1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos
Capítulo IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier
DISCIPLINA
José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química – UFRJ
[email protected], [email protected]. 21-2562-7535
2J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
{ }
{ }
{ }FourierdeSérie:.F.S
)x(funçõesdeortogonalfamíliaparaSímbolo:
IntegrávelQuadradodefunçãoparaSigla:.I.Q
)x(funçõesdefamíliaàassociado)(Intervalo:]b,a[
)0)x(p(funçõesdefamíliadapesoFunção:)x(p
]b,a[emxdefunçõesde,...)2,1,0n(initainfFamília:)x(
teindependenVariável:x
n
n
n
φ
φ
φ
⊥
ℜ⊂
≥
=
3J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
)x(sen)x(F,x)x(F.Ex)x(F)x(FÍmparé)x(F
)xcos()x(F,x)x(F.Ex)x(F)x(FParé)x(F
:ÍmparFunçãoeParFunção
3
2
==−=−⇒
===−⇒
0)0()0()0()0()0(
:0);()(:
0)0()(
=⇒−=⇒−=−
=−=−
=⇒
FFFFF
xComxFxFãoDemonstraç
FContínuaeÍmparéxF
0dy).y(Fdx).x(Fdy).y(Fdx).x(F
dx).x(Fdx).x(Fdx).x(Fdx).x(Fdx).x(F:ãoDemonstraç
0dx).x(FÍmparé)x(F
a
0
a
0
a
0
a
0
a
0
a
0
a
0
0
a
a
a
a
a
=−=−+
=−=+=
=⇒
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫
−
−−
−
4J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
1xdxdxx
1x
:x)x(psob]1,0[em.I.Qéx/1)x(g:2Exemplo
x
1dx
x
1
:1)x(psob]1,0[em.I.QéNãox/1)x(g:1Exemplo
dx)x(F).x(p.e.i;existedx)x(F).x(p
:quando)x(psob]b,a[em.I.Qé)x(F
10
1
0
1
02
2
2
1
0
1
02
b
a
2b
a
2
===
==
+∞=−=
==
∞<
∫∫
∫
∫∫
Função Q.I.
5J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
{ }
∫
∫
=>=
≠=
b
an
2n
b
amn
n
)mn(0Kdx)x().x(p
)mn(0dx)x().x().x(p
:)x(psob]b,a[em.I.QFunçõesdeOrtogonalFamíliaé)x(
φ
φφ
φ
Família Ortogonal de Funções
{ϕϕϕϕn(x)} é ⊥⊥⊥⊥
1a
1b
6J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
{ } 1)x(psob],[em.I.QFunçõesdeFamíliaé,...)2,1n()nx(sen =−⊥= ππ
)mn(0Kdx)nx(sen n2 =>=∫
−
π
π
∫−
≠=π
π
)mn(0dx)mx(sen).nx(sen
Família Ortogonal de Funções Exemplo
7J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
{ } 1)x(psob],[em.I.QFunçõesdeFamíliaé,...)2,1n()nx(sen =−⊥= ππ
)mn(0m/n1
0dx)mx(sen).nx(sen
dxn/m
)mx(sen)nx(sen
n/m
)mx(sen)nxcos(dx)mx(sen).nx(sen
dxn/m
)mxcos()nxcos(dx)mx(sen).nx(sen
dxn/m
)mxcos()nxcos(
m
)mxcos()nx(sendx)mx(sen).nx(sen
22
222
≠=−
=
+−
=
=
+−−
=
∫
∫∫
∫∫
∫∫
−
−−
−−
−−
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
0
0
∫−
≠=π
π
)mn(0dx)mx(sen).nx(sen
Família Ortogonal de Funções Exemplo
8J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
{ } 1)x(psob],[em.I.QFunçõesdeFamíliaé,...)2,1n()nx(sen =−⊥= ππ
∫
∫∫
−
−−
==
>=−
−−
=−
=
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
)mn(dx).mx(sen).nx(sen
0n4
)nx2(sen
2
xdx
2
)nx2cos(1dx)nx(sen2
0
∫−
=>=π
π
π )mn(0dx).mx(sen).nx(sen
Família Ortogonal de Funções Exemplo
9J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
{ }
∫
∫
==
≠=
b
a
2n
b
amn
n
)mn(1dx)x().x(p
)mn(0dx)x().x().x(p
:)x(psob]b,a[em.I.QFunçõesdeOrtonormalFamíliaé)x(
ψ
ψψ
ψ
Família Ortonormal de Funções
2a
2b
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Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
Converter Família Ortogonal de Funções em Família Ortonormal
{ }
∫
∫
=>=
≠=
b
a
nn
b
a
mn
n
mnKdxxxp
mndxxxxp
xpsobbaemIQFunçõesdeOrtogonalFamíliaéx
)(0)().(
)(0)().().(
:)(],[..)(
2φ
φφ
φ
n
nn
K
)x()x(seDefinindo
φψ =−
{ } :quetal)x(Teremos nψ
11J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
1K
Kdx)x().x(p
K
1dx)x().x(p
)mn(0dx)x().x().x(pKK
1dx)x().x().x(p
n
nb
a
2n
n
b
a
2n
b
amn
mn
b
amn
===
≠==
∫∫
∫∫
φψ
φφψψ
Converter Família Ortogonal de Funções em Família Ortonormal
{ψψψψn(x)} é Ortonormal
12J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições
{ } 1)x(psob],[em.I.QFunçõesdeFamíliaé,...)2,1n()nx(sen =−⊥= ππ
Família Ortonormal de Funções Exemplo
πψ
)nx(sen)x(seDefinindo n =−
==∫−
ππ
π
n2 Kdx)nx(sen
1)(],,[..)(
=−
xpsobemIQFunçõesdeOrtonormalFamíliaénxsen
πππ
1)(1
)().(
)(0)().(1
)()()(
22 ==
≠==
∫∫
∫∫b
a
b
a
n
b
a
b
a
mn
dxnxsendxxxp
mndxmxsennxsendxxxxp
pois
πψ
πψψ
13J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
∞<∫b
a
2 dx)x(F).x(p
:)x(psob]b,a[em.I.Q)x(F
#### 1: Considere F(x) Q.I. em [a,b] sob p(x)
#### 2: Considere a Família Ortogonal {ϕϕϕϕn(x)} em [a,b] sob p(x)
{ }
∫
∫
=>=
≠=
⊥
b
an
2n
b
amn
n
)mn(0Kdx)x().x(p
)mn(0dx)x().x().x(p
:)x(psob]b,a[em.I.QFunçõesdeFamíliaé)x(
φ
φφ
φ
14J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
∑∞
=
=1n
nn )x(A)x(E φ
#### 3: Considere a Série Infinita E(x) construída com {ϕϕϕϕn(x)}
#### 4: Considere o Resíduo de E(x) com respeito a F(x)
∑∞
=
−=−=ℑ1n
nn )x(A)x(F)x(E)x(F)x( φ
Note que a Série de E(x) poderá não convergir para certos x ou mesmo para nenhum x . Naturalmente, admitimos o contrário ...
#### 5: Considere a Medida da falta de aderência de E(x) a F(x) :
0dx).x().x(pb
a
2 >ℑ= ∫Ξ
3
4
15J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
∫ ∑
−=
∞
=
a
a
2
1nnn dx)x(A)x(F)x(p φΞ
#### 6: Calculamos este Funcional de Falta de Aderência a F(x)
#### 7: Devido à Ortogonalidade da Família :
∑∑ ∫
∫ ∫∑
∞
=
∞
=
∞
=
+
+−=
1n 1m
b
amnmn
a
a
b
an
1nn
2
dx).x()x()x(pAA
dx).x()x(F)x(pA2dx).x(F).x(p
φφ
φΞ
∑ ∫∫ ∫∑∞
=
∞
=
+−=1n
b
a
2n
2n
a
a
b
an
1nn
2 dx).x()x(pAdx).x()x(F)x(pA2dx).x(F).x(p φφΞ
5
16J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
}A{}A{}A{
de.Est.PtoMinmédiana)x(Min
nnn
ΞΞ ⇒⇒ℑ
#### 8: Obtemos coeficientes { An } para maximizar aderência da S.F.
}{
,...)2,1(0..
n
k
A
kA
EP ==∂
Ξ∂⇔Ξ
17J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
#### 8: Obtemos coeficientes { An } para maximizar aderência da S.F.
∑ ∫∫ ∫∑∞
=
∞
=
+−=1n
b
a
2n
2n
a
a
b
an
1nn
2 dx).x()x(pAdx).x()x(F)x(pA2dx).x(F).x(p φφΞ
,...)2,1k(0Ak
==∂
∂Ξ
⇔=∂
∂0
Ak
Ξ 0dx).x()x(pA2dx).x()x(F)x(p2b
a
2kk
b
ak =+− ∫∫ φφ
,...)2,1k(
dx).x()x(p
dx).x()x(F)x(p
Ab
a
2k
b
ak
k ==
∫
∫
φ
φCoeficientes de Fourier
6
18J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Coeficientes { An } na Expansão de F(x) em {ϕϕϕϕn(x)} obtidos de modo a Minimizar o Funcional :
,...)2,1k(
dx).x()x(p
dx).x()x(F)x(p
Ab
a
2k
b
ak
k ==
∫
∫
φ
φCoeficientes de Fourier
∫ ∑
−=
∞
=
a
a
2
1nnn dx)x(A)x(F)x(p φΞ
∑∞
=
=1n
nn )x(A)x(E φ
Série de Fourier de F(x) em {ϕϕϕϕn(x)} Resumo
6
3
4
19J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
0dx)x(F).x(p
:quando),x(psob]b,a[emNulaFunçãoé)x(Fb
a
2 =∫
Função Nula
Note que F(x) = 0 é Função Nula; mas não necessariamente F(x)
deve ser identicamente nula para ser Função Nula. A função seguinte é uma Função Nula em [a,b] sob p(x) e não é identicamente nula:
a bx
F(x)
7
20J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
0)().()(],[)( 2 =⇒ ∫b
a
dxxFxpxpsobbaemNulaFunçãoxF
Observamos também que qualquer função multiplicada por uma Função Nula é também uma Função Nula. Sendo F(x) Função Nula:
,...)2,1(0).().().( ==∫ ndxxxFxpb
a
nφ
{ } ).(],[)( xpsobbaemFamíliaxn ⊥φ
Isto é, a Função Nula é Ortogonal a Todos os Membros de uma Família Ortogonal de Funções.
8
Função Nula
21J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Naturalmente cabe perguntar se a relação (8) valeria também para funções F(x) que não fossem Funções Nulas. Isto é, se haveria F(x)
Ortogonal a toda uma Família Ortogonal de Funções, onde F(x) não é uma Função Nula.
,...)2,1(0).().().( ==∫ ndxxxFxpb
a
nφ
{ } ).(],[)( xpsobbaemFamíliaxn ⊥φ
,...)2,1k(0
dx).x()x(p
dx).x()x(F)x(p
Ab
a
2k
b
ak
k ===⇒
∫
∫
φ
φNeste caso, todos os coeficientes An da S.F. de F(x) valem Zero :
22J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
A Família { cos(nx) } (n=0,1,2,...) é Ortogonal em [-ππππ,ππππ ] com p(x)=1
,...)2,1,0(0
).(cos
).cos(.
).()(
).()()(
22
====
∫
∫
∫
∫
−
− k
dxkx
dxkxx
dxxxp
dxxxFxp
Ab
a
k
b
a
k
k π
π
π
π
φ
φ
0.)(cos),(0).cos().cos( 2 >≠= ∫∫−−
dxnxmndxmxnxπ
π
π
π
Mas os coeficientes de Fourier da função F(x) = x nesta Família são todos Nulos, embora esta função Não seja uma Função Nula :
Por que ?
23J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Como visto, Não Basta a Ortogonalidade da Família {ϕϕϕϕn(x)} para garantir que qualquer função Q.I. tenha expansão em S.F. sobre os membros da Família.
O que é Necessário é que a Família, além de Ortogonal, seja Completa de acordo com a seguinte definição :
∫ ==b
a
n
n
ndxxxFxp
NulaFunçãoxF
paraapenasValereSegulaçãoaseCompletaserditaé
xppesosobbaemxOrtogonaisFunçõesdeFamíliaA
,...)2,1(0).().().(
:)(
intRe
),(],[)}({
φ
φ
24J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Como visto, Não Basta a Ortogonalidade da Família {ϕϕϕϕn(x)} para garantir que qualquer função Q.I. possa tenha expansão em S.F. sobre os membros da Família.
O que é Necessário é que a Família, além de Ortogonal, seja Completa de acordo com a seguinte definição :
∫ ==b
a
n
n
ndxxxFxp
NulaFunçãoxF
paraapenasValereSegulaçãoaseCompletaserditaé
xppesosobbaemxOrtogonaisFunçõesdeFamíliaA
,...)2,1(0).().().(
:)(
intRe
),(],[)}({
φ
φ
i.e. para Todos os Membros da Família !
25J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Teorema 4.1
.
)()(
.
,)(
).(],[
)}({
..)()()(
1
1
NulaFunçãoumapor
MáximonoxFdeDiferexESériedaSomaaEntão
TermoaTermo
IntegradaserpodendoeConvergentxASérieaSeja
xppesosobbaem
xOrtogonaisFunçõesdeCOMPLETAFamíliadatermosem
IQxFFunçãodaxAxEExpansãoaSeja
nnn
n
nnn
∑
∑
∞
=
∞
=
=
φ
φ
φ
26J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Teorema 4.1 Demonstração
)}.({)(..;
)(
)()()(
)()()(
..Re
1
xdemembrosostodosaéxqueeiNulaFunção
umaéxquemostrardevemosTeoremaodemonstrarPara
xAxFx
xExFx
FSdasíduooSeja
n
nnn
φ
φ
⊥ℑ
ℑ
−=ℑ
−=ℑ
∑∞
=
27J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Teorema 4.1 Demonstração
:(.)int)().()( ∫ℑb
a
k dxegrandoexxpporxndoMultiplica φ
∑ ∫∫∫∞
=
−=ℑ1n
b
aknn
b
ak
b
ak dx)x()x()x(pAdx)x()x(F)x(pdx)x()x()x(p φφφφ
:FamíliadadadeOrtogonaliaUsando
∫∫∫ −=ℑb
a
kkk
b
a
k
b
a
k dxxxxpAdxxxFxpdxxxxp )()()()()()()()()( φφφφ
28J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Teorema 4.1 Demonstração
∫∫∫ −=ℑb
a
kkk
b
a
k
b
a
k dxxxxpAdxxxFxpdxxxxp )()()()()()()()()( φφφφ
:FourierdeesCoeficientosCom
,...)2,1(0
).()(
).()()(
2
===
∫
∫k
dxxxp
dxxxFxp
Ab
a
k
b
a
k
k
φ
φ
,...)2,1(
0)()()()()()()()()(
=
=−=ℑ ∫∫∫
k
dxxxFxpdxxxFxpdxxxxpb
a
k
b
a
k
b
a
k φφφ
29J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Teorema 4.1 Demonstração
NulanteIdenticameouNulaFunçãoxAxF
toPor
NulaFunçãoéxkdxxxxp
nnn
b
a
k
≡−
ℑ⇒==ℑ
∑
∫
∞
=1
)()(
tan
)(,...)2,1(0)()()(
φ
φ
Requisitos :(1) F(x) Q.I. em [a,b] sob p(x)
(2) { ϕϕϕϕn(x) } Ortogonal em [a,b] sob p(x) e Completa(3) S.F. Converge e Integrável Termo a Termo
30J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
( ) 0dx)x(S)x(F)x(p
n
limb
a
2n =−
∞→∫
Definição 4.1 : A Sequência de Funções Sn(x) é dita convergir na média para F(x) , Q.I. em [a,b] sob p(x), se :
Definição 4.2 : Se Sn(x) é a n-ésima Soma Parcial da S.F. de F(x), qualquer Q.I. em [a,b] sob p(x), em termos da Família Ortogonal {ϕϕϕϕn(x)}, em [a,b] sob p(x) :
9
∑=
=n
1kkkn )x(A)x(S φ
e Sn(x) Converge na Média para F(x), então {ϕϕϕϕn(x)} é Fechado.
10
31J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
A Igualdade de Parseval para Família Ortogonal Fechada.
Seja {ϕϕϕϕn(x)}, Família Ortogonal em [a,b] sob p(x), Fechada;Seja F(x) Q.I. em [a,b] sob p(x); Então vale a Igualdade de Parseval abaixo: Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
∫∑∫∞
=
=b
a
nn
n
b
a
dxxxpAdxxFxp )()()()( 2
1
22 φ
:..,1)()( 2 clássicaPIasetemdxxxpOrtonormalFamíliaComb
a
n −=∫ φ
∑∫∞
=
=1
22 )()(n
n
b
a
AdxxFxp12
11
32J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
( )
0)()()(lim
0)()()(lim
:)}({
)()(:)(..
.)}({).(],[)}({
2
1
2
1
=
−
∞→
=−
∞→
=
⊥
∫ ∑
∫
∑
=
=
dxxAxFxp
N
dxxSxFxp
N
FechadaéxComo
xAxSNOrdemdexFdeFSeAproximantoSeja
Fechadaétambémxxpsobbaeméx
b
a
N
nnn
b
a
N
n
N
nnnN
nn
φ
φ
φ
φφ
33J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
+
−
∞→
=
=
−
∞→
∑∑ ∫
∫∑∫
∫ ∑
= =
=
=
N
k
N
n
b
a
nknk
b
a
n
N
nn
b
a
b
a
N
nnn
dxxxxpAA
dxxxFxpAdxxFxp
N
dxxAxFxp
N
1 1
1
2
2
1
)()()(
)()()(2)()(
lim0
0)()()(lim
φφ
φ
φ
34J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
+−
∞→
=
−
∑ ∫∫∑∫==
N
n
b
a
nn
b
a
n
N
nn
b
a
dxxxpAdxxxFxpAdxxFxp
N
setornarelaçãoaFamíliadadadeOrtogonaliàDevido
1
22
1
2 )()()()()(2)()(lim0
:,
φφ
∫
∫= b
a
n
b
a
n
n
dxxxp
dxxxFxp
AFourierdeesCoeficientosCom
).()(
).()()(
:2φ
φ
+−
∞→
= ∑ ∫∫∑∫==
N
n
b
a
nn
b
a
n
N
nn
b
a
dxxxpAdxxxpAdxxFxp
N1
222
1
22 )()()()(2)()(lim0 φφ
35J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
+−
∞→
= ∑ ∫∫∑∫==
N
n
b
a
nn
b
a
n
N
nn
b
a
dxxxpAdxxxpAdxxFxp
N1
222
1
22 )()()()(2)()(lim0 φφ
−
∞→
= ∫∑∫=
b
a
n
N
nn
b
a
dxxxpAdxxFxp
N
)()()()(lim0 2
1
22 φ
∫∑∫∞
=
−=b
a
nn
n
b
a
dxxxpAdxxFxp )()()()(0 2
1
22 φ
∫∑∫∞
=
=b
a
nn
n
b
a
dxxxpAdxxFxp )()()()( 2
1
22 φ 11
36J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
∫∑∫∞
=
=b
a
nn
n
b
a
dxxxpAdxxFxp )()()()( 2
1
22 φ11
:
,1)()(:,, 2
ParsevaldeIgualdadedaclássicaformaasetem
dxxxpOrtonormaléFamíliaaenteadicionalmSeb
a
n
−
=∫ φ
∑∫∞
=
=1
22 ).().(n
n
b
a
AdxxFxp 12
37J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Observação : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
.)(],[)}({ COMPLETAexpsobbaemxpara
mostradaserpoderiatambémParsevaldeIgualdadeA
n ⊥φ
0)()()(:
.)()(,)}({
2
1
1
=
−
−=ℑ
∫ ∑
∑
∞
=
∞
=
b
a nnn
nnnn
dxxAxFxpNulaFunçãodedefiniçãoPela
NulaFunçãoéAxFxCompletaxSendo
φ
φφ
dxxxxpAA
dxxxFxpAdxxFxp
mnn m
b
a
mn
nn
b
a
n
b
a
).().().(
).().().(2).().(0
1 1
1
2
φφ
φ
∑∑ ∫
∑ ∫∫∞
=
∞
=
∞
=
+
−=
38J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
dxxxpAdxxxFxpAdxxFxp
dadeOrtogonaliPela
nn
b
a
nnn
b
a
n
b
a
).().().().().(2).().(0
:
2
1
2
1
2 φφ ∑ ∫∑ ∫∫∞
=
∞
=
+−=
∫
∫=
b
a
n
b
a
n
n
dxxxp
dxxxFxp
AFourierdeesCoeficientosCom
).()(
).()()(
:2φ
φ
dxxxpAdxxxpAdxxFxp nn
b
a
nnn
b
a
n
b
a
).().().().(2).().(0 2
1
22
1
22 φφ ∑ ∫∑ ∫∫∞
=
∞
=
+−=
dxxxpAdxxFxp nn
b
a
n
b
a
).().().().(0 2
1
22 φ∑ ∫∫∞
=
−=
39J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Demonstração : Teorema 4.2
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
dx).x().x(pAdx).x(F).x(p 2n
1n
b
a
2n
b
a
2 φ∑ ∫∫∞
=
= 11
Clássica.P.Iasetem,1dx)x()x(pOrtonormalFamíliaComb
a
2k −=∫ φ
∑∫∞
=
=1n
2n
b
a
2 Adx).x(F).x(p 12
dxxxpAdxxFxp nn
b
a
n
b
a
).().().().(0 2
1
22 φ∑ ∫∫∞
=
−=
40J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Seja {ϕϕϕϕn(x)}, Família Ortogonal em [a,b] sob p(x), Completa;Então {ϕϕϕϕn(x)} é também Fechado com respeito ao espaço de funções Q.I. em [a,b] sob p(x) Teorema 4.3
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Seja {ϕϕϕϕn(x)}, Família Ortogonal em [a,b] sob p(x), Fechada com respeito ao espaço de funções Q.I. em [a,b] sob p(x).
Então {ϕϕϕϕn(x)} é também Completa. Teorema 4.4
41J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Construir a S.F. de F(x) = x com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U
{cos(nx) (n=0,1,...)}. A Família {ϕϕϕϕn(x)} é Ortogonal em [-ππππ,ππππ ],
com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.1
,...)2,1,0(0
).(cos
).cos(.
2
===
∫
∫
−
− k
dxkx
dxkxx
Ak π
π
π
π
∑ ∑∞
=
∞
=
+==1 0
)cos()()(,)(n n
nn nxAnxsenBxExxFEscrevemos
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
π
−−
−+
−−
=−
+−
−
==
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
k
kxsen
k
kxsen
k
kxx
dxkx
dxk
kx
k
kxx
dxkxsen
dxkxsenx
Bk
4
)2(
)()cos(
2
)2cos(1
)cos()cos(
).(
).(.2
2
0
0
42J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Construir a S.F. de F(x) = x com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U
{cos(nx) (n=0,1,...)}. A Família {ϕϕϕϕn(x)} é Ortogonal em [-ππππ,ππππ ],
com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.1
∑∞
=
==1
)()(,)(n
n nxsenBxExxF
,...)2,1()cos(2
)cos()cos(
=−
=−−
= kk
kk
k
k
k
Bk
π
π
ππ
ππ
,...)2,1()1.(2)1.(2 1
=−
=−−
=+
kkk
Bkk
k
...,7
2,
3
1,
5
2,
2
1,
3
2,1,2 7654321 =−==−==−== BBBBBBB
43J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Construir a S.F. de F(x) = x com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U
{cos(nx) (n=0,1,...)}. A Família {ϕϕϕϕn(x)} é Ortogonal em [-ππππ,ππππ ],
com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.1
∑∞
=
==1
)()(,)(n
n nxsenBxExxF ,...)2,1()1.(2)1.(2 1
=−
=−−
=+
kkk
Bkk
k
∑=
=N
nnN nxsenBxSNOdeFSeAproximant
1
)()(:)(..
44J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
45J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Notar a Aderência Restrita ao Intervalo [-ππππ,ππππ ]
46J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Construir a S.F. de F(x) = -1 (x<0), F(x)=1 (x>0) [Não-Contínua]
com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U {cos(nx) (n=0,1,...)}. {ϕϕϕϕn(x)} éOrtogonal em [-ππππ,ππππ ], com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.2
∑∑∞
=
∞
=
+=
<−
=
>+
=
01
)cos()()(
0,1
0,0
0,1
)(
nn
nn nxAnxsenBxE
x
x
x
xF
47J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Construir a S.F. de F(x) = -1 (x<0), F(x)=1 (x>0) [Não-Contínua]
com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U {cos(nx) (n=0,1,...)}. {ϕϕϕϕn(x)} éOrtogonal em [-ππππ,ππππ ], com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.2
,...)2,1,0(0
).(cos
).cos(.
2
===
∫
∫
−
− k
dxkx
dxkxx
Ak π
π
π
π
∑∑∞
=
∞
=
+=
<−
=
>+
=
01
)cos()()(
0,1
0,0
0,1
)(
nn
nn nxAnxsenBxE
x
x
x
xFFunção Ímpar
48J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Construir a S.F. de F(x) = -1 (x<0), F(x)=1 (x>0) [Não-Contínua]
com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U {cos(nx) (n=0,1,...)}. {ϕϕϕϕn(x)} éOrtogonal em [-ππππ,ππππ ], com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.2
∑∞
=
=
<−
=
>+
=
1
)()(
0,1
0,0
0,1
)(
nn nxsenBxE
x
x
x
xF
∑=
=N
nnN nxsenBxSNOdeFSeAproximant
1
)()(:)(..
Função Ímpar : Só termos Seno na S.F.
49J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Construir a S.F. de F(x) = -1 (x<0), F(x)=1 (x>0) [Não-Contínua]
com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U {cos(nx) (n=0,1,...)}. {ϕϕϕϕn(x)} éOrtogonal em [-ππππ,ππππ ], com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.2
∑∞
=
=
<−
=
>+
=1
)()(,
0,1
0,0
0,1
)(n
n nxsenBxE
x
x
x
xF
π
ππ
π
ππ
π
π
ππ
π
π
π
−−
−−
=−
+−
==
∫
∫∫
∫
∫
−
−
−
−
k
kxsen
k
kx
k
kx
dxkx
dxkxsendxkxsen
dxkxsen
dxkxsenxF
Bk
4
)2(
0
)cos(0)cos(
2
)2cos(1
)()(
).(
).()(0
0
2
ππ
ππ
−+
−−
=
−+−
=kkkk
k
k
k
kB
kk
k
)1()1(2)cos()cos(2
( )kk k
B )1(12
−−=π
50J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
∑=
=N
nnN nxsenBxSNOdeFSeAproximant
1
)()(:)(..
∑∞
=
=
<−
=
>+
=
1
)()(
0,1
0,0
0,1
)(
nn nxsenBxE
x
x
x
xF
Construir a S.F. de F(x) = -1 (x<0), F(x)=1 (x>0) [Não-Contínua]
com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U {cos(nx) (n=0,1,...)}. {ϕϕϕϕn(x)} éOrtogonal em [-ππππ,ππππ ], com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.2
( )kk k
B )1(12
−−=π
51J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
52J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier
Aderência Restrita ao Intervalo [-ππππ,ππππ ]
53J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
( ) { }
TrivialNãoSoluçãoviabilizarparabuscaranuméricoparâmetro
baemmenosaocontínuaéxqbaemcontínuassãoxpexr
tempomesmoaonulasnãotesconssãobb
tempomesmoaonulasnãotesconssãoaa
onde
bybbyb
ayaaya
HomogêneaseLinearesContornodeCondiçõesSob
yxpxqyxrdx
d
HomogêneaLinearEDOaSeja
−
=+
=+
=++
−
λ
λ
),()(];,[)()(
;tan,
;tan,
:
0)()(
0)()(
:
0)(.)().(
:2
21
21
)1(
21
)1(
21
)1(
Este Teorema justifica o surgimento de Família {ϕϕϕϕn(x)} Ortogonal em [a,b ], sob p(x), de EDO-2 Lineares Teorema 4.5
13
14
54J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Este Teorema justifica o surgimento de Família {ϕϕϕϕn(x)} Ortogonal em [a,b ], sob p(x), de EDO-2 Lineares Teorema 4.5
,...,,:
),...(),(),(:)14()13.(
321
321
λλλλdevaloressrespectivopelosasviabilizad
xyxyxyEqdeTriviaisNãoSoluçõesasSejam +−
).(],[
)}({),14()13.(
xppesosobbaemFunçõesdeOrtogonalFamíliauma
definemxyEqdeTriviaisNãoSoluçõesasEntão n+−
55J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Observações Teorema 4.5
Note que y(x) = 0 resolve trivialmente as Eqs. (13) e (14). Mas sóqueremos soluções não-triviais y(x) ≠ 0 .
Note que (13) é uma EDO-2 Linear e Homogênea; e que as Condições de Contorno (14) também são Equações Lineares, de Coeficientes Constantes, e Homogêneas.
Note que as constantes a1 e a2 não podem ser nulas simultaneamente; o mesmo acontecendo com b1 e b2 .
56J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Demonstração Teorema 4.5
:
.:
,0)(0)(:)14()13.(
Assim
dediferentesvaloressrespectivoporasviabilizad
xyexyEqdeTriviaisNãoSoluçõesSejam
mn
mn
λλλ ≠
≠≠+−
( )
( )
0)()(
0)()(
0)()(
0)()(
)()().(
)()().(
)1(
21
)1(
21
)1(
21
)1(
21
)1(
)1(
=+
=+
=+
=+
−=+
−=+
bybbyb
bybbyb
ayaaya
ayaaya
yxpyxqyxrdx
d
yxpyxqyxrdx
d
nn
mm
nn
mm
nnnn
mmmm
λ
λ 13a
13b
14a
14d
14b
14c
57J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Demonstração Teorema 4.5:)14()14(. comoescritasserpodembeaEqs
0)()(
0)()(
)1(
21
)1(
21
=+
=+
ayaaya
ayaaya
nn
mm15a
0)()(
0)()(
)1(
21
)1(
21
=+
=+
bybbyb
bybbyb
nn
mm
=
⇔
0
0
)()(
)()(
2
1
)1(
)1(
a
a
ayay
ayay
nn
mm
:)14()14(. comoescritasserpodemdecEqs
=
⇔
0
0
)()(
)()(
2
1
)1(
)1(
b
b
byby
byby
nn
mm 15b
58J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Demonstração Teorema 4.5
( ) ( )
:(.).
)()().().( )1()1(
∫−
−=−
b
a
mnmnnmmn
dxemigualdadeestaseIntegrando
yyxpyxrdx
dyyxr
dx
dy λλ
:),()13(),()13( assubtraindoexyporbxyporandoMultiplica mn −
( ) ( ) dxyyxpdxyxrdx
dyyxr
dx
dy
b
a
mnmn
b
a
nmmn ∫∫ −=
− )()(.).().(
)1()1( λλ
:esquerdoladonopartesdasmétodooCom
( )
( ) ∫∫
∫∫
−=
−=
b
a
nmmn
b
a
nm
b
a
nmnm
b
a
mn
dxyyxra
byyxrdxyxr
dx
dy
dxyyxra
byyxrdxyxr
dx
dy
)1()1()1()1(
)1()1()1()1(
).().(.).(
).().(.).(
59J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Demonstração Teorema 4.5
∫−=−b
a
mnmnmnnm dxyyxpa
byyxr
a
byyxr
Obtemos
.)()().().(
:
)1()1( λλ
( )
( ) ∫−=−−
+−b
a
mnmnmnnm
mnnm
dxyyxpayayayayar
bybybybybr
.)()()()()()()(
)()()()()(
)1()1(
)1()1(
λλ
60J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Demonstração Teorema 4.5:)15()15(., beaEqsdasSQHsosusamospontoNeste
15a
=
0
0
)()(
)()(
2
1
)1(
)1(
a
a
ayay
ayay
nn
mm
=
0
0
)()(
)()(
2
1
)1(
)1(
b
b
byby
byby
nn
mm
15b
0)()()()(0
0)()()()(0
:)(
)1()1(
2
1
)1()1(
2
1
=−⇒≠
=−⇒≠
=
−
bybybybyb
b
ayayayaya
a
ZeroDETSingularesseremamatrizessrespectivaasobrigam
quetriviaisnãosoluçõesporssatisfeitoserdevemSQHsEstes
mnnm
mnnm
61J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Demonstração Teorema 4.5
( )
( ) ∫−=−−
+−b
a
mnmnmnnm
mnnm
dxyyxpayayayayar
bybybybybr
.)()()()()()()(
)()()()()(
)1()1(
)1()1(
λλ
⇒≠=− ∫ mn
b
a
mnmn comodxyyxp λλλλ ,0.)()(
=−
=−⇒
0)()()()(
0)()()()()1()1(
)1()1(
bybybyby
ayayayaySQHsdosadeSingularidPela
mnnm
mnnm
0.)( =∫b
a
mn dxyyxp
Soluções não-triviais de um Problema Sturm-Liouville [PSL]yn(x) ≠ 0 e ym (x) ≠ 0, referentes a valores λλλλ distintos, λλλλn ≠ λλλλm , são funções ortogonais em [a,b] com peso p(x).
62J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Portanto, para estabelecer o surgimento de Família {ϕϕϕϕn(x)}
Ortogonal (em [a,b ], sob p(x)), em um dado Problema de Valor de Contorno (PVC) em EDO-2, deve-se estudá-lo cuidadosamente para verificar se ele é um Problema de Sturm-Liouville [PSL]. Isto é, para verificar se estamos diante de um Problema de Valor
de Contorno com EDO-2 Linear Homogênea e Condições de
Contorno Lineares e Homogêneas.
Problemas PSL darão origem, ao serem resolvidos, a soluções ortogonais {ϕϕϕϕn(x)}. Estas soluções devem ser pesquisadas atribuindo-se série de valores adequados ao parâmetro λλλλconforme garantido pelo Teorema 4.5.
63J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
( ) { }
0)()(
0)()(
:
0)(.)().(
:2
)1(
21
)1(
21
)1(
=+
=+
=++
−
bybbyb
ayaaya
HomogêneaseLinearesContornodeCondições
yxpxqyxrdx
d
HomogêneaLinearEDO
λ
Recapitulando a forma de um Problema Sturm-Liouville [PSL]
13
14
TrivialNãoSoluçãoviabilizarparabuscaraparâmetro
baemcontínuaedadaxqbaemcontínuasedadasxpexr
tempomesmoaonulasnãodadasconstbb
tempomesmoaonulasnãodadasconstaa
ContornodeCondiçõesdeaplicaçãoparadadospontosba
onde
−λ
),()(];,[)()(
;,.,,
;,.,,
,
:
21
21
64J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
0)L(y,0)0(y
0y.y )2(
==
=+ λ
Exemplo 4.3 : Obter a Solução do Problema de Valor de Contorno abaixo:
65J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
0)L(y,0)0(y
0y.y )2(
==
=+ λ Exemplo 4.3
Resolução
( )
{{ 0b,1b,Lb0)L(y
0a,1a,0a0)0(y
0)x(q
1)x(p
1)x(r
0y.ydx
d
21
21
)1(
===⇒=
===⇒=
=
=
=
⇒=+ λ
#### 1: Reconhecemos neste PVC um PSL após colocação na forma:
66J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
0:3Caso
0:2Caso
0:1Caso
:emcasos3apresentaHomogênea2EDOdaCompleta.SolA
.:.C.EdaRaízes
0:ticaCaracterís.Eq0y.yemsedoSubstituin
)x.exp()x(y2)2(
>
=
<
−
−±=
=+⇒=+−
=
λ
λ
λ
λ
λθ
λθλ
θ
#### 2: Resolvendo PVC para EDO-2 Lin. Hom. com Coef. Const. :
67J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
[ ]
0)x(y0
0
C
CTrivial.SolaadmitesóSQH
)gularsinnãoM(0para0)Lexp()Lexp()M(DET
0
0
C
CM
0
0
C
C
)Lexp()Lexp(
11:SQHcomoCCs
0)Lexp(C)Lexp(C
0CC:)x(yparaCCs
)xexp(C)xexp(C)x(y.Hom.Compl.Sol
H2
1
2
1
2
1
21
21H
21H
=⇒
=
<≠−−−−=
=
∴
=
−−−
=−−+−
=+
−−+−=⇒−±=
λλλ
λλ
λλ
λλλθ
#### 3: Caso 1 : λλλλ < 0 →→→→ 2 raízes reais distintas θθθθ = ± (- λλλλ)1/2
Caso 1 sem y(x) ≠ 0
68J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
[ ]
0)x(y0
0
C
CTrivial.SolaadmitesóSQH
)gularsinnãoM(0L)M(DET
0
0
C
CM
0
0
C
C
L1
01:SQHcomoCCs
0C.LC
0C.0C:)x(yparaCCs
x.CC)x(y
)x0exp(.x.C)x0exp(C)x(y.Hom.Compl.Sol0
H2
1
2
1
2
1
21
21H
21H
21H
=⇒
=
≠=
=
∴
=
=+
=+
+=⇒
+=⇒=θ
#### 4: Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ 2 raízes reais iguais (raiz dupla) θθθθ = 0
Caso 2 sem y(x) ≠ 0
69J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
[ ]
0C,0C0)n(senC)ncos(C
0C.0C:.TrivNão.SolstemSQH
,...)3,2,1n(L
n,...L
.3,L
.2,L
.1L
.n
,...L
.3,L
.2,L
.1se0)M(DET)L(sen)M(DET
0
0
C
CM
0
0
C
C
)L(sen)Lcos(
01:SQHcomoCCs
0)L(senC)Lcos(C
0C.0C:)x(yparaCCs
)x(senC)xcos(C)x(y.Hom.Compl.Soli
2121
21
2
22
n2
22
2
22
2
22
nn
2
1
2
1
21
21H
21H
≠=⇒
=±+±
=+−
===⇒±=
±±±==⇒=
=
∴
=
=+
=+
+=⇒±=
ππ
πλ
πππλ
πλ
πππλλ
λλ
λλ
λλλθ
#### 5: Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ 2 raízes complexas conj. θθθθ = ±±±±( -λλλλ )1/2 = ±±±± i (λλλλ)1/2
70J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
#### 5: Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ 2 raízes complexas conj. θθθθ = ±±±±( -λλλλ )1/2 = ±±±± i (λλλλ)1/2
Por q?
)L
xn(senC)x(y)
L
xn(senC)x(y)x(senC)x(y
,...)3,2,1n(L
n,...L
.3,L
.2,L
.1L
.n
2H2Hn2H
2
22
n2
22
2
22
2
22
nn
ππλ
πλ
πππλ
πλ
=⇒±=⇒=
===⇒±=
,...)2,1n()L
xn(sen)x(y
L
nn2
22
n ==⇒=ππ
λ
Caso 3 com y(x) ≠ 0
71J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
#### 5: Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ 2 raízes complexas conj. θθθθ = ±±±±( -λλλλ )1/2 = ±±±± i (λλλλ)1/2
Por q?
)L
xn(senC)x(y)
L
xn(senC)x(y)x(senC)x(y
,...)3,2,1n(L
n,...L
.3,L
.2,L
.1L
.n
2H2Hn2H
2
22
n2
22
2
22
2
22
nn
ππλ
πλ
πππλ
πλ
=⇒±=⇒=
===⇒±=
,...)2,1n()L
xn(sen)x(y
L
nn2
22
n ==⇒=ππ
λ
Caso 3 com y(x) ≠ 0
Identifica-se a Família { yn(x) } sem C2
72J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
#### 6: Surge, portanto, deste PVC, a Família Ortogonal de Soluções :
,...)2,1n()}L
xn(sen{)}x(y{ n ==
π
1)x(ppesosob]L,0[emFamília =⊥
==
≠=
∫
∫L
0
2
L
0
)mn(2
Ldx).
L
xn(sen
)mn(0dx).L
xm(sen).
L
xn(sen
π
ππ
,...)2,1n()L
xn(sen)x(y
L
nn2
22
n ==⇒=ππ
λ
73J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
0)L(y,0)0(y
0y.y)1()1(
)2(
==
=+ λ
Exemplo 4.4 : Obter a Solução do Problema de Valor de Contorno abaixo:
74J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
Exemplo 4.4
Resolução
( )
{
{ 1b,0b,Lb0)L(y
1a,0a,0a0)0(y
0)x(q
1)x(p
1)x(r
0y.ydx
d
21)1(
21)1(
)1(
===⇒=
===⇒=
=
=
=
⇒=+ λ
#### 1: Reconhecemos neste PVC um PSL após colocação na forma :
0)L(y,0)0(y
0y.y)1()1(
)2(
==
=+ λ
75J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
0:3Caso
0:2Caso
0:1Caso
:emcasos3apresentaHomogênea2EDOdaCompleta.SolA
.:.C.EdaRaízes
0:ticaCaracterís.Eq0y.yemsedoSubstituin
)x.exp()x(y2)2(
>
=
<
−
−±=
=+⇒=+−
=
λ
λ
λ
λ
λθ
λθλ
θ
#### 2: Resolvendo PVC para EDO-2 Lin. Hom. com Coef. Const. :
76J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
[ ]
0)x(y0
0
C
CTrivial.SolaadmitesóSQH
0para0))Lexp()L(exp()M(DET0
0
C
CM
0
0
C
C
)Lexp()Lexp(:SQHcomoCCs
0)Lexp(C)Lexp(C
0CC
)xexp(C)xexp(C)x(yparaCCs
)xexp(C)xexp(C)x(y.Hom.Compl.Sol
H2
1
2
1
2
1
21
21
21)1(
H
21H
=⇒
=
<≠−−−−=⇒
=
=
−−−−−−
−−−
=−−−−−−
=−−−
−−−−−−=
−−+−=⇒−±=
λλλλ
λλλλ
λλ
λλλλ
λλ
λλλλ
λλλθ
#### 3: Caso 1 : λλλλ < 0 →→→→ 2 raízes reais distintas θθθθ = ± (- λλλλ)1/2
Caso 1 sem y(x) ≠ 0
77J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
[ ]
1y0
C)x(y0C,0CTrivialNão.SolaadmiteSQH
0)M(DET0
0
C
CM
0
0
C
C
10
10:SQHcomoCCs
)Lx(0CC.0
)0x(0CC.0
CC.0)x(yparaCCs
x.CC)x(y
)x0exp(.x.C)x0exp(C)x(y.Hom.Compl.Sol0
00
1H21
2
1
2
1
21
21
21)1(
H
21H
21H
=⇒=
=⇒=≠−
=⇒
=
∴
=
==+
==+
+=
+=⇒
+=⇒=
λ
θ
#### 4: Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ 2 raízes reais iguais (raiz dupla) θθθθ = 0
Caso 2 com y(x) ≠ 01y0 00 =⇒=λ
78J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
[ ]
0C,0C0)ncos(C)n(senC
0CC.0:.TrivNão.SolstemSQH
,...)3,2,1n(L
n,...
L.3,
L.2,
L.1
L.n
,...L
.3,L
.2,L
.1se0)M(DET)L(sen)M(DET
0
0
C
CM
0
0
C
C
)Lcos()L(sen
10:SQHcomoCCs
0)Lcos(C)L(senC
0CC.0
)xcos(C)x(senC)x(yparaCCs
)x(senC)xcos(C)x(y.Hom.Compl.Soli
2121
21
2
22
n2
22
2
22
2
22
nn
2
1
2
1
21
21
21)1(
H
21H
=≠⇒
=±+±−
=+−
===⇒±=
±±±==⇒=
=
∴
=
−
=+−
=+
+−=
+=⇒±=
ππ
πλ
πππλ
πλ
πππλλ
λλ
λλλλ
λ
λλλλ
λλλθ
#### 5: Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ 2 raízes complexas conj. θθθθ = ±±±±( -λλλλ )1/2 = ±±±± i (λλλλ)1/2
79J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
)L
xncos(C)x(y)
L
xncos(C)x(y)xcos(C)x(y 1H1Hn1H
ππλ =⇒±=⇒=
#### 5: Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ 2 raízes complexas conj. θθθθ = ±±±±( -λλλλ )1/2 = ±±±± i (λλλλ)1/2
,...)2,1n()L
xncos()x(y
L
nn2
22
n ==⇒=ππ
λ
Caso 3 com y(x) ≠ 0
80J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
)L
xncos(C)x(y)
L
xncos(C)x(y)xcos(C)x(y 1H1Hn1H
ππλ =⇒±=⇒=
#### 5: Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ 2 raízes complexas conj. θθθθ = ±±±±( -λλλλ )1/2 = ±±±± i (λλλλ)1/2
,...)2,1n()L
xncos()x(y
L
nn2
22
n ==⇒=ππ
λ
Caso 3 com y(x) ≠ 0
Identifica-se a Família { yn(x) } sem C1
81J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
#### 6: Reunindo Casos 2 e 3 com Soluções Não-Triviais do PSL
==⇒=
==⇒=
,...)2,1n()L
xncos()x(y
L
n
)0n(1)x(y0
n2
22
n
00
ππλ
λ
Casos 2 e 3 com y(x) ≠ 0
,...)2,1,0n()L
xncos()x(y
L
nn2
22
n ==⇒=ππ
λ
⇓
82J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville
,...)2,1,0n()L
xncos()x(y
L
nn2
22
n ==⇒=ππ
λ
,...)2,1,0n()}L
xn{cos()}x(y{ n ==
π
#### 7: Surge deste PVC, a Família Ortogonal de Soluções :
1)x(ppesosob]L,0[emFamília =⊥
===>==
≠=
∫ ∫
∫L
0
L
0
2
L
0
)0mn(Ldx.1),0mn(2
Ldx).
L
xn(cos
)mn(0dx).L
xmcos().
L
xncos(
π
ππ
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