Geometria Euclidiana revisitada
A reta de Euler
João Lucas Marques Barbosa
Universidade Federal do Ceará
Leonhard Euler (1707-1783)
..
A BM
Seja AB um segmento Seja M o ponto médio de AB
Trace a reta m perpendicular a AB passando pelo ponto M
m
A reta m é chamada de bissetor perpendicular do segmento AB.
..
A BM
P
Seja P um ponto dessa reta. Trace PA e trace PB
Segue-se que PA = PB
m
Portanto, os pontos do bissetor de um segmento são eqüidistantes de suas extremidades.
..
A B
P
Inversamente,
Na figura abaixo suponha apenas que:
PA=PB
Seja M o ponto médio de AB.
M
Trace a reta m por P e M
m
Então AMP = BMP. Portanto, m e AB são perpendiculares
Logo m é o bissetor perpendicular ao segmento AB
Teorema: O bissetor perpendicular ao segmento AB é constituído dos pontos eqüidistantes de A e de B.
Provamos portanto o seguinte teorema:
Corolario: Os bissetores perpendiculares aos lados de um triângulo se encontram em um ponto.
O ponto O é eqüidistante dos 3 vértices. Por isto é chamado de cincuncentro do triângulo.
A
BC
M
N
PO
..
P, M, B, são pontos médios
PO e MO são bissetores perpendiculares
Logo: CO = AO = OB
Trace as 3 alturas do triângulo
Proposição: As alturas dos vértices de um triângulo se encontram em um ponto.
Por cada vértice trace uma reta paralela ao lado oposto
Tal ponto é chamado de ORTOCENTRO do triângulo
Os 4 triângulos são congruentes!!
As alturas do triângulo original são o bissetores perpendiculares do triângulo gigante!!
Logo se interceptam!!
Uma CEVIANA é um segmento ligando um vértice de um triângulo ao lado oposto.
Teorema de Cevas: Seja ABC um triângulo, X um ponto de AB, Y um ponto de BC e Z um ponto de CA. As cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto se e somente se:
AXXB
BYYC
CZZA
=1
A
B C
X
Y
Z
A
CB
X
Y
E
D
Z
nm
Trace retas m e n paralelas a AY
Prolongue BZ até E em n
Prolongue CX até D em m
P
A
B
XD P
A
C
EZ
P
AXXB
APBD
CZZA
CEAP
AXXB
APBD
CZZA
CEAP
A
CB
X
Y
E
D
Z
nm
P
BYBC
YPCE
BCYC
BDYP
AXXB
APBD
CZZA
CEAP
CB Y
E
P
CB Y
D P
BYBC
YPCE
BCYC
BDYP
A
CB
X
Y
E
D
Z
nm
P
A XX B
A PB D
CZZA
CEAP
BYBC
YPCE
BCYC
BDYP
Multiplique estas igualdades termo a termo para obter
AXXB
CZZA
BYBC
BCYC
APBD
CEAP
YPCE
BDYP
1
Cancelando obtém-se
AXXB
BYYC
CZZA
1
Portanto, provamos que:
Se as cevianas AY, CX e BZ se encontram em um ponto então:
AXXB
BYYC
CZZA
=1
A
B C
X
Y
Z
Vamos agora provar que:
Dado um triângulo ABC em que AY, BZ e CX são cevianas, se
AXXB
BYYC
CZZA
=1
então as cevianas se encontram em um ponto.
PROVA: Escolha um ponto W em BC de modo que AW, BZ e CX se encontrem.
A
Z
W
X
CB
Então, pelo que já provamos:
AXXB
BWWC
CZZA
1AXXB
BYYC
CZZA
=1
Logo:B WW C
B YY C
e, portanto,
Y
BW WCWC
BY YCYC
BCWC
BCYC
Logo:
WC YC Y = W
Uma Mediana é uma ceviana ligando um vértice ao ponto médio do lado oposto.
A
BC M
AM = MB
Proposição: As três medianas de um triângulo se encontram em um ponto.
A
B
C
X
Y
Z
AY, BZ e CX são as três medianas, logo:
1ZB
AZ1
YC
BY
1XA
CX
Portanto: 1XA
CX
YC
BY
ZB
AZ
Pelo Teorema de Cevas AY, BZ e CX se interceptam
O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo
Corolário: A distância do baricentro a cada vértice é 2/3 do comprimento da mediana.
A
BC
Y X
Z
AZAO3
2O
Corolário: A distância do baricentro a cada vértice é 2/3 do comprimento da mediana.
O Ponto de encontro das Medianas é chamado BARICENTRO do triângulo
A
BC
Y X
Z
O AZAO3
2
Prova:CX e BY são duas medianas e O é o Baricentro.
P Q
P é o ponto médio de CO. Q é o ponto médio de BO. Trace YX e PQObserve que AXY e ABC são semelhantes
Observe que OQP e OBC são semelhantes
XY = (1/2) BC
XY paralelo a BC
PQ = (1/2) BC
PQ paralelo a BC
YXQP é um paralelogramo XO = PO = CP
Trace YPTrace XQ
Teorema: Dado um triângulo ABC, seja U o circuncentro, S o baricentro e O o ortocentro. Então os pontos U, S e O estão sobre uma mesma reta (a qual é denominada reta de Euler).Alem disto, eles estão situados na reta na ordem U, S, O e estão espaçados de modo que SO = 2 SU.
A B
C
M
US
O
M = ponto médio de AB
U = circuncentro de ABC
MU é perpendicular a AB
S = Baricentro de ABC
Prolongue US até o ponto O de modo que SO = 2 SU
Lembre que SC = 2 SM
Portanto: SUM e SOC são semelhantes
Logo: MU e CO são paralelos
Conclusão: O ponto O esta na perpendicular baixada de C ao lado AB
O mesmo argumento repetido a partir de cada lado demonstra que: o ponto O
esta na perpendicular baixada de A ao lado CB e
esta na perpendicular baixada de B ao lado AC.
Portanto O é o ortocentro de ABC
E o teorema fica demonstrado
João Lucas Barbosa
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