MatemáticaFrações Algébricas
Frações Algébricas, equações fracionarias e literais
Observe e resolva as seguintes situações:Tony distribuiu 100 chocolates entre x pessoas, em quantidades iguais que quantidades de chocolate cada pessoa recebeu?
Resposta:
Sonia colocou diversas caixas de sorvete com dimensões x, y e z em um congelador com V metro cúbicos de volume. Qual é o numero máximo de caixas que ela pode colocar no congelador
Resposta:
Frações Algébricas
Exemplos:
O quociente de dois polinômios escritos na forma fracionaria, com uma ou mais variáveis ou incógnitas no denominador (diferente de zero) chama-se fração algébrica
Lembre-se de que o denominador de uma fração algébrica NÃO PODE SER IGUAL A ZERO, pois não existe divisão por zero.
A fração algébrica é valida para qualquer numero real, exceto o 3, que tornaria o denominador da fração igual a zero.
Assim: U = {x IR x 3}
A fração algébrica é valida para qualquer numero real, exceto o 2 e – 2, que tornaria o denominador da fração igual a zero. Assim: U = {x IR x - 2 e x 2 }
Frações Algébricas EquivalentesObserve que, multiplicando ou dividindo os termos de uma fração algébrica por um polinômio não-nulo, obtemos uma fração algébrica equivalente
Exemplos:
3 𝑥𝑥+𝑦
3 𝑥𝑘𝑥𝑘+ 𝑦𝑘
Multiplica-se
Por KOnde K é zero
12𝑥 24 𝑎+8𝑏
Divide-se
Por 2
6𝑥 22𝑎+4𝑏
Frações Equivalentes
Simplificação de fração algébricaPara simplificar uma fração algébrica devemos dividir os seus termos por um divisor comum, diferente de zero, a fim de obter um fração equivalente mais simples. Como exemplo, simplificaremos as seguintes expressões algébricas
12𝑎𝑏2𝑐18𝑎𝑏5
Solução: fatoramos os termos da fração e, em seguida cancelamos os termos iguais
¿2 .2.3 .𝑎 .𝑏 .𝑏 .𝑐
2 .3 .3 .𝑎 .𝑏 .𝑏 .𝑏 .𝑏.𝑏FORMA FATORADA/
///
////
//
2𝑐3𝑏3
Ficamos com: Forma simplificada
SoluçãoFatoramos os termos da fração e. em seguida, cancelamos os termos iguais:
𝑥 2+2 𝑥𝑦+𝑦 2𝑥2+𝑦 2
𝑥 2+2 𝑥𝑦+𝑦 2𝑥 2− 𝑦 2
(𝑥+𝑦 )2(𝑥+𝑦 ) . (𝑥− 𝑦 )
(𝑥+𝑦 ) . (𝑥+𝑦)(𝑥+𝑦 ) . (𝑥− 𝑦 )//
(𝑥+𝑦 )(𝑥− 𝑦 )
=
==
Fração Algébrica Simplificada
Mais um exemplo:Fatoramos os termos da fração e. em seguida, cancelamos os termos iguais:
4 𝑥−4𝑎6𝑎2−6𝑥 2
4 𝑥−4𝑎6𝑎2−6𝑥 2
2 .2 (𝑥−𝑎 )2 .3 . (𝑥2− 𝑦2 )
−2 .2 (𝑥−𝑎)2 .3 (𝑎+𝑥 ) . (𝑎− 𝑥 )
//−2
3 . (𝑎−𝑥 )=
==
Fração Algébrica Simplificada
//
Observação:Só podemos simplificar os termos de uma fração após transforma-los em produtos:
(𝑥+𝑦 )+(𝑥+𝑦 )(𝑥+𝑦 )−(𝑥− 𝑦 )
Nesse caso não há simplificação
(𝑥+𝑦 ) .(𝑥+𝑦 )(𝑥+𝑦 ) . (𝑥−𝑦 )
Nesse caso há simplificação
MultiplicaçãoSoma e Subtração
Cuidado:Vale a pena uma atenção especial antes de
simplificar.
2𝑎𝑎+𝑏
2𝑎𝑎+𝑏 //
Essa simplificação é INCORRETA, pois “a” não é um fator comum a todos os termos
O MDC e MMC de monômios e polinômios
Vale a pena...
...lembrar!!
MDC = Máximo Divisor ComumO MDC de dois números naturais é o produto dos fatores comuns, cada um com o seu menor expoenteExemplo:
Determine o MDC de 168 e 180Precisamos fatorar os dois números
168 284 242 221 3
7 7 1
Fatorando, temos:
168 = 23 . 3 . 7
180 290 245 315 3
5 5 1
180 = 22 . 32 . 5
Pegando os fatores comuns de menor expoente temos:
22 . 3
Portanto o MDC de 168 e 180 é:
2 . 2 . 3 = 12
MMC = Mínimo Múltiplo ComumO MMC de dois números naturais é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um com o seu MAIOR expoenteExemplo:
Determine o MMC de 168 e 180Precisamos fatorar os dois números
168 284 242 221 3
7 7 1
Fatorando, temos:
168 = 23 . 3 . 7
180 290 245 315 3
5 5 1
180 = 22 . 32 . 5
Pegando os fatores comuns e não-comuns de maior expoente temos:
23 . 32 + 5 . 7
Portanto o MMC de 168 e 180 é:
2520
O MDC e o MMC dos monômiosO MDC e o MMC de dois ou mais monômios são obtidos de forma análoga ao utilizado para números inteiros
O MDC é o produto dos fatores comuns (numéricos e literais), cada um com o seu menor expoente
O MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns (numéricos e literais), cada um com o seu maior expoente
Exemplo:
Determine o MDC e o MMC dos monômios 80a3b2c4 e 128b5c3d
Exemplo 1:Determine o MDC e o MMC dos monômios 80a3b2c4 e 128b5c3d
Fatorando os monômios temos:
80a3b2c4 = 24 . 5 . a3 b2 c4
128b5c3d = 27 . b5 c3 d
Depois de fatorar temos:
MDC (80a3b2c4 ; 128b5c3d) = 24 . b2 c3
MMC (80a3b2c4 ; 128b5c3d) = 27 . 5 . a3 . b5 c4 . d
Fatores comuns de menor expoente
Fatores comuns e não-comuns de maior expoente
= 16 b2c3
= 640 a3b5c4d
O MDC e o MMC dos PolinômiosNo caso dos polinômios, primeiro fatoramos, para depois aplicar regras semelhantes as utilizadas no caso dos monômios
Exemplo:
Determine o MDC e o MMC dos polinômios;
x2 – 9 x2 + x – 12 x2 – 6x + 9
Fatorando os polinômios temos:
x2 – 9 (x + 3) . (x – 3) = A diferença de dois quadrados
LEMBRAM NÉ?
x2 + x – 12 = (x + 4) . (x – 3)
x2 - 6x + 9 = (x – 3)2 ou (x - 3) . (x - 3)
O produto de Stevin, Lembram também!!!
O quadrado da diferença de dois termos
O MDC e o MMC dos PolinômiosDetermine o MDC e o MMC dos polinômios;
x2 – 9 x2 + x – 12 x2 – 6x + 9
Depois de Fatorado temos:
x2 – 9 (x + 3) . (x – 3) = x2 + x – 12 = (x + 4) . (x – 3)
x2 - 6x + 9 = (x – 3)2 ou (x - 3) . (x - 3)
MDC: (x – 3)
MMC: (x – 3) . (x + 3) . (x + 4)
(x – 3)2 . (x + 3) . (x + 4)
(2x - 6x – 9) . (x2 + 7x + 12)
MDC:
MMC:
Produto de Stevin
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