Funcoes Hiperbolicas: algumas aplicacoesem Geometria Diferencial

Dulce Mary de Almeida & Bruno Tadeu Pereira JacobFaculdade de Matematica, FAMAT, UFU Faculdade de Engenharia Mecanica, FEMEC, UFU

38400-902 Campus Santa Monica, Uberlandia, MG 38400-902 Campus Santa Monica, Uberlandia, MG

E-mail: dulce@famat.ufu.br E-mail: brunopjacob@mec.ufu.br

Palavras-chave: Tractriz, Catenaria, Funcoes Hiperbolicas, Pseudoesfera, Catenoide.

Resumo

As funcoes hiperbolicas representam um poderoso instrumento de calculo e aparecem emdiversos problemas aplicados a engenharia, fısica e matematica. O objetivo do nosso trabalho eestudar aplicacoes dessas funcoes em dois modelos importantes da Geometria Diferencial: o ca-tenoide e a pseudoesfera, chamando a atencao para aspectos que usualmente nao sao exploradosno ensino de graduacao, como por exemplo o parentesco entre suas respectivas curvas geratrizes:a catenaria e a tractriz.

Inicialmente estudamos a catenaria (Fig. 1) motivados pelo classico problema do cabo sus-penso, que consiste em determinar a curva descrita por uma corda ou corrente flexıvel, naoelastica, homogenea, suspensa em suas extremidades e sujeita apenas a acao do seu proprio peso.Problema este que foi resolvido pelo matematico e fısico holandes Christiaan Huygens, que mos-trou que a curva solucao e a catenaria, ou seja, o grafico do cosseno hiperbolico y = k cosh(x/k),[3]. Neste trabalho, analisamos a solucao deste problema e exploramos tambem, do ponto devista da Geometria Diferencial, a superfıcie obtida pela revolucao da catenaria em torno doeixo-x (denominada catenoide, Fig. 2), chamando a atencao para uma serie de propriedadese curvas especiais desta superfıcie, principalmente aquelas associadas as funcoes hiperbolicas.Provamos tambem que o catenoide e a unica superfıcie mınima de revolucao.

(a) Figura 1: catenaria (b) Figura 2: catenoide

Na sequencia estudamos a tractriz (Fig. 3), curva que soluciona o seguinte problema propostopor Leibniz: qual e a trajetoria de um objeto, comecando com um deslocamento horizontal,quando e arrastado por uma corda de comprimento constante, sendo puxado por uma linha

572

ISSN 2317-3300

reta vertical r? Neste trabalho, apresentamos a solucao deste problema e estudamos tambem asuperfıcie obtida pela revolucao da tractriz em torno da reta r, denominada pseudoesfera (Fig.4). Mostramos, por exemplo, que essa superfıcie possui curvatura gaussiana constante dadapor −1/a2, onde a e o comprimento constante da corda, sendo portanto um modelo para aGeometria Hiperbolica.

(c) Figura 3: tractriz (d) Figura 4: pseudoesfera

Um outro aspecto destas duas curvas pouco explorado e analisado nesse trabalho e a proprie-dade da tractriz como involuta da catenaria, ou seja, a tractriz e a curva cujo traco e a trajetoriadescrita por um ponto de um fio quando o mesmo e desenrolado do traco da catenaria, perma-necendo tenso durante o movimento.

E importante enfatizar que utilizamos tecnicas de Geometria Diferencial, Algebra Lineare Equacoes Diferenciais, que possibilitaram a demonstracao dos resultados estudados; utiliza-mos tambem os softwares Geogebra e Mathematica para ilustracao grafica e investigacao daspropriedades das curvas e superfıcies analisadas no trabalho, [1, 2].

Referencias

[1] M. P. DO CARMO, “Geometria diferencial de curvas e superfıcies”, Colecao Textos Uni-versitarios, Sociedade Brasileira de Matematica (SBM), Rio de Janeiro, 2005.

[2] A. GRAY, E. ABBENA, S. SALAMON, “Modern differential geometry of curves and sur-faces with Mathematica”, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2006.

[3] P. R. RUFFINO, O problema da corda suspensa, Matematica Universitaria, 24/25 (1998)2-9.

573

ISSN 2317-3300