Definição O Gráfico e a influência dos coeficientes Raízes ou zeros Relação entre coeficientes e Raízes Vértice Máximo ou mínimo Estudo do Sinal Inequações do 2º grau
Diz-se que uma função f : ℝ ⟶ ℝ é uma função quadrática quando existemnúmeros reais 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, tais que :
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
a. f(x) = x2 + 3x + 1
Mas cuidado, as seguintes funções não são quadráticas.
f(x) = 2x
f(x) = 2x
f(x) = x3 + 2x + 1
Exemplos:
DEFINIÇÃO
b. f(x) = 2x2 - 3
c. f(x) = -3x2 + 2x
Situações em que aparecem funções quadráticas
1. Num campeonato de futebol em que participam n clubes, em um sistema no qualtodos os clubes jogam contra todos os outros, qual seria o número total de partidasdo campeonato ?
2. Qual o número de diagonais de um polígono convexo de n lados?
Cada um dos 𝑛 clubes faz 𝑛 − 1 partidas :
Logo o número total é : 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 = 𝑛2 − 𝑛
De cada vértice partem 𝑛 − 2 diagonais
Logo o número total é : 𝑛 ∙ 𝑛 − 2 = 𝑛2 − 2𝑛
3. Os diretores de um clube querem construir uma quadra poliesportiva. O cluberecebeu uma doação de 200 metros de tela metálica, para cercar a quadra. Adiretoria tem que decidir quais serão as dimensões da quadra a ser construída,porém de tal forma que os 200m de tela sejam suficientes para cercá-la. Qual aexpressão que representa a área da quadra em função de uma de suas dimensões ?
Situações em que aparecem funções quadráticas
Vamos escolher o comprimento como variável edenomina-lo 𝑥.
𝑥
Como o perímetro total da quadra tem que ser200m, podemos escrever
2𝑥 + 2. 𝑙 = 200 ⇒ 𝑙 =200−2𝑥
2⇒ 𝑙 = 100 − 𝑥
Logo a expressão da área como função do comprimento será :
𝐴 𝑥 = 𝑥 ∙ 100 − 𝑥 ⇒ 𝐴 𝑥 = 100𝑥 − 𝑥2
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Diferentemente do que ocorre com as funções lineares, em uma função quadrática ataxa de variação não é constante. Assim, o seu gráfico não será representado poruma reta
x
y
•V
Eixo de Simetria
Vértice
A parábola é uma curva simétrica,possuindo portanto um eixo de simetria.
É Importante também, para nossopropósitos, destacar um ponto denominadovértice, localizado na interseção entre aparábola e o seu eixo de simetria.
Podemos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na forma da parábola que representa uma função quadrática.
O gráfico de uma função quadrática é uma Parábola.
EFEITO DO VALOR DE 𝒂 NO GRÁFICO DA FUNÇÃO
x
y
O parâmetro a determina a concavidade e a abertura da parábola.
x
y
x
y
x
y
a > 0
a < 0
a = 2a = 1 a = 0.5
a = 0.25
a = -0.25a = -0.5 a = - 1
a = - 2
ConcavidadeDeterminada pelo
sinal do a
AberturaDeterminada pelo valor
absoluto do a
O sinal do parâmetro b determina se a parábola cruza o eixo y no ramo crescenteou decrescente.
x
y
x
y
x
yb > 0 b > 0
b < 0 b < 0
x
y
EFEITO DO VALOR DE 𝒃 NO GRÁFICO DA FUNÇÃO
EFEITO DO VALOR DE 𝒄 NO GRÁFICO DA FUNÇÃO
O parâmetro c , determina o ponto deinterseção da parábola com o eixo y.
x
y
c > 0•
x
y
c < 0 •
𝑓 0 = 𝑐
Encontrar os zeros de uma função qualquer significa determinar os valores de 𝒙 queanulam a função. Ou seja, os valores de 𝑥 tais que 𝑓 𝑥 = 0 .
x
y
x
y
x
y
Situações possíveis - Análise Qualitativa
Dois zerosNenhum zeroUm zero
• • •
Para determinar algebricamente os zeros de uma função quadrática devemosresolver a
Equação do Segundo Grau : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
OS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Primeiramente vamos colocar a função sob a forma de um quadrado perfeito, ou seja :
𝒇 𝒙 = 𝒂(𝒙 − 𝒎)𝟐 + 𝒌
Forma canônica da função quadrática
2. Completando o quadrado perfeito
O Discriminante da equação :
A Fórmula de Bhaskara𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥2 +
𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎
1. Dividindo por a
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
−𝑏2
4𝑎2+
𝑐
𝑎⇒
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
+ 𝑐 −𝑏2
4𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
+4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
𝑚 =−𝑏
2𝑎
𝑘 =4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
𝑓 𝑥 = 0 ⇔ 𝑎 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
=𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
𝒙 =−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
CÁLCULO DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Equação do Segundo Grau : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
⇒
⇒
Quantificando a análise qualitativa
O valor do discriminante determina onúmero de zeros da função.
𝑥 =−𝑏 ± ∆
2𝑎
Número de zeros da função quadrática
x
y
∆ > 0dois zeros
• •x
y
∆ = 0um zero
•x
y
∆ < 0nenhum zero
Exemplos:
a. Quantas raízes tem a equação:2x2 – 3x + 5 = 0 ?
b. Para que valores de k a equaçãox2 – 2x + k = 0 tem duas raízes reais distintas ?
OS ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
∆= (−3)2 − 4 ∙ 2 ∙ 5 = 9 − 40 = −31
Logo, nenhuma raiz. O gráfico não corta oeixo 𝑥.
∆= (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 𝑘 = 4 − 4𝑘
Logo ∆ > 0 quando 𝑘 < 1
ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA - EXEMPLOS
Equação Biquadrada
a. 3x2 – x + 2 = 0
Resolver as Equações :
b. 4x2 – 9 = 0
e. x4 – 13x2 + 36 = 0
d. x2 – 10x + 25 = 0
c. 3x2 + 2x = 0
∆= (−1)2−4 ∙ 3 ∙ 2 = −23
Logo a equação não tem raízes reais
∆= (0)2−4 ∙ 4 ∙ (−9) = 144
𝑥 =−0 ± 144
8
𝑥 = ±3
2
∆= (2)2−4 ∙ 3 ∙ 0 = 4
𝑥 =−2 ± 4
6
𝑥 = −2
3𝑥 = 0 e
∆= (10)2−4 ∙ 1 ∙ 25 = 0
𝑥 =10 ± 0
2
𝑥 = 5
Duas raízes iguais
Façamos 𝑧 = 𝑥2 e teremos
𝑧2 − 13𝑧 + 36 = 0
∆= (−13)2−4 ∙ 1 ∙ 36 = 25
𝑧 =13 ± 25
2
𝑧 = 4𝑧 = 9 e
Logo a equação tem quatro raízes
𝑥 = ± 9 = ±3
𝑥 = ± 4 = ±2
Voltando a forma canônica da função
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
−∆
4𝑎
Observações:
1. O termo −∆
4𝑎é constante. Logo o valor do
mínimo (máximo), depende do termo
𝑎 𝑥 +𝑏
2𝑎
2.
2. Se a > 0, teremos um mínimo, pois oprimeiro termo da forma canônica serásempre ≥ 0;
3. Se a < 0, teremos um máximo, pois oprimeiro termo da forma canônica serásempre ≤0.
4. Em qualquer caso, o extremo é alcançadoquando o primeiro termo se anula, ou seja,
para 𝒙 = −𝒃
𝟐𝒂e o valor mínimo (máximo) da
função é 𝒇 𝒙 = −∆
𝟒𝒂.
MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
•
•
𝒇 𝒙 = −∆
𝟒𝒂
EXEMPLOS
Diga se as funções abaixo possuem mínimo ou máximo e esboce o gráfico da parábola
a. f (x) = -4x2 + 4x + 5 b. f (x) = x2 - 2x + 1
2. Para que valor de k o valor mínimo dafunção f (x) = x2 - 6x + 3k é 3 ?
4. No exemplo da quadra poliesportiva, qualserão as dimensões da quadra, para que suaárea seja máxima.
𝑎 < 0 ⇒ máximo
x
y
∆= (4)2 − 4 ∙ −4 ∙ 5 = 16 + 80 = 96
𝑏 > 0 𝑎 > 0 ⇒ mínimo
∆= (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 4 − 4 = 0
𝑏 < 0
x
y
•
O valor do mínimo é −∆
4𝑎. Logo temos
−−6 2 − 4 ∙ 1 ∙ 3𝑘
4 ∙ 1= 3 ⇒
−36 + 12𝑘 = 12 ⇒ 𝑘 = 4
𝐴 𝑥 = 100𝑥 − 𝑥2
O máximo ocorre quando 𝑥 = −𝑏
𝑎= −
100
−1= 100
Área máxima ocorre quando 𝑥 = 100
RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES
Tomemos a equação do segundo grau 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Denominando as raízes de 𝑥1 e𝑥2 , podemos escrever:
𝑥1 =−𝑏 + ∆
2𝑎𝑒 𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
Colocando 𝒂 em evidência na equação inicial teremos : 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎
Assim, teremos :
𝑥1 ∙ 𝑥2 =−𝑏 + ∆
2𝑎∙
−𝑏 − ∆
2𝑎=
𝑏2 − ∆2
4𝑎2 =𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎2 =𝑐
𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + ∆
2𝑎+
−𝑏 − ∆
2𝑎=
−2𝑏
2𝑎= −
𝑏
𝑎
Fatorando o último polinômio, obteremos : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟏) ∙ (𝒙 − 𝒙𝟐)
O que resulta em : 𝑎 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥2 𝑥 + 𝑥1 ∙ 𝑥2
Isso significa que as raízes da equação são dois números tais que 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏
𝑎e 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
EXEMPLOS
Determine as raízes das equações abaixo sem usar a fórmula de Bhaskara
a. x2 - 5x + 6 = 0 b. x2 + 7x + 12 = 0 c. 3x2 - 4x + 1 = 0
𝑥1 + 𝑥2 = 5
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 6
Logo na forma fatorada
𝑥 − 2 ∙ 𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 2 e 𝑥 = 3
Raízes
𝑥1 + 𝑥2 = −7
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 12
Logo na forma fatorada
𝑥 + 3 ∙ 𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −3 e 𝑥 = −4
Raízes
𝑥1 + 𝑥2 = −−4
3=
4
3
𝑥1 ∙ 𝑥2 =1
3
Logo na forma fatorada
𝑥 − 1 ∙ 𝑥 −1
3= 0
𝑥 = 1 e 𝑥 =1
3
Raízes
EXEMPLOS
2. Determine o valor de 𝑚 ,positivo, para que aequação 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚 + 1 = 0 tenha uma
raiz igual ao triplo daoutra.
3. Calcule a soma dos inversosdas raízes da equação 2𝑥2 −𝑥 − 3 = 0, sem resolvê-la.
4. Calcule a soma dosquadrados das raízes daequação 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ,sem resolvê-la.
𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑚
𝑟1 ∙ 𝑟2 = 𝑚 + 1
𝑟1 = 3𝑟2Mas
Substituindo temos:
4𝑟2 = 2𝑚 ⇒ 𝑟2 =𝑚
2
3𝑟22 = 𝑚 + 1 ⇒
3𝑚
2
2= 𝑚 + 1 ⇒
3𝑚2 − 4𝑚 − 4 = 0
𝑚 = 2 𝑒 𝑚 = −2
3
1
𝑟1+
1
𝑟2=
𝑟1 + 𝑟2
𝑟1 ∙ 𝑟2
Logo:
1
𝑟1+
1
𝑟2=
12
−32
= −1
3
𝑟1 + 𝑟22 = 𝑟1
2 + 2𝑟1𝑟2 + 𝑟22
Logo:
𝑟12 + 𝑟2
2 = 𝑟1 + 𝑟22 − 2𝑟1𝑟2
𝑟12 + 𝑟2
2Queremos :
Vamos usar :
O que nos dá:
𝑟12 + 𝑟2
2 = −1 2 − 2(−1)
𝑟12 + 𝑟2
2 = 3
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Por tudo que vimos até agora, podemos afirmar que o estudo do sinal de umafunção quadrática depende dos valores do coeficiente a e do discriminante ∆ .
1º caso: ∆ > 0
Se a > 0
Se a < 0
2º caso: ∆ = 0
Se a > 0
Se a < 0
x__•
x
+ +•
x__+
••
x_
+ +••
3º caso: ∆ < 0
Se a > 0
Se a < 0
x
+ +
x__
INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Inequações do 2º grau são desigualdades de um dos seguintes tipos
Ou qualquer outra que possa ser escrita sob essa forma
Exemplos :
𝑥2 − 5𝑥 + 6 > 0
𝑥2 − 4 ≤ 0
3𝑥2 − 4 ≥ 𝑥 + 3
(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≥ 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
Resolver uma inequação do 2º grau significa determinar o conjunto de valores de𝑥 ∈ ℝ que tornam a expressão da inequação verdadeira.
Para resolver uma inequação do 2º grau, devemos fazer o estudodo sinal da função quadrática correspondente.
Exemplos :
a) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 < 0 b) −𝑥2 + 5𝑥 − 6 ≥ 0 c) −𝑥2 + 9 ≤ 0
SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
∆ > 0 e 𝑎 > 0
Raízes : 1 e 2
21• •
+
−
+
Logo o conjunto solução é
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 1 < 𝑥 < 2}
∆ > 0 e 𝑎 < 0
Raízes : 2 e 3
32• •
−
+
−
Logo o conjunto solução é
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 2 ≤ 𝑥 ≤ 3}
∆ > 0 e 𝑎 < 0
Raízes : -3 e 3
3−3• •
−
+
−
Logo o conjunto solução é
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 ≤ −3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3}
INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE
Em algumas inequações os termos quadráticos aparecem em produtos ou quocientes.
Nesses casos para chegar ao conjunto solução temos que achar os conjuntos solução dasdiferentes inequações envolvidas e aplicar a regra do sinal para o produto ou quociente
Exemplos :
𝑎. 𝑥 − 3 ∙ 𝑥2 + 3𝑥 − 4 > 0 𝑏.𝑥2 − 8𝑥 + 12
𝑥2 − 9≤ 0
𝑥 − 3
𝑥2 + 3𝑥 − 4
-4 31
+− − −
++ − +
+− + −
Logo o conjunto solução é
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ − 4 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3}
Produto
𝑥2 − 8𝑥 + 12
𝑥2 − 9
-3 32
+−
++ − −
−+ − +
Logo o conjunto solução é
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ − 3 < 𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 3 < 𝑥 ≤ 6}
Produto
6
+ −+
+
+
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