Função de Verossimilhança
Who? Paulo Inácio K.L. Prado e João L.F. Batista
From? BIE 5781 Modelagem Estatísticos em Ecologia e Recursos Naturais
When? junho de 2009
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Sumário
Introdução
Lei de Verossimilhança
Função de Verossimilhança
Princípio de Verossimilhança
Mútliplas Observaçães Independentes
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Método da Máxima Verossimilhança
Intervalos de Verossimilhança
Superfície de Verossimilhança
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x VerossimilhançaDicionário Priberam (http://www.priberam.pt):
Plausibilidade
Plausibilidade: qualidade do que é plausível.
Plausível:
que merece aplauso ou aprovação;
aceitável;
verossímil.
Verossimilhança
Verossímil: verosímil.
Verosímil:
semelhante à verdade;
que aparenta ser verdadeiro;
que não repugna à verdade;
provável;
plausível.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Plausibilidade x Verossimilhança
No dicionário:
Conclusão: Plausibilidade = Verossimilhança.
Plausibilidade: linguagem corrente, coloquial.
Verossimilhança: linguagem técnica.
Na Estatística:
A abordagem da Verossimilhança se apoia em doisconceitos básicos:
Lei da Verossimilhança: de aceitação geral entre osestatísticos de todas as tribos.
Princípio de Verossimilhança: de aceitação mais restrita,embora seja um pilar �losó�co da Estatística comoCiência.
Lei de Verossimilhança
Comparação deHipótes
Hipótese A: X = x seria observado com prob. pA(x)Hipótese B: X = x seria observado com prob. pB(x)
Lei deVerossimilhança:
A observação X = x favorece a hipótese A sobre ahipótese B se e somente se:
pA(x) > pB(x).
Razão deVerossimilhança:
A força de evidência em favor da hipótese A sobre ahipótese B é dada pela razão:
pA(x)pB(x)
Lei de Verossimilhança
Comparação deHipótes
Hipótese A: X = x seria observado com prob. pA(x)Hipótese B: X = x seria observado com prob. pB(x)
Lei deVerossimilhança:
A observação X = x favorece a hipótese A sobre ahipótese B se e somente se:
pA(x) > pB(x).
Razão deVerossimilhança:
A força de evidência em favor da hipótese A sobre ahipótese B é dada pela razão:
pA(x)pB(x)
Lei de Verossimilhança
Comparação deHipótes Hipótese A: X = x seria observado com prob. pA(x)
Hipótese B: X = x seria observado com prob. pB(x)
Lei deVerossimilhança:
A observação X = x favorece a hipótese A sobre ahipótese B se e somente se:
pA(x) > pB(x).
Razão deVerossimilhança:
A força de evidência em favor da hipótese A sobre ahipótese B é dada pela razão:
pA(x)pB(x)
Lei de Verossimilhança
Comparação deHipótes Hipótese A: X = x seria observado com prob. pA(x)
Hipótese B: X = x seria observado com prob. pB(x)
Lei deVerossimilhança:
A observação X = x favorece a hipótese A sobre ahipótese B se e somente se:
pA(x) > pB(x).
Razão deVerossimilhança:
A força de evidência em favor da hipótese A sobre ahipótese B é dada pela razão:
pA(x)pB(x)
Lei de Verossimilhança
Comparação deHipótes Hipótese A: X = x seria observado com prob. pA(x)
Hipótese B: X = x seria observado com prob. pB(x)
Lei deVerossimilhança:
A observação X = x favorece a hipótese A sobre ahipótese B se e somente se:
pA(x) > pB(x).
Razão deVerossimilhança:
A força de evidência em favor da hipótese A sobre ahipótese B é dada pela razão:
pA(x)pB(x)
Lei de Verossimilhança
Comparação deHipótes Hipótese A: X = x seria observado com prob. pA(x)
Hipótese B: X = x seria observado com prob. pB(x)
Lei deVerossimilhança:
A observação X = x favorece a hipótese A sobre ahipótese B se e somente se:
pA(x) > pB(x).
Razão deVerossimilhança:
A força de evidência em favor da hipótese A sobre ahipótese B é dada pela razão:
pA(x)pB(x)
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração
Hipótese A: o número médio de plântulas é 16(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração
Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração
Hipótese A: o número médio de plântulas é 16(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração
Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração
Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração
Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração
Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Hipóteses sobrea regeneração Hipótese A: o número médio de plântulas é 16
(5700 ind/ha)
Hipótese B: o número médio de plântulas é 35(12500 ind/ha)
Observação daregeneração Parcela: observou-se 24 plântulas (8470 ind/ha)
Modelo Poisson
X (variável aleatória �número de plântulas�) é Poisson.
Probabilidade � função de densidade:
P (X = x) =e−µµx
x!
x é o valor de uma observação;
µ (parâmetro) é o número médio de plântulas.
Exemplo: Regeneração Natural
Probabilidadesob as
hipóteses
Hipótese A: µ = 16
pA(24) =e−161624
24!= 0.01437018
Hipótese B: µ = 35
pB(24) =e−353524
24!= 0.01160434
Razão deVerossimilhança
pA(24)pB(24)
=0.014370180.01160434
= 1.238345.
Exemplo: Regeneração Natural
Probabilidadesob as
hipóteses
Hipótese A: µ = 16
pA(24) =e−161624
24!= 0.01437018
Hipótese B: µ = 35
pB(24) =e−353524
24!= 0.01160434
Razão deVerossimilhança
pA(24)pB(24)
=0.014370180.01160434
= 1.238345.
Exemplo: Regeneração Natural
Probabilidadesob as
hipótesesHipótese A: µ = 16
pA(24) =e−161624
24!= 0.01437018
Hipótese B: µ = 35
pB(24) =e−353524
24!= 0.01160434
Razão deVerossimilhança
pA(24)pB(24)
=0.014370180.01160434
= 1.238345.
Exemplo: Regeneração Natural
Probabilidadesob as
hipótesesHipótese A: µ = 16
pA(24) =e−161624
24!= 0.01437018
Hipótese B: µ = 35
pB(24) =e−353524
24!= 0.01160434
Razão deVerossimilhança
pA(24)pB(24)
=0.014370180.01160434
= 1.238345.
Exemplo: Regeneração Natural
Probabilidadesob as
hipótesesHipótese A: µ = 16
pA(24) =e−161624
24!= 0.01437018
Hipótese B: µ = 35
pB(24) =e−353524
24!= 0.01160434
Razão deVerossimilhança
pA(24)pB(24)
=0.014370180.01160434
= 1.238345.
Exemplo: Regeneração Natural
Probabilidadesob as
hipótesesHipótese A: µ = 16
pA(24) =e−161624
24!= 0.01437018
Hipótese B: µ = 35
pB(24) =e−353524
24!= 0.01160434
Razão deVerossimilhança
pA(24)pB(24)
=0.014370180.01160434
= 1.238345.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deDensidade
É função da variável aleatória X, assumindo que oparâmetro (µ) é conhecido:
f(x|µ) = P (X = x|µ) =e−µµx
x!
Quando oDado é
Conhecido?
Se o dado é conhecido (X = 24), a função passa adepender do valor do parâmetro desconhecido (µ):
e−µµ24
24!= f(µ|x) = L{µ|X = 24}
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deDensidade
É função da variável aleatória X, assumindo que oparâmetro (µ) é conhecido:
f(x|µ) = P (X = x|µ) =e−µµx
x!
Quando oDado é
Conhecido?
Se o dado é conhecido (X = 24), a função passa adepender do valor do parâmetro desconhecido (µ):
e−µµ24
24!= f(µ|x) = L{µ|X = 24}
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deDensidade É função da variável aleatória X, assumindo que o
parâmetro (µ) é conhecido:
f(x|µ) = P (X = x|µ) =e−µµx
x!
Quando oDado é
Conhecido?
Se o dado é conhecido (X = 24), a função passa adepender do valor do parâmetro desconhecido (µ):
e−µµ24
24!= f(µ|x) = L{µ|X = 24}
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deDensidade É função da variável aleatória X, assumindo que o
parâmetro (µ) é conhecido:
f(x|µ) = P (X = x|µ) =e−µµx
x!
Quando oDado é
Conhecido?
Se o dado é conhecido (X = 24), a função passa adepender do valor do parâmetro desconhecido (µ):
e−µµ24
24!= f(µ|x) = L{µ|X = 24}
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deDensidade É função da variável aleatória X, assumindo que o
parâmetro (µ) é conhecido:
f(x|µ) = P (X = x|µ) =e−µµx
x!
Quando oDado é
Conhecido?
Se o dado é conhecido (X = 24), a função passa adepender do valor do parâmetro desconhecido (µ):
e−µµ24
24!= f(µ|x) = L{µ|X = 24}
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deDensidade É função da variável aleatória X, assumindo que o
parâmetro (µ) é conhecido:
f(x|µ) = P (X = x|µ) =e−µµx
x!
Quando oDado é
Conhecido?Se o dado é conhecido (X = 24), a função passa adepender do valor do parâmetro desconhecido (µ):
e−µµ24
24!= f(µ|x) = L{µ|X = 24}
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deDensidade É função da variável aleatória X, assumindo que o
parâmetro (µ) é conhecido:
f(x|µ) = P (X = x|µ) =e−µµx
x!
Quando oDado é
Conhecido?Se o dado é conhecido (X = 24), a função passa adepender do valor do parâmetro desconhecido (µ):
e−µµ24
24!= f(µ|x) = L{µ|X = 24}
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:
L{µ|X = 24} =e−µµ24
24!A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:
L{µ|X = 24} =e−µµ24
24!A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:
L{µ|X = 24} =e−µµ24
24!A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:
L{µ|X = 24} =e−µµ24
24!A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:
L{µ|X = 24} =e−µµ24
24!A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:L{µ|X = 24} =
e−µµ24
24!
A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:L{µ|X = 24} =
e−µµ24
24!A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função deVerossimilhança
A função de densidade se torna uma função deverossimilhança quando:
O dado é �xo (resultado empírico);
O valor de parâmetro é desconhecido (variável).
Função deVerossimilhançada Distribuição
Poisson:L{µ|X = 24} =
e−µµ24
24!A Função de Verossimilhança L{µ|X = x} é contínua.
A Função de densidade f(x|µ) = P (X = x|µ) édiscreta.
Função de Verossimilhança: Poisson
Função contínua: L{µ|X = 24}.
10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Função de Densidade: Poisson
Função discreta: f(x|µ = 24) = P (X = x|µ = 24).
X
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
Pro
babi
lidad
e
0 10 20 30 40 50
Exemplo: Distribuição Binomial
Função de densidade:f(x|n = 10, p = 0.7) = P (X = x|n = 10, p = 0.7).
X
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Pro
babi
lidad
e
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Exemplo: Distribuição Binomial
Função contínua: L{p|n = 10, X = 7}.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
p
Ver
ossi
milh
ança
Exemplo: Distribuição Exponencial
Função de densidade (contínua): f(x|λ = 0.2).
0 5 10 15 20 25 30
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
X
Den
sida
de
Exemplo: Distribuição Exponencial
Função contínua: L{λ|X = 30}.
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0.00
00.
004
0.00
80.
012
λλ
Ver
ossi
milh
ança
Princípio de Verossimilhança
HipótesesA e B
Uma observação X = x favorece a hipótese A : θ = θAcontra a hipótese B : θ = θB.
HipótesesC e D
Uma observação Y = y favorece a hipótese C : β = βCcontra a hipótese D : β = βD.
Princípio deVerossimilhança
Se:L{θA}L{θB}
=L{βC}L{βD}
Então a observação X = x em favor de A vis-a-vis B ea observação Y = y em favor de C vis-a-vis D sãoequivalentes em termos de evidência.
Princípio de Verossimilhança
HipótesesA e B
Uma observação X = x favorece a hipótese A : θ = θAcontra a hipótese B : θ = θB.
HipótesesC e D
Uma observação Y = y favorece a hipótese C : β = βCcontra a hipótese D : β = βD.
Princípio deVerossimilhança
Se:L{θA}L{θB}
=L{βC}L{βD}
Então a observação X = x em favor de A vis-a-vis B ea observação Y = y em favor de C vis-a-vis D sãoequivalentes em termos de evidência.
Princípio de Verossimilhança
HipótesesA e B
Uma observação X = x favorece a hipótese A : θ = θAcontra a hipótese B : θ = θB.
HipótesesC e D
Uma observação Y = y favorece a hipótese C : β = βCcontra a hipótese D : β = βD.
Princípio deVerossimilhança
Se:L{θA}L{θB}
=L{βC}L{βD}
Então a observação X = x em favor de A vis-a-vis B ea observação Y = y em favor de C vis-a-vis D sãoequivalentes em termos de evidência.
Princípio de Verossimilhança
HipótesesA e B
Uma observação X = x favorece a hipótese A : θ = θAcontra a hipótese B : θ = θB.
HipótesesC e D
Uma observação Y = y favorece a hipótese C : β = βCcontra a hipótese D : β = βD.
Princípio deVerossimilhança
Se:L{θA}L{θB}
=L{βC}L{βD}
Então a observação X = x em favor de A vis-a-vis B ea observação Y = y em favor de C vis-a-vis D sãoequivalentes em termos de evidência.
Princípio de Verossimilhança
HipótesesA e B
Uma observação X = x favorece a hipótese A : θ = θAcontra a hipótese B : θ = θB.
HipótesesC e D
Uma observação Y = y favorece a hipótese C : β = βCcontra a hipótese D : β = βD.
Princípio deVerossimilhança Se:
L{θA}L{θB}
=L{βC}L{βD}
Então a observação X = x em favor de A vis-a-vis B ea observação Y = y em favor de C vis-a-vis D sãoequivalentes em termos de evidência.
Princípio de Verossimilhança
HipótesesA e B
Uma observação X = x favorece a hipótese A : θ = θAcontra a hipótese B : θ = θB.
HipótesesC e D
Uma observação Y = y favorece a hipótese C : β = βCcontra a hipótese D : β = βD.
Princípio deVerossimilhança Se:
L{θA}L{θB}
=L{βC}L{βD}
Então a observação X = x em favor de A vis-a-vis B ea observação Y = y em favor de C vis-a-vis D sãoequivalentes em termos de evidência.
Princípio de Verossimilhança
Conclusão
A razão de verossimilhança é uma evidência relativaentre duas hipóteses.
A força de evidência representada pela magnitude darazão de verossimilhança
é uma medida absoluta na comparação de hipóteses.
Consequência
A evidência contida nos dados a respeito de qualquerhipótese
é totalmente caracterizada pela função deverossimilhança.
Princípio de Verossimilhança
Conclusão
A razão de verossimilhança é uma evidência relativaentre duas hipóteses.
A força de evidência representada pela magnitude darazão de verossimilhança
é uma medida absoluta na comparação de hipóteses.
Consequência
A evidência contida nos dados a respeito de qualquerhipótese
é totalmente caracterizada pela função deverossimilhança.
Princípio de Verossimilhança
Conclusão
A razão de verossimilhança é uma evidência relativaentre duas hipóteses.
A força de evidência representada pela magnitude darazão de verossimilhança
é uma medida absoluta na comparação de hipóteses.
Consequência
A evidência contida nos dados a respeito de qualquerhipótese
é totalmente caracterizada pela função deverossimilhança.
Princípio de Verossimilhança
Conclusão
A razão de verossimilhança é uma evidência relativaentre duas hipóteses.
A força de evidência representada pela magnitude darazão de verossimilhança
é uma medida absoluta na comparação de hipóteses.
Consequência
A evidência contida nos dados a respeito de qualquerhipótese
é totalmente caracterizada pela função deverossimilhança.
Princípio de Verossimilhança
Conclusão
A razão de verossimilhança é uma evidência relativaentre duas hipóteses.
A força de evidência representada pela magnitude darazão de verossimilhança
é uma medida absoluta na comparação de hipóteses.
Consequência
A evidência contida nos dados a respeito de qualquerhipótese
é totalmente caracterizada pela função deverossimilhança.
Princípio de Verossimilhança
Conclusão
A razão de verossimilhança é uma evidência relativaentre duas hipóteses.
A força de evidência representada pela magnitude darazão de verossimilhança
é uma medida absoluta na comparação de hipóteses.
Consequência
A evidência contida nos dados a respeito de qualquerhipótese
é totalmente caracterizada pela função deverossimilhança.
Princípio de Verossimilhança
Conclusão
A razão de verossimilhança é uma evidência relativaentre duas hipóteses.
A força de evidência representada pela magnitude darazão de verossimilhança
é uma medida absoluta na comparação de hipóteses.
Consequência
A evidência contida nos dados a respeito de qualquerhipótese
é totalmente caracterizada pela função deverossimilhança.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo:Regeneração
Natural
Foram observadas 24 plântulas (X = 24).O modelo assumido é a distribuição Poisson.
Toda evidência da observação a respeito do númeromédio de plântulas está contida na função deverossimilhança:
10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Princípio de Verossimilhança
Exemplo:Regeneração
NaturalForam observadas 24 plântulas (X = 24).
O modelo assumido é a distribuição Poisson.
Toda evidência da observação a respeito do númeromédio de plântulas está contida na função deverossimilhança:
10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Princípio de Verossimilhança
Exemplo:Regeneração
NaturalForam observadas 24 plântulas (X = 24).O modelo assumido é a distribuição Poisson.
Toda evidência da observação a respeito do númeromédio de plântulas está contida na função deverossimilhança:
10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Princípio de Verossimilhança
Exemplo:Regeneração
NaturalForam observadas 24 plântulas (X = 24).O modelo assumido é a distribuição Poisson.
Toda evidência da observação a respeito do númeromédio de plântulas está contida na função deverossimilhança:
10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Princípio de Verossimilhança
Exemplo:Regeneração
NaturalForam observadas 24 plântulas (X = 24).O modelo assumido é a distribuição Poisson.
Toda evidência da observação a respeito do númeromédio de plântulas está contida na função deverossimilhança:
10 20 30 40 50
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Testar a toxidez de uma data substância química.
Laboratório A
Dispunha de muitas cobaias.
Selecionou 20 cobaias e aplicou a substância emconcentração padrão.
Resultado: 6 mortes.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Testar a toxidez de uma data substância química.
Laboratório A
Dispunha de muitas cobaias.
Selecionou 20 cobaias e aplicou a substância emconcentração padrão.
Resultado: 6 mortes.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Testar a toxidez de uma data substância química.
Laboratório A
Dispunha de muitas cobaias.
Selecionou 20 cobaias e aplicou a substância emconcentração padrão.
Resultado: 6 mortes.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Testar a toxidez de uma data substância química.
Laboratório A
Dispunha de muitas cobaias.
Selecionou 20 cobaias e aplicou a substância emconcentração padrão.
Resultado: 6 mortes.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Testar a toxidez de uma data substância química.
Laboratório A
Dispunha de muitas cobaias.
Selecionou 20 cobaias e aplicou a substância emconcentração padrão.
Resultado: 6 mortes.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Testar a toxidez de uma data substância química.
Laboratório A
Dispunha de muitas cobaias.
Selecionou 20 cobaias e aplicou a substância emconcentração padrão.
Resultado: 6 mortes.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Testar a toxidez de uma data substância química.
Laboratório A
Dispunha de muitas cobaias.
Selecionou 20 cobaias e aplicou a substância emconcentração padrão.
Resultado: 6 mortes.
Qual o ModeloEstatístico? A distribuição Binomial.
Princípio de Verossimilhança
Laboratório B
Não dispunha de muitas cobaias.
Aplicou a substância em concentração padrão a cadacobaia disponível.
Decidiu-se que o experimento terminaria com o 6a morte.
Resultado: 20 cobaias receberam a substância.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial Negativa.
Princípio de Verossimilhança
Laboratório B
Não dispunha de muitas cobaias.
Aplicou a substância em concentração padrão a cadacobaia disponível.
Decidiu-se que o experimento terminaria com o 6a morte.
Resultado: 20 cobaias receberam a substância.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial Negativa.
Princípio de Verossimilhança
Laboratório B
Não dispunha de muitas cobaias.
Aplicou a substância em concentração padrão a cadacobaia disponível.
Decidiu-se que o experimento terminaria com o 6a morte.
Resultado: 20 cobaias receberam a substância.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial Negativa.
Princípio de Verossimilhança
Laboratório B
Não dispunha de muitas cobaias.
Aplicou a substância em concentração padrão a cadacobaia disponível.
Decidiu-se que o experimento terminaria com o 6a morte.
Resultado: 20 cobaias receberam a substância.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial Negativa.
Princípio de Verossimilhança
Laboratório B
Não dispunha de muitas cobaias.
Aplicou a substância em concentração padrão a cadacobaia disponível.
Decidiu-se que o experimento terminaria com o 6a morte.
Resultado: 20 cobaias receberam a substância.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial Negativa.
Princípio de Verossimilhança
Laboratório B
Não dispunha de muitas cobaias.
Aplicou a substância em concentração padrão a cadacobaia disponível.
Decidiu-se que o experimento terminaria com o 6a morte.
Resultado: 20 cobaias receberam a substância.
Qual o ModeloEstatístico?
A distribuição Binomial Negativa.
Princípio de Verossimilhança
Laboratório B
Não dispunha de muitas cobaias.
Aplicou a substância em concentração padrão a cadacobaia disponível.
Decidiu-se que o experimento terminaria com o 6a morte.
Resultado: 20 cobaias receberam a substância.
Qual o ModeloEstatístico? A distribuição Binomial Negativa.
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios
Laboratório A: 6 mortes em 20 cobaias.
Laboratório B: 6 mortes em 20 cobaias.
As Evidênciassão Diferentes?
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Raz
ão d
e V
eros
sim
ilhan
ça
BinomialBinomial Negativa
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios Laboratório A: 6 mortes em 20 cobaias.
Laboratório B: 6 mortes em 20 cobaias.
As Evidênciassão Diferentes?
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Raz
ão d
e V
eros
sim
ilhan
ça
BinomialBinomial Negativa
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios Laboratório A: 6 mortes em 20 cobaias.
Laboratório B: 6 mortes em 20 cobaias.
As Evidênciassão Diferentes?
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Raz
ão d
e V
eros
sim
ilhan
ça
BinomialBinomial Negativa
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios Laboratório A: 6 mortes em 20 cobaias.
Laboratório B: 6 mortes em 20 cobaias.
As Evidênciassão Diferentes?
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Raz
ão d
e V
eros
sim
ilhan
ça
BinomialBinomial Negativa
Princípio de Verossimilhança
Exemplo: DoisLaboratórios Laboratório A: 6 mortes em 20 cobaias.
Laboratório B: 6 mortes em 20 cobaias.
As Evidênciassão Diferentes?
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Raz
ão d
e V
eros
sim
ilhan
ça
BinomialBinomial Negativa
Múltiplas Observações Independentes
Dados: Os dados são uma amotra com n observaçõesindependentes:
Xn = {x1, x2, . . . , xn}
Probabilidade A probabilidade da amostra pelo modelo A:
P (Xn|A)=P (X=x1|A)·P (X=x2|A)·...·P (X=xn|A)
Verossimilhança
Verossimilhança da amostra é o produtório daverossimilhança das observações:
L{A|Xn}=L{A|X=x1}·L{A|X=x2}·...·L{A|X=xn}
L{A|Xn} =n∏i=1
L{A|X = xi}
Múltiplas Observações Independentes
Dados: Os dados são uma amotra com n observaçõesindependentes:
Xn = {x1, x2, . . . , xn}
Probabilidade A probabilidade da amostra pelo modelo A:
P (Xn|A)=P (X=x1|A)·P (X=x2|A)·...·P (X=xn|A)
Verossimilhança
Verossimilhança da amostra é o produtório daverossimilhança das observações:
L{A|Xn}=L{A|X=x1}·L{A|X=x2}·...·L{A|X=xn}
L{A|Xn} =n∏i=1
L{A|X = xi}
Múltiplas Observações Independentes
Dados: Os dados são uma amotra com n observaçõesindependentes:
Xn = {x1, x2, . . . , xn}
Probabilidade A probabilidade da amostra pelo modelo A:
P (Xn|A)=P (X=x1|A)·P (X=x2|A)·...·P (X=xn|A)
Verossimilhança
Verossimilhança da amostra é o produtório daverossimilhança das observações:
L{A|Xn}=L{A|X=x1}·L{A|X=x2}·...·L{A|X=xn}
L{A|Xn} =n∏i=1
L{A|X = xi}
Múltiplas Observações Independentes
Dados: Os dados são uma amotra com n observaçõesindependentes:
Xn = {x1, x2, . . . , xn}
Probabilidade A probabilidade da amostra pelo modelo A:
P (Xn|A)=P (X=x1|A)·P (X=x2|A)·...·P (X=xn|A)
Verossimilhança
Verossimilhança da amostra é o produtório daverossimilhança das observações:
L{A|Xn}=L{A|X=x1}·L{A|X=x2}·...·L{A|X=xn}
L{A|Xn} =n∏i=1
L{A|X = xi}
Múltiplas Observações Independentes
Dados: Os dados são uma amotra com n observaçõesindependentes:
Xn = {x1, x2, . . . , xn}
Probabilidade A probabilidade da amostra pelo modelo A:
P (Xn|A)=P (X=x1|A)·P (X=x2|A)·...·P (X=xn|A)
Verossimilhança
Verossimilhança da amostra é o produtório daverossimilhança das observações:
L{A|Xn}=L{A|X=x1}·L{A|X=x2}·...·L{A|X=xn}
L{A|Xn} =n∏i=1
L{A|X = xi}
Múltiplas Observações Independentes
Dados: Os dados são uma amotra com n observaçõesindependentes:
Xn = {x1, x2, . . . , xn}
Probabilidade A probabilidade da amostra pelo modelo A:
P (Xn|A)=P (X=x1|A)·P (X=x2|A)·...·P (X=xn|A)
Verossimilhança
Verossimilhança da amostra é o produtório daverossimilhança das observações:
L{A|Xn}=L{A|X=x1}·L{A|X=x2}·...·L{A|X=xn}
L{A|Xn} =n∏i=1
L{A|X = xi}
Múltiplas Observações Independentes
Verossimilhança das observações individuais:
0 20 40 60 80 100
0.00
0.04
0.08
0.12
µµ
Ver
ossi
milh
ança
X = 10
X = 24
X = 40
X = 60
Múltiplas Observações Independentes
Verossimilhança da amostra:
0 20 40 60 80 100
0e+
004e
−15
8e−
15
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Valor Numérico da Verossimilhança da
Amostra
Valores da Verossimilhança para as parcelas e amostra:
Exemplo:Regneração
Natural Parcela No. Hipóteses
Plântulas µ = 16 µ = 35
1 10 3.409770×10−02 4.793034×10−07
2 24 1.437018×10−02 1.160434×10−02
3 40 2.015777×10−07 4.474761×10−02
4 60 2.389530×10−17 3.338881×10−05
Amostra � 2.360164×10−27 8.310016×10−15
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança
Observações: valores positivos pequenos(em geral 0 < L < 1).Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).
nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança
Observações: valores positivos pequenos(em geral 0 < L < 1).Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).
nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança Observações: valores positivos pequenos
(em geral 0 < L < 1).
Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).
nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança Observações: valores positivos pequenos
(em geral 0 < L < 1).Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).
nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança Observações: valores positivos pequenos
(em geral 0 < L < 1).Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).
nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança Observações: valores positivos pequenos
(em geral 0 < L < 1).Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).
sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança Observações: valores positivos pequenos
(em geral 0 < L < 1).Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).
nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Função deVerossimilhança Observações: valores positivos pequenos
(em geral 0 < L < 1).Amostra: produto −→ 0 quando n cresce.
Transformação
log: resulta em valores razoáveis, mas negativos: ln(L).sinal: resulta em valores positivos: − ln(L).
nova função: Log-Verossimilhança Negativa: L = − ln(L).
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})
L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2})
. . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]
L{A|Xn} = − ln [∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Observação:
L{A|X = x1} = − ln (L{A|X = x1})L{A|X = x2} = − ln (L{A|X = x2}). . .
L{A|X = xn} = − ln (L{A|X = xn})
Amostra:
L{A|Xn} = − ln [L{A|Xn}]L{A|Xn} = − ln [
∏ni=1 L{A|X = xi}]
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Valoresnuméricos mais
convenientesParcela No. Hipóteses
Plântulas µ = 16 µ = 35
1 10 3.378525 14.550932
2 24 4.242600 4.456376
3 40 15.417091 3.106717
4 60 38.272850 10.307290
Amostra: � 61.311066 32.421315
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Valoresnuméricos mais
convenientesParcela No. Hipóteses
Plântulas µ = 16 µ = 35
1 10 3.378525 14.550932
2 24 4.242600 4.456376
3 40 15.417091 3.106717
4 60 38.272850 10.307290
Amostra: � 61.311066 32.421315
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:
L{A|Xn} =∑n
i=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:L{A|Xn} =
∑ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:L{A|Xn} =
∑ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]
L{A|Xn} =∑n
i=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]L{A|Xn} = n µ− ln(µ)
∑ni=1 xi + n
∑ni=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:L{A|Xn} =
∑ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Conveniência Algébrica: Exemplo da Dist. Poisson
Verossimilhança:
L{A|Xn} =∏ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∏ni=1
e−µµxixi!
L{A|Xn} = (e−µ)n∏ni=1
µxixi!
Log-Verossimilhança
Negativa:L{A|Xn} =
∑ni=1 L{A|X = xi}
L{A|Xn} =∑n
i=1− ln[e−µµxixi!
]L{A|Xn} =
∑ni=1 [µ− xi ln(µ) + ln(xi!)]
L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Curva da Função deVerossimilhança
0 20 40 60 80 100
0e+
004e
−15
8e−
15
µµ
Ver
ossi
milh
ança
Função de Log-Verossimilhança Negativa
Curva da Função deLog-Verossimilhança Negativa
0 20 40 60 80 100
020
040
060
080
010
00
µµ
Log−
Ver
os. N
eg.
Método da Máxima Verossimilhança
Método deEstimação
É um método de estimação de parâmetros.
É utilizado como técnica por todas as �tribos� deestatísticos.
A Técnica
Maximizar a função de verossimilhança.
Minimizar a função de log-verossimilhança negativa.
Método da Máxima Verossimilhança
Método deEstimação
É um método de estimação de parâmetros.
É utilizado como técnica por todas as �tribos� deestatísticos.
A Técnica
Maximizar a função de verossimilhança.
Minimizar a função de log-verossimilhança negativa.
Método da Máxima Verossimilhança
Método deEstimação É um método de estimação de parâmetros.
É utilizado como técnica por todas as �tribos� deestatísticos.
A Técnica
Maximizar a função de verossimilhança.
Minimizar a função de log-verossimilhança negativa.
Método da Máxima Verossimilhança
Método deEstimação É um método de estimação de parâmetros.
É utilizado como técnica por todas as �tribos� deestatísticos.
A Técnica
Maximizar a função de verossimilhança.
Minimizar a função de log-verossimilhança negativa.
Método da Máxima Verossimilhança
Método deEstimação É um método de estimação de parâmetros.
É utilizado como técnica por todas as �tribos� deestatísticos.
A Técnica
Maximizar a função de verossimilhança.
Minimizar a função de log-verossimilhança negativa.
Método da Máxima Verossimilhança
Método deEstimação É um método de estimação de parâmetros.
É utilizado como técnica por todas as �tribos� deestatísticos.
A Técnica
Maximizar a função de verossimilhança.
Minimizar a função de log-verossimilhança negativa.
Método da Máxima Verossimilhança
Método deEstimação É um método de estimação de parâmetros.
É utilizado como técnica por todas as �tribos� deestatísticos.
A Técnica
Maximizar a função de verossimilhança.
Minimizar a função de log-verossimilhança negativa.
Método da Máxima VerossimilhançaSolução Grá�ca: Exemplo Dist. Poisson
Função de Verossimilhança
0 20 40 60 80 100
0e+
004e
−15
8e−
15
µµ
Ver
ossi
milh
ança
µµ
Método da Máxima VerossimilhançaSolução Grá�ca: Exemplo Dist. Poisson
Função de Log-Verossimilhança Negativa
0 20 40 60 80 100
020
040
060
080
010
00
µµ
Log−
Ver
os. N
eg.
µµ
Método da Máxima VerossimilhançaSolução Algébrica: Exemplo Dist. Poisson
Função L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Ponto deMínimo δL{A|Xn}/δµ = 0
Solução
n−∑n
i=1 xiµ
= 0
µ̂ =∑n
i=1 xin
Método da Máxima VerossimilhançaSolução Algébrica: Exemplo Dist. Poisson
Função L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Ponto deMínimo δL{A|Xn}/δµ = 0
Solução
n−∑n
i=1 xiµ
= 0
µ̂ =∑n
i=1 xin
Método da Máxima VerossimilhançaSolução Algébrica: Exemplo Dist. Poisson
Função L{A|Xn} = n µ− ln(µ)∑n
i=1 xi + n∑n
i=1 ln(xi)
Ponto deMínimo δL{A|Xn}/δµ = 0
Solução
n−∑n
i=1 xiµ
= 0
µ̂ =∑n
i=1 xin
Método da Máxima VerossimilhançaEstimadores: MLE
Estimadores Estimadores de Máxima Verossimilhança.
Sigla MLE = Maximum Likelihood Estimators.
ExemploPoisson
O estimador µ̂ é a média amostral.
A média amostral é o MLE do parâmetro µ da dist.Poisson.
Método da Máxima VerossimilhançaEstimadores: MLE
Estimadores Estimadores de Máxima Verossimilhança.
Sigla MLE = Maximum Likelihood Estimators.
ExemploPoisson
O estimador µ̂ é a média amostral.
A média amostral é o MLE do parâmetro µ da dist.Poisson.
Método da Máxima VerossimilhançaEstimadores: MLE
Estimadores Estimadores de Máxima Verossimilhança.
Sigla MLE = Maximum Likelihood Estimators.
ExemploPoisson
O estimador µ̂ é a média amostral.
A média amostral é o MLE do parâmetro µ da dist.Poisson.
Método da Máxima VerossimilhançaEstimadores: MLE
Estimadores Estimadores de Máxima Verossimilhança.
Sigla MLE = Maximum Likelihood Estimators.
ExemploPoisson O estimador µ̂ é a média amostral.
A média amostral é o MLE do parâmetro µ da dist.Poisson.
Método da Máxima VerossimilhançaEstimadores: MLE
Estimadores Estimadores de Máxima Verossimilhança.
Sigla MLE = Maximum Likelihood Estimators.
ExemploPoisson O estimador µ̂ é a média amostral.
A média amostral é o MLE do parâmetro µ da dist.Poisson.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica
Os MLE atingem a menor variância dentre osestimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica
Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica
Os MLE atingem a menor variância dentre osestimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica
Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica
Os MLE atingem a menor variância dentre osestimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica
Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica
Os MLE atingem a menor variância dentre osestimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica
Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica
Os MLE atingem a menor variância dentre osestimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica
Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica Os MLE atingem a menor variância dentre os
estimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica
Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica Os MLE atingem a menor variância dentre os
estimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica
Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Para grandes amostras (n→∞) os MLE têm:
Consistência:
MLE convergem em probabilidade para o valor doparâmetro.
Isto é, os MLE são não-viciados.
E�ciênciaAssimptótica Os MLE atingem a menor variância dentre os
estimadores não-viciados.
NormalidadeAssimptótica Os MLE têm distribuição Gaussiana.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
Monotônicas
Transformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).Exponencial: ebµ.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
Monotônicas
Transformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).Exponencial: ebµ.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
Monotônicas
Transformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).Exponencial: ebµ.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
Monotônicas
Transformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).Exponencial: ebµ.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
MonotônicasTransformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).Exponencial: ebµ.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
MonotônicasTransformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).Exponencial: ebµ.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
MonotônicasTransformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).
Exponencial: ebµ.
Método da Máxima VerossimilhançaPropriedades dos MLE
Independentemente do tamanho da amostra, os MLEpossuem:
Invariância
Transformações monotônicas de MLE resultam em MLE.
Exemplos deTransformações
MonotônicasTransformação linear: a+ b µ̂.
Raiz quadrada:√µ̂.
Logaritmo: log(µ̂).Exponencial: ebµ.
Intervalos de VerossimilhançaRegra Canônica
Questão Mas quando decidir que uma razão de verossimilhançaindica estimativas com plausibilidade diferente?
Regra Canônica
Decisão arbitrária: requer convenção!
Convenção aceita: razões maiores que 8
indicam diferenças relevantes em plausibilidade.
Razão deVerossimilhança L{µ̂|Xn}
L{µ|Xn}≥ 8
Intervalos de VerossimilhançaRegra Canônica
Questão Mas quando decidir que uma razão de verossimilhançaindica estimativas com plausibilidade diferente?
Regra Canônica
Decisão arbitrária: requer convenção!
Convenção aceita: razões maiores que 8
indicam diferenças relevantes em plausibilidade.
Razão deVerossimilhança L{µ̂|Xn}
L{µ|Xn}≥ 8
Intervalos de VerossimilhançaRegra Canônica
Questão Mas quando decidir que uma razão de verossimilhançaindica estimativas com plausibilidade diferente?
Regra Canônica
Decisão arbitrária: requer convenção!
Convenção aceita: razões maiores que 8
indicam diferenças relevantes em plausibilidade.
Razão deVerossimilhança L{µ̂|Xn}
L{µ|Xn}≥ 8
Intervalos de VerossimilhançaRegra Canônica
Questão Mas quando decidir que uma razão de verossimilhançaindica estimativas com plausibilidade diferente?
Regra Canônica
Decisão arbitrária: requer convenção!
Convenção aceita: razões maiores que 8
indicam diferenças relevantes em plausibilidade.
Razão deVerossimilhança L{µ̂|Xn}
L{µ|Xn}≥ 8
Intervalos de VerossimilhançaRegra Canônica
Questão Mas quando decidir que uma razão de verossimilhançaindica estimativas com plausibilidade diferente?
Regra Canônica
Decisão arbitrária: requer convenção!
Convenção aceita: razões maiores que 8
indicam diferenças relevantes em plausibilidade.
Razão deVerossimilhança L{µ̂|Xn}
L{µ|Xn}≥ 8
Intervalos de VerossimilhançaRegra Canônica
Questão Mas quando decidir que uma razão de verossimilhançaindica estimativas com plausibilidade diferente?
Regra Canônica
Decisão arbitrária: requer convenção!
Convenção aceita: razões maiores que 8
indicam diferenças relevantes em plausibilidade.
Razão deVerossimilhança L{µ̂|Xn}
L{µ|Xn}≥ 8
Intervalos de VerossimilhançaRegra Canônica
Questão Mas quando decidir que uma razão de verossimilhançaindica estimativas com plausibilidade diferente?
Regra Canônica
Decisão arbitrária: requer convenção!
Convenção aceita: razões maiores que 8
indicam diferenças relevantes em plausibilidade.
Razão deVerossimilhança L{µ̂|Xn}
L{µ|Xn}≥ 8
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Intervalo deVerossimilhança
Os valores do parâmetro na vizinhaça da MLE (µ̂)
cuja razão de verossimilhança for menor ou igual a 8
terão igual plausibilidade.
L{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Verossimilhança RELATIVA⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≤ 1
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Intervalo deVerossimilhança
Os valores do parâmetro na vizinhaça da MLE (µ̂)
cuja razão de verossimilhança for menor ou igual a 8
terão igual plausibilidade.
L{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Verossimilhança RELATIVA⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≤ 1
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Intervalo deVerossimilhança Os valores do parâmetro na vizinhaça da MLE (µ̂)
cuja razão de verossimilhança for menor ou igual a 8
terão igual plausibilidade.
L{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Verossimilhança RELATIVA⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≤ 1
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Intervalo deVerossimilhança Os valores do parâmetro na vizinhaça da MLE (µ̂)
cuja razão de verossimilhança for menor ou igual a 8
terão igual plausibilidade.
L{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Verossimilhança RELATIVA⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≤ 1
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Intervalo deVerossimilhança Os valores do parâmetro na vizinhaça da MLE (µ̂)
cuja razão de verossimilhança for menor ou igual a 8
terão igual plausibilidade.
L{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Verossimilhança RELATIVA⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≤ 1
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Intervalo deVerossimilhança Os valores do parâmetro na vizinhaça da MLE (µ̂)
cuja razão de verossimilhança for menor ou igual a 8
terão igual plausibilidade.
L{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Verossimilhança RELATIVA⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≤ 1
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Intervalo deVerossimilhança Os valores do parâmetro na vizinhaça da MLE (µ̂)
cuja razão de verossimilhança for menor ou igual a 8
terão igual plausibilidade.
L{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Verossimilhança RELATIVA⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≤ 1
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Razão de Verossimilhança
Verossimilhança Relativa
20 25 30 35 40 45
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
µµ
Ver
ossi
milh
ança
RE
LAT
IVA
µµ
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Diferença da Log-Verossimilhança Negativa
RazãoL{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Diferença
− ln[L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
]≤ − ln
(18
)L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≤ ln(8) = 2, 0794
Log-Verossimilhança Negativa
RELATIVA ⇒ L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≥ 0
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Diferença da Log-Verossimilhança Negativa
RazãoL{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Diferença
− ln[L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
]≤ − ln
(18
)L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≤ ln(8) = 2, 0794
Log-Verossimilhança Negativa
RELATIVA ⇒ L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≥ 0
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Diferença da Log-Verossimilhança Negativa
RazãoL{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Diferença
− ln[L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
]≤ − ln
(18
)L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≤ ln(8) = 2, 0794
Log-Verossimilhança Negativa
RELATIVA ⇒ L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≥ 0
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Diferença da Log-Verossimilhança Negativa
RazãoL{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Diferença
− ln[L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
]≤ − ln
(18
)
L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≤ ln(8) = 2, 0794
Log-Verossimilhança Negativa
RELATIVA ⇒ L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≥ 0
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Diferença da Log-Verossimilhança Negativa
RazãoL{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Diferença
− ln[L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
]≤ − ln
(18
)L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≤ ln(8) = 2, 0794
Log-Verossimilhança Negativa
RELATIVA ⇒ L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≥ 0
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Diferença da Log-Verossimilhança Negativa
RazãoL{µ̂|Xn}L{µ|Xn}
≥ 8 ⇒ L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
≥ 18
Diferença
− ln[L{µ|Xn}L{µ̂|Xn}
]≤ − ln
(18
)L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≤ ln(8) = 2, 0794
Log-Verossimilhança Negativa
RELATIVA ⇒ L{µ|Xn} − L{µ̂|Xn} ≥ 0
Intervalos de VerossimilhançaIntervalo pela Diferença da Log-Verossimilhança Negativa
Log-Verossimilhança Negativa Relativa
20 25 30 35 40 45
05
1015
µµ
Log−
Ver
os. N
eg. R
ELA
TIV
Aµµ
Superfície de VerossimilhançaRegião de Verossimilhança
Mais de 1Parâmetros
Como fazer quando se têm mais de um parâmetro?
A função de verossimilhança formará uma superfície.
Será de�nido então uma região de verossimilhança.
Exemplo:DistribuiçãoGaussiana
Distr. Gaussiana têm dois parâmetros: µ e σ.
Superfície de VerossimilhançaRegião de Verossimilhança
Mais de 1Parâmetros
Como fazer quando se têm mais de um parâmetro?
A função de verossimilhança formará uma superfície.
Será de�nido então uma região de verossimilhança.
Exemplo:DistribuiçãoGaussiana
Distr. Gaussiana têm dois parâmetros: µ e σ.
Superfície de VerossimilhançaRegião de Verossimilhança
Mais de 1Parâmetros Como fazer quando se têm mais de um parâmetro?
A função de verossimilhança formará uma superfície.
Será de�nido então uma região de verossimilhança.
Exemplo:DistribuiçãoGaussiana
Distr. Gaussiana têm dois parâmetros: µ e σ.
Superfície de VerossimilhançaRegião de Verossimilhança
Mais de 1Parâmetros Como fazer quando se têm mais de um parâmetro?
A função de verossimilhança formará uma superfície.
Será de�nido então uma região de verossimilhança.
Exemplo:DistribuiçãoGaussiana
Distr. Gaussiana têm dois parâmetros: µ e σ.
Superfície de VerossimilhançaRegião de Verossimilhança
Mais de 1Parâmetros Como fazer quando se têm mais de um parâmetro?
A função de verossimilhança formará uma superfície.
Será de�nido então uma região de verossimilhança.
Exemplo:DistribuiçãoGaussiana
Distr. Gaussiana têm dois parâmetros: µ e σ.
Superfície de VerossimilhançaRegião de Verossimilhança
Mais de 1Parâmetros Como fazer quando se têm mais de um parâmetro?
A função de verossimilhança formará uma superfície.
Será de�nido então uma região de verossimilhança.
Exemplo:DistribuiçãoGaussiana
Distr. Gaussiana têm dois parâmetros: µ e σ.
Superfície de VerossimilhançaRegião de Verossimilhança
Grá�co de Contorno da Verossimilhança Relativa
µµ
σσ
10 20 30 40 50 60
1020
3040
5060
Superfície de Verossimilhança
Grá�co de Superfície da Verossimilhança Relativa
MédiaDes
vio P
adrã
oV
erossimilhança
Log-Verossimilhança Negativa
Grá�co de Contorno da Log-Verossimilhança NegativaRelativa
µµ
σσ
10 20 30 40 50 60
1020
3040
5060
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície
Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmotempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície
Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmotempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície
Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmotempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície
Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmotempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície
Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmotempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmo
tempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmo
tempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmo
tempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmo
tempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Modelos com Muitos ParâmetrosEvitando a Superfície de Verossimilhança
Parâmetros
De interesse.
Sem interesse.
Parâmetros inconvenientes (nuisance parameters).
Estudo daSuperfície Impraticável estudar muitos parâmetros ao mesmo
tempo.
Estudo direto da superfície é impossível.
Solução:
Estudar um parâmetro por vez.
Estudar �cortes� da superfície.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada
Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada
Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada
Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada
Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada
Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada
Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada
Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança Estimada e Per�lhada
VerossimilhançaEstimada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são mantidos �xos no valor da MLE.
VerossimilhançaPer�lhada Varia apenas o parâmetro de interesse.
Os demais são estimados condicionalmente ao valor doparâmetro de interesse.
Estimação por máxima verossimilhança.
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Log-Verossimilhança
Negativa L{µ, σ|Xn} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ)2
VerossimilhançaEstimadada Média
MLE do desvio padrão: σ̂.
LE{µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ̂2) +
12 σ̂2
n∑i=1
(xi − µ)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Log-Verossimilhança
Negativa L{µ, σ|Xn} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ)2
VerossimilhançaEstimadada Média
MLE do desvio padrão: σ̂.
LE{µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ̂2) +
12 σ̂2
n∑i=1
(xi − µ)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Log-Verossimilhança
Negativa L{µ, σ|Xn} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ)2
VerossimilhançaEstimadada Média
MLE do desvio padrão: σ̂.
LE{µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ̂2) +
12 σ̂2
n∑i=1
(xi − µ)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Log-Verossimilhança
Negativa L{µ, σ|Xn} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ)2
VerossimilhançaEstimadada Média
MLE do desvio padrão: σ̂.
LE{µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ̂2) +
12 σ̂2
n∑i=1
(xi − µ)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Log-Verossimilhança
Negativa L{µ, σ|Xn} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ)2
VerossimilhançaEstimadada Média
MLE do desvio padrão: σ̂.
LE{µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ̂2) +
12 σ̂2
n∑i=1
(xi − µ)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Verossimilhança Estimada da Média
10 20 30 40 50 60
01
23
µµ
Log−
Ver
. Neg
. Rel
ativ
a
µµ
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaEstimadado Desvio
Padrão
MLE da média: µ̂.
LE{σ|µ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ̂)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaEstimadado Desvio
Padrão
MLE da média: µ̂.
LE{σ|µ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ̂)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaEstimadado Desvio
Padrão
MLE da média: µ̂.
LE{σ|µ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ̂)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaEstimadado Desvio
Padrão
MLE da média: µ̂.
LE{σ|µ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln(σ2) +
12 σ2
n∑i=1
(xi − µ̂)2
Verossimilhança EstimadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Verossimilhança Estimada do Desvio Padrão
10 20 30 40 50 60
05
1015
20
σσ
Log−
Ver
. Neg
. Rel
ativ
a
σσ
Verossimilhança Per�lhadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaPer�lhadada Média
MLE do desvio padrão condicionado à média:
σ̂ =
√√√√ 1n
n∑i=1
(xi − µ)2
LP {µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln
[n∑i=1
(xi − µ̂)2]
+n
2
Verossimilhança Per�lhadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaPer�lhadada Média
MLE do desvio padrão condicionado à média:
σ̂ =
√√√√ 1n
n∑i=1
(xi − µ)2
LP {µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln
[n∑i=1
(xi − µ̂)2]
+n
2
Verossimilhança Per�lhadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaPer�lhadada Média
MLE do desvio padrão condicionado à média:
σ̂ =
√√√√ 1n
n∑i=1
(xi − µ)2
LP {µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln
[n∑i=1
(xi − µ̂)2]
+n
2
Verossimilhança Per�lhadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaPer�lhadada Média
MLE do desvio padrão condicionado à média:
σ̂ =
√√√√ 1n
n∑i=1
(xi − µ)2
LP {µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln
[n∑i=1
(xi − µ̂)2]
+n
2
Verossimilhança Per�lhadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
VerossimilhançaPer�lhadada Média
MLE do desvio padrão condicionado à média:
σ̂ =
√√√√ 1n
n∑i=1
(xi − µ)2
LP {µ|σ̂} =n
2ln(2π) +
n
2ln
[n∑i=1
(xi − µ̂)2]
+n
2
Verossimilhança Per�lhadaExemplo da Distrbuição Gaussiana
Verossimilhança Per�lhada
10 20 30 40 50 60
01
23
µµ
Log−
Ver
. Neg
. Rel
ativ
a
µµ
Verossimilhança Estimada e Per�lhadaComparação da Verossimilhança Estimada e Per�lhada
Comparação para Média
0 20 40 60 80
02
46
810
µµ
Log−
Ver
. Neg
. Rel
ativ
a
µµ
EstimadaPerfilhada
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