Generalizando um sistema de Segunda Ordem
• Frequência Natural do Sistema
• Relação de Amortecimento do Sistema
22
2
2 nn
n
sssG
n
Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento
Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Subida: tempo para a resposta variar de 10% até 90% do seu valor final;
• Tempo de Estabilização: tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 98% do valor de estado estacionário;
Parâmetros de Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem
• Tempo de Pico: tempo necessário para que a resposta alcance seu valor máximo;
• Ultrapassagem Percentual (Sobrenível Percentual): O quanto o valor da resposta (em Percentual) ultrapassa no tempo de pico o valor de estado estacionário da resposta.
Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida
máx
1,02
0,98
0,9 cfinal
0,10,1 cfinal
%100%21 XeUP
100/%ln
100/%ln22 UP
UP
21
n
pTn
sT 4
Ultrapassagem percentual em
função da relação de amortecimento
Relação de amortecimento,
Ultr
apas
sage
m p
erce
ntua
l,%U
P
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da relação de
amortecimento
0,11,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,2
0,40,5
0,80,6
Exemplo
• Encontre para uma entrada degrau para o sistema abaixo
sp TeUPT %,
10015
1002
ss
sG
plano s
2
22 1cos
nn
n
RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE RESPOSTA AO DEGRAU E A POSIÇÃO DOS PÓLOS DE G(S) NO PLANO “s”
AMORTECIDANATURALFREQUÊNCIAd
AMORTECIDALEXPONENCIAFREQUÊNCIAd
dn
pT
21
dnsT
44
AMORTECIDALEXPONENCIAFREQUÊNCIA
AMORTECIDAOSCILAÇÃODEFREQUÊNCIA
d
d
Linhas de valores constantes para tempo de pico, Tp, tempo de assentamento, Ts, e ultrapassagem percentual, %UP - Nota: %UP1 < %UP2
2
22 1cos
nn
n
dn
pT
21
plano s
%UP1
%UP2
dnsT
44
Respostas ao degrau de sistemas de segunda
ordem subamortecidos à medida que os pólos
se movem:a. com parte real
constante;b. com parte imaginária
constante;c. com relação de amortecimento
constante.
A mesma envoltória
A mesma freqüência
A mesma ultrapassagem
plano s
plano s
plano s
Movimentaçãodo pólo
Movimentaçãodo pólo
Movimentaçãodo pólo
Exemplo:Encontre
plano s
spn TUPT ,,%,,
%100%21 xeUP
100/%ln
100/%ln22 UP
UP
21
n
pTn
sT 4
Resposta de Sistemas com três pólos
rdn
dn
sD
sCsB
sAsC
22
tdd
t rn DetCsentBeAtc cos
Influência de Terceiro Pólo em um sistema de Segunda Ordem
• Quanto menor a Constante de Tempo do pólo menor sua influência na resposta
• Quanto mais a esquerda do plano “s” estiver o pólo menor será o resíduo associado a este pólo (ver exemplo a seguir)
Influência do Resíduo do Terceiro Pólo
000045,0,0067,0,135,0
0024,0....)10(22
2
024,0....)5(22
2
5,0....)2(22
2
1052
102
52
22
eee
etcssss
sC
etcssss
sC
etcssss
sC
t
t
t
Validade de aproximação de Segunda Ordem
• Como os pólos adicionais devem estar o mais à esquerda do eixo imaginário, consideraremos que um sistema com três (ou mais) pólos pode ser aproximado por um Sistema de Segunda Ordem se os pólos adicionais estiverem a esquerda dos pólos dominantes, pelo menos cinco vezes mais distantes.
EXEMPLO•
• -2.0000 + 4.5323i• -2.0000 - 4.5323i
3542,244626,73
10542,24442,245542,244
542,24
23
22
21
sssssC
sssssC
ssssC
Respostas ao degrau dos
sistemas T1(s), T2(s) e T3(s)
Tempo (s)
Res
post
a no
rmal
izad
a
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Resposta de sistema com Zeros
• Influenciam no valor das constantes na expansão em frações parciais;
• Se comporta como um fator de ganho;• Quanto mais a esquerda do eixo imaginário
menor sua influência na forma da resposta;
saCssCassC
Efeito de adicionar um
zero a um sistema com
dois pólos
Tempo (s)
c (t)
nor
mal
izad
a
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
zero emzero emzero emsem zeros
2,0 4,0 6,0
828,21: jemPólos
Resposta ao degrau de um
sistema de fase não-mínima
(Zero do lado direito do plano “s”)
Tempo (s)
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
0,5
1,0
1,5
–0,5
Cancelamento de Pólos e Zeros
01,4
033,06
4,45
3,587,05,3
16
5,35
5,31
01,465425,26
5,365425,26
2
1
2
1
sssssC
sssssC
ssssssC
ssssssC
Exercícios
• Capítulo 4:– Exercícios de avaliação números: 4.1, 4.3, 4.4, 4.5,
4.6– Exemplos: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 e 4.8– Problemas: 2, 4, 8, 18, 19, 20, 23, 24, 28, 29 e 30
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