklklklll
k
kkl
kkkk
k
mkmkmkmkmm
k
k
kkk
lH
lBGVP
VH
BVVQBGV
P
VH
HVH
k
0
cossen1
cossen1
'
'
'
1 θθθ
θθθ
( )( )
( )
Ω∉=
Ω∈−=∂∂=
−=−+−=∂∂=
∂∂
=
∑Ω∈
kkl
kklklklklkl
kkl
mkkk
k
kkmkmkmkmmkkk
k
kkk
lL
lBGVV
QL
BVVQBGVBV
V
QL
V
VQL
k
0
cossen
cossen2
,θθ
θθ
θ
( )
Ω∉=
Ω∈−=∂∂=
−=−+−=∂∂=
=′
∑Ω∈
−
kkl
kklklklkll
k
kkl
kkk
k
mkmkmkmkmm
kkk
k
k
kkk
lL
lBGV
Q
VL
BV
QBGVV
BV
Q
VL
LVL
k
0
cossen1
cossen1
21
'
'
2'
1 θθ
θθ
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 28 de 34
Exemplo 11 – Utilizando o método Newton desacoplado normalizado , determinar a solução do Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado nos Exemplos 8 e 9 considerando uma tolerância 001,0== QP εε (vide Exemplos 8 e 9).
′′′′
=′3331
1311
HH
HHH [ ]11LL ′=′
( ) ( )12121212211111
11111 cossencossen
1
θθθθθ
BGVBGVP
VHm
mmmmm +−=+−=∂∂=′ ∑
Ω∈
−
03
11113 =
∂∂=′ −
θP
VH 01
31331 =
∂∂=′ −
θP
VH
( ) ( )32323232233333
31333 cossencossen
3
θθθθθ
BGVBGVP
VHm
mmmmm +−=+−=∂∂=′ ∑
Ω∈
−
( ) ( )121212121
2111111
111
1
11111 cossen2cossen
12
1
θθθθ BGV
VBBGV
VB
V
QVL
mmmmmm −+−=−+−=
∂∂=′ ∑
Ω∈
−
Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado normalizado.
p p
p
3
1
θθ ( )
( )qp
qp
xP
xP,
3
,1
∆∆
( )[ ]qpxH ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxH p
p
3
1
θθ
∆∆
q qV 1 ( )qpxQ ,
1∆ ( )[ ]qpxL ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxL
qV1∆
0 0 0
–0,15 0,20 2451,10
03003,3
−−
8031,00
03030,0 –0,0455
0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320
1 –0,0455 0,1606
–0,0065 –0,0001 2415,10
02819,3
−−
8055,00
03047,0 –0,0019
–0,0001 1 1,0320 –0,0043 3,2812− 3048,0 –0,0013
2 –0,0474 0,1605
2,44××××10-4
0 — — — 2 1,0307 –5,10××××10-6 — — —
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 29 de 34
Desacoplado rápido
Simplificação do método Newton desacoplado (normalizado) com matrizes constantes . Hipóteses:
a) 1cos ≈kmθ
b) kmkmkm GB θsen>>
c) kkkk QBV >>2
Ω∉=
Ω∈−≈∂∂=
≈∂∂=
′
∑Ω∈
kkl
kklll
k
kkl
mkmm
k
k
kkk
lH
lBVP
VH
BVP
VH
H
k
0
1
1
'
'
'
θ
θ
Ω∉=Ω∈−≈
≈
′≈′
∑Ω∈
kkl
kklkl
mkmkk
lB
lBB
BB
BHk
0'
'
'
Ω∉=
Ω∈−=∂∂=
−≈∂∂=
′
kkl
kkll
k
kkl
kkk
k
kkk
lL
lBV
Q
VL
BV
Q
VL
L
0
1
1
'
'
'
pu 1≈V ⇒
Ω∉=Ω∈−=
−≈′′≈′
kkl
kklkl
kkkk
lB
lBB
BB
BL
0''
''
''
Matrizes denominadas B′ e B ′′ pois são semelhantes a matriz de susceptâncias B .
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 30 de 34
Método desacoplado rápido é dado por: ( )
( )
∆+=∆⋅′′=∆⋅
∆+=∆⋅′=∆⋅
+
+−
+
−
PQ barras
PQ barras,QV Iteração
PV e PQ barras
PV e PQ barras,Pθ Iteração
1
11
21
1
1
21
ννν
νννν
ννν
νννν
θ
θθθθθ
VVV
VBVQV
BVPV
De modo heurístico → melhor desempenho quando se desprezava kmr ( 1−−≈ kmkm xb ) na matriz B′ :
Ω∉=Ω∈−=
=
′ −Ω∈
−∑
kkl
kkmkl
mkmkk
lB
lxB
xB
Bk
0'
1'
1'
Quando existem shunts elevados → hipótese (c) pode não ser válida. Correção:
( )∑∑∑
Ω∈Ω∈
−≈
Ω∈
≈≈≈
−+−≈
−+−≈
−+−=
∂∂=
kk
km
k mkmkk
m
B
kmkmkmkkm
kmkmkmkmmkkkk
kkk BBBGBBGVBV
V
QL 2sen2cossen2
111 444 8444 76876θθθ
shk
mkm
shk
mkm
shk
mkm
mkm
shk
mkmkkkk BBBBBBBBBBB
kkkkk
−
−−=+−=−
−−=−−=′′ ∑∑∑∑∑
Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈
222
shkkkkk BBB −−=′′
shkB = soma das susceptâncias que ligam o nó k à terra.
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 31 de 34
Fluxo de carga pelo método desacoplado rápido – Alg oritmo i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras
PQ e PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == .
ii. Determinar as matrizes B′ e B ′′ .
iii. Calcular ( )pqk VP θ, para barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)
pP∆ . iv. Testar a convergência:
a) Se P
pk
kP ε≤∆
+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu:
• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV).
b) Caso contrário, prosseguir.
v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1
sendo pθ∆ obtido de ( ) ppqp BVP θθ ∆⋅′=∆ ,
vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii).
vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”)
qQ∆ . viii. Testar a convergência:
a) Se q
qk
kQ ε≤∆
∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu:
• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; • Caso contrário, vá para o Passo (iii) (Iteração Pθ).
b) Caso contrário, prosseguir.
ix. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1
sendo qV∆ obtido de ( ) qpqq VBVQ ∆⋅′′=∆ θ,
x. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (iii).
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 32 de 34
Exemplo 12 – Utilizando o método desacoplado rápido , determinar a solução do Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado nos Exemplos 8, 9 e 10 considerando uma tolerância 001,0== QP εε .
′′′′
=′3331
1311
BB
BBB [ ]11BB ′′=′′
3333,33,0
11
12
1111
1
≈===′ ∑Ω∈
−
xxB
mm 013 =′B 031 =′B
25,18,0
11
23
1333
3
====′ ∑Ω∈
−
xxB
mm
( ) ( ) 1603,302,005,02303,311111 =+−−−=−−=′′ shBBB
[ ]
=
=′
−−
8,00
03,0
25,10
03333,31
1B [ ] [ ] [ ]3164,01603,3 11 ==′′ −−B
Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga desacoplado rápido.
p p
p
3
1
θθ ( )
( )qp
qp
xP
xP,
3
,1
∆∆
( )( )
3
,3
1
,1
VxP
VxP
qp
q
qp
∆
∆
p
p
3
1
θθ
∆∆
q qV 1 ( )qpxQ ,
1∆ ( )q
qp
VxQ
1
,1∆ qV1∆
0 0 0
–0,15 0,20
–0,15 0,20
–0,0450 0,1600 0 1 0,1018 0,1018 0,0322
1 –0,0450 0,1600
–0,0081 0,0006
–0,0078 0,0006
–0,0023 0,0005
1 1,0322 –0,0051 –0,0049 –0,0016
2 –0,0473 0,1605
1,8××××10-4
4,3××××10-6 — — 2 1,0307 1,9××××10-4 — —
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 33 de 34
Exercício 5 – Utilizando os métodos de Newton , Newton desacoplado (normalizado) e desacoplado rápido , determinar a solução do fluxo de carga da rede da Figura a seguir cujos dados se encontram nas Tabelas. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε .
12z
shjb12shjb12
23z
shjb23shjb23
shjb1
1 2 3
1S 3S
2S1V 2V 3V
13z
shjb13shjb13
Dados das barras do sistema de 3 barras.
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu]
1 PQ — — – 0,30 0,05 – 0,05 2 Vθ 1,00 0,0 — — — 3 PV 1,00 — 0,20 — —
Dados dos ramos do sistema de 3 barras. k m kmz [pu]
shkmb [pu]
1 2 0,03 + j0,3 0,02 1 3 0,08 + j1,1 0,03 2 3 0,05 + j0,8 0,01
Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 15/4/2008 Página 34 de 34
Controles e limites
• Verificação importante → evita que solução obtida seja não realizável .
• Verificar : Equipamentos e instalações (dentro dos seus limites de operação) Dispositivos de controle (influenciam as condições de operação)
• Exemplos de controles e limites existentes nos programas de fluxo de carga: − Controle da magnitude da tensão nodal por ajuste de tap (transformadores em fase) − Controle do fluxo de potência ativa (transformadores defasadores) − Controle de intercâmbio − Limite de injeção de potência reativa em barras PV − Limite de tensão em barras PQ − Limites de taps de transformadores − Limites de fluxo em circuitos
• Formas de representação: 1. Classificação por tipo (PQ, PV, Vθ, etc.) e agrupamento das equações em Subsistemas 1 e 2. 2. Mecanismos de ajuste executados alternadamente com a solução iterativa do Subsistema 1. 3. Incorporação de equações e variáveis adicionais ao Subsistema 1 ou substituição de
equações e variáveis deste subsistema por novas equações e variáveis.
• Limite facilmente verificado: injeção Qk nas barras PV → PV barras ,maxmin ∈≤≤ kQQQ kkk
• Inclusão dos controles provoca alterações (para pior) no processo de convergência (convergência lenta, oscilação, divergência ou soluções múltiplas).
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