Geometria espacial
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Nome do professor
IntroduçãoA geometria espacial estuda as propriedades de figuras
que são construídas a partir de certos elementos
primitivos (básicos) do espaço: pontos, retas e planos.
Ao invés de procurarmos definições para esses
elementos, iremos caracterizá-los por propriedades
fundamentais, denominadas postulados ou axiomas.
Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma
sentença ou proposição que não é provada ou
demonstrada e é considerada como óbvia ou como um
consenso inicial necessário para a construção ou
aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como
verdade e serve como ponto inicial para dedução e
inferências de outras verdades (dependentes de teoria).
Ao longo do curso, você notará que a geometria espacial
é uma extensão de toda a geometria plana já
previamente conhecida, isto é, todas as propriedades e
teoremas já estudados continuam sendo válidos no
espaço tridimensional.
Convenções Os pontos serão denotados por letras maiúsculas de
nosso alfabeto;
As retas serão denotadas por letras minúsculas de
nosso alfabeto;
Os planos serão denotados por letras minúsculas do
alfabeto grego (𝛼,𝛽, 𝛾, 𝛿,𝜋,… )
Por facilidade e questão de comodidade, um plano será
geralmente representado por um paralelogramo. Não
intua que isso implica que o mesmo é limitado. Isso
apenas facilita a visualização da situação.
Postulados entre pontos e retas
Por dois pontos do espaço passa uma e somente
uma reta;
Dada uma reta do espaço, existem pontos que
pertencem à reta e pontos que não pertencem à
reta.
Postulados entre pontos e planos
Por três pontos do espaço não situados na mesma
reta passa um e somente um plano;
Dado um plano do espaço, existem pontos que
pertencem ao plano e pontos que não pertencem
ao plano.
Postulado da inclusão da reta no plano
Se uma reta possui dois pontos distintos em um
determinado plano, então a reta está contida no
plano.
Posição relativa entre retas
Concorrentes: duas retas distintas são concorrentes se
possuírem um único ponto em comum
Caso o ângulo de intersecção seja igual a 90°, as retas
serão denominadas perpendiculares
Paralelas: duas retas são paralelas se:
ou são coincidentes;
ou são coplanares (mesmo plano) sem
intersecção.
Reversas: duas retas distintas são reversas se não são
coplanares
Observe outro exemplo de pares de retas reversas:
No octaedro apresentado, as retas que contém as
arestas 𝐴𝐶 e 𝐸𝐷 são exemplos de retas reversas, visto
que não pertencem a um mesmo plano.
Finalmente temos também as retas ortogonais.
Duas retas são ortogonais se existir uma paralela a uma
delas que seja perpendicular à outra.
Observe alguns exemplos de retas ortogonais:
Na figura, 𝑡 e 𝑟 formam um par de retas reversas.
Porém, caso se interceptassem, formariam um ângulo
de 90°.
No cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, tomamos as retas que contém os
lados 𝐴𝐷 e 𝐶𝐺, por exemplo. São retas reversas pois
pertencem a planos distintos. Observe que nesse caso
também são retas ortogonais, visto que as faces do cubo
são perpendiculares entre si.
No cubo 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, tomamos as retas que contém os
lados 𝐴𝐷 e 𝐶𝐺, por exemplo. São retas reversas pois
pertencem a planos distintos. Observe que nesse caso
também são retas ortogonais, visto que as faces do cubo
são perpendiculares entre si.