1
FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
Apresentação
Prezado (a) aluno (a),
Observamos no nosso dia a dia que as tecnologias aplicadas à área de
ciências exatas, como informática, engenharia etc surgem com muita rapidez,
tanto que os usuários dessas tecnologias têm que está constantemente se
atualizando em virtude desse grande desenvolvimento. Portanto, o estudante,
pertencente a essa área, tem que procurar informações de todos os tipos,
principalmente as que servem para o caminho de sua formação universitária.
A disciplina Cálculo-II, que faz parte da grade curricular dos cursos que
abrangem as áreas de Ciências Exatas, objetiva mostrar ao alunado a
importância do aprendizado do cálculo, que leva o estudante para a elaboração
dos modelos que possa explicar com certa precisão os fenômenos que
ocorrem nesses referidos cursos (Informática, Engenharia etc).
O conteúdo da disciplina Cálculo-II visa os estudos das funções de duas
ou mais variáveis; limite e continuidade de uma função de duas variáveis; estudo de
derivadas parciais e suas aplicações; integrais múltiplas e suas aplicações. Esse
conteúdo será desenvolvido totalmente em sala de aula, contudo, para facilitar
o aprendizado, disponibilizamos outros meios de comunicação que serão
ensinados a você.
Finalmente pretendemos que este trabalho venha contribuir para seu
aprendizado e, consequentemente, para sua formação acadêmica.
Saudações educacionais,
Anicio Bechara Arero
Introdução
2
Estudamos anteriormente funções de uma única variável independente;
entretanto, surgem no nosso cotidiano problemas que envolvem duas ou mais variáveis independentes, como por exemplo:
1- Um corretor de imóvel vende certa quantidade (x) de casa popular na capital por R$ 80.000,00 a unidade e outra quantidade (y), do mesmo tipo de casa, por R$ 65.000,00 a unidade nas cidades interioranas, a receita total obtida pelo corretor com as vendas das casas é dada por Rt = 80.000x + 65.000y. 0bserve que a receita total depende de duas variáveis independentes x e y.
2- Um engenheiro está construído uma piscina com x metros de comprimento,
y metros de largura e z metros de altura. Para encontrar volume V e a área S
deve utilizar as seguintes regras: V = x.y.z e S = x.y + 2x.z + 2y.z.
0bserve que tanto o volume, como a área dependem de três variáveis
independentes x, y e z.
Esses são exemplos onde uma grandeza de interesse depende dos
valores de duas ou mais variáveis independentes.
Após esses modelos, vamos estudar os métodos do cálculo de funções com duas ou mais variáveis independentes.
Função de Duas Variáveis: seja D um subconjunto (região) do espaço
R2 (plano). Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y)
D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim,
D é o domínio da função em R2, f é a função e f(x,y) é o valor da função
calculado em (x,y).
3
Exemplos de função de 2 variáveis:
a) f(x, y) = x2 + 2y b) z = (3x + y3)1/2 c) z = 4xy – 2xy3 + 4x – 2y
Cálculo da variável dependente.
Vamos calcular o valor da variável dependente conhecendo os valores
das variáveis independentes através do seguinte exemplo:
- Dadas as funções f(x, y) = x2 + 2y + 3, g(x,y) = (3x + y3)1/2 e h(x, y) = 4xy – 2x2
– 4, determine:
a) f(2, 3) b) g(4, 2) c) h(-2, 3) d) f(√a, a)
Solução:
a) f(x, y) = x2 + 2y + 3
f(2, 3) = 22 + 2.3 + 3 = 13
b) g(x,y) = (3x + y3)1/2
g(4, 2) = (3.4 - 23)1/2 = 41/2 = 2
c) h(x, y) = 4xy – 2x2 – 4
h(-2, 3) = 4.(-2).3 – 2.(-2)2 – 4 = -36
d) f(x, y) = x2 + 2y + 3
f(√a, a) = (√a)2 + 2a + 3 = 3a + 3 = 3(a + 1)
4) Um determinado empresário vende certa quantidade (x) de um produto na
capital por R$ 30,00 a unidade e outra quantidade (y), do mesmo produto, por
R$ 25,00 a unidade nas cidades interioranas. Determine:
a) A função receita;
b) A receita do empresário quando a quantidade vendida na capital alcançar
175 unidades e nas cidades interioranas 240 unidades.
Solução:
a) Para calcular a receita total devemos multiplicar o preço do produto pela
quantidade vendida. Logo:
4
Rt = P x Q (Rt receita total, P preço e Q quantidade)
R(x,y) = 30x + 25y função receita
b) Como x = 175 e y = 240, temos:
R(x,y) = 30x + 25y
R(175,240) = 30.175 + 25.240 = 11.250
A receita total do empresário foi de R$ 11.250,00.
5) Um engenheiro pretende construir uma piscina com as seguintes medidas: x
metros de comprimento, y metros de largura e z metros de altura. Encontre:
a) A função que representa o volume dessa piscina;
b) O volume quando as medidas pretendidas são de 8m de comprimento, 5m
de largura e 1,5m e altura;
c) A função que representa a área dessa piscina;
d) A área da piscina com as medidas do item b.
Solução:
z
x y
a) O cálculo do volume é feito pelo produto das três dimensões:
V(x,y,z) = x.y.z
b) Como x = 8m, y = 5m e z = 1,5m, temos:
V(x,y,z) = x.y.z
V(8;5;1,5) = 8x5x1,5 = 60
O volume é de 60 m3 ou 60.000 litros.
c) O cálculo da área é medido pela seguinte relação:
S(x,y,z) = x.y + 2x.z + 2y.z
d) Como x = 8m, y = 5m e z = 1,5m, temos:
5
S(x,y,z) = x.y + 2x.z + 2y.z
S(8;5;1,5) = 8x5 + 2x8x1,5 + 2x5x1,5
S(8;5;1,5) = 40 + 24 + 15
S(8;5;1,5) = 79
A área é de 79m2
Domínio de funções de duas variáveis
O domínio de funções de duas variáveis independentes segue as
mesmas regras do domínio de funções de uma variável independente, ou seja,
é o domínio de todos os pares (x, y) para os quais a expressão f(x,y) é definida.
Exemplos:
1) Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)1/2 , em seguida encontre f(2,6), f(-
4,5) e f(4, 2).
Solução:
Observe que xyyxf ),( , logo, a condição de existência dessa função é y -
x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, y) R2 / y ≥ x}.
.,)2,4(
39)4(5)5,4(
2426)6,2(
),(
xypoissoluçãotemnãof
f
f
xyyxf
2) Ache o domínio da função yx
xyxf
2),(
2
, em seguida encontre f(3,5) e
f(4,6).
A função é definida quando 2x – y ≠ 0. Assim, domínio D (x, y) é o conjunto
de pontos, tais que, D = {(x, y) R2 / y ≠ 2x }.
868
16
64.2
4)6,4(
956
9
53.2
3)5,3(
2
2
f
f
6
3) Dada a funçãoyx
xyxf
3
),(
2
.
a) Ache o domínio de f.
b) Encontre f(1,-1) e f(2,8)
Solução:
a) A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais
que D = {(x, y) R2 / y < 3x}.
b) 2
1
)1(1.3
1)1,1(
2
f
)8,2(f observe que (2,8) não pertence ao domínio, pois 8 não é menor
que 6, logo, não é definida nesse ponto (não apresenta imagem).
2
4
82.3
2)8,2(
2
f
EXERCÍCIO:
01- Encontre o domínio de cada função, em seguida determine o valor da
função nos pontos indicados:
a) f(x,y) = x2 + y2 (-2,3/2) b) 22
1),(
yx
yxf
(0,2/3)
c) yxyxf 26),( (3,3) d) 2225),( yxyxf (4,3)
e) 2xyz (2,3) f)
yxz
.
1 (3, 1/15)
g) z = 3x – 2/y (1/3, 2) h) 5 23 xyz (1,2)
i) 3 63
1),(
yx
yxf
(2/3, 1/2) j) yx
yxyxf
24
22),(
22
(2,1)
Resposta:
a) D = R2 e f(-2,3/2) = 25/4 b) D = {(x,y) R2 / x2 + y2 > 0} e f(0,2/3) = 3/2
c) D = {(x,y) R2/y ≤ 3x } e f(3,3)=2√3 d) D={(x,y)R2/ x2 + y2 ≤ 25} e f(4,3)=0
e) D = {(x,y) R2 / y ≥ x2 } e f(2,3) = D f) D={(x,y) R2 / x.y ≠ 0} e f(3,1/15)=5
7
g) D = {(x,y) R2 / y ≠ 0 } e f(1/3,2) = 0 h) D = R2 e f(1,2) = -1
i) D = {(x,y) R2 / x ≠ 2y } e f(2/3,1/2) = -1 j) D = {(x,y) R2 / y ≠ 2x } e f(2,1)= 1
FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS
Definição: uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada tripla ordenada de números reais (x, y, z) associa um único número real f (x, y, z), onde x, y, z são as variáveis Independentes (de saída), w variável dependente (de chegada). È importante salientar que função real de três variáveis não pode ser representada geometricamente.
Exemplos:
1- Identificar o Domínio das Funções:
a) 222),,( zyxzyxf (Espaço inteiro)
b) 222
1
zyxw
(x,y,z 0)
c) w = xyLnz (semi-espaço z > 0)
d) 222),,( zyxzyxf (Espaço inteiro)
2) Encontre o domínio da função e os pontos (x, y) para os
quais f(x, y) = 1.
R) A expressão só faz sentido nos pontos (x, y) tais que x – y2 > 0, ou seja, x >
y2.
Ainda: f(x, y) = 1 y = (x – y2)1/2 y2 = x – y2 x = 2y2.
A seguir representamos o domínio de f e os pontos onde f(x, y) = 1.
2
1
yx
y
2
),(
yx
yyxf
8
Representação Geométrica de z = f(x,y)
z
z = f(x,y)
y
x (x,y)
Uma função z = f(x, y) é representada por planos ou superfícies no
espaço.
Para as funções de uma variável independente, o gráfico é plotado no plano XY. Já, para funções de 2 variáveis independentes, o gráfico é plotado no plano R3 onde z = f(x, y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.
Exemplos de funções de 2 variáveis independentes:
1) A função é z = f(x, y) = 5.
A superfície é um plano infinito, paralelo a x, y e passando por z = 5.
9
2) A função é z = f(x, y) = 6 – 2 x + 3y.
Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um
plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é só fazer:
a) x = 0 e y = 0 → z = 6 b) x = 0 e z = 0 → y = 2 c) y = 0 e z = 0 → x = 3
3) A função é z = f(x, y) = x2 + y2.
4) A função é z = f(x, y) = 1 − x 2 − y 2.
DIFERENÇAS ENTRE 2D E 3D
Gráficos 3D (superfícies) de algumas funções de 2 variáveis.
10
f(x, y) = x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = x2 + y2, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
0
10
20
30
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = x.y, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
-10
0
10
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = sem (x + y - 3), com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
-1
-0.5
0
0.5
1
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = 100 - x2 - y2, com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
70
80
90
100
-4
-2
0
2
4
f(x, y) = x4/(x4 + y4), com x e y variando de – 4 a 4.
-4
-2
0
2
4-4
-2
0
2
4
-2
0
2
-4
-2
0
2
4
11
EXERCÍCIOS
01) Encontre o valor de cada função nos pontos indicados:
a) f(x,y) = 3x – 2y + (x – y)4; f(0,2), f(1,3)
Resposta:
a) 12 e 13 b) -3/2 e -√2 c) 3 e -√3/3
d) 4 e -8 e) 3 e -6 f) 1e 20
02) Encontre o domínio de cada função:
Resposta:
a) D = {(x,y) R2 / y ≠ 4y } b) D = {(x,y) R2 / xy ≠ 2 }
c) D = {(x,y) R2 / x2 + y2 ≤ 36 } d) D = {(x,y) R2 / y ≤ x2 }
e) D = {(x,y) R2 / y < 2x } f) D = {(x,y) R2 / xy > 6}
Função de n Variáveis: uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1, x2, ...,xn) associa um único número real f (x1, x2, ..., xn). È importante salientar que função real de mais de três variáveis também não pode ser representada geometricamente.
)0,2(),1,5(;2
),()2
ff
yx
xyyxfb
)2,1(),5,4(),()
22
ff
yx
xyyxfc
)4,(),8,(;),()2
efefLnp
qqpfd
)2,2(ln),0,1(;2
3),() ff
e
eyxfze
xy
xy
)2,2,3(),1,0,1(;).(),,() Lnffeyxzyxffyz
84),()
4
23),()
xy
yxyxfb
yx
yxyxfa
yxyxfdyxyxfc 222
),()36),()
)122(),())24(
3),()
xyLnyxfd
yxLog
xyxfe
12
Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis
- Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis.
O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L
(se existir) e é representado por
Se o limite existir no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste
ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido
para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite
existe em todos os pontos desse intervalo.
- Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.
a) f(x,y) = x2 + y2 + 3x.y é contínua x,y.
b) z = x3y4 – 3xy + 2y – 4 é contínua x,y.
é contínua x.y 2
é contínua x y.
e) z = Ln (6x – 2y) é contínua x,y / y < 3x .
Resolução de limites de duas ou mais variáveis
- Observe a resolução de cada limite abaixo:
Lyxfyxyx
),(),(
00
),(lim
106)1(22
)1(2.22.2.2
)1(2.2.7)1.(2.2.52
75lim )
22
33
22
33
1
2
2
yzx
yzxxyxyzyzxb
z
y
x
)mindet(0
0
00
00lim )
3333
)0,0(),(açãoerin
yx
yxc
yx
42
23),()
xy
xyxfc
yx
yxyxfd
),()
3
1)2(
6
2
1.2.3
1.42.3
3
43lim )
)1,2(),(
xy
yxa
yx
13
- Levantando a indeterminação.
Como, (x3 – y3) = ))((22
yxyxyx , temos:
Agora, resolva os seguintes limites:
22
2
1
2
2
0
0
4
32lim)
3lim)
yx
xyxf
yx
xyxe
y
x
y
x
xyeh
yx
gyxsen
y
x
y
x3cos(lim)
25
10lim)
)24(
0
022
0
0
Resposta:
a) -3 b) 5 c) 0 d) 0
e) não existe f) 2/9 g) 2 h) 2
Para se estimar o limite de uma função de duas variáveis no ponto (x0,y0) é
necessário calcular esse valor por todas as trajetórias que passem por (x0,y0).
Se em todos os casos o resultado for sempre o mesmo, digamos L, diz-se
que o limite existe e que vale L. Caso o limite não exista em alguma trajetória ou
dê um valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite não existe.
Observe os exemplos:
1- Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
a)
22
22
0
0
2lim
yx
xsenx
y
x b)
44
4
0
0
3lim
yx
y
y
x
0)(lim
))((limlim
22
)0,0(),(
22
)0,0(),(
33
)0,0(),(
yxyx
yx
yxyxyx
yx
yx
yx
yxyx
22
22
0
0
2
0
0
22
4
332
1
0
1lim)lim)
lim)5
3lim)
yx
yxd
yx
xyxc
yxbyxyx
xyxa
y
x
y
x
y
x
y
x
14
Solução:
a) 0
0
020
00
2lim
22
22
22
22
0
0
sen
yx
xsenx
y
x (indeterminação).
a.1) Escolhamos o caminho y = x, por exemplo, sendo que x→ 0 ,y →0
22
22
0
2lim
yx
xsenx
xy
x=
22
22
0
2lim
xx
xsenx
x=
2
22
0
3lim
x
xsenx
x=
2
2
2
2
0
33lim
x
xsen
x
x
x=
2
2
02
2
0
3lim
3lim
x
xsen
x
x
xx=
2
2
00lim.
3
1
3
1lim
x
xsen
xx
3
21.
3
1
3
1lim
3
1
3
1 2
2
0
x
senx
x
a.2) Escolhamos o caminho y = 3x, por exemplo, sendo que x→ 0 ,y →0.
22
22
3
0
2lim
yx
xsenx
xy
x=
22
22
0
92lim
xx
xsenx
x=
2
22
0
11lim
x
xsenx
x=
2
2
2
2
0
1111lim
x
xsen
x
x
x=
2
2
02
2
0
11lim
11lim
x
xsen
x
x
xx =
=
2
2
00lim.
11
1
11
1lim
x
xsen
xx
11
1
22
2
11
1
11
1
Como os limites são diferentes, concluímos que
22
22
3
0
2lim
yx
xsenx
xy
x
não existe.
b)
44
4
0
0
3lim
yx
y
y
x
É uma indeterminação do tipo [0/0].
b.1) Escolhendo x = 0 ( caminho percorrido ao longo do eixo oy )
44
4
0
0
3lim
yx
y
y
x=
44
4
0
30lim
y
y
y=
4
4
0 3lim
y
y
y 3
1
3
1lim
0
y
b.2) Escolhendo o segundo caminho x = y, bissetriz dos quadrantes ímpares
44
4
0 3lim
yx
y
y
yx =
44
4
0
3lim
yy
y
y=
4
4
0 4lim
y
y
y
1/4
15
Os limites são diferentes, logo
44
4
0
0
3lim
yx
y
y
x
não existe.
2- Dada a função 22
2
22
4),(
yx
xyyxf
. Determine o limite de f(x,y) quando (x,y)
tende a (0,0) ao longo de cada caminho: a) Eixo dos x b) Eixo dos y c) A reta y = x d) A parábola y = x2 Solução: a) Se o caminho é o eixo dos x, significa que y = 0, logo, f(x,y) = f(x,0), então:
)0(02
0
0.22
0.4)0,(
222
2
xxx
xxf e 0im)0,(im
0x0x
LxfL
b) Se o caminho é o eixo dos y, significa que x = 0, logo, f(x,y) = f(0,y), então:
)0(02
0
.20.2
.0.4),0(
222
2
yyy
yyf e 0im)0,(im
0y0y
LxfL
c) Se o caminho é a reta y = x, significa que x = y, logo, f(x,y) = f(x,x), então:
)0(4
4
.2.2
..4),(
2
3
22
2
xxx
x
xx
xxxxf e 0im),(im
0x0x
xLxxfL
d) Se o caminho é a parábola y = x2, significa que y = x2, logo, f(x,y) = f(x,x2), então:
)0(
1
2
.2.2
4
.2.2
..4),(
2
3
42
5
222
22
2
xx
x
xx
x
xx
xxxxf e
01
2im),(im
2
3
0x
2
0x
x
xLxxfL
Os limites são iguais, logo o limite existe e é igual a zero.
Vimos anteriormente que o limite de uma função acompanhada por uma
variável independente existe se, e somente se, os limites laterais existem e são
iguais.
Já, quando a função apresenta duas variáveis independentes, o seu limite
quando (x,y) tende a (a,b) existe (Lim (x,y)(a,b) f(x,y) = L), se (x,y) tende a (a,b)
)(lim)(lim,)(lim xfxfseexistexfaxaxax
16
não apenas pela direita ou pela esquerda, mas também por qualquer outra
direção.
Por fim, suponhamos que a escolha de caminhos diferentes não permita
mostrar a inexistência do limite, então, deve-se recorrer à sua definição: limite de
funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim,
diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L, quando o par (x,y) se aproxima
de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de
L.
Limite de F(x,y)
DERIVADAS PARCIAIS
Introdução:
Existem problemas no nosso cotidiano que geram funções com duas
variáveis independentes, cujo objetivo encontrar a taxa de variação (derivada) da
função considerando uma como variável independente e a outra como constante.
A esse procedimento denominamos Derivação Parcial. O resultado dessa
derivação é denominado de Derivada Parcial da função. As regras que
utilizaremos para encontrar as derivadas parciais são as mesmas empregadas
quando do estudo das derivadas de funções com uma variável independente.
Após essa introdução vamos definir derivada parcial.
LyxfLimouLyxfyxyx
yy
xxo
o
o
),( ),(lim
),(),(0
17
Sejam A R3 um conjunto aberto e f: A R uma função.
1- A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x,y) A é denotada
por ),( yxx
f
ou fx e definida por:
0
),lim(),,(),,(
),,(
t
iteexisteset
zyxfzytxfLimzyx
x
f
onde y e z são constantes.
2- A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x,y,z) A é denotada
por ),,( zyxy
f
= fy e definida por:
0
),lim(),,(),,(
),,(
t
iteexisteset
zyxfztyxfLimzyx
y
f
onde x e z são constantes.
3- A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x,y,z) A é denotada
por ),,( zyxz
f
e definida por:
0
),lim(),,(),,(
),,(
t
iteexisteset
zyxftzyxfLimzyx
z
f
Onde x e y são constantes e t é o acréscimo dado a cada variável independente.
De modo equivalente são definidas as derivadas parciais de duas variáveis
independentes.
Sejam A R2 um conjunto aberto e f: A R uma função.
1- A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x,y) A é denotada
por ),( yxx
f
e definida por:
18
0
)lim(),(),(
),(
t
iteexisteset
yxfytxfLimyx
x
f
2- A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x,y) A é denotada
por ),( yxy
f
e definida por:
0
)lim(),(),(
),(
t
iteexisteset
yxftyxfLimyx
y
f
Nota: quando calculamos as derivadas parciais de uma função, por exemplo: z = f(x,y). Devemos
determinar a derivada parcial em relação a x (fx = x
f
) (y constante) e depois em relação a y (fy =
y
f
) (x constante) .
Exemplos:
1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
a) w = f(x, y, z) = x2 y z2.
0
)lim(),,(),,(
),,()1.
t
iteexisteset
zyxfzytxfLimzyx
x
fa
00
zy x.).2(y.z .x..)(),,(
222222222
tt
t
zytxtxLim
t
zytxLimzyx
x
f
00
2)..2(.y.zx...2xyz.y.zx 222
2222222
tt
xyzzytxyzLimt
zyttLim
19
00
zxzxzx
00
zy xzxzy xzy x).(),,(
2222
22
2222222222
tt
Limt
tLim
tt
t
tLim
t
ztyxLimzyx
x
f
0
),lim(),,(),,(
),,()2.
t
iteexisteset
zyxfztyxfLimzyx
y
fa
00
zxzxzx
00
zy xzxzy xzy x).(),,(
2222
22
2222222222
tt
Limt
tLim
tt
t
tLim
t
ztyxLimzyx
x
f
0
),lim(),,(),,(
),,()3.
t
iteexisteset
zyxftzyxfLimzyx
z
fa
00
2)...2(...y.z2x
00
zy x)2(zy x).(.),,(
222
222
222222222
tt
yzxxytzyxLimt
xyttLim
tt
t
tztzyxLim
t
tzyxLimzyx
x
f
Observe que até esse momento resolvemos utilizando a definição, agora
vamos resolver aplicando as regras de derivada.
w = f(x, y, z) = x2 y z2
zyxzyxz
fzxzyx
y
fzyxzyx
x
f...2)'.(.,.)'..(,...2.)'.(
2222222222
20
b) z = 3x4 – 2xy2 + y5
Solução:
45223245.4)'()'(20,2120)'.(2)'3( yyxyyx
y
fyxyxx
x
f
c) f(x,y) = yx
yx
2
33
2
2
2
'.'.'
v
vuuvy
v
uy
(derivada do quociente)
22
23
22
23
22
22
22
2222
)2(
61266
)2(
).66()126(
)2(
)2).(33(6).2(
)2(
)'2).(33()'33).(2(
yx
yxyxx
yx
yxxyx
x
f
yx
yxxyx
yx
yxyxyxyx
x
f
d) z = cos2(3x) + sen2(3y) y = un y’=n.u
n-1.u’, y=senu y’ = u’.cosu, y=cosu y’ = -u’.senu
)6cos(.3)3.2cos(.3)]3cos().3(2.[3
)]3(.3).[3cos(.2)]3()'.3().[3cos(.2)]'3).[(cos(3(cos.212
xxxxsenx
f
xsenxxsenxxxxx
f
)6cos(.3)3.2cos(.3)]3cos().3(2.[3
)]3cos(.3).[3(.2)]3cos()'.3).[(3(.2)]'3().[(3(.212
yyyysenx
f
yysenyyysenysenyseny
f
e) f(x, y, z) = Ln(3x.y + 2z) u
yuLnyu'
'
2z +3x.y
2
2z +3x.y
'2z +3x.y
2z +3x.y
3x
2z +3x.y
'2z +3x.y
2z +3x.y
3y
2z +3x.y
'2z +3x.y
z
f
y
f
x
f
f) z = e(3x – 4y), )3,4()3,4(y
fe
x
f
y = eu y’ = u’.eu
21
4.4.4)3,4(.4)'.43(
3.3.3)3,4(.3)'.43(
0)4.43.3()43()43(
0)4.43.3()43()43(
eey
feeyx
x
f
eex
feeyx
x
f
yxyx
yxyx
Exercícios:
1) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
a) f(x,y) = 3x4 – 5x2y3 + 4y2 b) z = Ln(3x – y3)
c) yx
yxyxf
),( d) 22
),( yxyxf
e) yxsenz . f) )3(2
),(yx
eyxf
g) w = 3x2 + 4y5 – 3z3 + 3xyz2 h) z = Ln [cos(xy)]
i) w = 3.e(x.y+z) j) f(x,y) = 2sen(3x-2y)
k) z = x2y l) f(x,y) = Ln [cos(3x2-y3)]
m) f(x,y,z) = tg (x.y2 - )z n) f(x,y) = ecos(x/y)
0) z = sen3(2xy2) p) xyLnz
q) f(x,y) = sen3x – cos2y r) f(x,y) = senx.cos(xy)
Resposta:
a) fx = 1’2x3 – 10xy3 e fy = -15x2y2 + 8y b) 3
3
3
yxz
x
e
3
2
3
3
yx
yz
y
c) 2
)(
2
yx
yf
x
e
2)(
2
yx
xf
x
d)
22yx
xf
x
e 22
yx
yf
y
e) )cos(. xyyzx e )cos(. xyxz
y f) )3(
2
.3yx
xef
e )3(
2
.2yx
xeyf
g) wx = 6x + 3yz2, wy = 20y4 + 3xz2 e wz = -9z2 h) zx = -ytg(xy) e zy = -xtg(xy)
i) wx = 3y.e(xy+z), wy = 3x.e(xy+z) e wz = 3.e(xy+z)
j) fx= 3.cos(3x-2y).2sen(3x-2y).ln2 e fy= -2.cos(3x-2y).2sen(3x-2y).ln2
22
k) zx = 2y.x2y-1 e xy = 2.x2y.lnx l) fx = 6x.tg(3x2- y3) e fy = -3y2.tg(3x2- y3)
m) fx = y2.sec2(xy2 - √z), fy = 2xy.sec2(xy2 - √z) e fz = z2
1 .sec2(xy2 - √z)
n) )/cos(..
1 yx
xe
y
xsen
yf
e )/cos(
2..
yx
ye
y
xsen
y
xf
o) zx = 6y2.sen2(2xy2).cos(2xy2) e zy = 12xy.sen2(2xy2).cos(2xy2)
p) zx = 1/2x e zy = 1/2y q) fx = 3sen2x.cosx e fy = sem(2y)
r) fx = cosx.cos(xy) – y.senx.sen(xy) e fy = -x.sen(xy).senx
2) Dadas as funções )( zxyLnwexxyz , determine:
a) 1,2x
z
b) 1,2
y
z
c) 0,2,1
x
w
d) 0,2,1y
w
e) 0,2,1
z
w
Resposta: a) 3/4 b) 1/2 c) 1 d) 1/2 e) 1/2
3) Sabendo que x = p.cosθ e y = p.senθ, determine
y
p
y
x
p
x
.
Resposta: p
4) Dada a função 52 xyz . Encontre )3,1()3,1(
y
ze
x
z
e resolva a
expressão
12
)3,1(.5)3,1(.3
y
z
x
z.
Respostas:
27
74
2
3)3,1(,
4
9)3,1(
e
y
z
x
z
23
Derivadas Parciais de Segunda Ordem São as funções resultantes quando utiliza-se duas vezes derivadas parciais da
seguinte maneira:
Seja a função z = f(x,y):
1)
x
z
xx
z
2
2
ou fxx 2)
y
z
yy
z
2
2
ou fyy
3)
x
z
yxy
z2
ou fyx 4)
y
z
xyx
z2
ou fxy
Nota: 3 e 4 são denominadas Derivadas Parciais Mistas.
Exemplo:
- Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
a) z = 3x4 – 4xy – 2y3 b) f(x,y) = 3exy
Solução:
a) z = 3x4 – 4xy – 2y3
a.1) yxx
z412
3
2
36 xx
z
x
a.2)
264 yx
y
z
y
y
z
y12
a.3) yxx
z412
3
4412
3
yx
y a.4)
264 yx
y
z
464
2
yx
x
Nota: as derivadas mistas, na sua maioria são iguais.
b) f(x,y) = 3exy
b.1)xy
yex
z3
xyxy
eyyex
233
b.2)
xyxe
y
z3
xyxy
exxey
233
a.3) xyye
x
z3
xyxyxy
eyxeyey
.333
a.4)
xyxe
y
z3
xyxe
x3
xyxyeyxe .33
Exercícios:
1- Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
a) f(x,y) = 5x4 – 2y2 + 3xy b) z = 2e-3xy
24
c) f(p,q) = Ln(p2 + q2) d) 23 yxz
e) 13
12
y
xz f) z = ye-x + 2x.e2y
Resposta:
a) fxx = 60x2, fyy = -4, fxy = fyx = 0
b) zxx = 18y2.e-3xy, zyy = 18x2.e-3xy e zxy = zyx =6.e-3xy.(3xy – 1)
c) 222
22
)(
)(2
qp
pqf
pp
,
222
22
)(
)(2
qp
qpf
e
222)(
4
qp
pqff
qppq
d)
3
234
9
yx
zxx
,
32
3
3
yx
xz
yy
e
yxxyzz
32
32
3
yx
y
e) 0xx
z , 3
)13(
)12(18
x
xz
yy e
2)13(
6
yzz
yxxy
f) x
xxeyz
. , y
yyexz
2.8 e xy
yxxyeezz
2
4
2) Sabendo que z = 2x.Ln(x.y), determine:
a) x
z
(e2,e3) b) ),(
32ee
y
z
c)
2
2
x
z
(e2,e3)
d) ),(32
2
2
eey
z
e) ),(
32
2
eexy
z
f) ),(
32
2
eeyx
z
Resposta:
a) 12 b) 2/e c) 2/e2 d) -2/y4 e) 2/e3 f) 2/e3
3) A produção mensal de determinado produto por uma indústria é dada pela
regra P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3 unidades, onde q representa o número
de operários e r o número de máquinas utilizados pela indústria. Atualmente, a
indústria apresenta 52 operários e 10 máquinas em atividades. Encontre a
variação da produção se mais 1(um) operário for contratado e o número de
máquinas permanece constante.
25
Solução: Como varia o número de operários e permanece constante o número de
máquinas, a derivada parcial de P(q,r) dá a taxa de variação da produção com o
número de operários.
P(q,r) = 2.340q + 750r + q2(r – 3) – r3
P(q,r) = 2.340q + 750r + q2r – 3q2 – r3
068.3)10,52(
52.610.52.22340)10,52(
622340),(
q
P
q
P
qqrrqq
P
A produção mensal é de 3.068 produtos
Teorema de Euler:
Função Homogênea: Uma função f(x,y) é dita homogênea de grau n se para qualquer k constante verifica-se a igualdade f(kx, ky) = knf(x, y). É importante salientar que uma função racional inteira será homogênea se todos os termos da mesma são do mesmo grau. O teorema de Euler diz que para toda função homogênea de grau n sempre se
verifica a igualdade ),(... yxfny
zy
x
zx
Ex.: Verificar se a função 22
2
),(yx
xyxf
é homogênea, caso afirmativo, comprovar
o teorema de Euler sobre essa função. Solução:
22
2
),(yx
xyxf
),(),(
22
2
222
22
2222
22
22
2
yxfyx
x
yxk
xk
ykxk
xk
kykx
kxkykxf
Como, f(kx, ky) = f(x, y), podemos afirmar que a função 22
2
),(yx
xyxf
é
homogênea.
Agora, apliquemos o Teorema de Euler.
26
),(... yxfny
zy
x
zx
22
2
222
222
222
222
22
2
222
222222
222
222222
.2.0.
.2.2.
.
.')'.(
.'.)'.(
.
yx
xn
yx
yxyxy
yx
xxxyxx
yx
xn
yx
yxxxyxy
yx
yxxxyxx
0.0.
22
.2
.222
2222
2
222
22
222
22
22
2
222
2
222
323
nyx
xn
yx
xn
yx
yx
yx
yx
yx
xn
yx
yxy
yx
xxyxx
Diferencial Total
- Inicialmente, definimos acréscimo total de uma função z = f(x,y) como a diferença
∆z = ∆f(x, y) = f(x+∆x, y+∆y) – f(x, y).
- Consideramos a diferencial total de uma função z = f(x, y) no ponto (x, y) a parte principal do acréscimo total ∆z, quando ∆x → 0 e ∆y → 0, linear em relação aos acréscimos das variáveis independentes ∆x e ∆y.
As diferenciais dos argumentos, por definição, coincidem com seus
acréscimos, isto é, dx = ∆x e dy = ∆y.
Portanto, para calcular a diferencial total de uma função z = f(x, y), utilizamos a seguinte fórmula:
dyy
zdx
x
zdz
(duas variáveis independentes)
dzz
wdy
y
wdx
x
wdw
( três variáveis independentes)
dnn
pdz
z
pdy
y
pdx
x
pdp
... (n variáveis independentes)
Exemplos:
1) Encontre a diferencial total da função z = 3x2 – 2xy + y2.
27
Solução:
z = 3x2 – 2xy + y2 dyy
zdx
x
zdz ..
yxy
z
yxx
z
22
26
dyxydxyxdz ).22().26(
2) Determine a diferencial total das funções:
a) z = 3x4 – 4xy2 + 2x3 b) w = 2xy – 4xz2 + 4y3x2z
c) f(x, y) = 3x2y3 d) z = Ln(x2y4)
e) w = x4y + e3z f) z = sen(5x) + cos(5y)
g) f(x,y) = 22
22
yx
yx
h) z = 2
4 yx
i) z = tg2(x.y) j) f(x,y) = cos2(3x) – sen2(3y)
Resposta:
a) dz= (12x3 + 6x – 8y2)dx - 8xydy
b) dw = (2y – 4z2 + 8xy3z)dx + (2x + 8y3xz)dy + (-8xz +4y3x2)dz
c) df = 6xy3dx + 9x2y2 d) y
dy
x
dxdz
42 e) dw = 4x3y dx + x4 dy+ 3e3zdz
f) dz = 5cos(5x)dx + 5 sem(5y)dy g) dyyx
yxdx
yx
xydz
222
2
222
2
)(
4
)(
4
h) dy
yx
ydx
yx
dz22
44
2
i) dyxy
xysenxdx
xy
xysenydz
)(cos
)(.2
)(cos
)(.2
22
j) df = -3[sen(6x) + 3cos(3x)]
Volume de um cone
28
O cálculo do volume de um cone é dado pela seguinte fórmula:
14,3
3
..2
alturah
raior
volumeV
hrV
Note que o volume de um cone depende da sua altura e do seu raio.
É importante salientar que a derivada parcial de V com relação a r descreve a taxa com que o volume de um cone varia à medida que o seu raio também varia e a sua altura é mantida constante.
3
...2 hr
r
V
A derivada parcial de V com relação a h descreve a taxa com que o volume de um cone varia à medida que a sua altura também varia e o seu raio é mantido constante.
A derivada parcial relativamente a h é
3
.2r
h
V
Logo,a diferencial total do volume de um cone é calculado da seguinte maneira:
dhr
drhr
dVdhh
Vdr
r
VdV
3
.
3
...22
Quando visamos encontrar a derivada total do volume em relação a cada uma das variáveis, utilizamos as fórmulas:
dh
drhrr
dh
dVe
dr
dhrhr
dr
dV.
3
..2
3
..
3
.
3
..222
A diferença entre a derivada total e parcial é a eliminação de dependências indiretas entre as variáveis nas derivadas parciais.
Aplicação:
1) O volume de um cone é representado pela fórmula HRV2
.3
1 . Sendo de
25 cm a sua altura e 24 cm o diâmetro de sua base, como variará o volume deste cone se acontecer um aumento de 0,4 cm na altura e uma diminuição de 0,3 cm no raio?
29
Solução:
A variação aproximada do volume de um cone V é representada
aproximadamente pela diferencial total dHH
VdR
R
VdV ..
, onde H = 25 cm,
R = 12 cm, dH = 0,4 e dR = -0,3.
3
2
232,504
3
4,01214,3)3,0(251214,32
3
1
3
2
..
cmdHRRHdRdV
dHH
VdR
R
VdV
2) 22
2
424
.hd
hV
representa o volume V de um cone circular, onde h é o
comprimento da geratriz e d o diâmetro da base.
a) Encontre a taxa de variação do volume em relação à geratriz se o diâmetro é mantido constante com o valor de h = 16 cm, enquanto a geratriz d varia. Encontre essa taxa de variação no instante em que d = 10 cm.
b) Suponha que o comprimento da geratriz permaneça constante com valor de h = 10 cm. Considerando que o valor do diâmetro varia, encontre a taxa de variação do volume em relação ao diâmetro quando h = 16 cm.
Solução:
'4.424
.2
1
424
424
)
221
21
22
2
21
22
2
22
2
hdhdh
d
V
hdh
hdh
Va
cmporcmd
V
temoscmhecmdQuando
hd
dh
d
Vdhd
h
d
V
3
22
2
22
2
21
22
2
70,111
161046
1016
:,1610
46
8.448
30
cmporcmh
V
temoscmhecmdQuando
hd
hhd
h
h
V
hhdh
hdh
h
V
hdh
hdh
h
V
hdh
hdh
Vb
3
22
3
22
22
3
22
21
22
2
21
22
'
21
22
2
21
22
'2
21
22
2
22
2
59,5
16)10(4.24
)16(16104.
12
16
:,1610
4.24
4.12
2.42
1.
244.
12
4.24
4.24
424
424
)
3) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de intersecção das
superfícies 22224.
2
1yxz com o plano y = 2, no ponto (2,2,√3).
- Calcula-se a derivada parcial em relação a x e, em seguida substitui os
valores de x e y.
6
3
3
3
3.2
1
12
1
12.2
2
2.2224.2
2)2,2(
224.2
)2.()224.(4
1
)'224.()224.(2
1.
2
1
)224.(2
1224.
2
1
22
22
2
1
22
221
2
1
22
21
2222
x
z
yx
xxyx
x
z
yxyxx
z
yxyxz
INTEGRAÇÃO MULTIPLA
Estudamos anteriormente as integrais definidas para função de uma só
variável, utilizando para isso, algumas regras para resolver essas integrais em um
31
intervalo ]a, b[. Agora, iremos aprender a resolver integrais definidas de funções
que apresentam duas ou mais variáveis, utilizando para isso, as regras
aprendidas quando das resoluções de integrais de função com uma variável.
Imtegrais Iteradas ( ou Repetidas)
Durante nossos estudos sobre derivadas parciais de duas ou mais variáveis
independentes, consideramos uma como variável independente e as outras
temporariamente, como constantes. Da mesma maneira torna-se possível
resolver integral definida com duas ou mais variáveis considerando uma delas
independente e as outras constantes. Observe os exemplos.
.tan:var:3
.)2
.tan:var:2
.)1
3
22
2
222
teconsxeteindependenávelyCy
xdyyxdyxy
teconsxyeteindependenávelxCx
yxdxydxxy
Note que as diferenciais dx e dy indicam a variável independente, ou seja,
aquela que vai ser integrada.
Se a função z = f(x,y) é não-negativa na região R, a integral dupla pode ser
interpretada como um volume.
No exemplo 1, utilizamos x como a variável independente e y
temporariamente como constante. Contudo, podemos considerar a constante C
como função de y, ou como função de x no exemplo 2.
)(3
.)2
)(2
.)1
3
22
2
222
xCy
xdyyxdyxy
yCx
yxdxydxxy
Exercícios:
1- Dada a função f(x,y) = senx.cosy, determine:
dxyxfbdxyxfa ),()),()
Solução:
)(cos.coscoscos.),() yCxysenxdxyydxsenxdxyxfa
)(.coscos.),() xCsenysenxydysenxydxsenxdxyxfa
32
2- Em relação a função do exemplo 1, determine
2
),( dxyxf e
2
.),( dyyxf
Solução:
yy
yxysenxdxyydxsenxdxyxf
cos)01.(cos
)2
cos(coscos][cos.coscoscos.),(
2222
senxsenx
sensensenxsenysenxdysenxydysenxdyyxf
)10.(
)2
(][.coscos.),(
2222
A partir desse momento, podemos chamar de integrais repetidas (ou interadas) as
integrais abaixo:
dydxyxfdxdyyxfedxdyyxfdydxyxfyhx
ygx
b
a
yhx
ygx
xhy
xgy
b
a
xh
xg
),(),(),(),()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
Exemplos:
1- Calcule as integrais iteradas:
a)
2
1
2
0
32).3( dydxyx b)
1
0
2
1
2.32
x
dydxxy 3) 4
1
/
0
)(y
dxdyxysen
Solução:
36))1(2(44124.3
4
0
4
23
43)(3).3()
332
1
32
1
22
1
2
2
1
44
2
2
0
2
1
4
22
1
2
0
322
1
2
0
32
xdxxdxx
dxxdxy
xdxdyyxdydxyxa
6
5
6
9140
2
3
3
7
2
3
3
767
31641.312.32
.332.32)
1
0
43
321
0
2321
0
22221
0
2
1
221
0
2
1
22
1
1
0
2
1
1
0
2
xxdxxx
dxxxxdxxxxx
dxyxydxdyxydydxxybxxx
33
2)14(3
2
3
2
3
2
)11(3
11cos
3
10cos.cos
3
1
cos3
1)()()
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
/
0
4
1
4
1
/
0
4
1
/
0
ydy
dydydyyy
dyxydydxxysendxdyxysenc
yyy
2- Resolva as integrais abaixo:
4
0
2/3
0
21
0
2
0
321
0
2
0
3216)).4()).4() dxdyxcdydxyxbdxdyyxa
x
Solução:
3
16
31616
4.4).4()
1
0
3
21
0
2
0
421
0
2
0
4
21
0
1
0
2
0
32
xdxxdxyxdx
yxdxdyyxa
3)01(
3
8
43
32
3
32.
34).4()
31
0
4
31
0
2
0
3
31
0
1
0
2
0
32 xydyydyy
xdydxyxb
4
0
2/3
0
216) dxdyxc
x
=
4
0
2/3
0
216 dxdyx
x
4
0
2/3
0
216 dxyx
x
4
0
2
2
3.16 dx
xx
2
11
2
1
22
162
nn
x
dudxx
dx
du
xu
322
6416.
2
1
23
.4
3
4
3
22
3.
2
3.16
3
0
16
23
0
16
2
10
16
4
0
2
uduu
x
duxudx
xx
Exercícios:
01) Resolva as integrais:
xdxya )cos() ydxyxysenb )(cos)()2
22
)
yx
xdxc
yxy
dxexd1
0
.)
34
Resposta:
a) )()(
ycy
xysen b) )(
3
)(cos3
xcx
xy
c)
)(
(.3
2
322
yc
yx
d) 1y
y
ey
e
02) Resolva as integrais Iteradas:
1
0
2
0
42) dydxyxa
1
0
4
0
) dydxxb 4/
0
2
0
)cos.3()
dxdyysenxc
2
0
1
1
3.) dbdaead
b 5
1
2
3
)
x
xdydxxe
2
1
1
0
43) dpdqqpf
Resposta:
a) 32/15 b) 8/3 c) 2/2 d)
3
61
.3
2
e
e e) 31/15 f) 31/20
BIBLIOGRAFIA
Bronson, Richard. Equações Diferenciais/ Richard Bronson; tradução
Alfredo Alves de Farias: revisão técnica Antonio Pertence Júnio, -- 2. Ed.
– Aão Paulo: Makron Books, 1994. 1. Equações Diferenciais I. Título.
(515.35).
Leighton, Walter. Equações diferenciais ordinárias/ Walter Leighton;
tradução de Luiz Adauto da Justa Medeiros. 2a. ed. ver. e suplementada
pela 3a. ed. americana por Danilo Marcondes. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 1978. Tradução de: Ordinary differential
equations. 1. Equações diferenciais I. Título. (L539e)
GRENVILLE, W.A.B Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de
Janeiro: Atual, 1983. (517.D765e).
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