7/24/2019 Formulario_MM1_MM2
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Departamento de Engenharia Mecnicarea Cientfica de Mecnica dos Meios Slidos
MECNICA DOS MATERIAIS I e II
Formulrio e Tabelas
- Setembro 2011 -
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Mecnica dos Materiais I e II Formulrio e Tabelas
1
1- Propriedades dos Materiais
MaterialMdulo deelasticidade
[GPa]
Mdulo dedistoro
[GPa]
Massaespecfica[Kg/m3]
Coeficiente deexpanso trmica
[/C]
Ao 200 77 7850 11.7E-6Alumnio 70 26 2710 23.6E-6
Cobre 120 44 8910 16.9E-6Lato 105 39 8470 20.9E-6
2 - Formulrio
1
xx xx yy zz TE
1
yy yy xx zz TE
1
zz zz xx yy TE
xy
xy
G
yzyz
G
xz
xz G
yzx
z y
MMNy z
A I I
2(1 )
EG
T
2
T
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a
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k
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1
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i
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dx
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4
4
d y
dx EI
2
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E
2
2U dV
G
2 22 22 2
2 2 2 2 2 2
y y yz z z
z y
M f VM f VN TU dx dx dx dx dx dx
EA GJ EI EI GA GA
j
j
Ux
P
j
j
U
M
j
j
U
T
3
3 2e
i
m l
m b n
0 1
21
K K K
k K K
K K
k K K
N N L
E AX
N L
E A
2
2cr
e
EIP
L
; 0.5
0.7 ; 2e e
e e
L L L L
L L L L
mx sec 12
cry e P P
mx 21 sec 2cr
P ecP P
A r
mx
2
11 sec
2e
P
A Lec P
r EA r
2 2
0 0 0 02 12 2 12
T
d
q L q L q L q L
p
2 20 0 0 03 7
20 30 20 20
T
d
q L q L q L q L
p
1 1
1 1
EA
L
k
2 2
2 2
2 2
2 2
cos ; sen
c c s c sc
c s s s c sEA
L c sc c s c
sc s s c s
c s
k
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Mecnica dos Materiais I e II Formulrio e Tabelas
2
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
L L L L
L L L L
EI
L L L L
L L L L
k
2 2
2 2
2 2
3 2
2
2
12 12 6 12 12 6
12 6 12 12 6
4 6 6 2
12 12 612 6
4
cos ; sen
s sc Ls s sc Ls
c Lc sc c Lc
L Ls Lc LEI
L s sc LsS c Lc
L
c s
k
3 Centrides de reas
y
3
h
4
3
r
h
b/2b/2
C
C r
Curva de Euler
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Mecnica dos Materiais I e II Formulrio e Tabelas
3
4 - Equaes da curva elstica para uma viga encastrada-livre
A B
x
y
L
- Equao da curva elstica ou deformada
- Rotao na extremidade B
- Deslocamento na extremidade B
Considera-se .
B
B
y
y
EI cte
P
P
a
M
36 3 2B BPx PL PL
y L x y EI EI EI
2
2
2 2
0 36
3
6
36 2
B B
PxPara x a y a x
EI
PaPara a x L y x a
EI
Pa Pay L a
EI EI
2 2
2 2B B
Mx ML MLy y
EI EI EI
2
2 2
4 3
6 424
8 6B B
xy L Lx x
EI
L L
y EI EI
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4
a
a
b
0
0
22 2
3
3 3
0 6 424
424
424 6
B B
xPara x a y a ax x
EI
aPara a x L y x aEI
a ay L a
EI EI
2
4 3 2 2 3 4
3 3
4 3 4
0 3 3 212
4 6 424
3 424 6
B B
xPara x a y bL ab bx
EI
Para a x L y x Lx L x a x aEI
L ay L a L a
EI EI
2
3 2 2 30
4 30 0
10 10 5120
30 24B B
xy L L x Lx x
LEI
L Ly
EI EI
2
3 2 30
4 30 0
20 10120
11
120 8B B
xy L L x x
LEI
L Ly
EI EI
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5
5- Equaes da curva elstica para uma viga simplesmente apoiada
A B x
y
L
A
- Equao da curva elstica ou deformada- Rotao na extremidade A
- Rotao na extremidade B
- Deslocamento a meio v o / 2
Considera-se .
B
C
y
y x L
EI cte
0
a b
P
4 2 2 40
3 3 40 0 0
7 10 3360
7 5
360 45 768A B C
xy L L x x
LEI
L L Ly
EI EI EI
3 2 3
3 3 4
224
5
24 24 384A B C
xy L Lx x
EI
L L Ly
EI EI EI
2 2 2
32 2 2
2 2
06
6 6
6 6
3 4
48
A B
C
PbxPara x a y L b x
LEI
Pbx PPara a x L y L b x x a
LEI EI
Pab L b Pab L a
LEI LEI
Pb L bSe a b y
EI
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6
a
M
a
M
4 3 2 2 2 2 2 3
22 2 2 2 3
2 22 2 2 2
0 4 4 2 424
4 6 224
4 4 224 24
A B
x
Para x a y a a L a L a x aLx Lx LEI
aPara a x L y a L L x a x Lx x
LEI
a aa aL L L a
LEI LEI
3 2
2
6
6 3 16A B C
My x L x
LEI
ML ML MLy
EI EI EI
2 2 2
2 3 2 2 2
2 2 2 2
0 6 3 26
3 3 2 36
6 3 2 36 6
A B
MxPara x a y aL a L x
LEI
MPara a x L y Lx x xa L x La
LEI
M MaL a L L a
LEI LEI