Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza
Programa de Pos−Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica
Hiperciclicidade e Caos Linear
Lindines Coleta da Silva
Joao Pessoa−PBJulho de 2018
Universidade Federal da ParaıbaCentro de Ciencias Exatas e da Natureza
Programa de Pos−Graduacao em MatematicaMestrado em Matematica
Hiperciclicidade e Caos Linear
por
Lindines Coleta da Silva 1
sob a orientacao do
Prof. Dr. Nacib Andre Gurgel e Albuquerque
Joao Pessoa – PBJulho de 2018
1O autor foi bolsista da Coordenacao de Aperfeicoamento de Pessoal de Nıvel Superior−CAPESdurante a elaboracao desta dissertacao.
S586h Silva, Lindinês Coleta da. Hiperciclicidade e Caos Linear / Lindinês Coleta da Silva. - João Pessoa, 2018. 89 f. : il.
Orientação: Nacib André Gurgel e Albuquerque Albuquerque. Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.
1. Hiperciclicidade. 2. Critérios de Hiperciclicidade. 3. Caos de Devaney. 4. Caos de Li-Yorke. 5. Caos Distribucional. I. Albuquerque, Nacib André Gurgel e Albuquerque. II. Título.
UFPB/CCEN
Catalogação na publicaçãoSeção de Catalogação e Classificação
Aos meus pais
Agradecimentos
Agradeco a Deus por todas as bencaos concedidas.
Agradeco aos meus pais por todo apoio e incentivo e, principalmente, por todo
amor, dedicacao e ensinamentos. Eles sao meus pilares. Sou grata ao meu irmao pela
sua simples presenca em minha vida.
Agradeco ao professor Nacib pela excelente orientacao para a realizacao deste tra-
balho e a banca examinadora pelas suas varias sugestoes, que contribuıram para a sua
melhoria.
Tenho muito a agradecer a Janiely por todos os contınuos momentos de estudos
durante o mestrado, por ter me ouvido reclamar durante todas as tensoes pre-provas,
por toda a forca e apoio e, mais importante, por sua amizade. Agradeco tambem
ao Fernando por suas inumeras contribucoes, que desde a graduacao tiveram particao
crucial para a minha formacao.
Alem da janiely, tive o prazer de poder dividir apartamento, por alguns meses, com
as adoraveis Camila e Lisiane. Essas meninas sao pessoas incrıveis. Obrigada por todo
o acolhimento e por suas amizades.
E, por fim, agradeco ao meu namorado, Henrique, por todo o seu amor e pela
paciencia com os meus muitos momentos de ausencia.
vi
Resumo
Nos ultimos anos, a dinamica linear tem atraıdo a atencao de varios pesquisadores,
principalmente a investigacao de operadores lineares e contınuos T : X → X, em um
espaco vetorial topologico X, cuja orbita x, Tx, T 2x, . . . , T nx, . . . e densa, para al-
gum elemento x ∈ X. Operadores que possuem esse comportamento sao hipercıclicos e
a teoria que os estuda e conhecida por hiperciclicidade, que e um dos principais temas
deste trabalho. Os tres exemplos classicos de operadores hipercıclicos que constam
na literatura sao investigados: os operadores de Birkhoff (1884−1944), de MacLane
(1909−2005) e de Rolewicz (1932−2015). O caos de Devaney, que possui como um
dos “ingredientes” o fenomeno de hiperciclicidade, e apresentado e a verificacao que os
operadores classicos sao Devaney caoticos e realizada. Dentre os varios resultados inte-
ressantes sobre hiperciclicidade, sao discutidos alguns criterios, a constatacao que nao
existem operadores hipercıclicos em espaco de dimensao finita e um curioso resultado:
todo operador hipercıclico admite um subespaco invariante constituıdo, a excecao da
origem, apenas por vetores hipercıclicos. Por fim, e apresentada uma breve discussao
sobre outros dois tipos de caos, a saber o caos de Li-Yorke e o caos Distribucional.
Palavras-chave: Hiperciclicidade, criterios de hiperciclicidade, caos de Devaney, caos
de Li-Yorke, caos distribucional.
Abstract
In the last years, the linear dinamics has gained the attention of many researchers,
mainly to the investigation of linear and continuous operators T : X −→ X, on to-
pological vector spaces, whose orbit x, Tx, . . . , T nx, . . . is dense for some x ∈ X.
Operators with this behaviour are said to be hypercyclic and the theory that studies
them is known by hypercyclicity, which is one of the main themes within this work.
The three classical examples of hyperciclic operators found in the literature are inves-
tigated: the Birkhoff (1884−1944), MacLane (1909−2005) and Rolewicz (1932−2015)
operators. The Devaney chaos, which has as one of its “ingredients” the phenomeon
of hypercyclicity, is presented and the verification that the classic operators are Deva-
ney chaotic is fulfilled. Among interesting results about hypercyclicity, are discussed
somes criterions, the constatation that there are no hypercyclic operators on a finite
dimensional space and a curious result: any hypercyclic operator admits a dense inva-
riant subspace consisting, except for zero, of hypercyclic vectors. Ultimately, a brief
discussion is presented about another two types of chaos, namely the Li-Yorke and
distributional chaos.
Keywords: Hypercyclicity, Hypercyclicity criterion, Devaney chaos, Li-Yorke chaos,
distributional chaos.
Sumario
Introducao 1
1 Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares 4
1.1 Espacos de Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Topologia do Espaco C(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 H(C) e um Espaco de Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Resultados Auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Hiperciclicidade e Caos de Devaney 20
2.1 Transitividade Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Caos de Devaney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Hiperciclicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Operadores Devaney Caoticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Resultados de Hiperciclicidade 41
3.1 Propriedades dos Operadores Hipercıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Aplicacoes Mixing e Weakly Mixing e Criterios de Hiperciclidade . . . . 46
4 Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos 56
4.1 Caos de Li-Yorke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Caos Distribucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Referencias Bibliograficas 78
ix
Notacoes
A seguir, listamos algumas notacoes utilizadas neste trabalho. Abaixo nos referire-
mos a aplicacao T : X −→ X simplesmente por T .
• N0 := N ∪ 0;
• R∗+, R+ denotam, respectivamente, o conjunto dos numeros reais nao-negativos e
o conjunto dos numeros reais positivos;
• K denota o espaco real R ou o plano complexo C;
• c0 :=
(aj)∞j=1; aj ∈ K para todo j ∈ N e limj→∞ aj = 0
. Dada uma sequencia
(xj)∞j=1 ∈ c0, a norma (xj)
∞j=1 7→ ‖(xj)∞j=1‖∞ := supj∈N |xj| torna c0 um espaco de
Banach. Todas as vezes que nos referirmos a esse espaco, estaremos considerando
c0 = (c0, ‖ · ‖∞);
• c00 :=
(aj)∞j=1; aj = 0 para todo j ≥ n0, para algum n0 ∈ N
;
• Para 1 ≤ p < ∞, `p :=
(aj)∞j=1; aj ∈ K para todo j ∈ N e
∑∞j=1 |aj|p <
∞
. Para cada 1 ≤ p < ∞ e dada (aj)∞j=1 ∈ `p, a norma (aj)
∞j=1 7→ ‖(aj)∞j=1‖p :=(∑∞
j=1 |aj|p) 1
ptorna `p um espaco de Banach. Em todo o texto, `p = (`p, ‖ · ‖p);
• C(Ω) representa o espaco das funcoes contınuas f : Ω −→ C, com Ω ⊂ C aberto,
munido com a topologia unirforme em compactos;
• H(C) denota o espaco das funcoes inteiras f : C −→ C, munido com a topologia
uniforme em compactos, induzida de C(C);
• orb(x, T ) := x, Tx, T 2x, . . . , T nx, . . .;
• HC(T ) denota o conjunto dos vetores hipercıclicos de T ;
x
• ‖ · ‖N representa a norma usual no espaco normado N . Quando o espaco estiver
bem subentendido, denotaremos simplesmente por ‖ · ‖;
• Para n ∈ N, ‖ · ‖n := sup|z|≤n |f(z)|, com z ∈ C e f ∈ C(Ω), Ω ⊂ C aberto;
• B(a,R) denota a bola aberta de centro a e raio R;
• X representa o fecho do espaco X;
• span(A) denota o espaco gerado pelo conjunto A;
• fk denota a n−esima derivada da funcao f ∈ H(C);
• T−n denota a aplicacao inversa de T n, ou seja, T−n = (T n)−1;
• “Cf.” sera a abreviacao utilizada para o termo “Confira”;
• , representam o final de uma demonstracao e de um exemplo, respectivamente.
xi
Introducao
E bem aceito que a mencao a palavra caos remete a uma ideia de desordem, impre-
visao e irregularidade. Fazendo uma analogia ao contexto matematico, intuitivamente
nao deve fazer sentido falar sobre o caos em meios lineares. Entretanto, alguns ma-
tematicos do seculo passado descobriram a existencia da caoticidade no ambito linear,
provando que a intuicao falha ao apenas relacionar caos a nao-linearidade.
O primeiro exemplo de ambiente linear com comportamento caotico foi dado em
1929, por Birkhoff em [5] ao apresentar o operador linear contınuo T1 : H(C) −→ H(C)
definido por T1(f) = f(· + 1), onde H(C) e o espaco das funcoes inteiras. Birkhoff
provou que em H(C) existe alguma funcao f : C −→ C para a qual o conjunto
T 01 (f), T 1
1 (f), T 21 (f) . . . , T n1 (f), . . ., das iteradas de T1 aplicadas em f , e denso em
H(C).
Anos depois, em 1952, MacLane demonstrou em [16] que o operador derivacao
D : H(C) −→ H(C) dado por D(f) = f ′, possui a mesma propriedade explicitada
para o operador de Birkhoff. Assim, foi mostrado que existe alguma funcao g ∈ H(C)
tal que o conjunto g,D(g), . . . , Dn(g), . . . e denso em H(C).
Mais surpreendentemente, em 1969, Rolewicz em [21] constatou que o compor-
tamento das aplicacoes acima, tambem pode ser apresentado por operadores linea-
res e contınuos em espacos de Banach. Ele verificou esse fenomeno para o operador
(x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ `2 7→ λ(x2, . . . , xn, . . .) ∈ `2, para λ um escalar de modulo maior
do que 1.
De modo geral, um operador linear contınuo T : X → X, em um espaco vetorial
topologico X, e dito hipercıclico, quando existe um vetor x ∈ X com orbita densa
sobre T , isto e, o conjunto x, Tx, T 2x, . . . , T nx, . . . e denso em X. Neste caso, x e
dito vetor hipercıclico para T . E importante salientar que a hiperciclicidade nao requer
necessariamente uma estrutura linear. A nocao de orbita densa pode ser apresentada
por uma aplicacao T simplesmente contınua, definida em um espaco topologico X.
Provavelmente, a hiperciclicidade e a nocao mais estudada na analise da dinamica
de operadores lineares e contınuos e esta compoe um dos “ingredientes” do chamado
caos de Devaney [8]. Em nosso contexto, um operador e considerado caotico no sentido
1
de Devaney quando, alem de ser hipercıclico, possui dependencia sensıvel as condicoes
iniciais e admite um conjunto denso de pontos periodicos. Esta nao foi a primeira
nocao de caos que surgiu na literatura. Em 1975, Li (1945−) e Yorke (1941−) em
[13] apresentaram uma dinamica bem complicada detectada em aplicacoes definidas
em intervalos. A nocao de caos apresentada nesse artigo ficou conhecida posterior-
mente como caos de Li-Yorke. Mais tarde, em 1994, como uma natural extensao da
nocao do caos de Li-Yorke, Schweizer and Smıtal [23] introduziram o conceito de caos
Distribucional.
Os matematicos citados foram alguns dos precursores no estudo sobre o tema e, a
partir deles, varios pesquisadores manifestaram interesse em investigar tais fenomenos,
obtendo resultados interessantes e conseguindo estender os conceitos para ambientes
e casos mais gerais. As nocoes de caos de Li-Yorke e distribucional, por exemplo,
surgiram para aplicacoes definidas em intervalos. Atualmente, existem varios trabalhos
nos quais se discutem estes conceitos para operadores lineares e contınuos definidos em
espacos de Frechet [2, 4, 12, 17, 18]. Alem disso, existem outros tipos de caos alem dos
aqui mencionados, como o caos de Wiggins, abordado em [9].
Estrutura do Texto
O Capıtulo 1 possui o intuito de apresentar elementos considerados essenciais para
o desenvolvimento ulterior do trabalho. Serao introduzidos os espacos de Frechet e
demonstrado que o espaco C(Ω), das funcoes contınuas definidas no aberto Ω ⊂ C e
assumindo valores em C, munido da topologia da convergencia uniforme em compactos,
e um espaco de Frechet. Como H(C) e um subespaco fechado de C(C), este herdara as
propriedades de C(C) com a topologia induzida, donde concluir-se-a que a estrutura de
Frechet tambem e preservada. Estas verificacoes sao importantes para, no Capıtulo 2,
aplicar-se o Teorema da Transitividade de Birkhoff na demonstracao que os operadores
de Birkhoff e MacLane sao hipercıclicos. Por fim, algumas ferramentas de analise
complexa sao apresentadas.
A abordagem do tema hiperciclicidade e reservada ao Capıtulo 2. Nele, e demons-
trado que os tres operadores classicos, o de Birkhoff, o de MacLane e o de Rolewicz,
sao hipercıclicos. Como ja mencionado, a hiperciclidade e um dos ingredientes para
o caos de Devaney e assim as demais condicoes que um operador deve satisfazer para
ser Devaney caotico sao abordadas. Alem disso, e mostrado que dada definicao pode
ter suas tres condicoes iniciais reduzidas para duas. O capıtulo e finalizado com a
demonstracao que os tres operadores classicos sao Devaney caoticos.
O Capıtulo 3 inicia-se com a prova de alguns resultados interessantes para operado-
2
res hipercıclicos, como a existencia de um subespaco invariante constituıdo, exceto pelo
zero, por vetores hipercıclicos. Tambem e provado que nao e possıvel tratar de caoti-
cidade em dimensao finita. Em seguida, criterios uteis de hiperciclicidade sao exibidos
e, por meio destes, a verificacao que alguns operadores sao hipercıclicos e facilitada.
O quarto e ultimo capıtulo foi dedicado aos caos de Li-Yorke e distribucional (ou
caos distribucional uniforme). Neste, os resultados sao discutidos para operadores
lineares e contınuos, definidos em espacos de Banach. Na primeira secao, e apresentada
a nocao do caos de Li-Yorke e, subsequentemente, e estabelecida a equivalencia entre
operadores Li-Yorke caoticos e a existencia de vetores irregulares. A secao e finalizada
com um criterio para o caos tratado. Na segunda secao, discute-se o conceito de caos
distribucional e um criterio para este e demonstrado. O capıtulo encerra-se com dois
resultados espectrais envolvendo operadores distribucionalmente caoticos.
3
Capıtulo 1
Nocoes de Espacos de Frechet e
Resultados Auxiliares
Neste capıtulo abordaremos brevemente os espacos de Frechet e operadores lineares
contınuos definidos nesses espacos, trazendo os elementos e resultados necessarios para
o desenvolvimento dos capıtulos posteriores.
Na primeira secao, trataremos de algumas definicoes basicas e convergencias em
espacos de Frechet. O espaco das funcoes inteiras, denotado por H(C), sera um impor-
tante exemplo de espaco de Frechet. Dentre os tres exemplos classicos de operadores
hipercıclicos que apresentaremos, dois deles estao definidos em H(C). Desta forma,
as proximas secoes sao dedicadas a demonstracao que tal espaco e de Frechet. Na
segunda secao, inicialmente provaremos que C(Ω) e um espaco de Frechet munido com
a topologia da convergencia uniforme em compactos e na terceira secao, constataremos
que H(C) e fechado em C(C) com a topologia induzida, donde concluiremos o dese-
jado. Na quarta secao, enunciaremos alguns resultados de Analise Complexa que serao
requeridos ao longo do trabalho. Alem destes, tambem enunciamos um importante
resultado espectral: o Teorema da Decomposicao de Riesz.
1.1 Espacos de Frechet
Antes de definirmos espacos de Frechet, introduziremos algumas nocoes prelimina-
res, como o conceito de seminormas, sequencia separante de seminormas e apresenta-
remos uma metrica com papel crucial a definicao. Posteriormente, trataremos sobre a
convergencia em tais espacos e finalizaremos a secao com uma condicao necessaria e
suficiente para que um operador linear, definido entre espacos Frechet, seja contınuo.
Definicao 1.1. Seja X um espaco vetorial sobre K = R ou C. Uma funcao
p : X −→ R∗+ e dita uma seminorma se as seguintes propriedades forem satisfeitas:
4
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
(i) p(λx) = |λ|p(x), para todo escalar λ ∈ K e todo x ∈ X,
(ii) p(x+ y) ≤ p(x) + p(y), para quaisquer x, y ∈ X.
Observacao 1.1. Uma norma p : X −→ R∗+ e uma seminorma tal que p(x) = 0 implica
x = 0. Dizemos que uma sequencia (pn)n de seminormas e nao-decrescente quando,
para cada x ∈ X, pn(x) ≤ pn+1(x), para todo n ∈ N. Dada qualquer sequencia (pn)n
de seminormas, se necessario, esta sempre pode ser considerada nao-decrescente (basta
tomar pn := maxk≤n pk).
Definicao 1.2. Uma sequencia (pn)n de seminormas e dita separante quando
pn(x) = 0, para todo n ∈ N, implicar x = 0.
Consideremos (pn)n uma sequencia separante e nao-decrescente de seminormas.
Entao a funcao d : X ×X −→ R∗+ dada por
d(x, y) =∞∑n=1
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)x, y ∈ X, (1.1)
define uma metrica em X.
A boa definicao da funcao segue do Teste da Comparacao, com a serie convergente∑∞n=1
12n
. Verifiquemos que d satisfaz todas as condicoes necessarias para ser uma
metrica:
(i) Claramente d(x, y) ≥ 0. Se x = y, entao pn(x − y) = 0 para todo n ∈ N,
donde d(x, y) = 0. Reciprocamente, se d(x, y) =∑∞
n=11
2n· pn(x−y)
1+pn(x−y)= 0, segue
que 12n
pn(x−y)1+pn(x−y)
= 0, logo pn(x − y) = 0 para todo n ∈ N. Como (pn)n e uma
sequencia separante, tem-se x = y.
(ii) d(x, y) =∑∞
n=11
2n· pn(x−y)
1+pn(x−y)=∑∞
n=11
2n· pn(y−x)
1+pn(y−x)= d(y, x);
(iii) Dados x, y, z ∈ X, objetivamos provar que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Sejam a, b e c constantes nao negativas, com a ≤ b+ c. Entao
a
1 + a≤ b+ c
1 + (b+ c)=
b
1 + b+ c+
c
1 + b+ c≤ b
1 + b+
c
1 + c, (1.2)
uma vez que a funcao ϕ : [0,∞) −→ R dada por ϕ(x) = x1+x
e estritamente
crescente (pois ϕ′(x) = 1(1+x)2 > 0). Como para todo n ≥ 0, pn(x− y), pn(x− z)
e pn(z − y) sao numeros nao negativos, com pn(x − y) ≤ pn(x − z) + pn(z − y),
logo satisfazem (1.2), donde obtemos
pn(x− y)
1 + pn(x− y)≤ pn(x− z)
1 + pn(x− z)+
pn(z − y)
1 + pn(z − y),
5
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
donde
∞∑n=1
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)≤
∞∑n=1
1
2n· pn(x− z)
1 + pn(x− z)+∞∑n=1
1
2n· pn(z − y)
1 + pn(z − y).
Portanto, dos itens (i), (ii) e (iii) concluımos que d e uma metrica.
Uma caracterıstica importante da metrica dada por (1.1) e a propriedade de ser
invariante por translacao, isto e, para todo x, y, z ∈ X vale
d(x, y) = d(x+ z, y + z).
Com o conceito de seminorma e a metrica em (1.1) dispomos de todos os elementos
para definirmos espacos de Frechet.
Definicao 1.3 (Espaco de Frechet). Um espaco vetorial X munido com uma sequencia
(pn)n nao-decrescente e separante de seminormas, que e completo com a metrica (1.1)
e dito um espaco de Frechet.
Como em [11, p.34], um espaco de Frechet tambem pode ser definido atraves da
metrica d′ : X ×X −→ R∗+ dada por
d′(x, y) =∞∑n=1
1
2nmin(1, pn(x− y)), x, y ∈ X.
Entretanto, a metrica d′ e a metrica d, definida em (1.1), sao equivalentes. Note que,
para todo n ∈ N,
pn(x− y)
1 + pn(x− y)≤ min(1, pn(x− y)) ≤ 2 · pn(x− y)
1 + pn(x− y),
o que implica em d(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ 2d(x, y), para todos x, y ∈ X.
Observacao 1.2. A partir deste momento, nos referiremos a uma sequencia (pn)n nao-
decrescente e separante de seminormas, simplesmente por uma sequencia associada ao
espaco de Frechet X.
Lema 1.1. Seja (pn)n uma sequencia de seminormas associada a um espaco X de
Frechet. Para quaisquer x, y ∈ X e k ∈ N, as seguintes propriedades sao verificadas:
(i) Se pk(x− y) < 12k
, entao d(x, y) < 22k
.
(ii) Se d(x, y) < 122k+1 , entao pn(x− y) < 1
2k, para todo n ≤ k.
6
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Demonstracao. (i) Como (pn)n e uma sequencia nao-decrescente de seminormas,
pn(x − y) < 12k
, para todo n ≤ k, e ja que a funcao ϕ : x ∈ [0,∞) 7−→ x1+x
e es-
tritamente crescente , obtemos
pn(x− y)
1 + pn(x− y)<
12k
1 + 12k
=1
2k + 1, para todo n ≤ k.
Daı,k∑
n=1
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)<
k∑n=1
1
2n· 1
2k + 1<
1
2k + 1<
1
2k. (1.3)
Alem disso, temos
∞∑n=k+1
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)<
∞∑n=k+1
1
2n<
1
2k. (1.4)
Portanto, de (1.3) e (1.4),
d(x, y) =k∑
n=1
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)+
∞∑n=k+1
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)<
1
2k+
1
2k=
2
2k,
como querıamos demonstrar.
(ii) Suponhamos, por contradicao, que pn0(x− y) ≥ 12k
, para algum n0 ≤ k. Entao
pn0(x− y)
1 + pn0(x− y)≥
12k
1 + 12k
=1
1 + 2k.
Daı,
d(x, y) =∞∑n=1
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)
=∑n6=n0
1
2n· pn(x− y)
1 + pn(x− y)+
1
2n0· pn0(x− y)
1 + pn0(x− y)
≥ 1
2n0· 1
2k + 1
≥ 1
2k· 1
2k + 1=
1
22k + 2k
>1
22k+1,
o que contradiz a hipotese. Portanto, pn(x− y) ≤ 12k
, para todo n ≤ k.
7
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Proposicao 1.1. Seja (pn)n uma sequencia de seminormas associada a um espaco de
Frechet X. Dados (xk)k e x em X e U ⊂ X um conjunto contendo x, sao validas as
seguintes propriedades:
(i) xkk→∞−→ x se, e somente se, pn(xk − x)
k→∞−→ 0, para todo n ∈ N;
(ii) (xk)k e de Cauchy se, e somente se, pn(xk − xl)k,l→∞−→ 0, para todo n ∈ N;
(iii) U e uma vizinhanca de x se, e somente se, existem m ∈ N e ε > 0 tais que
z ∈ X; pm(z − x) < ε ⊂ U .
Demonstracao. (i) Note que
xkk→∞−→ x⇐⇒ d(xk, x)
k→∞−→ 0
⇐⇒∞∑n=1
1
2n· pn(xk − x)
1 + pn(xk − x)
k→∞−→ 0
⇐⇒ 1
2n· pn(xk − x)
1 + pn(xk − x)
k→∞−→ 0, ∀n ∈ N
⇐⇒ pn(xk − x)
1 + pn(xk − x)
k→∞−→ 0, ∀n ∈ N
⇐⇒ pn(xk − x)k→∞−→ 0 ∀n ∈ N,
o que demonstra o item em questao. A implicacao
1
2n· pn(xk − x)
1 + pn(xk − x)
k→∞−→ 0, ∀n ∈ N⇒∞∑n=1
1
2n· pn(xk − x)
1 + pn(xk − x)
k→∞−→ 0,
segue do Lema 1.1, item (i).
(ii) A demonstracao segue por argumento analogo ao usado no item anterior.
(iii) Suponha que U seja uma vizinhanca de x. Entao existe algum k ≥ 2 tal que
B(x,
1
2k−2
):=
z ∈ X; d(x, z) <
1
2k−2
⊂ U. (1.5)
Tome m = k e ε = 12k
. Provaremos que o conjuntoz ∈ X; pk(x− z) <
1
2k
⊂ U. (1.6)
Pelo item (i) do Lema 1.1, se z ∈ X e tal que pk(x − z) < 12k
, entao
d(x, z) < 22k
= 12k−1 <
12k−2 . Portanto, de (1.5) concluımos (1.6).
8
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Reciprocamente, suponha que existe m ≥ 1 e ε > 0 tal que
z ∈ X; pm(x− z) < ε ⊂ U. (1.7)
Seja k ∈ N tal que k ≥ m e 12k< ε. Vamos provar que o conjunto
Y :=
z ∈ X; d(x− z) <
1
22k+1
esta contido em U . Se z ∈ Y , entao d(x, z) < 1
22k+1 e pelo item (ii) do Lema 1.1 segue
que pk(x − z) < 12k
. Como (pn)n e uma sequencia nao-decrescente de seminormas e
m ≤ k, obtemos que pm(x− z) ≤ pk(x− z) < 12k
, donde por (1.7) z ∈ U , o que conclui
a demonstracao.
A proxima proposicao nos dara uma condicao necessaria e suficiente para garantir-
mos que um aplicacao linear, definida entre espacos de Frechet seja contınuo.
Proposicao 1.2. Sejam X e Y espacos de Frechet. Considere (pn)n e (qn)n sequencias
de seminormas associadas, respectivamente, a X e a Y . Uma aplicacao linear T :
X −→ Y e contınua se, e somente se, para qualquer m ≥ 1, existem n ≥ 1 e M > 0
tais que
qm(Tx) ≤Mpn(x), (1.8)
para todo x ∈ X.
Demonstracao. Supondo valido (1.8), provemos que T e contınuo. Consideremos
xkk→∞−→ x em X. Pela Proposicao 1.1, pn(xk − x)
k→∞−→ 0, para todo n ∈ N. Daı,
qm(Txk − Tx) = qm(T (xk − x)) ≤Mpn(xk − x)k→∞−→ 0,
para todo m ∈ N. Usando novamente a Proposicao 1.1, concluımos que Txkk→∞−→ Tx
e, portanto, T e contınuo.
Reciprocamente, suponhamos que T seja um operador contınuo. Pela Proposicao
1.1, o conjunto W := y ∈ Y ; qm(y) < 1 e uma vizinhanca da origem em Y . Da
continuidade de T , existem n ≥ 1 e ε > 0 tais que W ′ := x ∈ X; pn(x) < ε e uma
vizinhanca da origem em X que satisfaz T (W ′) ⊂ W . Dado x ∈ X, para qualquer
δ > 0, temos
pn
( ε
pn(x) + δ· x)
=ε
pn(x) + δ· pn(x) < ε,
entao εpn(x)+δ
· x ∈ W ′ e assim T(
εpn(x)+δ
· x)∈ W , ou seja, qm
(T(
εpn(x)+δ
· x))
< 1
o que implica em qm(Tx) < pn(x)+δε
. Como δ foi tomado arbitrariamente, a constante
9
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
M = 1ε
satisfaz (1.8).
1.2 Topologia do Espaco C(Ω)
Nosso intuito agora e provar que o espaco C(Ω), das funcoes contınuas definidas em
um aberto Ω ⊂ C, e um espaco de Frechet. Para tal, faz-se necessario que definamos
uma sequencia de seminormas associada a C(Ω), de maneira que este seja completo
com a metrica definida em (1.1).
Como, para cada n ∈ N, a funcao ‖ · ‖n : C(Ω) −→ R∗+ dada por
‖f‖n = sup|z|≤n |f(z)| e uma seminorma, nao e difıcil verificar que (‖ · ‖n)n e uma
sequencia de seminormas associada a C(Ω). Em vista disso, a funcao d : C(Ω) ×C(Ω) −→ R∗+ dada por
d(f, g) =∞∑n=1
1
2n· ‖f − g‖n
1 + ‖f − g‖nf, g ∈ C(Ω), (1.9)
define uma metrica em C(Ω).
A demonstracao que apresentaremos para provar que C(Ω) e Frechet com a metrica
d definida acima, teve como base o processo desenvolvido em [10, Capıtulo 10, Seccion
10.2].
Proposicao 1.3. Em C(Ω) existe uma sequencia (Kn)n∈N de subconjuntos compactos
de Ω tal que
Ω =∞⋃n=1
Kn.
Alem disso, e possıvel escolher os conjuntos Kn, n ≥ 1, satisfazendo:
(i) Kn ⊂ int(Kn+1).
(ii) Se K ⊂ Ω e um conjunto compacto qualquer, entao K ⊂ Kn, para algum n ∈ N.
Demonstracao. Seja z ∈ Ω e consideremos
d(z,C\Ω) = infw∈C\Ω
|z − w|
a distancia do ponto z ao conjunto C\Ω. Para cada n ∈ N, definamos
Kn :=z ∈ Ω; |z| ≤ n
∩z ∈ Ω; d(z,C\Ω) ≥ 1
n
⊂ Ω. (1.10)
10
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Como o conjunto z ∈ Ω; |z| ≤ n e a pre-imagem do intervalo [0, n] pela funcao
modulo, que e contınua, este e compacto e como z ∈ Ω; d(z,C\Ω) < 1n e a pre-
imagem do intervalo(
0, 1n
)pela funcao contınua
g : G −→ Rz 7−→ g(z) = inf|z − w|;w ∈ C\Ω,
e um conjunto aberto, donde seu complementar z ∈ Ω; d(z,C\Ω) ≥ 1n e fechado.
Portanto, Kn e um conjunto fechado e limitado de C, i.e., compacto.
Provemos que Ω =⋃∞n=1Kn. Seja z ∈ Ω, entao existem n1, n2 ∈ N tais que |z| ≤ n1
e d(z,C\Ω) ≥ 1n2
. Considerando n = maxn1, n2, concluımos que z ∈ Kn. Portanto,
Ω ⊂⋃∞n=1Kn. Como Kn ⊂ Ω, para todo n ∈ N, segue a igualdade.
Da forma como Kn foi definido em (1.10), obtem-se a propriedade do item (i). Para
provar (ii), considere K ⊂ Ω um conjunto compacto. Entao K ⊂⋃∞n=1Kn. Como
Kn ⊂ Kn+1, para todo n ∈ N, existe n0 ∈ N tal que K ⊂ Kn0 , como querıamos mos-
trar.
Denotaremos por τd a topologia induzida pela metrica d, explicitada em (1.9). Na
proxima proposicao provaremos que a convergencia em τd e a convergencia uniforme
em compactos sao equivalentes em C(Ω). Mas antes, necessitaremos da definicao a
seguir.
Definicao 1.4. Seja Ω ⊂ C um conjunto aberto. Uma sequencia (fk)k de funcoes em
C(Ω) converge uniformemente em compactos para f : Ω −→ C se, para todo compacto
K ⊂ Ω e para todo ε > 0, existe k0 = k0(K, ε) ∈ N tal que |fk(z) − f(z)| < ε, para
todo z ∈ K e para todo k ≥ k0.
Proposicao 1.4. Sejam (fk)k uma sequencia em C(Ω) e f ∈ C(Ω). Entao fkk→∞−→ f
uniformemente em compactos se, e somente se, fkk→∞−→ f na topologia τd.
Demonstracao. Suponhamos que (fk)k converge para f na topologia τd e seja
K ⊂ Ω um conjunto compacto. Pela Proposicao 1.3, K ⊂⋃∞n=1Kn ⊂
⋃∞n=1 int(Kn+1).
Portanto, existem um natural p e n1, n2, . . . , np ∈ N tais que
K ⊂p⋃j=1
int(Knj+1),
donde K ⊂ Km, para m := maxn1+1, n2+1, . . . , np+1. Dado ε > 0, da convergencia
de (fk)k em f na metrica d, existe k0 ∈ N tal que d(fk, f) < 2−m
1+ε· ε, para todo k ≥ k0.
11
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Logo, cada termo da soma∞∑n=1
1
2n· ‖fk − f‖n
1 + ‖fk − f‖n
e menor do que 2−m
1+ε· ε; em particular
1
2m· ‖fk − f‖m
1 + ‖fk − f‖m<
2−m
1 + ε· ε⇒ ‖fk − f‖m
1 + ‖fk − f‖m<
ε
1 + ε.
Como a funcao x ∈ [0,∞) 7−→ x1+x
e estritamente crescente, obtemos
supz∈Km
|(fk − f)(z)| = ‖fk − f‖m < ε
e como K ⊂ Km, concluımos que |(fk − f)(z)| < ε, para todo z ∈ K e para todo
k ≥ k0. Portanto, fkk→∞−→ f uniformemente em K, para K ⊂ Ω um compacto tomado
arbitrariamente.
Reciprocamente, suponhamos que fkk→∞−→ f uniformemente em todo compacto
K ⊂ Ω, logo tem-se a convergencia uniforme para cada compacto Kn. Dado ε > 0,
existe n0 ∈ N tal que
∞∑n=n0+1
1
2n· ‖fk − f‖n
1 + ‖fk − f‖n<
∞∑n=n0+1
1
2n<ε
2. (1.11)
Para cada n ∈ 1, . . . , n0, existe k(n) ∈ N tal que |fk(z) − f(z)| < ε2, para todo
k ≥ k(n) e para todo z ∈ Kn. Isso nos diz que, para todo n = 1, . . . , n0, temos
‖fk − f‖n < ε2. Tomando k0 = max1≤n≤n0k(n), obtemos
n0∑n=1
1
2n· ‖fk − f‖n
1 + ‖fk − f‖n<
n0∑n=1
1
2n·
ε2
1 + ε2
<ε
2
n0∑n=1
1
2n<ε
2. (1.12)
De (1.11) e (1.12), para todo k ≥ k0, concluımos que d(fk, f) < ε. Portanto, fkk→∞−→ f
na topologia τd induzida pela metrica d.
Em vista do resultado obtido na Proposicao 1.4, segue a seguinte definicao:
Definicao 1.5. Uma sequencia (fk)k ⊂ C(Ω) e Cauchy na metrica d se, e somente se,
dado ε > 0, para todo compacto K ⊂ Ω, existe k0 ∈ N (que depende de ε e de K) tal
que |fk(z)− fl(z)| < ε, para todos k, l ≥ k0 e para todo z ∈ K.
Proposicao 1.5. O espaco C(Ω) e completo com a metrica d.
Demonstracao. Seja (fk)k uma sequencia de Cauchy em C(Ω). Entao, dados ε > 0 e
12
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
K ⊂ Ω um conjunto compacto, existe k0 ∈ N tal que
|fk(z)− fl(z)| < ε
2, (1.13)
para todo z ∈ K e para todo k, l ≥ k0. Alem disso, para cada z ∈ Ω, como (fl(z))∞l=1 e
Cauchy em C, existe ξz ∈ C de modo que
liml→∞
fl(z) = ξz. (1.14)
Deste modo, definamos a funcao f : Ω → C, dada por f(z) = ξz. Provaremos que
fkk→∞−→ f uniformemente em conjuntos compactos. De (1.13) e (1.14), fazendo l→∞,
obtemos |fk(z)− f(z)| < ε2, para todo k ∈ K e para todo k ≥ k0. Assim, dado ε > 0 e
fixado K ⊂ Ω um conjunto compacto, existe um natural k0 tal que
supz∈K|fk(z)− f(z)| < ε
2,
para todo k ≥ k0. Portanto, (fk)k converge uniformemente para f em compactos.
Como f e o limite uniforme em compactos de funcoes contınuas, f e uma funcao
contınua [19, Corollary 46.6, p. 284]. Logo, C(Ω) e completo com a metrica d.
Diante de tudo o que foi demonstrado, concluımos que C(Ω) e um espaco vetorial
munido com uma sequencia separante e nao-decrescente (‖·‖n)n de seminormas, o qual
e completo na metrica definida em (1.9). Logo, pela Definicao 1.3, C(Ω) e um espaco
de Frechet.
Na proposicao seguinte, descreveremos a topologia da convergencia uniforme em
compactos em C(Ω) e, posteriormente, mostraremos que esta coincide com τd gerada
por d. Assim, concluiremos que C(Ω), munido da topologia uniforme em compactos, e
um espaco de Frechet.
Proposicao 1.6. A famılia τ constituıda por unioes arbitrarias de conjuntos das forma
V (f,K, ε) = g ∈ C(Ω); |f(z) − g(z)| < ε, ∀z ∈ K, com ε > 0, K ⊂ Ω compacto e
f ∈ C(Ω), e uma topologia sobre C(Ω).
Demonstracao. Provaremos que os conjuntos V (f,K, ε) formam uma base para uma
topologia em C(Ω). Seja V a colecao de subconjuntos da forma V (f,K, ε), onde
f ∈ C(Ω), K ⊂ Ω compacto e ε > 0. Note que C(Ω) =⋃V ∈V V . Consideremos
V1 = V (f,K, ε), V2 = V (g,M, δ) e h ∈ V1 ∩ V2. Devemos encontrar V3 ∈ V tal que
h ∈ V3 e V3 ⊂ V1 ∩ V2.
13
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Para tal, definamos V3 = V (h,K ∪M,α), onde
α = minε− supz∈K|h(z)− f(z)|, δ − sup
z∈K|h(z)− g(z)|.
Como h ∈ V1 ∩ V2, segue
|f(z)− h(z)| < ε, para todo z ∈ K (1.15)
|g(z)− h(z)| < δ, para todo z ∈M. (1.16)
Dado h ∈ V3, temos |h(z)− h(z)| < α, para todo z ∈ K ∪M . Daı,
|f(z)− h(z)| ≤ |f(z)− h(z)|+ |h(z)− h(z)|
< |f(z)− h(z)|+ ε− supz∈K|h(z)− f(z)|
< supz∈K|h(z)− f(z)|+ ε− sup
z∈K|h(z)− f(z)|
= ε,
para todo z ∈ K. Analogamente, obtemos |g(z) − h(z)| < δ para todo z ∈ M . Por-
tanto, h ∈ V3 ⊂ V1 ∩ V2. Concluımos entao que V forma uma base para uma topologia
em C(Ω), que por definicao e τ .
A seguir mostraremos que a topologia τ , descrita na Proposicao 1.6, e a topologia
τd, induzida pela metrica d, coincidem.
Proposicao 1.7. A topologia τ e a topologia τd coincidem.
Demonstracao. Seja B(f, ε) = g ∈ C(Ω); d(f, g) < ε um aberto basico da topologia
τd. Queremos obter V ∈ V tal que V ⊂ B(f, ε). Sabemos que existe m ∈ N de modo
que∞∑
n=m+1
1
2n· ‖f − g‖n
1 + ‖f − g‖n≤
∞∑n=m+1
1
2n<ε
2. (1.17)
Definamos V = V (f,Km,ε2). Dada g ∈ V , como |f(z)− g(z)| < ε
2, para todo z ∈ Km,
segue que ‖f − g‖m = supz∈Km|f(z) − g(z)| ≤ ε
2, donde ‖f − g‖n ≤ ε
2para todo
n = 1, . . . ,m. Portanto
m∑n=1
1
2n· ‖f − g‖n
1 + ‖f − g‖n≤ ε
2
∞∑n=1
1
2n<ε
2. (1.18)
De (1.17) e (1.18), concluımos que d(f, g) < ε, ou seja, V ⊂ B(f, ε).
14
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Agora, consideremos V = V (h,K, ε) um conjunto da colecao V . Como K ⊂ Ω e
compacto, existe m ∈ N tal que K ⊂ Km. Sejam f ∈ V ,
δ = ε− supz∈K|f(z)− h(z)| e B = B(f, α),
onde α = 12m· δ
1+δ> 0. Dada g ∈ B, temos d(f, g) < α, o que implica em
1
2m· ‖f − g‖m
1 + ‖f − g‖m<
1
2mδ
1 + δ⇒ ‖f − g‖m
1 + ‖f − g‖m<
δ
1 + δ,
donde ‖f − g‖m < δ. Logo, supz∈Km|f(z) − g(z)| < ε − supz∈K |f(z) − h(z)|, isto e,
|f(z) − g(z)| + |f(z) − h(z)| < ε, para todo z ∈ K, o que nos permite concluir que
|g(z)−h(z)| < ε, para todo z ∈ K. Logo B ⊂ V . Assim, concluımos que as topologias
τ e τd coincidem.
Portanto, C(Ω), munido com a topologia da convergencia uniforme em compactos,
e um espaco de Frechet.
1.3 H(C) e um Espaco de Frechet
Iniciamos a secao definindo o espaco H(Ω), para Ω um subconjunto aberto de C.
Definicao 1.6 (Funcao Holomorfa). Sejam Ω ⊂ C um conjunto aberto e uma funcao
f : Ω −→ C. Diz-se que f e C-diferenciavel ou holomorfa em z0 ∈ Ω, quando existe
L ∈ C tal que
limh→0
f(z0 + h)− f(z0)
h= L.
Neste caso, denota-se f ′(z0) = L e o numero L e a derivada de f em z0. Diz-se que
f e C-diferenciavel ou holomorfa em Ω, quando esta o e em todos os pontos de Ω.
Uma funcao f : C −→ C e dita inteira quando e holomorfa em todo ponto de C.
Denotaremos por H(Ω) o conjunto das funcoes holomorfas f : Ω −→ C, em particular
H(C) representara o conjuntos das funcoes inteiras.
Exemplo 1.1. A funcao f : C −→ C definida por f(z) = zn e holomorfa, para todo
n ∈ N0. Mais geralmente, todo polinomio em z define uma funcao holomorfa.
Exemplo 1.2. A funcao exponencial exp : C −→ C dada por exp(z) = ez e um
exemplo de funcao inteira.
Para uma leitura sobre as propriedades elementares das funcoes holomorfas consulte
[10, Capıtulo 3] e [22, Chapter 10].
15
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Com vista as propriedades obtidas para C(Ω), consequentemente para C(C), para
que H(C) as herde, basta verificar que este e fechado em C(C), o que e assegurado
pelo resultado a seguir.
Teorema 1.1. Sejam Ω ⊂ C um conjunto aberto e (fn)n uma sequencia de funcoes
holomorfas definidas em Ω. Seja f : Ω −→ C tal que fnn→∞−→ f uniformemente em
compactos de Ω, entao f e uma funcao holomorfa e fknn→∞−→ fk uniformemente em
compactos, para cada k ∈ N.
Demonstracao. Cf. [10, Teorema 10.3.1, p.226] ou [22, Theorem 10.28, p. 214] .
Corolario 1.1. Seja Ω ⊂ C um conjunto aberto e em C(Ω) considere a topologia
uniforme em compactos, entao H(Ω) e fechado em C(Ω). Alem disso, segue-se que
H(Ω) e completo com a metrica induzida por d, sendo d a metrica definida em (1.9).
Observacao 1.3. No Teorema 1.1, se ao inves de uma sequencia de funcoes holomorfas
convergindo para f , tivessemos uma sequencia de funcoes inteiras, f seria uma funcao
inteira. Portanto, pelo Corolario 1.1, H(C) e um espaco de Frechet.
Os dois proximos resultados serao ferramentas importantes na demonstracao que o
espaco dos polinomios e denso em H(C).
Lema 1.2. Seja∑∞
n=0 an(z − a)n uma serie de potencias, com (an)n, a, z em C. Defi-
nindo o numero R, com 0 ≤ R ≤ ∞, por
1
R:= lim sup
n|an|
1n ,
para 0 < r < R a serie converge uniformemente em z ∈ C; |z| ≤ r.
Demonstracao. Cf. [7, Theorem 1.3(c), p. 31].
Lema 1.3. Seja f uma funcao analıtica na bola aberta B(a;R), de centro a e raio
R > 0. Entao f(z) =∑∞
n=0 an(z − a)n para |z − a| < R, onde an = 1n!f (n)(a). Alem
disso, a serie tem raio de convergencia maior ou igual a R.
Demonstracao. Cf. [7, Theorem 2.8, p. 72].
Proposicao 1.8. O espaco dos polinomios com coeficientes em C e denso em H(C),
na topologia da convergencia uniforme em compactos.
16
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Demonstracao. Sejam K ⊂ C compacto e f ∈ H(C). Dado R > 0 (podendo ser tao
grande quanto se queira), sabemos que f e uma funcao analıtica na bola B(0, R), de
centro 0 e raio R. Pelo Lema 1.3, podemos representar f(z) =∑∞
n=1f (n)(0)zn
n!para todo
z ∈ B(0, R). Agora, considere 0 < r < R tal que K esteja contido na bola fechada
B[0, r]. Pelo Lema 1.2, a serie∑∞
n=1f (n)(0)zn
n!converge uniformemente em B[0, r], em
particular em K, ou seja, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que∣∣∣∣∣f(z)−N∑n=1
f (n)(0)zn
n!
∣∣∣∣∣ < ε,
para todo z ∈ K e para todo N ≥ n0. Portanto, qualquer funcao inteira f e limite
uniforme em compactos de polinomios.
Observacao 1.4. Tendo em mente a Proposicao 1.8 e considerando polinomios com
coeficientes em Q + iQ, concluımos que H(C) e um espaco separavel.
1.4 Resultados Auxiliares
Nesta secao, apresentaremos somente os enunciados de teoremas importantes, que
serao aplicados em algum momento nos proximos capıtulos e, brevemente, exporemos
a nocao de complexificacao de um espaco real X e de um operador linear T : X −→ X.
Teorema 1.2 (Teorema de Baire). Se X e um espaco metrico completo, entao toda
intersecao enumeravel de conjuntos abertos densos em X e denso em X.
Demonstracao. Cf. [14, Proposicao 19, p.190].
No proximo teorema C denotara C ∪ ∞, ou seja, o plano complexo estendido,
munido com a topologia a qual
(i) os conjuntos B(a, r), com a ∈ C e r > 0, formam uma base de vizinhancas abertas
de a e
(ii) os conjuntos B(∞, R) = ∞ ∪ z ∈ C; |z| > R, com R > 0, formam uma base
de vizinhancas abertas de ∞.
Alem da nocao de plano complexo estendido, para o resultado seguinte tambem sera
necessario conhecer a definicao de funcao racional, assim, passemos a proxima definicao.
Definicao 1.7. Uma funcao f : C −→ C e dita racional se pode ser representada da
forma f(z) = p(z)q(z)
, onde p e q sao polinomios, com q 6= 0.
17
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Teorema 1.3 (Teorema de Runge). Seja K um subconjunto compacto de C e A um
conjunto que contem pelo menos um ponto de cada componente conexa de C\K. Con-
sidere f uma funcao holomorfa em alguma vizinhanca de K. Dado ε > 0, existe uma
funcao racional h com extremos somente em A tal que
supz∈K|f(z)− h(z)| < ε.
Alem disso, se C\K e conexo, pode-se tomar A = ∞ e a funcao h sera um polinomio.
Demonstracao. Cf. [22, Theorem 13.9, p.272].
Teorema 1.4 (Teorema da Estimativa de Cauchy). Sejam f ∈ H(B(a;R)) e M > 0
tais que |f(z)| ≤M , para todo z ∈ B(a,R). Entao, para n ≥ 1,
|f (n)(a)| ≤ n!M
Rn.
Demonstracao. Cf. [22, Theorem 10.26, p. 213].
Teorema 1.5. Seja Ω ⊂ C um aberto. Toda funcao f ∈ H(Ω) e representada por uma
serie de potencias em Ω. .
Demonstracao. Cf. [22, Theorem 10.16, p.207]
Teorema 1.6 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam X um espaco vetorial sobre K = Rou C, M um subespaco de X, p : X −→ R∗+ uma seminorma e ϕ : M −→ K um
funcional linear tal que |ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ M . Entao, existe um funcional
linear ϕ : X −→ K que estende ϕ e satisfaz |ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ X.
Corolario 1.2. Seja M um subespaco de X. M e denso em X se, e somente se, todo
funcional linear e contınuo que se anula em M , tambem se anula em X.
Os dois ultimos resultados acima podem ser encontrados em [6].
Definicao 1.8. Seja T : X −→ X um operador linear e contınuo, onde X e um espaco
de complexo de Banach. O espectro de T e definido por
σ(T ) := λ ∈ C;T − λI e nao invertıvel
e o raio espectral de T por
rσ(T ) := supλ∈σ(T )
|λ|.
18
1. Nocoes de Espacos de Frechet e Resultados Auxiliares
Uma importante e util caracterizacao para o raio espectral e: rσ(T ) := limn ‖T n‖1n .
Para maiores detalhes sobre a teoria espectral consulte [20].
Teorema 1.7 (Teorema da Decomposicao de Riesz). Seja T um operador linear e
contınuo definido em X, um espaco complexo de Banach. Se existem dois conjuntos
σ1, σ2 ⊂ σ(T ) fechados e disjuntos tais que σ(T ) = σ1 ∪ σ2, entao existem subespacos
fechados M1 e M2 que sao T−invariantes e nao triviais, de modo que X = M1 ⊕M2,
σ1 = σ(TM1) e σ2 = σ(TM2).
Demonstracao. Cf. [11, Appendix B].
Abaixo apresentaremos as nocoes de complexificacao de um espaco de Frechet X e
de um operador T : X −→ X, que terao aplicabilidade em um importante resultado
do Capıtulo 3. As observacoes a seguir podem ser encontradas em [11, p. 41].
Seja X um espaco real separavel de Frechet. Entao a complexificacao X de X e
definida por
X = x+ iy;x, y ∈ X,
a qual podemos identificar com X ×X. Sejam x = x1 + ix2 e y = y1 + iy2 elementos
de X e λ = a + ib um numero complexo. Munindo X com as operacoes de soma e
multiplicacao por escalar complexo, definidas por x + y = (x1 + y1) + i(x2 + y2) e
λx = (a + ib)(x + iy) = (ax − by) + i(ay + bx), segue que X e um espaco complexo
separavel de Frechet.
Seja T : X −→ X um operador (real-linear) contınuo. A sua complexificacao
T : X −→ X e dada por
T (x+ iy) = T (x) + iT (y)
e T e um operador (complexo-linear) contınuo.
19
Capıtulo 2
Hiperciclicidade e Caos de Devaney
Fundamentado nos dois primeiros capıtulos do livro “Linear Chaos” de Grosse-
Erdmann e Manguillot [11], este capıtulo tratara de alguns conceitos comportamentais
de certas aplicacoes. Inicialmente, abordaremos as nocoes de transitividade topologica
e orbita de um ponto e, posteriormente, definiremos o caos de Devaney. Esses primeiros
conceitos serao tratados para T : X −→ X uma aplicacao contınua, definida em um
espaco metrico X.
Na segunda secao, veremos que tres condicoes centrais devem ser satisfeitas para que
um operador seja considerado caotico no sentido de Devaney. Uma grande surpresa
para matematicos do seculo passado foi a constatacao que dadas condicoes tambem
eram satisfeitas por alguns operadores lineares e contınuos em espacos de Frechet.
Isso, sem duvida, foi uma descoberta bem inusitada: o caos foi encontrado no contexto
da linearidade. Dessa forma, a terceira e a quarta secoes sao dedicadas ao estudo
de operadores lineares e contınuos, definidos em espacos de Frechet, que sao Devaney
caoticos.
2.1 Transitividade Topologica
Nesta secao, introduziremos a propriedade de transitividade topologica para uma
aplicacao contınua T : X −→ X, definida em um espaco metrico X. Atraves do
Teorema da Transitividade de Birkhoff, constataremos que as nocoes de orbita densa e
transitividade topologica sao equivalentes, quando X for um espaco metrico completo,
separavel e sem pontos isolados.
Definicao 2.1. Um sistema dinamico e todo par (X,T ), constituıdo de um espaco
metrico X e de uma aplicacao contınua T : X −→ X. Por simplicidade, denotaremos
dado par, simplesmente por T : X −→ X.
20
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
Exemplo 2.1. Considere a aplicacao T : [0, 1] −→ [0, 1] definida por T (x) = 2x, se
x ∈ [0, 12] e T (x) = 2−2x, se x ∈ [1
2, 1]. Esta funcao e conhecida como aplicacao tenda,
nomeclatura que faz jus a forma do seu grafico. Confira a Figura 2.1.
Figura 2.1: Aplicacao Tenda.Fonte: [11, p.5].
Dado n ≥ 1, a n-esima iterada da aplicacao T : X −→ X e dada por
T n = T T · · · T︸ ︷︷ ︸n-vezes
e assumiremos que T 0 := I, a aplicacao identidade em X.
Definicao 2.2. Seja T : X −→ X um sistema dinamico. Dado x ∈ X, o conjunto
x, Tx, T 2x, T 3x, . . . e chamado orbita de x em T e o denotaremos por orb(x, T ).
Definicao 2.3. Um sistema dinamico T : X −→ X e dito topologicamente transitivo
se, para quaisquer conjuntos abertos e nao vazios U, V ⊂ X, existe algum n ∈ N tal
que T n(U) ∩ V 6= ∅.
Figura 2.2: Intuicao geometrica da Definicao 2.3.Fonte: [11, p.8].
21
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
Exemplo 2.2. A aplicacao tenda apresentada no Exemplo 2.1 e topologicamente tran-
sitiva. Com efeito, a figura abaixo mostra a representacao grafica de T 2 e T 3 e, ob-
servando os graficos dessas primeiras iteradas de T , somos intuitivamente induzidos a
analise que T n e linear por partes. Veja que T 2, por exemplo, e linear nos intervalos
[0, 122 ], [ 1
22 ,222 ], [ 2
22 ,322 ] e [ 3
22 ,422 ]. Analiticamente, T 2 e expressa por
T 2(x) =
4x, se x ∈ [0, 1
22 ]
2− 4x, se x ∈ [ 122 ,
222 ]
4x− 2, se x ∈ [ 222 ,
322 ]
4− 4x, se x ∈ [ 322 ,
422 ].
Via o processo matematico de Inducao Finita sobre n, obtemos que a n-esima iterada
Figura 2.3: Graficos das iteradas T 2 e T 3 da aplicacao tenda.Fonte: [11, p. 9].
do operador T e dada por
T n(x) =
2nx− 2k, se x ∈ [ 2k
2n, 2k+1
2n], k = 0, 1, . . . , 2n − 1
2k − 2nx, se x ∈ [2k−12n
, 2k2n
], k = 1, . . . , 2n−1,
constatando assim, que T n e linear por partes. Note que, nessa n-esima etapa, o inter-
valo [0, 1] foi dividido em 2n intervalos, com extremos [ 2k2n, 2k+1
2n] para
k = 0, 1, . . . , 2n−1 − 1 e [2k−12n
, 2k2n
] para k = 1, . . . , 2n−1. Alem disso, concluımos que
T n( 2k2n
) = 0, para todo k = 0, 1, . . . , 2n−1−1 e T n(2k−12n
) = 1, para todo k = 1, . . . , 2n−1.
Assim, seja U ⊂ [0, 1] um subconjunto aberto e nao vazio, para algum n ∈ N, U
contem algum subintervalo J := [m2n, m+1
2n], com m ∈ N. Portanto, pelas observacoes
feitas acima, segue que [0, 1] = T n(J) ⊂ T n(U). Logo, T n(U) “encontra” qualquer
subconjunto de [0, 1] aberto e nao vazio, o que permite-nos concluir que T e um operador
22
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
topologicamente transitivo.
Proposicao 2.1. Um sistema dinamico T : X −→ X, com inversa T−1 contınua, e
topologicamente transitivo se, e somente se, T−1 o e.
Demonstracao. Sejam U, V ⊂ X conjuntos abertos e nao vazios. Note que, existe
n ∈ N tal que T n(U) ∩ V 6= ∅ se, e somente se, U ∩ T−n(V ) 6= ∅.
Proposicao 2.2. Se T : X −→ X e um sistema dinamico topologicamente transitivo,
entao, para qualquer subconjunto aberto U de X, o conjunto⋃∞n=0 T
n(U) e denso em
X.
Demonstracao. Este resultado decorre diretamente da definicao de transitividade to-
pologica. Veja que, dado qualquer aberto nao vazio V de X, pela transitividade to-
pologica de T , existe algum n0 ∈ N, tal que T n0(U) ∩ V 6= ∅, donde concluımos a
densidade de⋃∞n=0 T
n(U) em X.
Observacao 2.1. Se T : X −→ X e um sistema topologicamente transitivo e U ⊂ X
e aberto, vimos na proposicao acima que⋃∞n=0 T
n(U) e denso em X. Na verdade,
nao e difıcil ver que o resultado trata-se de uma equivalencia, ou seja, a densidade do
conjunto⋃∞n=0 T
n(U) implica a transitividade topologica da aplicacao.
Proposicao 2.3. Seja T um operador contınuo, definido em um espaco metrico X
sem pontos isolados. Se x ∈ X tem orbita densa sobre T , entao T nx tambem a tem,
para todo n ∈ N.
Demonstracao. Queremos provar que orb(T nx, T ) e densa em X. Para tal, basta notar
que o conjunto orb(x, T )\x, Tx, . . . , T n−1x esta contido em orb(T nx, T ). Como em
um espaco metrico sem pontos isolados todo conjunto denso permanece denso apos ser
removida uma quantidade finita de pontos, segue o resultado.
Teorema 2.1 (Transitividade de Birkhoff). Seja X um espaco metrico completo, se-
paravel e sem pontos isolados. Um operador contınuo T : X −→ X e topologicamente
transitivo se, e somente se, existe algum x ∈ X tal que orb(x, T ) e densa em X.
Demonstracao. Supondo T topologicamente transitivo, denotemos por D(T ) o con-
junto dos pontos de X que tem orbita densa sobre T . Como X e separavel, existe
yj; j ∈ N um conjunto denso e enumeravel em X. Assim, as bolas abertas B(yj,1m
),
de centro yj e raio 1m
, formam uma base enumeravel Bkk∈N para uma topologia em
23
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
X. Desse modo, x ∈ D(T ) se, e somente se, para todo k ≥ 1, existe algum n ∈ N0 tal
que T nx ∈ Bk, isto e,
D(T ) =∞⋂k=1
∞⋃n=0
T−n(Bk).
Da continuidade de T e pela Observacao (2.1), para cada k ≥ 1 o conjunto⋃∞n=1 T
−n(Bk)
e aberto e denso em X. Pelo Teorema de Baire (cf. Teorema 1.2), concluımos que D(T )
e um conjunto denso, logo nao-vazio, como querıamos demonstrar.
Reciprocamente, seja x ∈ X um vetor com orbita densa sobre T . Dados U, V sub-
conjuntos nao vazios e abertos de X, provaremos que T n(U) ∩ V 6= ∅, para algum
n ∈ N. Da densidade de orb(x, T ) em X, existe n ∈ N tal que T nx ∈ U . Pela Pro-
posicao 2.3, sabemos que T nx tambem tem orbita densa sobre T , logo existe m ∈ N tal
que Tm(T nx) ∈ V . Portanto, Tm+nx ∈ V e como T nx ∈ U , temos Tm+nx ∈ Tm(U),
isto e, Tm+nx ∈ Tm(U) ∩ V .
Note que, se um sistema dinamico e topologicamente transitivo ou possui um vetor
de orbita densa, o conjunto do sistema constituıdo por estes vetores e Gδ-denso.
Exemplo 2.3. Segue-se do Exemplo 2.2 e do Teorema 2.1 que a aplicacao tenda admite
algum elemento x ∈ [0, 1] com orbita densa em [0, 1].
2.2 Caos de Devaney
A mencao a palavra “caos”, de imediato, nos remete a ideia de algo em desordem, de
comportamentos imprecisos e nao previsıveis. A nocao de caos no estudo do comporta-
mento de sistemas dinamicos nao foge necessariamente dessas ideias intuitivas. Como
veremos, os sistemas considerados caoticos apresentam propriedades interessantes e
curiosas.
A primeira nocao de caos que abordaremos foi a apresentada por Devaney em 1986,
em seu livro “An Introduction to Chaotic Dynamical Systems” [8, edicao de 1989].
O caos de Devaney possui tres ingredientes. O primeiro retoma a ideia do conhecido
efeito borboleta: pequenas alteracoes nas condicoes iniciais, acarretam em um posterior
perıodo de tempo em discrepancias na orbita dos pontos. Um sistema dinamico que
apresenta dada caracterıstica e dito ter dependencia sensıvel as condicoes iniciais. A
definicao a seguir apresenta, em linguagem matematica, o primeiro ingrediente.
Definicao 2.4. Seja (X, d) um espaco metrico sem pontos isolados e T : X −→ X um
sistema dinamico. O sistema T e dito ter dependencia sensıvel as condicoes iniciais
se existe algum δ > 0 tal que, para todo x ∈ X e ε > 0, existe algum y ∈ X com
24
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
d(x, y) < ε de modo que, para algum n ≥ 0, d(T nx, T ny) > δ. O numero δ e chamado
constante de sensibilidade para T .
Figura 2.4: Intuicao geometrica da Definicao 2.4.Fonte: A autora.
Exemplo 2.4. A aplicacao tenda e um exemplo de sistema que tem dependencia
sensıvel as condicoes iniciais, com constante de sensibilidade δ ∈ (0, 12). Com efeito,
dado x ∈ [0, 1] e ε > 0, do conhecimento das iteradas da aplicacao tenda, vistas no
Exemplo 2.2, sabemos que existe n ≥ 0 tal que o intervalo de centro x e raio ε > 0
contem pontos y1, y2 tais que T ny1 = 0 e T ny2 = 1. Assim, teremos |T nx− T nyi| ≥ 12,
para algum i = 1, 2.
O segundo ingrediente do caos ja foi apresentado na secao anterior. Ele exige que
o sistema seja irredutıvel no sentido que a aplicacao T, considerando suas iteradas,
conecte quaisquer partes nao triviais do espaco. Como possivelmente notado, estamos
nos referindo a Definicao 2.3. Assim, um sistema T satisfaz o segundo ingrediente
quando for topologicamente transitivo.
O terceiro ingrediente do caos de Devaney pede que o sistema tenha um conjunto
denso de pontos que apresentem orbitas periodicas, ou seja, orbitas finitas. Desse
modo, cabe a proxima definicao.
Definicao 2.5. Seja T : X −→ X um sistema dinamico. Um ponto x ∈ X e dito um
ponto periodico de T se, existe algum n ≥ 1 tal que T nx = x. O menor numero natural
n que satisfaz dada propriedade e chamado o perıodo de T . Indicaremos por Per(T ) o
conjunto dos pontos periodicos de T .
Para n = 1 na definicao acima, x e dito um ponto fixo de T . Definido ponto
periodico, dizemos que um sistema T satisfaz o terceiro ingrediente do caos quando
Per(T ) e denso em X. Retomando o que foi dito anteriormente sobre este ingrediente,
perceba que vetores periodicos apresentam orbitas finitas. Por exemplo, dado x ∈ X
25
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
um ponto periodico de perıodo p, a orbita de x tem exatamente p elementos, ja que
orb(x, T ) = x, Tx, . . . , T p−1x, T px = x, T p+1x = Tx, . . . = x, Tx, . . . , T p−1x.
Exemplo 2.5. Como exemplo de aplicacao que admite um conjunto denso de pontos
periodicos, podemos citar a aplicacao tenda. Dado U ⊂ [0, 1] um conjunto aberto e
nao vazio, existem m,n ∈ N tais que J := [ m2m, m+1
2n] ⊂ U . Das observacoes feitas sobre
as iteradas de T (relembremos que representamos a aplicacao tenda no exemplo 2.1
por T ), sabemos que T n assume os valores 0 e 1 nos extremos de J . Para simplificar
nossa analise, suponhamos que T n(m2n
) = 0 e T n(m+12n
) = 1.
Desse modo, considere a aplicacao T n − I : [0, 1] −→ [0, 1]. Entao,
(T n − I)(m
2n
)= −m
2n< 0 e (T n − I)
(m+ 1
2n
)= 1− m+ 1
2n> 0.
Como T n− I e contınuo, pelo Teorema do Valor Intermediario, existe c ∈ [ m2m, m+1
2n] tal
que (T n − I)(c) = 0, isto e, T nc = c. Portanto, c e um ponto periodico de T . Como U
foi tomado arbitrariamente, concluımos o exemplo.
Apresentados os tres ingredientes do caos, passemos a definicao de caos no sentido
de Devaney.
Definicao 2.6 (Caos segundo Devaney - versao ingenua). Consideremos (X, d) um
espaco metrico sem pontos isolados. Um sistema dinamico T : X −→ X e dito caotico
(no sentido de Devaney) se ele satisfaz as seguintes condicoes:
(i) T tem dependencia sensıvel as condicoes iniciais.
(ii) T e topologicamente transitivo.
(iii) T possui um conjunto denso de pontos periodicos.
O teorema a seguir garantira que as condicoes (ii) e (iii) da Definicao 2.6 implicam
em (i) da mesma definicao.
Teorema 2.2 (Banks-Brooks-Cairns-Davis-Stacey). Seja X um espaco metrico sem
pontos isolados. Se um sistema dinamico T : X −→ X e topologicamente transitivo
e tem um conjunto denso de pontos periodicos, entao T tem dependencia sensıvel as
condicoes iniciais, com respeito a qualquer metrica definindo uma topologia em X.
Demonstracao. Inicialmente, fixemos uma metrica d definindo uma topologia em X.
Como X e um conjunto infinito, uma vez que nao tem pontos isolados, e possıvel ob-
termos dois pontos periodicos p1 e p2 distintos em X. Como p1 6= p2, suas orbitas sao
26
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
disjuntas. Com efeito, sejam n1, n2 os perıodos de p1 e p2, respectivamente. Suponha-
mos que orb(p1, T ) ∩ orb(p2, T ) 6= ∅, entao existem r, s ∈ N0 tais que T rp1 = T sp2.
Daı, p1 = T rn1n2p1 = T sn1n2p2 = p2, o que e uma contradicao, pois tomamos p1 6= p2.
Definindo
η :=1
2· infm,n∈N0
d(Tmp1, Tnp2) > 0,
perceba que η > 0 pois p1 e p2 sao pontos periodicos distintos, e dado x ∈ X arbitrario,
para todo n ∈ N0, temos
2η ≤ d(T np1, Tnp2) ≤ d(x, T np1) + d(x, T np2),
donde d(x, T np1) ≥ η ou d(x, T np2) ≥ η, se assim nao o fosse, terıamos
d(x, T np1) + d(x, T np2) < 2η, o que nao pode ocorrer pelo o que acabamos de mostrar.
Desse modo, obtivemos uma constante η > 0 de modo que, para qualquer x ∈ X,
existe um ponto periodico p tal que d(x, T np) ≥ η, para todo n ∈ N0.
Afirmamos que δ = η4
e uma constante de sensibilidade que procuramos. Como
Per(T ) e denso em X, dados x ∈ X e ε > 0, existe um ponto periodico q tal que
d(x, q) < min (ε, δ). (2.1)
Supondo N o perıodo de q, da continuidade de T existe alguma vizinhanca V de p de
maneira que
d(T np, T ny) < δ, para n = 0, 1, · · · , N e y ∈ V. (2.2)
Alem disso, foi visto acima que existe um ponto periodico p tal que
d(x, T np) ≥ η = 4δ, ∀ n ∈ N0. (2.3)
Como B(x; ε) e V sao conjuntos abertos e nao vazios de X, pela transitividade to-
pologica de T , existem z ∈ X e algum k ∈ N0 tais que d(x, z) < ε e T kz ∈ V . Agora,
considere j ∈ N0, de modo que k ≤ jN < k +N . Pela desigualdade triangular e pelos
itens (2.1), (2.2) e (2.3), temos
d(T jNq, T jNz) = d(T jNq, T jN−kT kz) = d(q, T jN−kT kz)
≥ d(x, T jN−kT kz)− d(x, q)
≥ d(x, T jN−kp)− d(T jN−kp, T jN−kT kz)− d(x, q)
> 4δ − δ − δ = 2δ.
27
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
Portanto, 2δ < d(T jNq, T jNz) ≤ d(T jNq, T jNx) + d(T jNx, T jNz), o que implica em:
ou d(T jNx, T jNq) > δ ou d(T jNx, T jNz) > δ. Uma vez que d(x, z) < ε e d(x, q) < ε,
segue o resultado.
A partir do teorema acima, a condicao (i) na Definicao 2.6 pode ser desconsiderada,
permitindo-nos obter uma nova versao da definicao de caos de Devaney.
Definicao 2.7 (Caos segundo Devaney - versao final). Um sistema dinamico
T : X −→ X e Devaney Caotico se satisfaz as seguintes condicoes:
(i) T e topologicamente transitivo.
(ii) T tem um conjunto denso de pontos periodicos.
Figura 2.5: Intuicao geometrica da nocao de caos de Devaney.Fonte: [11, p.14].
2.3 Hiperciclicidade
Nesta secao, falaremos especificamente sobre a propriedade de uma dada aplicacao
T : X −→ X admitir um vetor com orbita densa, mas agora para o caso de X um
espaco separavel de Frechet e T um operador linear e contınuo. Note que, diante das
hipoteses do Teorema 2.1, continuamos a tratar da transitividade topologica, so que
em um contexto mais especıfico. Vejamos as definicoes seguintes:
Definicao 2.8. Um sistema dinamico linear e um par (X,T ) consistindo de um espaco
de Frechet separavel X e T : X −→ X um operador linear e contınuo. Por simplicidade
na notacao, representaremos um sistema dinamico linear apenas por T : X −→ X.
A partir deste momento, neste capıtulo, sempre que nos referirmos a um operador
T : X −→ X, estaremos considerando que T e uma aplicacao linear contınua e que X
e um espaco separavel de Frechet.
28
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
Definicao 2.9. Um operador T : X −→ X e dito hipercıclico se, existe x ∈ X um
vetor de orbita densa sobre T , isto e, se existe x ∈ X tal que orb(x, T ) = X. Neste
caso, x e dito um vetor hipercıclico de T . Denotaremos por HC(T ) o conjunto dos
vetores hipercıclicos de T .
Exemplo 2.6. Seja B : `2 −→ `2 dado por B(x1, x2, . . .) = (x2, x3, . . .), o operador
deslocamento a esquerda, definido no espaco de Banach `2. Agora, considere o operador
T := 2B : `2 −→ `2
(x1, x2, . . .) 7−→ 2(x2, x3, . . .).
Perceba que T e um operador linear e contınuo, o qual esta definido em um espaco de
Banach, logo de Frechet. Provaremos que T e um operador hipercıclico, isto e, admite
um vetor com orbita densa.
Em `2 existe Y := y(k); k ≥ 1 ⊂ c00 um conjunto denso e enumeravel. Seja
y(k) ∈ Y e considere mk o maior ındice tal que y(k)mk 6= 0 (y
(k)mk e o mk − esimo termo da
sequencia y(k)). Seja F : `2 −→ `2, dado por F (x1, x2, . . .) = (0, x1, x2, . . .), o operador
deslocamento a direita. A partir deste, definamos
S := 12F : `2 −→ `2
(x1, x2, . . .) 7−→ 12(0, x1, x2, . . .).
Vamos construir uma sequencia estritamente crescente (nk)k de inteiros positivos tal
que, para qualquer k > j ≥ 1,
nk > mj + nj e 2nk > 2nj+k‖y(k)‖. (2.4)
Fixe n1 ∈ N, digamos n1 = 1. Para k = 2, escolha n2 ∈ N o menor natural maior do
que n1 tal que
n2 > m1 + n1 e 2n2 > 2n1+2‖y(2)‖,
onde m2 e o maior ındice tal que y(2)m2 6= 0. Para k = 3, considere n3 ∈ N o menor
numero, com n3 > n2 > n1, de modo que
n3 > m2 + n2 e 2n3 > 2n2+3‖y(3)‖.
Assim, continuando nesse processo, recursivamente obtemos a sequencia (nk)k desejada.
Nosso objetivo, a partir de agora, sera provar que o vetor
x :=∞∑k=1
Snky(k)
29
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
e hipercıclico para T . Para k ≥ 2, temos
‖x‖ = limN→∞
∥∥∥∥∥N∑k=1
Snky(k)
∥∥∥∥∥ ≤ limN→∞
N∑k=1
‖Snky(k)‖ = limN→∞
N∑k=1
‖2−nkFy(k)‖ =∞∑k=1
2−nk‖y(k)‖,
e por (2.4) segue que 2−nk‖y(k)‖ ≤ 2−k, donde concluımos que x ∈ `2. Para k ≥ 1,
usando a linearidade e a continuidade de T , e possıvel expressar T nkx em uma soma e,
para tal, os seguintes casos devem ser considerados:
• Se k > j, entao nk > nj, e como nk − nj > mj, temos
T nk
(k−1∑j=1
Snjy(j)
)=
k−1∑j=1
T nkSnjy(j) =k−1∑j=1
2nk−njBnk−njy(j) = 0;
• Se k = j, entao nk = nj, donde
T nkSnky(k) = y(k);
• Se k < j, entao nk < nj, logo
T nk
(∞∑
j=k+1
Snjy(j)
)=
∞∑j=k+1
T nkSnjy(j) =∞∑
j=k+1
2nk−njF nj−nky(j).
Portanto,
T nkx = T nk
(∞∑j=1
Snjy(j)
)=
k−1∑j=1
T nkSnjy(j) + y(k) +∞∑
j=k+1
T nkSnjy(j)
= 0 + y(k) +∞∑
j=k+1
2nk−njF nj−nky(j)
e tem-se
‖T nkx− y(k)‖ = limN→∞
∥∥∥∥∥N∑
j=k+1
2nk−njF nj−nky(j)
∥∥∥∥∥ ≤ limN→∞
N∑j=k+1
2nk−nj‖F nj−nky(j)‖
=∞∑
j=k+1
2nk−nj‖y(j)‖(2.4)<
∞∑j=k+1
2−j = 2−kk→∞−→ 0.
Como Y e um conjunto denso em `2, concluımos que x tem orbita densa sobre T .
Como enfatizado em [11, p. 37], a terminologia “hipercıclico” atribuıda aos vetores
com orbita densa, surgiu devido aos ja conhecidos vetores cıclicos. Abaixo, definimos
30
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
os conceitos de vetores cıclico e supercıclico.
Definicao 2.10. Seja T : X −→ X um operador. O vetor x ∈ X e dito cıclico para T
se
spanT nx;n ∈ N
e denso em X. Um vetor x ∈ X e dito supercıclico para T se o conjunto
λT nx;n ∈ N, λ ∈ K
e denso em X.
Durante este trabalho nao trataremos sobre os vetores cıclicos e supercıclicos, mas
a partir da Proposicao 2.4 obteremos um resultado interessante envolvendo vetores
cıclicos, que consequentemente, valera para vetores hipercıclicos. Antes de passarmos
a proposicao mencionada, vejamos a seguinte definicao:
Definicao 2.11. Seja T : X −→ X um operador e Y um subespaco (subconjunto) de
X. Dizemos que Y e um subespaco (subconjunto) T -invariante de X se T (Y ) ⊂ Y .
Proposicao 2.4. Seja T : X −→ X um operador. O menor subespaco T -invariante
de X que contem um dado ponto x ∈ X e o fecho do subespaco gerado pela orbita de x
sobre T .
Demonstracao. Seja F :=F ⊆ X; F e subespaco de X fechado e T -invariante, que
contem o ponto x. Nosso objetivo sera provar que
F0 :=⋂F∈F
F = spanT nx;n ∈ N0. (2.5)
Inicialmente, mostremos que, se S e um subespaco T -invariante, entao S tambem o e,
isto e, se T (S) e um subespaco de S, entao T (S) e um subespaco de S.
Seja a ∈ S, donde T (a) ∈ T (S). Considere V uma vizinhanca arbitraria de T (a).
Como a ∈ S e T e contınuo, existe U uma vizinhanca de a tal que U∩S 6= ∅ e T (U) ⊂ V .
Consideremos w ∈ U ∩S, entao T (w) ∈ T (U ∩S) ⊂ T (U)∩T (S) ⊂ V ∩T (S) ⊂ V ∩S,
donde concluımos que T (a) ∈ S.
Agora provaremos (2.5). Como spanT nx;n ∈ N0 e um subespaco fechado T -
invariante, seu fecho tambem o e. Desse modo, spanT nx;n ∈ N0 e um subespaco
fechado e T -invariante de X que contem o ponto x. Logo, F0 ⊂ spanT nx;n ∈ N0.Por outro lado, note que se y ∈ F , para algum F ∈ F , entao T ny ∈ F , para todo
n ∈ N0, pois F e um subespaco T -invariante. Desse modo, como x ∈ F para todo
31
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
F ∈ F , segue que T nx ∈ F , para todo F ∈ F e para todo n ∈ N0. Isso nos permite
concluir que qualquer elemento em spanT nx;n ∈ N0 esta contido em F0. Portanto,
spanT nx;n ∈ N0 ⊂ F0 ⇒ spanT nx;n ∈ N0 ⊂ F0 = F0.
A partir da Definicao 2.10 e da Proposicao 2.4, podemos concluir que um operador
nao tem subespaco fechado invariante nao trivial se todo vetor nao nulo e cıclico.
Tambem vale salientar, que o resultado anterior, sobre subespacos invariantes, se aplica
ao caso de conjuntos invariantes.
Proposicao 2.5. Um operador T : X −→ X nao tem subconjunto invariante nao
trivial se, todo vetor nao nulo x ∈ X for hipercıclico.
O Exemplo 2.6 nos mostra que nao e simples o processo de se obter um vetor
hipercıclico. Mesmo diante da configuracao simples do operador, imaginamos que nao
foi de imediata a obtencao do vetor x, candidato a vetor hipercıclico. Dessa forma, e
deveras importante a obtencao de criterios que nos permitam determinar se um certo
operador e ou nao hipercıclico. O proximo resultado sera o nosso maior recurso, a partir
deste momento, para demonstramos a hiperciclicidade de alguns operadores especıficos.
Teorema 2.3. Seja X um espaco de Frechet separavel. Um operador T : X −→ X e
hipercıclico se, e somente se, ele e topologicamente transitivo. Neste caso, denotaremos
por HC(T ) o conjunto dos vetores hipercıclicos de T , o qual e Gδ-denso.
Demonstracao. A demonstracao segue do Teorema 2.1.
Abaixo apresentaremos tres exemplos classicos de operadores hipercıclicos. Para
demonstra-los utilizaremos o Teorema 2.3, que mostrar-se-a uma ferramenta de crucial
aplicabilidade para dados casos. Dois dos operadores exemplificados estao definidos
em H(C), o espaco das funcoes inteiras. Assim, caso o leitor pense ser necessario, re-
comendamos retomar algumas discussoes feitas no primeiro capıtulo sobre esse espaco.
Exemplo 2.7 (Operador de Birkhoff). O operador translacao
Ta : H(C) −→ H(C)
f 7−→ f(z + a),
para a 6= 0 e z ∈ C, e hipercıclico. Inicialmente, precisamos verificar se, de fato, Ta
e um operador. A linearidade de Ta segue de imediato, entao verifiquemos que T e
32
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
contınuo. Para n ∈ N, escolha kn ∈ N tal que kn ≥ n + |a|. Entao, se |z| ≤ n, temos
|z| ≤ kn − |a|, donde |z + a| ≤ kn.
Daı,
‖Taf‖n =1sup|z|≤n |f(z + a)| ≤ sup|w|≤kn |f(w)| = ‖f‖kn ,
para toda funcao f ∈ H(C). Logo, pela Proposicao 1.2, concluımos que Ta e contınuo.
Para provarmos a hiperciclicidade do operador, consideremos U, V ⊂ H(C) conjun-
tos arbitrarios, abertos e nao vazios. Fixemos f ∈ U e g ∈ V . Como os conjuntos sao
abertos, pela definicao da topologia em H(C), existem m ≥ 1 e ε > 0 (cf. Proposicao
1.1) tais que
h ∈ H(C); sup
|z|≤m|f(z)− h(z)| < ε
⊂ U
e h ∈ H(C); sup
|z|≤m|g(z)− h(z)| < ε
⊂ V.
Seja K ⊂ C o disco fechado, centrado na origem e de raio m, e considere n ∈ N de
modo que o disco K + na seja disjunto de K. Seja q uma funcao holomorfa dada por
q(z) = f(z), para todo z numa vizinhanca de K e q(z) = g(z− na), para todo z numa
vizinhanca de K + na. Aplicando o Teorema de Runge (cf. Teorema 1.3) a funcao q e
ao compacto K ∪ (K + na), obtemos um polinomio p tal que
supz∈K∪(K+na)
|q(z)− p(z)| < ε.
Como K ∩ (K + na) = ∅, segue
supz∈K|f(z)− p(z)| < ε e sup
w∈K+na|g(w − na)− p(w)| < ε. (2.6)
Portanto,
supz∈K|g(z)− T na p(z)| = sup
z∈K|g(z)− p(z+ na)| = sup
w∈K+na|g(w− na)− p(w)|
(2.6)< ε. (2.7)
Por (2.6) e (2.7), p ∈ U e T na p ∈ V , donde concluımos que Ta e topologicamente
transitivo. Como H(C) e separavel, pelo Teorema 2.3 e hipercıclico.
1Relembre que no Capıtulo 1, consideramos em C(C), consequentemente em H(C), a sequencia deseminormas ‖ · ‖n : H(C) −→ R∗+ dada por ‖f‖n = sup|z|≤n |f(z)|, n ∈ N.
33
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
Exemplo 2.8 (Operador de MacLane). O operador derivacao
D : H(C) −→ H(C)
f 7−→ f ′
e hipercıclico. A linearidade de D segue das propriedades de derivacao. Mostremos a
continuidade. Para cada n ∈ N, como |f(z)| ≤ sup |f(z)|, para todo z ∈ B(w, 1), pelo
Teorema da Estimativa de Cauchy (cf. Teorema 1.4), temos
|f ′(w)| ≤ sup|z−w|≤1
|f(z)| ≤ sup|z|≤n+1
|f(z)|,
sempre que |w| ≤ n. Daı,
‖D(f)‖n = sup|w|≤n
|f ′(w)| ≤ sup|z|≤n+1
|f(z)| = ‖f‖n+1, ∀f ∈ H(C),
donde, pela Proposicao 1.2, segue a continuidade de D. Agora, sejam U, V ⊂ H(C)
conjuntos arbitrarios, nao vazios e abertos. Como o conjunto dos polinomios e denso
emH(C), existem polinomios p(z) =∑N
k=1 akzk e q(z) =
∑Nk=1 bkz
k tais que p(z) ∈ U e
q(z) ∈ V . Para provarmos a transitividade topologica de D, e suficiente encontrarmos
um polinomio r tal que Dnr ∈ V , para um certo n ∈ N, e r esteja suficientemente
proximo de p. Desse modo, consideremos o polinomio
r(z) = p(z) +N∑k=0
k!bk(k + n)!
zk+n,
o qual satisfaz a propriedade Dnr = q, para n ≥ N + 1. Alem disso, para todo m > 0,
temos
sup|z|≤m
|r(z)− p(z)| = sup|z|≤m
∣∣∣∣∣N∑0
k!bk(k + n)!
zk+n
∣∣∣∣∣ ≤ sup|z|≤m
N∑0
k!|bk|(k + n)!
|z|k+n
≤N∑k=0
k!|bk|(k + n)!
mk+n.
Fazendo n → ∞, obtemos que sup|z|≤m |r(z) − p(z)| → 0. Logo, r ∈ U e Dnr ∈ V ,
para todo n suficientemente grande, o que nos diz que D e topologicamente transitivo,
portanto e hipercıclico.
Exemplo 2.9 (Operador de Rolewicz). Seja X = `p, 1 ≤ p < ∞, ou X = c0. O
34
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
operador
T = λB : X −→ X
(xj)∞j=1 7−→ λB((xj)
∞j=1)
e hipercıclico, para todo λ ∈ C com |λ| > 1, sendo B o operador deslocamento a
esquerda. A linearidade e a continuidade de T decorrem diretamente do operador B.
Sejam U, V ⊂ X conjuntos arbitrarios, abertos e nao vazios. Como o conjunto das
sequencias finitas e denso em X, e possıvel encontrarmos x ∈ U e y ∈ V , com
x = (x1, x2, . . . , xN , 0, 0, . . .) e y = (y1, y2, . . . , yN , 0, 0, . . .),
para algum N ∈ N. Fixemos n ≥ N e consideremos zn = (zn,1, zn,2, . . .), onde zn,k = xk
se 1 ≤ k ≤ N , zn,k = λ−nyk−n se n+ 1 ≤ k ≤ n+N e zn,k = 0 para os demais ındices
k. Note que, T nzn = y para todo n ≥ N e
‖x− zn‖ = ‖(λ−nyk−n)‖ = |λ|−n‖y‖ n→∞−→ 0.
Desse modo, se n e suficientemente grande, temos que zn ∈ U e T nzn ∈ V , logo T e
topologicamente transitivo. Como X e um espaco de Banach separavel, segue que T e
hipercıclico.
2.4 Operadores Devaney Caoticos
Ja apresentamos o conceito de caos (no sentido de Devaney) para aplicacoes contınuas
definidas em espacos metricos. Nesta secao, definiremos caos neste mesmo sentido, mas
agora para operadores lineares e contınuos definidos em espacos separaveis de Frechet.
Posteriormente, provaremos que os operadores hipercıclicos classicos, vistos na secao
anterior, sao caoticos.
No Teorema 2.2, demonstramos que toda aplicacao T : X −→ X, para X um espaco
metrico sem pontos isolados e T uma aplicacao contınua, nao necessariamente linear,
que tem um conjunto denso de pontos periodicos e e topologicamente transitiva, tem
dependencia sensıvel as condicoes iniciais. Resultado analogo existe para operadores no
contexto da dinamica linear, mas para este caso a hiperciclicidade e condicao suficiente
para se ter dependencia sensıvel as condicoes iniciais.
Proposicao 2.6. Se T e um operador hipercıclico, entao T tem dependencia sensıvel as
condicoes iniciais (com respeito a qualquer metrica invariante por translacao definindo
a topologia de X).
Demonstracao. Devemos garantir a existencia de uma constante δ > 0 satisfazendo
35
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
as condicoes estabelecidas na Definicao 2.4. Consideremos d uma metrica invariante
por translacao em X. Dados ε, δ > 0 e x ∈ X arbitrario, consideremos os sub-
conjuntos U = z ∈ X; d(0, z) < ε e V = z ∈ X; d(0, z) > δ de X. Como
ambos os conjuntos sao abertos e nao vazios, pela transitividade topologica de T ,
existem n ∈ N0 e z ∈ U tais que T nz ∈ V . Tomando o ponto y = x + z em
X, como d e invariante por translacao, d(x, y) = d(x − x, y − x) = d(0, z) < ε e
d(T nx, T ny) = d(T nx − T nx, T ny − T nx) = d(0, T nz) > δ, o que conclui a demons-
tracao.
Tendo em vista o teorema anterior, apresentamos a seguinte definicao em con-
sonancia com a Definicao 2.7.
Definicao 2.12 (Caos de Devaney - versao linear). Um operador T : X −→ X e dito
Devaney caotico se, ele e topologicamente transitivo e possui um conjunto denso de
pontos periodicos.
Exemplo 2.10 (Operador de Rolewicz). O operador T de Rolewicz, definido no Exem-
plo 2.9, e caotico. Como T e hipercıclico, basta mostrarmos que T tem um conjunto
denso de pontos periodicos.
Inicialmente, afirmamos que x ∈ X e um ponto periodico de T se, e somente se,
existem N ∈ N e xk ∈ K (K = R ou K = C), k = 1, · · · , N , tais que
x = (x1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ
−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ
−2NxN , . . .). (2.8)
Provemos este fato. Seja x ∈ X como em (2.8). Note que
TNx = TN(x1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ
−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ
−2NxN , . . .)
= λN(λ−Nx1, . . . , λ−NxN , λ
−2Nx1, . . . , λ−2NxN , . . .)
= (x1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ
−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ
−2NxN , . . .),
donde concluımos que x e um ponto periodico de T , de perıodo N .
Reciprocamente, seja x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ Per(T ), digamos com perıodo p.
Entao T px = x, ou seja,
T px = T p(x1, x2, . . . , xn, . . .) = λp(xp+1, xp+2, . . .) = (x1, x2, . . . , xn, . . .).
Daı,
36
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
λpxp+1 = x1 =⇒ xp+1 = λ−px1
λpxp+1 = x2 =⇒ xp+2 = λ−px2
...
λpxp+p = xp =⇒ x2p = λ−pxp
λpx2p+1 = xp+1 =⇒ x2p+1 = λ−pxp+1.
Entretanto, como p e o perıodo de x em relacao a T , temos
(x1, x2, . . . , xn, . . .) = T 2px = T 2p(x1, x2, . . . , xn, . . .) = λ2p(x2p+1, x2p+2, . . .),
dondeλ2px2p+1 = x1 =⇒ x2p+1 = λ−2px1
λ2px2p+2 = x2 =⇒ x2p+2 = λ−2px2
...
λ2px2p+p = xp =⇒ x3p = λ−2pxp.
Prosseguindo assim indefinidamente, obtemos
x = (x1, . . . , xp, λ−px1, . . . , λ
−pxp, λ−2px1, . . . , λ
−2pxp, . . .),
como querıamos demonstrar.
Agora, mostraremos que T tem um conjunto denso de pontos periodicos. Como
o subespaco c00 e denso em X, consideremos a sequencia y = (y1, y2, . . . , yn, 0, 0, . . .)
arbitraria em X e escolhamos um ponto periodico x ∈ X de perıodo N ≥ n, cujas
primeiras N coordenadas coincidam com as primeiras N coordenadas de y. Note que,
isso e possıvel pela descricao de pontos periodicos como em (2.8). ConsiderandoX = `p,
1 ≤ p <∞, temos
‖x− y‖pp = ‖(xn+1, . . . , xN , λ−Nx1, . . . , λ
−NxN , λ−2Nx1, . . . , λ
−2NxN , . . .)‖pp= |λ−Nx1|p + · · ·+ |λ−NxN |p + |λ−2Nx1|p + · · ·+ |λ−2NxN |p + · · · .
Assim,
‖x− y‖pp = |λ−Ny1|p + · · ·+ |λ−NyN |p + |λ−2Ny1|p + · · ·+ |λ−2NyN |p + · · ·
= |λ−N |p(|y1|p + · · ·+ |yn|p) + |λ−2N |p(|y1|p + . . .+ |yn|p) + . . .
= |λ−N |p‖y‖pp + |λ−2N |p‖y‖pp + · · ·+ |λ−jN |p‖y‖pp + · · ·
=∞∑j=1
|λp|−jN‖y‖pp = ‖y‖pp∞∑j=1
|λp|−jN .
37
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
Portanto, ‖x − y‖p =(‖y‖pp
∑∞j=1 |λp|−jN
) 1p N→∞−→ 0. Logo, dados ε > 0 e y ∈ c00, e
possıvel obtermos um ponto periodico x (de perıodo N tao grande quanto necessario)
tal que ‖x − y‖p < ε e assim concluımos que T tem um conjunto denso de pontos
periodicos. O caso X = c0 pode ser mostrado de maneira analoga.
Alem do operador de Rolewicz, os operadores de Birkhoff e MacLane tambem sao
Devaney caoticos. Ja vimos nos Exemplos 2.7 e 2.8 que ambos sao hipercıclicos, entao
basta apenas mostrarmos a existencia de um conjunto denso de pontos periodicos. Para
tal, precisaremos das duas proposicoes seguintes.
Proposicao 2.7. Seja T uma aplicacao linear definida em um espaco vetorial complexo
X. O conjunto dos pontos periodicos de T e dado por
Per(T )=spanx ∈ X;Tx = eαπix, para algum α ∈ Q.
Demonstracao. Seja x ∈ X tal que Tx = eαπix, para algum α = kn, k ∈ Z e n ∈ N.
Provaremos que x e um ponto periodico de perıodo 2n. Note que
Tx = eknπix⇒ T 2x = T (Tx) = T
(e
knπix)
= eknπie
knπix = e
2knπix,
donde
T 3x = T (T 2x) = T(e2 k
nπix)
= e2knπie
knπix = e
3knπix.
Continuando o processo, obtemos T 2nx = e2n knπix = e2kπix = x. Assim, concluımos que
x e um ponto periodico, de perıodo 2n.
Por outro lado, seja x ∈ X um ponto periodico de T , digamos, de perıodo n.
Decompondo o polinomio zn − 1, obtemos
zn − 1 = (z − λ1)(z − λ2) · · · (z − λn), (2.9)
onde λj, j = 1, . . . , n, sao as n-esimas raızes da unidade. Desse modo, o conjunto
P = p1, p2, . . . , pn de polinomios, com pk =∏
j 6=k(z − λj), 1 ≤ k ≤ n, e uma base
para o espaco dos polinomios de grau estritamente menor do que n. De fato, sejam
α1, α2, . . . , αn escalares em C tais que
n∑j=1
αjpj(z) = α1
∏j 6=1
(z − λj) + α2
∏j 6=2
(z − λj) + · · ·+ αn∏j 6=n
(z − λj) = 0.
Mostraremos que o conjunto P e linearmente independente. Para z = λk, por exemplo,
temos
0 =n∑j=1
αjpj(λk) = αk∏j 6=k
(λk − λj),
38
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
donde αk = 0. Fazendo isso para cada z = λk, k = 1, . . . , n, concluımos que
α1 = · · · = αn = 0. Logo, P e linearmente independente e, portanto, constitui uma
base para o espaco dos polinomios de grau estritamente menor do que n. Entao, existem
µk ∈ C, k = 1, . . . , n, tais que
1 =n∑k=1
µkpk(z).
e assim
I =n∑k=1
µkpk(T ).
Entao, x = I(x) =∑n
k=1 αkpk(T )(x).
Se provarmos que yk := pk(T )x e tal que Tyk = eαkπiyk, para algum αk ∈ Q e para
todo k = 1, . . . , n, concluımos a demonstracao. Veja que,
(T − λk)yk = (T − λk)∏j 6=k
(T − λj)(x)(2.9)= (T n − I)(x) = 0,
donde Tyk = λkyk, para todo k = 1, . . . , n. Lembrando que λk, k = 1, . . . , n, sao
as n-esimas raızes da unidade, cuja forma e bem conhecida, concluımos que cada
Tyk ∈ x ∈ X;Tx = eαπix, para algum α ∈ Q, logo, x pertence ao subespaco
gerado por este conjunto, como querıamos demonstrar.
Denotando eλ(z) = eλz, z ∈ C, passemos a proxima proposicao.
Proposicao 2.8. Seja Λ ⊂ C um conjunto com um ponto de acumulacao. Entao o
spaneλ;λ ∈ Λ e denso em H(C).
Demonstracao. Seja λ ∈ C o ponto de acumulacao de Λ. Entao existe (λn)∞n=1 ⊂ Λ,
com λn 6= λ para todo n ∈ N, tal que λnn→∞−→ λ.
A expansao em serie de Taylor de cada funcao e(λn−λ)(z) = e(λn−λ)z em torno da
origem e dada por
e(λn−λ)z = 1 + (λn − λ)z +(λn − λ)2z2
2!+
(λn − λ)3z3
3!+ · · · .
Multiplicando ambos os membros da igualdade acima por eλz, obtemos
eλnz = eλz + eλz(λn − λ)z + eλz(λn − λ)2z2
2!+ eλz
(λn − λ)3z3
3!+ · · · (2.10)
Como λnn→∞−→ λ, cada termo da soma em (2.10) que contem (λn − λ) converge para
zero, para todo z ∈ C. Logo, eλnz converge para eλz uniformemente em conjuntos
compactos. Portanto, eλ ∈ spaneλn ;n ≥ 1.
39
2. Hiperciclicidade e Caos de Devaney
De (2.10) obtemos
eλnz − eλz
λn − λ= eλzz + eλz
(λn − λ)z2
2!+ eλz
(λn − λ)2z3
3!+ · · · .
E assim,eλnz − eλz
λn − λn→∞−→ zeλz
uniformemente em conjuntos compactos. Entao, a funcao z 7→ zeλz pertence ao
spaneλn ;n ≥ 1.Continuando neste processo, obteremos que todas as funcoes da forma
z 7→ zkeλz, k ≥ 0, pertencem ao spaneλn ;n ≥ 1.Seja f ∈ H(C). Como toda funcao holomorfa pode ser escrita mediante serie de
potencias (cf. Teorema 1.5), obtemos
f(z) = eλz(e−λzf(z)) = eλz( ∞∑k=0
akzk)
=∞∑k=0
akzkeλz,
para ak ∈ C coeficientes adequados. Portanto, f ∈ spaneλn ;n ≥ 1.
Exemplo 2.11 (Operadores de Birkhoff e MacLane). Os operadores de Birkhoff e
MacLane definidos, respectivamente, nos Exemplos 2.7 e 2.8 sao caoticos. Como ja
provamos que ambos os operadores sao hipercıclicos, basta verificarmos que eles pos-
suem um conjunto denso de pontos periodicos.
Primeiramente, verifiquemos para a operador derivacao. Note que eλ e um autovetor
de D para o autovalor λ, pois D(eλ)(z) = (eλz)′ = λeλz = λeλ(z). Pela Proposicao 2.7,
o subespaco
spaneλ;λ = eαπi, para algum α ∈ Q
esta contido no Per(D) e, pela Proposicao 2.8 e denso em H(C). Logo D e Devaney
caotico.
A demonstracao que Ta tem um conjunto denso de pontos periodicos segue de
maneira analoga a feita para o operador derivacao. Perceba que eλ e um autovetor
para o autovalor eaλ, pois Ta(eλ)(z) = eλ(z + a) = eλ(z+a) = eλaeλz = eλaeλ(z). Como
o subespaco
spaneλ; eaλ = eαπi, para algum α ∈ Q = spaneλ;λ =
α
aπi, para algum α ∈ Q
esta contido no Per(Ta) pela Proposicao 2.7, e pela Proposicao 2.8 e denso em H(C),
concluımos que o operador de Birkhoff e Devaney caotico.
40
Capıtulo 3
Resultados de Hiperciclicidade
No capıtulo anterior, definimos aplicacoes topologicamente transitivas e vimos que
esta propriedade e equivalente a existencia de um vetor com orbita densa, no caso de
aplicacoes definidas em espacos metricos completos e separaveis. Posteriormente, no
contexto da linearidade (de acordo com a Definicao 2.8) denotamos um vetor com orbita
densa por hipercıclico e, a partir do Teorema 2.3 a equivalencia entre hiperciclicidade
e transitividade topologica ficou estabelecida para operadores.
Com dada ferramenta em maos e dispondo de alguns resultados de Analise Com-
plexa, foi-se possıvel provar, por exemplo, que os operadores de Birkhoff, MacLane e
Rolewciz sao hipercıclicos. Entretanto, como enfatiza Grosse-Erdmann e Manguillot
em [11, p.69], a verificacao em muitas situacoes concretas que um operador e transi-
tivamente topologico nao e tao simples. Diante dessas questoes, alguns matematicos
descobriram criterios muito uteis para se garantir a hiperciclicidade.
Assim, este capıtulo e dedicado ao estudo desses criterios e de algumas propriedades
de operadores hipercıclicos, como a existencia de um subespaco invariante constituıdo,
exceto pela origem, de vetores com orbita densa e a verificacao que em dimensao finita
nao ha hiperciclicidade. Na segunda e ultima secao, exibiremos uteis resultados que
asseguram quando um operador e hipercıclico.
Neste capıtulo, exceto mencao contraria, T : X −→ X sera um operador linear
contınuo e X um espaco separavel de Frechet.
3.1 Propriedades dos Operadores Hipercıclicos
Nesta secao, enunciaremos e demonstraremos resultados de hiperciclicidade, mais
especificamente, veremos algumas interessantes propriedades que operadores hipercıclicos
satisfazem. Alem disso, mostraremos que operadores em espacos de dimensao finita
nao admitem vetores com orbita densa.
41
3. Resultados de Hiperciclicidade
Os resultados e as demonstracoes apresentadas tiveram como principal base o livro
[11].
Proposicao 3.1. Se T : X −→ X e um operador hipercıclico, entao todo vetor de X
pode ser escrito como a soma de dois vetores hipercıclicos.
Demonstracao. Seja x ∈ X. Pelo Teorema 2.1,
HC(T ) =∞⋂k=1
∞⋃n=0
T−n(Uk),
onde os Uk, k ≥ 1, sao descritos no teorema referenciado. Assim, HC(T ) e Gδ−denso,
e, portanto, x − HC(T ) tambem o e. Provemos esta afirmacao. Seja z ∈ X um
vetor arbitrario, entao existe (zn)n ⊂ HC(T ) tal que znn→∞−→ x − z. Como os vetores
x − zn ∈ x − HC(T ) para todo n ∈ N, e a sequencia x − znn→∞−→ x − (x − z) = z,
concluımos que z ∈ x− HC(T ), o que prova a densidade do conjunto.
Como podemos escrever
x− HC(T ) = x−∞⋂k=1
∞⋃n=0
T−n(Uk) =∞⋂k=1
∞⋃n=0
(x− T−n(Uk)),
onde x−T−n(Uk) e um conjunto aberto, para todo n ≥ 0 e k ≥ 1, segue que x−HC(T )
e Gδ−denso. Pelo Teorema de Baire (cf. Teorema 1.2), HC(T ) ∩ (x − HC(T )) 6= ∅.Logo, existem y, w ∈ HC(T ) tais que y = x− w ∈ HC(T ), donde x = y + w. Como x
foi tomado arbitrariamente, concluımos a demonstracao.
Da Proposicao 3.1, concluımos que, quando um operador T : X −→ X e hi-
percıclico, o espaco X pode ser dado por X = HC(T ) + HC(T ). Alem disso, note que,
se todo vetor nao nulo de X for hipercıclico, entao HC(T ) ∪ 0 e um espaco vetorial.
E neste caso, como ja destacado na Proposicao 2.5, o espaco nao tera subconjunto
invariante nao trivial.
Lema 3.1. (a) O adjunto1 T ′ de todo operador hipercıclico T : X −→ X nao admite
autovalor. Equivalentemente, o operador T − λI, com λ ∈ K e I o operador
identidade em X, tem imagem densa.
(b) Seja T : X −→ X um operador hipercıclico, onde X e um espaco de Frechet
separavel real. O adjunto T ′ da sua complexificacao2 T nao admite autovalor.
Equivalentemente, T − λI, λ ∈ C, tem imagem densa.
1O dual X ′ de um espaco de Frechet e o adjunto T ′ de um operador T : X −→ X sao definidoscomo no caso de espacos de Banach. Como a topologia em X ′ e um tanto delicada, consideraremos eusaremos apenas as propriedades lineares de T ′. Cf. [11, Apendice A, p.354]
2Ver os comentarios sobre complexificacao no final do Capıtulo 1.
42
3. Resultados de Hiperciclicidade
Demonstracao.
(a) Seja x um vetor hipercıclico para T . Suponhamos que T ′ tenha um autovalor
λ ∈ K, isto e, T ′(ϕ) = λϕ, para algum ϕ 6= 0 em X ′. Entao, para todo n ≥ 0,
temos
ϕ(T nx) = (T n)′(ϕ)(x) = (T ′)n(ϕ)(x) = λnϕ(x). (3.1)
Como ϕ e um funcional linear nao nulo, a hiperciclicidade de x implica a densidade
do conjunto ϕ(T nx)∞n=1 em K. Entretanto, o conjunto λnϕ(x)∞n=1 nao e denso
em K, o que contradiz (3.1).
Mostremos a equivalencia. Seja ϕ ∈ X ′ e λ um escalar em K. Note que, para todo
x ∈ X, obtemos
T ′(ϕ)(x)− λϕ(x) = ϕ(Tx)− λϕ(x) = ϕ((T − λI)(x)). (3.2)
Se T ′ nao admite autovalor, para todo funcional ϕ ∈ X ′ tal que ϕ((T−λI)(X)) = 0,
segue que ϕ = 0. Pelo Teorema de Hahn-Banach (cf. Corolario 1.2), (T − λI)(X)
tem imagem densa. Reciprocamente, suponha que o conjunto (T − λI)(X) seja
denso. Se existisse λ um autovalor de T ′, terıamos T ′(ϕ)(x) = λϕ(x), para algum
ϕ em X ′ nao nulo. Mas da densidade de T − λI, pelo Teorema de Hahn-Banach e
por (3.2), segue que ϕ = 0, o que e uma contradicao.
(b) Seja x ∈ X um vetor hipercıclico para T . Suponhamos que T ′ admite um autovalor
λ ∈ C, com ϕ 6= 0 em X ′ um autovetor associado. Note que, para todo n ≥ 0,
temos
|ϕ(T nx)| = |ϕ(T nx)| = |(T n)′(ϕ)(x)| = |(T ′)n(ϕ)(x)| = |λ|n|ϕ|. (3.3)
Como ϕ(x1 + ix2) = ϕ(x1) + iϕ(x2), para todos x1, x2 ∈ X, e como ϕ 6= 0, existe
z ∈ X tal que |ϕ(z)| > 0 e, portanto, |ϕ| assume todos os valores positivos em X.
Pela hiperciclicidade de x, o conjunto |ϕ(T nx)|∞n=1 e denso em R+, enquanto que
|λϕ(x)|∞n=1 nao o e, o que contradiz a igualdade (3.3). A equivalencia e provada
de forma analoga a feita no item anterior.
Teorema 3.1. Se T : X −→ X e um operador hipercıclico e p e um polinomio nao
nulo, entao p(T )(X) e denso em X.
43
3. Resultados de Hiperciclicidade
Demonstracao. Seja p(z) =∑m
n=0 anxn, com am 6= 0 e m ≥ 1. Dividiremos a demons-
tracao em dois casos: X um espaco complexo e X um espaco real.
Se X e um espaco complexo, existem λ1, . . . , λm em C tais que
p(T ) = am(T − λ1I) · · · (T − λmI).
Como a composicao de operadores com imagem densa e um operador de imagem densa,
pelo Lema 3.1(a), p(T ) tem imagem densa.
Para o caso X um espaco de Frechet real, considere X a sua complexificacao e T
a complexificacao de T . Pelo Lema 3.1(b) e pelo o que foi demonstrado logo acima,
qualquer polinomio p(T ) com coeficientes complexos tem imagem densa. Se p(T ) tem
coeficientes reais, como
p(T (x+ iy)
)= p(T )x+ ip(T )y, x, y ∈ X,
segue que p(T )(X) tambem tem imagem densa. Com efeito, seja ϕ 6= 0 em X ′ tal que
ϕ|p(T )(X) = 0. Considere ϕ ∈ X ′ a complexificacao de ϕ, entao
ϕ(p(T )(x+ iy)
)= ϕ
(p(T )x+ ip(T )y
)= ϕ(p(T )x) + iϕ(p(T )y) = 0,
para todo x, y ∈ X, ou seja, ϕ|p(T )(X) = 0. Como p(T )(X) e denso em X, pelo Teorema
de Hahn-Banach, ϕ = 0. Como ϕ(x + iy) = ϕ(x) + iϕ(y) = 0 para todo x, y ∈ X,
concluımos ϕ = 0, aplicando Hahn-Banach novamente, segue a densidade de p(T ).
Enfim abordaremos um dos resultados mais interessantes da secao, o qual garantira
que todo operador hipercıclico possui um subespaco invariante e denso, constituıdo,
exceto pela origem, de vetores com orbita densa.
Teorema 3.2. Seja T : X −→ X um operador hipercıclico. Entao existe um subespaco
denso T -invariante de X constituıdo, com excecao do zero, de vetores hipercıclicos.
Demonstracao. Seja x um vetor hipercıclico para T e considere o subespaco
Y := p(T )x; p e um polinomio.
Como Y = spanorb(x, T ) e T (Y ) ⊂ Y , segue que Y e um subespaco T−invariante de
X. Resta-nos provar, para todo polinomio p nao nulo, que p(T )x e um vetor hipercıclico
44
3. Resultados de Hiperciclicidade
de X. Assim, seja p(T )x =∑m
k=0 akTk(x). Como, para todo n ∈ N0, temos
T n(p(T )x
)= T n
( m∑k=1
akTk(x)
)=
m∑k=1
akTnT k(x) =
m∑k=1
akTkT n(x) = p(T )
(T nx),
segue que orb(p(T )x, T ) = p(T )(orb(x, T )). Pelo Teorema 3.1, p(T ) tem imagem densa,
e como a orbita de x em T e densa em X, concluımos que orb(p(T )x, T ) e densa em
X. Logo, para todo polinomio p, p(T )x e um vetor hipercıclico para T .
A partir do proximo teorema constataremos que hiperciclicidade e um fenomeno
exclusivo de dimensao infinita. A demonstracao que sera realizada teve como base
principal a encontrada em [1, p. 1].
Teorema 3.3. Nao existe operador hipercıclico definido em um espaco de Frechet de
dimensao finita.
Demonstracao. Seja X um espaco de Frechet de dimensao n ≥ 1. Como qualquer
espaco de dimensao finita e isomorfo a Kn, e suficiente demonstrarmos o resultado para
X = Kn. Suponha, por absurdo, que exista T : Kn −→ Kn um operador hipercıclico e
seja x ∈ Kn um vetor hipercıclico de T .
Como o conjunto B = x, Tx, T 2x, . . . , T n−1x e linearmente independente, este
constitui uma base para Kn. Com efeito, suponha que exista um elemento no conjunto
que e escrito como combinacao linear dos demais. Sem perda de generalidade, digamos
que T n−1x. Entao, existem aj ∈ K, j = 0, . . . , n− 2, tais que
T n−1x =n−2∑j=0
ajTjx. (3.4)
Entao,
T nx = T (T n−1x) = T
(n−2∑j=0
ajTjx
)=
n−2∑j=1
aj−1Tjx+ an−2T
n−1x
=n−2∑j=1
aj−1Tjx+ an−2
n−2∑j=0
ajTjx.
Logo, para todo k ≥ n, T kx e escrito como combinacao linear dos elementos do conjunto
x, Tx, T 2x, . . . , T n−2x, donde spanorb(x, T ) tem dimensao menor do que ou igual
a n− 1, o que e uma contradicao, uma vez que orb(x, T ) e densa em Kn.
Como a orbita de x em relacao a T e densa em X, dado α ∈ R+ arbitrario, existe
(nk)k uma sequencia crescente de inteiros positivos tal que T nkxk→∞−→ αx (note que (nk)k
45
3. Resultados de Hiperciclicidade
depende de α). Entao, T nkT jx = T jT nkxk→∞−→ αT jx, para todo j ≥ 0, em particular
j ≤ n. Daı, dado z ∈ Kn, existem escalares b0, b1, . . . , bn−1 tais que z =∑n−1
j=0 bjTjx.
Entao,
T nkz = T nk
(n−1∑j=0
bjTjx
)=
n−1∑j=0
bjTjT nkx
k→∞−→n−1∑j=0
bjTjαx = α
n−1∑j=0
bjTjx.
Portanto, T nkzk→∞−→ αz, para todo z ∈ Kn, donde T nk
k→∞−→ αI, onde I : Kn −→ Kn e
o operador identidade.
Considere [T nk ], k ≥ 1, e [αI] as matrizes, respectivamente, dos operadores T nk
e αI com relacao a base canonica. Como det([αI]) = αndet([I]) = αn e a funcao
determinante det : Mn(K) −→Mn(K) e contınua, segue
det([T nk ])k→∞−→ det([αI]) = αn (3.5)
Definindo a := |det([T ])|, como (det([T ]))nk = det([T nk ])k→∞−→ αn e α ∈ R+ foi tomado
arbitrariamente, concluı-se que o conjunto an;n ∈ N e denso em R+. Mas isto e um
absurdo, pois a > 1⇒ an > 1, a < 1⇒ an < 1 e a = 1⇒ an = 1, para todo n ∈ N.
3.2 Aplicacoes Mixing e Weakly Mixing e Criterios
de Hiperciclidade
A aplicacao tenda, definido no Exemplo 2.1 e como provado no Exemplo 2.2 e
topologicamente transitivo. Mas via a demonstracao feita neste ultimo exemplo, per-
cebemos que ele satisfaz condicoes alem das exigidas pela transitividade topologica.
Note que, a partir de algum n ∈ N, T n(U) intersecta todo o intervalo [0, 1], para
U ⊂ [0, 1] um aberto. Desse modo, podemos dizer que esta aplicacao e fortemente
topologicamente transitiva. Como veremos abaixo, aplicacoes com essa propriedade sao
chamadas mixing e, alem dessas, tambem existem aplicacoes weakly mixing.
Inicialmente, nesta secao, trataremos sobre as aplicacoes mixing e weakly mixing e,
posteriormente apresentaremos alguns criterios de hiperciclicidade. Para as definicoes
a seguir, consideraremos T : X −→ X um sistema dinamico como na Definicao 2.1, ou
seja, T uma aplicacao contınua e X um espaco metrico.
Definicao 3.1. Um sistema dinamico T : X −→ X e dito mixing se, para qualquer
par U, V de subconjuntos abertos e nao vazios de X, existe algum n0 ∈ N tal que, para
46
3. Resultados de Hiperciclicidade
todo n ≥ n0, tem-se
T n(U) ∩ V 6= ∅.
Definicao 3.2. Sejam U1, U2, V1 e V2 subconjuntos abertos e nao vazios de X. Um
sistema dinamico T : X −→ X e dito weakly mixing se existe algum n ∈ N tal que
T n(U1) ∩ V1 6= ∅ e T n(U2) ∩ V2 6= ∅.
Exemplo 3.1. De acordo com as observacoes feitas no inıcio da secao, a aplicacao
tenda e mixing. Para um exemplo de aplicacao weakly mixing confira o Exemplo 3.8.
E importante observar que valem as seguintes implicacoes:
Mixing⇒ Weakly Mixing⇒ Transitividade Topologica.
Entao, no contexto da dinamica linear tem-se que todo operador mixing ou weakly
mixing e hipercıclico.
A partir deste momento, voltaremos a considerar T : X −→ X um operador linear
contınuo, definido em X um espaco separavel de Frechet. A seguir, apresentaremos
alguns uteis resultados que nos garantirao que um operador e mixing ou weakly mixing,
logo hipercıclico.
Teorema 3.4 (Criterio de Godefroy-Shapiro). Seja T : X −→ X um operador. Se os
subespacos
X0 := spanx ∈ X;Tx = λx, para algum λ ∈ K, com |λ| < 1
e
Y0 := spanx ∈ X;Tx = λx, para algum λ ∈ K, com |λ| > 1
sao densos em X, entao o operador T e mixing e, em particular, hipercıclico.
Demonstracao. Sejam U, V ⊂ X conjuntos abertos e nao vazios. Como os subespacos
X0 e Y0 sao densos em X, existem elementos x, y ∈ X tais que x ∈ X0∩U e y ∈ Y0∩V .
Desse modo, para escalares convenientes ak, bk e vetores xk, yk ∈ X, com k = 1, . . . ,m,
podemos representar os vetores x e y da forma
x =m∑k=1
akxk e y =m∑k=1
bkyk,
onde Txk = λkxk, Tyk = µkyk, para certos λk, µk ∈ K, com |λk| < 1, |µk| > 1 e
47
3. Resultados de Hiperciclicidade
k = 1, . . . ,m. Calculando a n-esima iterada de T aplicada a x , obtemos
T nx = T n
(m∑k=1
akxk
)=
m∑k=1
akTnxk =
m∑k=1
akλnkxk
n→∞−→ 0, (3.6)
uma vez que |λk| < 1, para todo k = 1, . . . ,m. Defina un = bk1µnkyk e note que un
n→∞−→ 0,
pois |µk| > 1 para todo k = 1, . . . ,m. Alem disso, para todo n ∈ N, temos
T nun = T n
(m∑k=1
bk1
µnkyk
)=
m∑k=1
bk1
µnkT nyk =
m∑k=1
bk1
µnkµnkyk = y. (3.7)
De (3.6), (3.7) e do fato de unn→∞−→0, existe n0 ∈ N tal que
x+ un ∈ U e T n(x+ un) = T nx+ y ∈ V,
para todo n ≥ n0. Portanto, T e um operador mixing, logo hipercıclico.
Corolario 3.1. Nas hipoteses do teorema anterior, mas considerando X um espaco
complexo, se o subespaco
Z0 := spanx ∈ X;Tx = eαπix, para algum α ∈ Q
e denso em X, entao T e um operador Devaney caotico.
Demonstracao. Basta aplicar a Proposicao 2.7.
Os operadores de Maclane, Birkhoff e Rolewicz satisfazem o criterio de Godefroy-
Shapiro. Abaixo demonstraremos dois deles.
Exemplo 3.2. Considere o operador derivacao D em H(C), dado por D(f) = f ′.
Denote por eλ(z) = eλz a funcao exponencial, λ ∈ C, e note que eλ e um autovetor de
D associado ao autovalor λ. Pela Proposicao 2.8, os subespacos
spaneλ;D(eλ) = λeλ, com |λ| < 1
e
spaneλ;D(eλ) = λeλ, com |λ| > 1
sao densos emH(C). Portanto, o operador diferenciacao satisfaz o Criterio de Godefroy-
Shapiro, logo e mixing e, consequentemente, hipercıclico.
48
3. Resultados de Hiperciclicidade
Exemplo 3.3. Para a verificacao do operador de Birkhoff, Ta : H(C) −→ H(C) dado
por Ta(z) = f(z + a), a 6= 0, basta perceber que toda funcao exponencial eλ, λ ∈ C,
e um autovetor associado ao autovalor eλa. Assim, procedendo de maneira analoga ao
exemplo anterior, conclui-se que Ta satisfaz o criterio de Godefroy-Shapiro.
Todo operador T : X −→ X que satisfaz o criterio de Godefroy-Shapiro e mixing,
mas todo operador mixing satisfaz dado criterio? A resposta e negativa. Vejamos o
proximo exemplo.
Exemplo 3.4. Consideremos T o operador deslocamento bilateral a esquerda, dado
por
T ((xn)n∈Z) = (xn+1)n∈Z,
definido no espaco de Banach l1(Z, v) = (xn)n∈Z; ‖x‖ :=∑
n∈Z |xn|vn < ∞3, onde
vn = 1|n|+1
,
n ∈ Z. Provaremos que este operador nao admite autovalor. Se supormos a existencia
de x 6= 0 em l1(Z, v) um autovetor de T associado a algum autovalor λ, ou seja, se
x ∈ l1(Z, v) e tal que Tx = λx, entao x e necessariamente da forma
x = (. . . ,1
λ2x0,
1
λx0, x0, λx0, λ
2x0, . . .) λ 6= 0 e x0 6= 0. (3.8)
De fato, seja
x = (. . . , x−2, x−1︸︷︷︸(−1)−esima posicao
, x0︸︷︷︸0−esima posicao
, x1︸︷︷︸1−esima posicao
, x2, . . .),
onde, para todo n ∈ N, (−n)−esima posicao e n−esima posicao indicam, respecti-
vamente, a n−esima posicao a esquerda do x0 e a n−esima posicao a direita do x0,
entao
Tx = T (. . . , x−2, x−1︸︷︷︸(−1)−posicao
, x0︸︷︷︸0−posicao
, x1︸︷︷︸1−posicao
, x2, . . .)
= (. . . , x−1︸︷︷︸(−2)−posicao
, x0︸︷︷︸(−1)−posicao
, x1︸︷︷︸0−posicao
, x2︸︷︷︸1−posicao
, x3, . . .)
= λ(. . . , x−2, x−1︸︷︷︸(−1)−posicao
, x0︸︷︷︸0−posicao
, x1︸︷︷︸1−posicao
, x2, . . .)
= λx,
onde
3A soma infinita em Z e dada por:∑
n∈Z xn =∑
n∈N xn +∑
n∈N x−n + x0.
49
3. Resultados de Hiperciclicidade
...
λx−2 = x−1 =⇒ x−2 = 1λx−1 = 1
λ2x0
λx−1 = x−0 =⇒ x−1 = 1λx0
λx0 = x1 =⇒ x1 = λx0
λx1 = x2 =⇒ x2 = λ(λx0) = λ2x0
λx2 = x3 =⇒ x3 = λ(λ2x0) = λ3x0
...
verificando-se a afirmacao (3.8). Entretanto,
‖x‖ =∑n∈N
∣∣∣∣ 1
λnx0
∣∣∣∣vn +∑n∈N
|λnx0| vn + |x0|
= |x0|
(∑n∈N
1
|λ|n(n+ 1)+∑n∈N
|λ|n
(n+ 1)+ 1
)=∞, (3.9)
para qualquer λ ∈ K. Com efeito, para |λ| = 1 ambas as series acima divergem (veja
que neste caso, tratam-se das series harmonicas). Denotemos por an = 1|λ|n(n+1)
e
bn = |λ|n(n+1)
os termos gerais das series. Se |λ| > 1, como
an+1
an=
1
|λ|n+1(n+ 2)|λ|n(n+ 1) =
1
|λ|n+ 1
n+ 2
n→∞−→ 1
|λ|< 1,
pelo Teste de d’Alembert [15, p. 42] a serie∑
n∈N1
|λ|n(n+1)diverge. Por outro lado, se
|λ| < 1, uma vez que
bn+1
bn=|λ|n+1
(n+ 2)
n+ 1
|λ|n= |λ|n+ 1
n+ 2
n→∞−→ |λ| < 1,
novamente pelo teste de d’Alembert a serie∑
n∈N|λ|n
(n+1)diverge. Portanto, para todo
λ ∈ K, segue (3.9), donde concluımos que o operador T nao possui autovalor e, por-
tanto, nao satisfaz o Criterio de Godefroy-Shapiro.
Lema 3.2. Seja T : X −→ X um operador. Se existem Y0 ⊂ X e S : Y0 −→ Y0 uma
aplicacao tal que TSy = y, para todo y ∈ Y0, entao T nSny = y, para todo n ∈ N.
Demonstracao. Demonstraremos via o Princıpio de Inducao Finita sobre n ∈ N. Seja
50
3. Resultados de Hiperciclicidade
y ∈ Y0 tal que TSy = y. O caso n = 1 e a hipotese e supondo o resultado valido para
n, isto e, T nSny = y, para todo y ∈ Y0, provemos para n+ 1. Note que
T n+1Sn+1y = (T (T n Sn) S)(y) = T (T n Sn)(Sy) = T (T nSn)(Sy) = TSy = y,
para todo y ∈ Y0. Assim, concluımos o resultado.
Teorema 3.5 (Criterio de Kitai). Seja T : X −→ X um operador. Se existem subcon-
juntos X0, Y0 ⊂ X densos e uma aplicacao S : Y0 −→ Y0 tais que
(i) T nxn→∞−→ 0,
(ii) Snyn→∞−→ 0,
(iii) TSy = y,
para quaisquer x ∈ X0 e y ∈ Y0, entao T e mixing, em particular, hipercıclico.
Demonstracao. A demonstracao deste teorema seguira ideia analoga a feita para o
Teorema 3.4. Sejam U, V ⊂ X conjuntos abertos e nao vazios. Da densidade dos
conjuntos X0 e Y0, existem x, y em X tais que x ∈ X0 ∩ U e y ∈ Y0 ∩ V .
Como Snyn→∞−→ 0, existe n1 ∈ N tal que x + Sny ∈ U , para todo n ≥ n1. Do item
(i), T nxn→∞−→ 0 e como, pelo Lema 3.2, T nSny = y para todo y ∈ Y0, existe n2 ∈ N tal
que T n(x+ Sny) = T nx+ y ∈ V , para todo n ≥ n2.
Tomando n0 = maxn1, n2, temos que T n(x+Sny) ∈ T n(U)∩V , para todo n ≥ n0.
Portanto, T e mixing, logo hipercıclico.
A aplicacao S, no teorema acima, nao precisa satisfazer qualquer condicao alem das
propriedades (ii) e (iii).
Como para o criterio de Godefroy-Shapiro, os tres operadores hipercıclicos classicos
satisfazem o criterio de Kitai. Abaixo, verificaremos o resultado para o operador de
Rolewicz e o operador de MacLane. Para uma demonstracao do operador de Birkhoff
veja [11, p.72].
Exemplo 3.5. Seja T = λB : X −→ X, |λ| > 1, o operador de Rolewicz definido no
Exemplo 2.9. Considere X0 = Y0 = c00, o qual e denso em X (X = `p, 1 ≤ p < ∞ou X = c0), e a aplicacao S = 1
λF : c00 −→ c00, onde F e o operador deslocamento a
direita. Todas as condicoes do Criterio de Kitai sao satisfeitas, pois dado x ∈ c00, nao
e difıcil verificar que T nxn→∞−→ 0, Snx
n→∞−→ 0 e TSx = x. Portanto, T e mixing e, em
particular, hipercıclico.
51
3. Resultados de Hiperciclicidade
Exemplo 3.6. Seja D o operador derivacao definido em H(C) dado por Df = f ′.
Considere X0 = Y0 = P0 o espaco dos polinomios com coeficientes em C, o qual e
denso em H(C). Defina a aplicacao S : P0 −→ P0 por S(p(z)) =∫ z
0p(ξ)dξ, p(z) ∈ P0.
Vejamos que as condicoes do criterio de Kitai sao satisfeitas. Dado p(z) ∈ P0, note
que Dnp(z)n→∞−→ 0, basta perceber que Dnp(z) = 0 para todo n > ∂(p(z)), onde ∂(p(z))
denota o grau do polinomio.
Das propriedades da integral e necessaria apenas a verificacao do item (ii) para
polinomios da forma p(z) = zk, k ≥ 0. Note que Sn(zk) = k!zk+n
(k+n)!e provemos que
Sn(zk) converge para zero uniformemente em conjuntos compactos de C. Seja K ⊂ Ccompacto, entao existe M > 0 tal que |z| ≤ M para todo z ∈ K. Para cada k ≥ 0,
temos
|Snzk| =∣∣∣∣ k!zk+n
(k + n)!
∣∣∣∣ ≤ k!
(k + n)!|z|k+n ≤ k!
(k + n)!Mk+n n→∞−→ 0.
Logo, Snzkn→∞−→ 0 uniformemente em compactos. Como DSp(z) = p(z), para todo
p(z) ∈ P0, todos os itens do criterio de Kitai estao sendo satisfeitos. Portanto, D e
mixing, logo e hipercıclico.
No Exemplo 3.4, provamos que o operador la definido nao satisfaz o criterio de
Godefroy-Shapiro, entretanto, como veremos a seguir, ele satisfaz o criterio de Kitai.
Exemplo 3.7. Seja T : l1(Z, v) −→ l1(Z, v) o operador dado por T ((xn)n∈Z) =
(xn+1)n∈Z e o qual foi definido no Exemplo 3.4. Para provarmos que T satisfaz o
criterio de Kitai, considere X0 = Y0 o espaco das sequencias finitas bilaterais, ou seja,
as sequencias da forma
(. . . , 0, 0, x−m, . . . , x0, . . . , xk, 0, 0, . . .),
para m, k ∈ N e considere a aplicacao S = F : Y0 −→ Y0 o operador deslocamento a
direita. Seja z = (. . . , 0, 0, x−m, . . . , x0, . . . , xk, 0, 0, . . .), entao
T nz = T n(. . . , 0, x−m︸︷︷︸(−m)−esima posicao
, . . . , xk︸︷︷︸k−esima posicao
, 0, . . .)
= (. . . , 0, x−m︸︷︷︸(−m+n)−esima posicao
, . . . , xk︸︷︷︸(k+n)−esima posicao
, 0, . . .),
onde, para todo n ∈ N, (−n)−esima posicao e n−esima posicao indicam, respectiva-
mente, a n−esima posicao a esquerda do x0 e a n−esima posicao a direita do x0. Daı,
como
‖T nz‖ = |x−m|1
| −m− n|+ 1+ · · ·+ |xk|
1
|k − n|+ 1, (3.10)
52
3. Resultados de Hiperciclicidade
com x−m, . . . , xk valores fixados, para n suficientemente grande, cada termo da soma
em (3.10) tende a zero, logo T nzn→∞−→ 0.
Analogamente, concluı-se que Snzn→∞−→ 0 e como S e operador inverso a direita de
T, segue que TSz = z, para todo z ∈ c00.
Portanto, T satisfaz o Criterio de Kitai, logo e mixing e, consequentemente, hi-
percıclico.
Exigindo menos que o criterio de Kitai, o proximo resultado pedira que as pro-
priedades (i) e (ii) apresentadas no criterio sejam satisfeitas para uma subsequencia
(nk)k de N. Entretanto, ao passo que ganhamos por um lado, perdemos pelo outro,
ja que nao sera mais possıvel garantir a propriedade mixing do operador, mas apenas
a weakly mixing. Mas no contexto simplesmente da hiperciclicidade, ou seja, nao se
preocupando com a propriedade mixing ou weakly mixing, o proximo resultado e uma
melhor ferramenta para se garantir a hiperciclicidade de um operador.
Teorema 3.6 (Gethner-Shapiro). Seja T : X −→ X um operador. Se existem subcon-
juntos X0, Y0 ⊂ X densos, uma sequencia nao-decrescente (nk)k de inteiros positivos e
uma aplicacao S : Y0 −→ Y0 tais que
(i) T nkxk→∞−→ 0,
(ii) Snkyk→∞−→ 0,
(iii) TSy = y,
para quaisquer x ∈ X0 e y ∈ Y0, entao T e weakly mixing, consequentemente hi-
percıclico.
Demonstracao. Sejam U1, U2, V1 e V2 subconjuntos abertos e nao-vazios de X. Nosso
objetivo sera mostrar que existe algum n ∈ N tal que
T n(U1) ∩ V1 6= ∅ e T n(U2) ∩ V2 6= ∅.
Como X0 e Y0 sao subconjuntos densos de X, existem xi, yi ∈ X tais que xi ∈ Ui ∩X0
e yi ∈ Vi ∩ Y0, com i = 1, 2. Uma vez que T nkxik→∞−→ 0 e Snkyi
k→∞−→ 0, existe k0 ∈ Ntais que
xi + Snkyi ∈ Ui e T nkxi + yi ∈ Vi,
para todo k ≥ k0 e i = 1, 2. Como, por hipotese, TSy = y, pelo Lema 3.2, T nk(xi +
Snkyi) = T nkxi + yi. Portanto, para todo k ≥ k0, T nk(Ui)∩ Vi 6= ∅, para i = 1, 2, como
querıamos.
53
3. Resultados de Hiperciclicidade
Vejamos um exemplo de um operador que satisfaz o criterio de Gethner-Shapiro,
mas nao satisfaz o criterio de Kitai.
Exemplo 3.8. Seja T = Bw : c0 −→ c0 o operador deslocamento a esquerda com peso,
o qual e dado por
Bw(x1, x2, . . .) = (w2x2, w3x3, w4x4 . . .),
sendo w = (w1, w2, . . .) = (1, 2, 2−1, 2, 2, 2−1, 2−1, 2, 2, 2, 2−1, 2−1, 2−1, . . .) a sequencia
peso. Como w e uma sequencia limitada e o operador deslocamento a esquerda e
contınuo, segue que T e um operador contınuo. Como c0 e um espaco separavel de
Banach [6, Exemplo 1.6.4, p. 20], T e um sistema dinamico linear.
Nosso objetivo e provar que T nao e mixing, logo nao pode satisfazer o criterio
de Kitai, mas satisfaz as hipoteses do criterio de Gethner-Shapiro, logo sera weakly-
mixing. Assim, seja (mk)k uma sequencia nao-decrescente de inteiros positivos, com
wmk= 2−1 e wmk+1 = 2, para todo k ∈ N e seja x = (x1, x2, . . .) ∈ c0. Calculando a
n-esima iterada de T com relacao a x, obtemos
Tx = (w2x2, w3x3, w4x4, . . .)
T 2x = T (Tx) = (w2w3x3, w3w4x4, w4w5x5, . . .)
T 3x = T (T 2x) = (w2w3w4x4, w3w4w5x5, w4w5w6x6, . . .)...
T nx = (Πn+1ν=2wνxn+1,Π
n+2ν=3wνxn+2, . . .).
Entao, para cada k ≥ 1, Tmk−1x = (Πmkν=2wνxmk
, . . .) = (xmk, . . .), pois de w2 ate wmk
tem-se a mesma quantidade de termos da forma 2 e 2−1, logo Πmkν=2wν = 1.
Considere os conjuntos U := x ∈ c0; ‖x‖c0 < 1 e V := x ∈ c0; |x1| > 1, os quais
sao subconjuntos abertos e nao vazios de c0. Pelo calculo obtido para a (mk−1)−esima
iterada de T em x, segue que Tmk−1(U) ∩ V = ∅, para todo k ≥ 1. Portanto, T nao e
um operador mixing.
Para provar que T e um operador weakly mixing, via o criterio de Gethner-Shapiro,
defina X0 = Y0 = c00 e S : c00 −→ c00 o operador deslocamento a direita com peso w′, o
qual e dado por S(x1, x2, . . .) = (0, w−12 x1, w
−13 x2, . . .), onde
w′ = (w−11 , w−1
2 , . . .), com w1, w2, . . . os termos da sequencia peso w. Verifiquemos
as tres condicoes do criterio:
• Nao e difıcil ver que TSx = x, para todo x ∈ c00;
• Dado x ∈ c00, existe n0 ∈ N tal que xn = 0 para todo n ≥ n0. Assim, do calculo
obtido para T nx, segue que T nxn→∞−→ 0;
• Considere a sequencia nao-decrescente (nk)k, onde nk = mk + k − 1. Denotando
54
3. Resultados de Hiperciclicidade
por en o vetor canonico de c00, cuja n−esima coordenada e igual a 1 e as demais
sao iguais a 0, temos
Snke1 = (0, 0, . . . , 0,Πmk+kν=2 w−1
ν , 0, . . .)
= (0, 0, . . . , 0,Πmkν=2w
−1ν Πmk+k
ν=mk+1w−1ν , 0, . . .)
= (0, 0, . . . , 2−k, 0, . . .),
pois Πmkν=2w
−1ν = 1 e wmk+1 = wmk+2 = · · · = wmk+k = 2.
Agora, note que
Sj−1e1 = (0, 0, . . . , 0,Πjν=2w
−1ν , 0, . . .),
donde
Snkej = Snk
((Πj
ν=2wν)Sj−1e1
)= (Πj
ν=2wν)Sj−1(Snke1)
k→∞−→ 0.
Como (ej)∞j=1 e uma base de Schauder para c00, concluımos que Snkx
k→∞−→ 0 para todo
x ∈ c00. Portanto, T satisfaz o criterio de Gethner-Shapiro, como querıamos mostrar.
Por fim, considerando as hipoteses do criterio de Gethner-Shapiro, apresentaremos
um resultado que enfraquece a exigencia de uma inversa a direita S para o operador T
em Y0. O requerido sera a existencia de uma sequencia (Snk)k de aplicacoes definidas
em Y0 e assumindo valores em X tais que Snkyk→∞−→ 0 e T nkSnk
yk→∞−→ y, para todo
y ∈ Y0. Enunciemos o criterio:
Teorema 3.7 (Criterio de Hiperciclicidade). Seja T : X −→ X um operador. Se exis-
tem subconjuntos densos X0, Y0 ⊂ X, uma sequencia nao-decrescente (nk)k de inteiros
positivos e aplicacoes Snk: Y0 −→ X tais que
(i) T nkxk→∞−→ 0,
(ii) Snkyk→∞−→ 0,
(iii) T nkSnkyk→∞−→ y,
para quaisquer x ∈ X0 e y ∈ Y0, entao T um operador weakly mixing, logo hipercıclico.
Demonstracao. A demonstracao segue ideia analoga as feitas nos demais teoremas.
55
Capıtulo 4
Operadores Li-Yorke e
Distribucionalmente Caoticos
A nocao de caos surgiu na literatura matematica muito recentemente, mais espe-
cificamente em meados da decada de 70, com a publicacao do trabalho [13] de Li e
Yorke. A partir de entao, surgiram outros conceitos de caos, como por exemplo, o
caos distribucional [23, 1994]. Isto fica evidente quando Bernardes et. al. em [3, p.02,
2013] mencionam que a nocao de caos distribucional foi introduzida em [23] como uma
extensao da nocao de caos apresentada por Li e Yorke em [13].
Com interesse em conhecer sobre ambos os conceitos de caos e baseado em um
estudo parcial do artigo [2], este capıtulo foi dedicado a uma abordagem introdutoria
sobre os caos de Li-Yorke e distribucional. Inicialmente na primeira secao, trataremos
de aspectos pertinentes ao caos de Li-Yorke e, na segunda e ultima secao discorreremos
sobre o caos distribucional.
4.1 Caos de Li-Yorke
Iniciaremos a secao definindo caos de Li-Yorke e, posteriormente, provaremos que
todo operador hipercıclico definido em um espaco de Frechet e Li-Yorke caotico, com
respeito a qualquer metrica invariante por translacao. Em seguida, apresentaremos a
nocao de vetor irregular e mostraremos que um operador T : X −→ X admite um dado
vetor se, e somente se, ele e Li-Yorke caotico. Por fim, definiremos o Criterio do Caos
de Li-Yorke e demonstraremos que ele e, de fato, uma caracterizacao para operadores
Li-Yorke caoticos.
Definicao 4.1. Sejam (X, d) um espaco metrico e f : X −→ X uma aplicacao
contınua. Um par de vetores x, y ∈ X e dito Li-Yorke caotico se, as seguintes condicoes
forem satisfeitas:
56
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
(i) lim infn→∞ d(fnx, fny) = 0,
(ii) lim supn→∞ d(fnx, fny) > 0.
Um subconjunto Λ de X e dito Li-Yorke misturado para f se qualquer par de vetores
distintos em Λ e Li-Yorke caotico. A aplicacao f e denominada Li-Yorke caotica se,
existe um conjunto Λ em X misturado e nao enumeravel.
Originalmente, Li e Yorke em [13] caracterizaram o caos a partir de tres condicoes.
Alem das duas apresentadas acima, eles estabeleceram uma terceira:
(iii) lim supn→∞ d(fnx, fnp) > 0, para todo x ∈ Λ e para todo ponto periodico p.
Analisemos esta terceira condicao:
Diremos que um ponto x ∈ Λ e assintoticamente periodico se, existe algum ponto
periodico p em X tal que limn d(fnx, fnp) = 0. Entao, a condicao em (iii) exige que
nenhum ponto de Λ seja assintotico a um ponto periodico p em X. Com base na
prova feita em [9], mostraremos que Λ contem no maximo um ponto assintoticamente
periodico e, deste modo, a terceira condicao pode ser desconsiderada.
Suponhamos, por contradicao, que em Λ existam x1 e x2 pontos assintoticamente
periodicos. Entao, existem pontos periodicos p1 e p2 em X (nao necessariamente dis-
tintos) tais que
limnd(fnxi, f
npi) = 0, i = 1, 2. (4.1)
Note que
d(fnx1, fnx2) ≤ d(fnx1, f
np1) + d(fnp1, fnp2) + d(fnp2, f
nx2) (4.2)
e
d(fnx1, fnx2) ≥ d(fnp1, f
np2)− d(fnx1, fnp1)− d(fnp2, f
nx2). (4.3)
Assim, se p1 = p2, de (4.1) e (4.2), temos que lim supn d(fnx1, fnx2) = 0, o que
contradiz o item (ii) da Definicao 4.1. Se p1 6= p2, por (4.1) e (4.3), segue que
lim infn d(fnx1, fnx2) > 0, o que contradiz (i). Portanto, o conjunto Λ admite no
maximo um vetor assintoticamente periodico e, assim, o item (iii) pode ser desconsi-
derado na definicao de caos de Li-Yorke.
O proximo resultado nos permitira estabelecer alguns exemplos de operadores Li-
Yorke caoticos, definidos em espacos de Frechet.
Proposicao 4.1. Seja X um espaco de Frechet. Todo operador hipercıclico
T : X −→ X e Li-Yorke Caotico.
57
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Demonstracao. Seja (pk)k uma sequencia de seminormas associada a X, e considere
d(x, y) =∞∑k=1
1
2k· pk(x− y)
1 + pk(x− y)x, y ∈ X
a metrica dada em 1.1. Seja x ∈ X um vetor hipercıclico, e considere o conjunto
Λ := λx; |λ| < 1. Nosso objetivo e provar que Λ e um conjunto Li-Yorke misturado
para T . Dados z, y ∈ Λ, com z 6= y, existem escalares α, µ em K, com α 6= µ, |α| < 1
e |µ| < 1, tais que y = αx e z = µx.
Como d e uma metrica invariante por translacao, temos
d(T nαx, T nµx) = d(T nαx− T nµx, 0) = d((α− µ)T nx, 0).
Entao, devemos provar que
lim infn
d((α− µ)T nx, 0) = 0 e lim supn
d((α− µ)T nx, 0) > 0.
Como orb(x, T ) e densa em X, existe (nj)j uma sequencia crescente de inteiros positivos
tal que a sequencia(d(T njx, 0)
)∞j=1
converge para zero. Logo, pela definicao da metrica
d, para todo k ∈ N, a sequencia(pk(T
njx))∞j=1
tende a zero. Como, para todo k ∈ N,
pk
((α− µ)T njx
)= |α− µ|pk(T njx), obtemos
d((α− µ)T njx, 0) =∞∑k=1
1
2k· pk((α− µ)T njx)
1 + pk((α− µ)T njx)
j→∞−→ 0,
donde concluımos que lim infn d((α− µ)T nx, 0) = 0.
Suponhamos que lim supn d((α − µ)T nx, 0) = 0, entao limn d((α − µ)T nx, 0) = 0.
Das observacoes acima, temos
|α− µ|pk(T nx) = pk((α− µ)T nx)n→∞−→ 0,
ou seja, pk(Tnx)
n→∞−→ 0, para todo k ∈ N. Logo, limn d(T nx, 0) = 0, o que e uma
contradicao, pois a orb(x, T ) e densa em X. Portanto, T e um operador Li-Yorke
caotico.
Assim, os operadores de Birkhoff, MacLane e Rolewicz definidos, respectivamente, nos
Exemplos 2.7, 2.8 e 2.9, sao Li-Yorke caoticos.
Agora, a pergunta natural que surge e: todo operador Li-Yorke caotico e hi-
percıclcico? O proximo exemplo nos mostrara que nao.
58
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Exemplo 4.1. Sejam X e Y 6= 0 espacos de Banach, T : X −→ X um operador
Li-Yorke caotico e considere o operador identidade I : Y −→ Y . Tomando X ⊕ Y e
S = T ⊕ I : X ⊕ Y −→ X ⊕ Y , segue que S e Li-Yorke caotico, mas nao e hipercıclico.
Para verificar isso basta perceber que, como T e Li-Yorke caotico, existe Γ um conjunto
misturado e nao-enumeravel, daı considerando o conjunto Γ = Γ ⊕ 0, tem-se que Γ
e nao enumeravel e misturado para T ⊕ I. Portanto, T ⊕ I e Li-Yorke caotico. Como
o operador identidade nao possui vetor hipercıclico, todo x ∈ X ⊕ I nao possui orbita
densa.
Nesta secao, L(X) denotara o espaco dos operadores T : X −→ X lineares e
contınuos, definidos em X um espaco complexo de Banach. Deste modo, a distancia
associada e dada por d(x, y) = ‖x− y‖, onde ‖ · ‖ e a norma de X.
O proximo resultado estabelecera uma equivalencia entre a existencia de vetores
irregulares e o caos de Li-Yorke. Assim, passemos a nossa proxima definicao.
Definicao 4.2 (Vetor Irregular). Seja T ∈ L(X). Um vetor x ∈ X e dito irregular
para T se, lim infn ‖T nx‖ = 0 e lim supn ‖T nx‖ =∞.
Lema 4.1. Sejam T ∈ L(X) e x ∈ X um vetor satisfazendo lim infn ‖T nx‖ = 0. Entao
existe uma sequencia crescente (nk)k de inteiros positivos, para a qual a sequencia de
vetores (T nk)k converge para zero rapido o suficiente, de modo que satisfaca as seguintes
tres condicoes:
(1) ‖T n2kx‖ < 1
4k,
(2)k∑j=0
‖T n2j+n2k+1x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
< ‖T n2kx‖,
(3)δ
4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖−
k−1∑j=0
M
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖> k,
para todo k ∈ N, com n−1 = n0 := 0, M e δ constantes positivas.
Demonstracao. Como lim infn ‖T nx‖ = 0, existe um subconjunto mkk := N′ de
inteiros positivos, com m1 < m2 < · · · < mk < · · · , de modo que ‖Tmkx‖ k→∞−→ 0. De N′
selecionaremos um conjunto nkk estritamente crescente, para o qual ‖T nkx‖ k→∞−→ 0
suficientemente rapido e, alem disso, satisfaca as condicoes (1), (2) e (3) descritas
acima.
Fazendo k = 0, o termo n1 aparecera pela primeira vez em (2), donde devemos
escolher n1 ∈ N′ de maneira que ‖T n1x‖ < ‖x‖2.
Os termos n2 e n3, primeiramente surgem no caso k = 1. Das desigualdades dadas
em (1) e (3) se determina inicialmente n2. Para n2 fixado, a partir de (2), se obtem n3.
59
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Fixados n1, n2 e n3, os termos n4 e n5 aparecem pela primeira vez no caso k = 2 e, como
antes, das desigualdades em (1) e (3) se determina n4. Para este ultimo numero fixado,
por meio de (2), se escolhe n5. Realizando esse processo recursivamente, exatamente
na ordem indicada, se constroi a sequencia desejada. Iremos abaixo explicitar tal
procedimento.
Como o caso k = 0 ja foi feito acima, e do qual obtivemos n1, passemos para os
demais casos.
• Caso k = 1.
De (1) e (3) inferimos que ‖T n2x‖ < 14
e δ4‖T‖n1‖Tn2x‖ −
M‖x‖ > 1 devem ser
satisfeitos. Dessas duas condicoes, concluımos que n2 deve ser escolhido em N′
de modo a ter-se n2 > n1 e
‖T n2x‖ < min
1
4,
δ
4‖T‖n1·
(1 +
M
‖x‖
)−1 .
Determinado n2, a partir de (2), escolhamos n3 ∈ N′ tal que
‖T n3x‖‖x‖
+‖T n2+n3x‖
4‖T‖n1‖T n2x‖< ‖T n2x‖.
Como
‖T n3x‖‖x‖
+‖T n2+n3x‖
4‖T‖n1‖T n2x‖≤ ‖T
n3x‖‖x‖
+‖T‖n2‖T n3x‖4‖T‖n1‖T n2x‖
= ‖T n3x‖(
1
‖x‖+
‖T‖n2
4‖T‖n1‖T n2x‖
),
pediremos que
‖T n3x‖(
1
‖x‖+
T‖n2
4‖T‖n1‖T n2x‖
)< ‖T n2x‖.
Assim, seja n3 ∈ N′, com n3 > n2 > n1, de tal forma que
‖T n3x‖ < ‖T n2x‖ ·(
1
‖x‖+
‖T‖n2
4‖T‖n1‖T n2x‖
)−1
.
Portanto, n2 e n3 assim podem ser determinados.
• Caso k = 2.
60
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Por (1) e (3) tem-se a exigencia que n4 satisfaca
‖T n4x‖ < 1
42e
δ
42‖T‖n3‖T n4x‖−
2−1∑j=0
M
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖> 2.
Assim, tome n4 ∈ N′ suficientemente grande, com n4 > n3 > n2 > n1, tal que
‖T n4x‖ < min
1
42,
δ
42‖T‖n3
(2 +
2−1∑j=0
M
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
).
Determinado n4, selecionemos n5 de modo que a condicao (2) seja satisfeita.
Como a soma no lado esquerdo, da desigualdade em (2), pode ser majorada por
‖T n5‖‖x‖
+2∑j=1
‖Tx‖n2j‖T 5x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
= ‖T 5x‖
(1
‖x‖+
2∑j=1
‖Tx‖n2j
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
),
consideremos n5 ∈ N′, com n5 > n4 > n3 > n2 > n1, grande o suficiente de modo
que
‖T n5x‖
(1
‖x‖+
2∑j=1
‖Tx‖n2j
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
)< ‖T n4x‖,
isto e,
‖T n5x‖ < ‖T n4x‖ ·
(1
‖x‖+
2∑j=1
‖Tx‖n2j
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
)−1
.
Assim, n4 e n5 sao obtidos.
Veja que, os termos nk, para k−par, sao obtidos olhando para as desigualdades em
(1) e (3); e os termos nk, para k−ımpar, sao determinados a partir de (2). E importante
ressaltar, que para a construcao de certo, e necessario que em toda k−esima etapa o
termo n2k seja obtido previamente ao termo n2k+1.
De modo geral, nota-se que para cada k ≥ 1, na k−esima etapa (supondo recur-
sivamente obtidos todos os termos ate a etapa k − 1), o par de termos n2k, n2k+1 e
determinado da seguinte forma:
Basta exigir que n2k seja um elemento de N′ tao grande quanto necessario, com
n2k > n2k−1 > · · · > n2 > n1, de modo a satisfazer
‖T n2kx‖ < min
1
4k,
δ
4k‖T‖n2k−1
(k +
k−1∑j=0
M
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
).
61
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Determinado n2k, pedi-se n2k+1, com n2k+1 > n2k > · · · > n2 > n1, tal que
‖T n2k+1x‖ < ‖T n2kx‖ ·
(1
‖x‖+
k∑j=1
‖Tx‖n2j
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
)−1
.
Assim, e construıda a sequencia (nk)k.
O resultado a seguir fornece equivalencias que facilitam a verificacao da caoticidade
do tipo Li-Yorke.
Teorema 4.1. Seja T ∈ L(X). As seguintes afirmacoes sao equivalentes:
(a) T e Li-Yorke Caotico.
(b) T admite um par Li-Yorke caotico.
(c) T admite um vetor irregular.
Demonstracao. (a)⇒ (b) Como T e Li-Yorke Caotico, existe Λ um conjunto misturado
para T . Portanto, ha infinitos pares x, y de vetores Li-Yorke caoticos.
(b)⇒(c) Suponha que y, z e um par Li-Yorke para T , entao
lim infn→∞
d(T ny, T nz) = 0 e lim supn→∞
d(T ny, T nz) > 0.
Seja x := y − z, entao
lim infn‖T nx‖ = lim inf
n‖T ny − T nz‖ = lim inf
nd(T ny, T nz) = 0, (4.4)
e como
lim supn‖T nx‖ = lim sup
nd(T ny, T nz) > 0, (4.5)
existe δ > 0 tal que lim supn ‖T nx‖ > δ. Se lim supn ‖T nx‖ = ∞, x seria um vetor
irregular para T e, assim, a demonstracao estaria concluıda. Consideremos o caso em
que M := lim supn ‖T nx‖ < ∞. Desse modo, objetivamos encontrar um vetor u ∈ Xque seja irregular para T .
Inicialmente, perceba que ‖T‖ > 1. Com efeito, dados n,m ∈ N, com n < m, tais
que ‖T nx‖ < δ2
e ‖Tmx‖ > δ, temos
2 =δ
δ/2<‖Tmx‖‖T nx‖
=‖Tm−n(T nx)‖‖T nx‖
≤ ‖Tm−n‖‖T nx‖‖T nx‖
≤ ‖T‖m−n, (4.6)
donde ‖T‖ > 1.
62
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Pelo Lema 4.1, existe uma sequencia (nk)k estritamente crescente de inteiros posi-
tivos de modo que (T nkx)k convirja para zero suficientemente rapido, a fim de que as
seguintes condicoes sejam satisfeitas:
(1) ‖T n2kx‖ < 1
4k,
(2)k∑j=0
‖T n2j+n2k+1x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
< ‖T n2kx‖,
(3)δ
4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖−
k−1∑j=0
M
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖> k,
para todo k ∈ N, sendo n1 = n0 := 0 e δ uma constante positiva. Considere o vetor
u :=∞∑j=0
T n2jx
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
e note que u esta bem definido. De fato, considere a sequencia (Sk)k, com
Sk =∑k
j=0Tn2jx
4j‖T‖n2j−1‖Tn2jx‖ . Dados l, k ∈ N, com k > l, temos
‖Sk − Sl‖ =
∥∥∥∥∥k∑j=0
T n2jx
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖−
l∑j=0
T n2jx
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
∥∥∥∥∥=
∥∥∥∥∥k∑
j=l+1
T n2jx
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
∥∥∥∥∥≤
k∑j=l+1
‖T n2jx‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
=k∑
j=l+1
1
4j‖T‖n2j−1
<
k∑j=l+1
1
4j−→ 0, quando l, k →∞.
Portanto, (Sk)k e uma sequencia de Cauchy em X, logo convergente. Provaremos que
u e um vetor irregular para T . A partir de (1), (2) e da escolha de (T n2kx)k, obtemos
‖T n2k+1u‖ =
∥∥∥∥∥∞∑j=0
T n2j+n2k+1x
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
∥∥∥∥∥≤
∞∑j=0
‖T n2j+n2k+1x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
=k∑j=0
‖T n2j+n2k+1x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
+∞∑
j=k+1
‖T n2j+n2k+1x‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
63
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
(2)< ‖T n2kx‖+
∞∑j=k+1
‖T n2k+1‖‖T n2jx‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
(1)<
1
4k+
∞∑j=k+1
‖T n2k+1‖4j‖T‖n2j−1
<1
4k+
1
4k+1
∞∑j=0
1
4j=
1
4k+
1
4k+1· 4
3
<1
4k+
1
4k<
1
2k,
para todo k > 1. Fazendo k → ∞, segue que ‖T n2k+1u‖ → 0, donde concluımos que
lim infn ‖T nu‖ = 0.
Como lim supn ‖T nx‖ := M , existe (mk)k uma sequencia crescente de inteiros
positivos tal que ‖Tmkx‖ k→∞−→ M . Re-selecionemos termos das sequencias (mk)k e
(nk)k de tal maneira que, para algum 0 < δ < M , ‖Tmkx‖ > δ para todo k ∈ N e
n1 < m1 < n2 < m2 < · · · , com m2k − n2k tendendo ao infinito. Dado ε > 0, por (3) e
para todo k ∈ N suficientemente grande, temos
‖Tm2k−n2ku‖ =
∥∥∥∥∥∞∑j=1
Tm2k−n2k+n2jx
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
∥∥∥∥∥=
∥∥∥∥∥ Tm2kx
4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖+∑j 6=k
Tm2k−n2k+n2jx
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
∥∥∥∥∥≥∥∥∥∥ Tm2kx
4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖
∥∥∥∥−∥∥∥∥∥∑j 6=k
Tm2k−n2k+n2jx
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
∥∥∥∥∥≥ ‖Tm2kx‖
4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖−∑j 6=k
‖Tm2k−n2k+n2jx‖4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖
>δ
4k‖T‖n2k−1‖T n2kx‖−
k−1∑j=0
M + ε
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖−
∞∑j=k+1
‖T‖m2k−n2k
4j‖T‖n2j−1
(3)> k −
k−1∑j=0
ε
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖−
∞∑j=k+1
1
4j
> k −k−1∑j=0
ε
4j‖T‖n2j−1‖T n2jx‖− 1
4kk→∞−→ ∞.
Entao, lim supn ‖T nu‖ =∞. Portanto, u e um vetor irregular para T .
(c)⇒(a) Seja x um vetor irregular para T , entao S := span(x) e um conjunto mis-
turado para T . Com efeito, como K e nao enumeravel, segue que S e nao enumeravel,
64
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
e dados λx, αx ∈ S, com λ, α ∈ K e λ 6= α, temos
lim infn→∞
d(T nλx, T nαx) = lim infn→∞
‖T nλx− T nαx‖ = lim infn→∞
|λ− α|‖T nx‖ = 0.
Analogamente se conclui que lim supn→∞ d(T nλx, T nαx) > 0.
Abaixo enunciaremos o Criterio do Caos de Li-Yorke e em seguida provaremos que
este e uma condicao necessaria e suficiente para que um operador T ∈ L(X) seja
Li-Yorke caotico.
Definicao 4.3 (Criterio do Caos de Li-Yorke). Seja T ∈ L(X). T satisfaz o Criterio
do Caos de Li-Yorke (CCLY) se existe uma sequencia crescente de inteiros positivos
(nk)k e um subconjunto X0 de X tais que
(a) limk→∞ Tnkx = 0, para todo x ∈ X0.
(b) supn ‖T n|Y ‖ = ∞, onde Y := span(X0) e T n|Y denota o operador restricao de T n
a Y .
Teorema 4.2. Um operador T ∈ L(X) e Li-Yorke caotico se, e somente se, ele satisfaz
o Criterio do Caos de Li-Yorke.
Demonstracao. Suponhamos que T seja um operador Li-Yorke caotico. Pelo Te-
orema 4.1, existe x0 ∈ X um vetor irregular para T . Tome X0 = x0. Como
lim infn ‖T nx0‖ = 0, o item (a) da Definicao 4.3 se verifica; provemos o item (b).
Definindo Y = span(x0), ja que lim supn ‖T nx0‖ =∞, segue
supn∈N‖T n|Y ‖ = sup
n∈Nsup‖z‖≤1
‖T n|Y (z)‖ ≥ supn∈N
∥∥∥T n|Y x0
‖x0‖
∥∥∥ = supn∈N
∥∥∥T n x0
‖x0‖
∥∥∥=
1
‖x0‖supn∈N‖T nx0‖ =∞.
Portanto, T satisfaz o CCLY.
Reciprocamente, suponha que T satisfaz o CCLY. Entao existem (ηk)k uma sequencia
crescente de inteiros positivos e X0 um subconjunto de X satisfazendo os itens (a) e
(b) da Definicao 4.3. Se existe algum vetor x ∈ X0 tal que lim supn ‖T nx‖ =∞, entao
x e um vetor irregular para T , o que conclui a demonstracao. Caso contrario, isto e,
supondo que nenhum vetor de X0 seja irregular para T , obtemos que supn ‖T nu‖ <∞e limk ‖T ηku‖ = 0, para todo u ∈ span(X0). Para ver isto, basta notar que dadas
propriedades sao verificadas para todo elemento em X0 e como u se escreve como uma
combinacao linear de elementos de X0, segue a afirmacao.
65
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
A partir deste momento, construiremos sequencias crescentes (nk)k e (mk)k de in-
teiros positivos e uma sequencia (uj)j ⊂ span(X0) de vetores unitarios, satisfazendo as
seguintes condicoes:
(i) ‖T nkuj‖ < 1j, j = 1, . . . , k, k ∈ N,
(ii) ‖Tmjuj‖ > 3jMj−1, j > 1,
onde Mk := supn‖T nui‖; i = 1, . . . , k < ∞, k ∈ N. Denotando N′ = ηkk, analise-
mos os casos:
• Caso k = 1:
Considere um vetor unitario u1 ∈ span(X0). Como ‖T ηku1‖k→∞−→ 0, existe n1 ∈ N′
tal que ‖T n1u1‖ < 1. Alem disso, escolha n1 de modo que ele seja o menor
elemento de N′, para o qual se verifica dada propriedade
• Caso k = 2:
Com u1 determinado, temos M1 = supn ‖T nu1‖. Como supn ‖T n|Y ‖ = ∞, exis-
tem u′2 ∈ span(X0), com ‖u′2‖ = 1, e m2 ∈ N tais que ‖Tm2u′2‖ > 32M1 + δ.
Do fato de u′2 ∈ span(X0), existe uma sequencia (uk)k de vetores unitarios em
span(X0) tal que ukk→∞−→ u′2, donde ‖Tm2uk‖
k→∞−→ ‖Tm2u′2‖. Assim, existe k0 ∈ Ntal que ‖Tm2uk‖ > ‖Tm2u′2‖ − δ > 32M1 + δ − δ = 32M1, para todo k ≥ k0.
Tomando u2 = uk0 , por exemplo, o vetor fica determinado.
Para este u2, seja n2 ∈ N′ o menor natural maior do que n1 tal que ‖T n2u1‖ < 1
e ‖T n2u2‖ < 12. Assim, nesta etapa, o vetor u2 e os numeros naturais m2 e n2
foram determinados.
• Caso k = 3.
Com u1 e u2 determinados, o conjunto M2 esta bem definido. De forma analoga
ao caso anterior, como supn ‖T n|Y ‖ = ∞, obtemos a existencia de um vetor
unitario u3 ∈ span(X0) e m3 ∈ N, com m3 > m2, tais que ‖Tm3u3‖ > 33M2.
Dado u3, tome n3 ∈ N′ o menor inteiro maior do que n2 para o qual tenha-se
‖T n3u1‖ < 1, ‖T n3u2‖ < 12
e ‖T n3u3‖ < 13.
Continuando esse processo indefinidamente, de modo recursivo, construımos as
sequencias.
Facamos uma re-selecao de (nk)k e (mk)k de maneira que m1 < n1 < m2 < n2 < · · ·e seja I ⊂ N um subconjunto tal que, para todo j ∈ N, se i ∈ I e i > j, entao
2i > 2j‖T‖nj . Defina o vetor
u :=∑i∈I
1
2iui.
66
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Como X e Banach e∑
i∈I12i
converge, segue que u esta bem definido. Vamos provar
que u e um vetor irregular para T . Note que, para j ∈ I, temos
‖Tmju‖ =
∥∥∥∥∥∑i∈I
1
2iTmjui
∥∥∥∥∥=
∥∥∥∥∥ 1
2jTmjuj +
∑i∈I,i 6=j
1
2iTmjui
∥∥∥∥∥≥ 1
2j‖Tmjuj‖ −
∑i∈I,i 6=j
1
2i‖Tmjui‖
>3jMj−1
2j−∑
i∈I,i<j
Mj−1
2i−∑
i∈I,i>j
1
2i‖Tmjui‖
>3jMj−1
2j−Mj−1 −
∑i>j
1
2i
=(3j
2j− 1)Mj−1 −
∑i>j
1
2ij→∞,j∈I−→ ∞
e
‖T nju‖ =∥∥∥∑i∈I
1
2iT njui
∥∥∥≤∑
i∈I,i≤j
1
2i‖T njui‖+
∑i∈I,i>j
1
2i‖T njui‖
≤∑
i∈I,i≤j
j−1
2i+∑
i∈I,i>j
1
2i‖T njui‖
<1
j+∑
i∈I,i>j
1
2i
<1
j+
1
2j−1
j→∞,j∈I−→ 0.
Portanto, u e um vetor irregular para T , donde concluımos que T e um operador
Li-Yorke caotico.
4.2 Caos Distribucional
Nesta secao, definiremos o conceito de caos distribucional, apresentaremos o cha-
mado Criterio Forte do Caos Distribucional e mostraremos que este e uma condicao
suficiente para que operadores T : X −→ X, definidos em um espaco de Banach X,
sejam distribucionalmente caoticos. Alem disso, algumas propriedades espectrais para
67
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
operadores caoticos, em dado sentido, serao evidenciadas.
Sejam (X, d) um espaco metrico e f : X −→ X uma aplicacao contınua. Para
cada par de vetores x, y em X e para cada n ∈ N, define-se a funcao distribucional
F nxy(τ) : R+ −→ [0, 1] por
F nxy(τ) =
1
n· card0 ≤ i ≤ n− 1; d(f ix, f iy) < τ,
onde a expressao cardA denota a cardinalidade do conjunto A. Definindo
Fxy(ε) := lim infn→∞
F nxy(ε)
e
F ∗xy(τ) := lim supn→∞
F nxy(τ),
passemos a seguinte definicao:
Definicao 4.4. Uma aplicacao contınua f : X −→ X e dita distribucionalmente
caotica se existem um subconjunto nao enumeravel Γ ⊂ X e ε > 0 tais que, para todo
τ > 0 e para todo par de pontos distintos x, y ∈ Γ, tenha-se Fxy(ε) = 0 e F ∗xy(τ) = 1.
O conjunto Γ e dito distribucionalmente ε-misturado e x, y um par distribucional-
mente caotico.
Exemplos de operadores distribucionalmente caoticos podem ser encontrados em
[17]. Mais especificamente Martınez-Gimenez et. al. em [17] provaram que o caos de
Devaney implica em caos distribucional para operadores deslocamento a esquerda com
peso, definidos nos espacos `p, 1 ≤ p <∞. Alem disso, sao fornecidos exemplos de um
operador que e distribucionalmente caotico e hipercıclico, mas nao e caotico no sentido
de Devaney [17, Example 10]; e de um operador que e distribucionalmente caotico,
porem nao e hipercıclico [17, Example 13].
Assim, uma indagacao que surgiu e nao foi respondida em [17], foi saber se hiperci-
clicidade e uma condicao suficiente para ter-se caos distribucional. Na secao anterior,
obtivemos resposta afirmativa para o caos de Li-Yorke. Com relacao ao caos distri-
bucional, esta pergunta foi respondida na negativa por Martınez-Gimenez et. al. em
[18]. Na verdade, um resultado mais geral foi obtido: eles provaram que o operador
deslocamento a esquerda
B : `p(v) −→ `p(v)
(xj)∞j=1 7−→ (xj+1)∞j=1,
e mixing (relembre a Definicao 3.1), porem nao e distribucionalmente caotico, onde
68
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
`p(v) = x = (xj)∞j=1; ‖xp‖ =
∑∞j=1 |xj|pvj < ∞, para 1 ≤ p < ∞ e v = (v1, v2, . . .)
a sequencia peso (cf. [18, Theorem 2.1]). Portanto, hiperciclicidade nao implica caos
distribucional.
Abaixo apresentaremos alguns resultados sobre caos distribucional para operadores
lineares e contınuos T : X −→ X, definidos em X um espaco complexo de Banach.
Como na primeira secao, nos referiremos a tal operador por T ∈ L(X).
Definicao 4.5 (Criterio Forte do Caos Distribucional). Um operador T ∈ L(X) satis-
faz o Criterio Forte do Caos Distribucional (CFCD) se existe uma constante r > 1 de
modo que, para todo m ∈ N, existe xm ∈ X\0 satisfazendo
(a) limk→∞ ‖T kxm‖ = 0,
(b) ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m.
Como constataremos por meio do proximo resultado, o CFCD e condicao suficiente
para o caos distribucional. A demonstracao que apresentaremos pode ser encontrada
em [12, Theorem 3.3]. A partir deste momento, chamaremos a constante r > 1 existente
na Definicao 4.5 por CFCD-constante.
Observacao 4.1. Sejam (xn)n uma sequencia nao-decrescente em N e (xnj)j uma
subsequencia nao-decrescente de (xn)n. Por definicao
lim infn≥1
xn := supn≥1
infm≥n
xm e lim supn≥1
xn := infn≥1
supm≥n
xm.
Daı, lim infj≥1 xnj:= supj≥1 infm≥j xnm e lim supj≥1 xnj
:= infj≥1 supm≥j xnm . Fixemos
k ∈ N. Como infm≥k xm ≤ infm≥k xnm , segue que lim infn≥1 xn ≤ lim infj≥1 xnj; analo-
gamente, como supm≥k xm ≥ supm≥k xnm , obtem-se que lim supn≥1 xn ≥ lim supj≥1 xnj.
Na demonstracao do proximo teorema nos referiremos a observacao acima por 〈4.1〉em vez de Observacao 4.1.
Teorema 4.3. Todo operador T ∈ L(X) que satisfaz o CFCD e distribucionalmente
caotico.
Demonstracao. Seja R = ‖T‖ e seja r uma CFCD-constante para T . Considere (εk)∞k=1
uma sequencia de inteiros positivos decrescendo para zero.
Dado N1 ∈ N, existe y1 ∈ X\0 tal que limk→∞ ‖T ky1‖ = 0 e ‖T iy1‖ ≥ ri‖y1‖para todo i = 1, . . . , N1. Tome x1 = y1
‖y1‖ . Entao obtivemos um vetor x1 ∈ X, com
‖x1‖ = 1, tal que
limk→∞‖T kx1‖ = 0 e ‖T ix1‖ ≥ ri‖x1‖, i = 1, . . . , N1.
69
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Escolhamos M1 ∈ N tal que ‖T kx1‖ < ε1, para todo k ≥ M1. Por conveniencia, seja
N ′1 = 0, entao ‖T ix1‖ ≥ 1, para todo i = N ′1, . . . , N1.
Nosso objetivo a partir deste momento sera construir uma sequencia de vetores
(xk)∞k=2 em X associada a tres sequencias (Nk)
∞k=2, (N
′k)∞k=2 e (Mk)
∞k=2 de inteiros posi-
tivos tais que, para todo k ≥ 2,
(P1) ‖xk‖ = R−Mk−1 · 2−k · εk−1,
(P2) ‖T ixk‖ ≥ ri‖xk‖, para todo i = 1, . . . , Nk,
(P3) rN′k ·R−Mk−1 · 2−k · εk−1 > 1,
(P4)Nk −N ′kNk
>k − 1
k,
(P5)k∑j=1
‖T nxj‖ < εk, para qualquer n ≥Mk.
Construiremos, via o processo de Inducao Finita, as sequencias acima mencionadas de
maneira que as propriedades (P1) a (P5) sejam satisfeitas.
Seja N ′2 um numero natural maior do que M1, de modo que rN′2R−M1 · 2−2 · ε1 > 1.
Dessa forma, consideremos N2 ∈ N tal queN2−N ′2N2
> 2−12
= 12. Entao, existe x2 ∈ X tal
que ‖x2‖ = R−M1 · 2−2 · ε1 e
limk→∞‖T kx2‖ = 0 e ‖T ix2‖ ≥ ri‖x2‖, i = 1, . . . , N2.
Com efeito, dado N2 ∈ N, pela Definicao 4.5, existe y2 ∈ X tal que
limk→∞ ‖T ky2‖ = 0 e ‖T iy2‖ ≥ ri‖y2‖, para todo i = 1, . . . , N2. Daı, basta considerar
o vetor x2 = R−M1 ·2−2·ε1‖y2‖ · y2.
Como limk→∞ ‖T kx1‖ = limk→∞ ‖T kx2‖ = 0, dado ε2 > 0, existem M2,1,M2,2 ∈ Ntais que
‖T nx1‖ <ε2
2, para todo n ≥M2,1,
‖T nx2‖ <ε2
2, para todo n ≥M2,2.
Escolhendo M2 = maxM2,1,M2,2, temos ‖T nx1‖ + ‖T nx2‖ < ε22
+ ε22
= ε2, para
todo n ≥ M2. Portanto, obtivemos M2, N2 e N ′2 numeros naturais associados a x2,
satisfazendo as condicoes (P1) a (P5).
Continuando este processo, suponhamos obtidas as sequencias (xk)mk=2, (Nk)
mk=2,
(N ′k)mk=2 e (Mk)
mk=2 de modo que estejam satisfeitas as seguintes condicoes:
(P1) ‖xm‖ = R−Mm−1 · 2−m · εm−1,
(P2) ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, . . . , Nm,
70
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
(P3) rN′m ·R−Mm−1 · 2−m · εm−1 > 1,
(P4)Nm −N ′m
Nm
>m− 1
m,
(P5)m∑j=1
‖T nxj‖ < εm, para qualquer n ≥Mm.
Verifiquemos que os itens acima mantem-se validos para o caso m + 1. Consi-
dere N ′m+1 um natural maior do que Mm de modo que rN′m+1R−Mm · 2−(m+1) · εm > 1
e seja Nm+1 ∈ N tal queNm+1−N ′m+1
Nm+1> m+1−1
m+1= m
m+1. Para este Nm+1, existe
ym+1 ∈ X\0, para o qual
limk→∞‖T kym+1‖ = 0 e ‖T iym+1‖ ≥ ri‖ym+1‖, i = 1, . . . , Nm+1.
Assim, o vetor xm+1 = R−Mm ·2−(m+1)·εm‖ym+1‖ · ym+1 tem norma igual a R−Mm · 2−(m+1) · εm e
satisfaz
limk→∞‖T kxm+1‖ = 0 e ‖T ixm+1‖ ≥ ri‖xm+1‖, i = 1, . . . , Nm+1.
Seja εm+1 > 0. Como limn ‖T nxj‖ = 0, para j = 1, . . . ,m + 1, existe Mm+1 ∈ N tal
quem+1∑j=1
‖T nxj‖ < εm+1, para todo n ≥Mm+1.
Portanto, obtivemos um vetor xm+1 ∈ X e naturais Mm+1, Nm+1 e N ′m+1 para os quais
as condicoes (P1) a (P5) estao sendo satisfeitas. Assim, construımos uma sequencia
(xk)∞k=1 em X associada com tres sequencias de inteiros positivos (Nk)
∞k=2,
(N ′k)∞k=1 e (Mk)
∞k=1 satisfazendo as condicoes acima mencionadas.
Dos itens (P1), (P2) e (P3) inferem-se as seguintes propriedades:
(P1’)∑∞
k=1 ‖xk‖ e finita.
De fato, como∑∞
k=1 ‖xk‖(P1)=∑∞
k=1(R−Mk−1 · 2−k · εk−1) e
‖xk+1‖‖xk‖
=R−Mk · 2−(k+1) · εkR−Mk−1 · 2−k · εk−1
=εk
RMk · 2k+1· R
Mk−1 · 2k
εk−1
=εkεk−1
· 1
2RMk−Mk−1
k→∞−→ 0 < 1,
segue que a serie converge.
(P2’) Para cada p ≥ 1,∑∞
k=p+1 ‖T ixk‖ < εp, para todo 1 ≤ i ≤Mp.
71
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Com efeito, note que ‖T ixk‖ ≤ ‖T i‖‖xk‖ ≤ ‖T‖i‖xk‖ = ‖T‖i ·R−Mk−1 ·2−k ·εk−1
e como R = ‖T‖, para 1 ≤ i ≤ Mp e para k > p, segue que1 ‖T‖i · R−Mk−1 ≤ 1,
donde ‖T ixk‖ < 2−k · εk−1. Entao
∞∑k=p+1
‖T ixk‖ <∞∑
k=p+1
1
2kεk−1 <
∞∑k=p+1
1
2kεp < εp,
para todo 1 ≤ i ≤Mp.
(P3’) Para cada k ∈ N, ‖T ixk‖ > 1, para todo i = N ′k, · · · , Nk.
Note que, para i = N ′k, · · · , Nk, temos
‖T ixk‖ ≥ ri‖xk‖ = ri ·R−Mk−12−kεk−1 ≥ rN′kR−Mk−12−kεk−1
(P3)> 1.
Pelo processo de construcao, obtivemos
M1 < N ′2 < N2 < M2 < · · · < Mk−1 < N ′k < Nk < Mk < · · · . (4.7)
Perceba que Mk > Nk decorre das propriedades (P2) e (P5). De fato, suponhamos
que Mk ≤ Nk. Por (P2), ‖T ixk‖ ≥ ri‖xk‖ > 1, para todo i = 1, . . . , Nk e, por
(P5),∑k
j=1 ‖T nxk‖ < εk, para todo n ≥ Mk, em particular para n = Nk. Mas
isto e uma contradicao, pois εm+1 pode ser tomado arbitrariamente pequeno. Nao e
difıcil constatar que Nk > N ′k decorre de (P4) e N ′k > Mk−1 de (P3). Dispondo da
desigualdade em (4.7), seguem as propriedades:
(P5’)∑k−1
j=1 ‖T nxj‖ < εk−1, para todo n = N ′k, · · · , Nk.
Com efeito, do item (P5) tınhamos que∑k−1
j=1 ‖T nxj‖ < εk−1 para todo n ≥Mk−1,
mas como N ′k > Mk−1 e Nk > N ′k, a desigualdade e verificada.
(P2”) Para cada p ≥ 1,∑∞
k=p+1 ‖T nxk‖ < εp, n = N ′p, · · · , Np.
Isto segue do item (P2’) e do fato de N ′p < Np < Mp.
Finalizamos assim, a etapa da demonstracao correspondente a obtencao de algu-
mas propriedades referentes as sequencias acima construıdas. Estas nos serao bas-
tante uteis para o que logo mais sera desenvolvido. Agora, consideremos o espaco∑2 := 0, 1N das sequencia infinitas, cujas coordenadas assumem somente os valores
0 ou 1, e definamos a aplicacao
f :∑
2 −→ X
ξ 7−→∑∞
k=1 ξkxk,
1Note que, ‖T‖ > 1. A verificacao pode ser feita de maneira analoga a realizada em (4.6).
72
4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
onde ξ = (ξ1, ξ2, · · · ). Como X e um espaco de Banach e
∞∑k=1
‖ξkxk‖ ≤∞∑k=1
‖xk‖(P1′)< ∞,
segue que∑∞
k=1 ξkxk <∞, ou seja, f esta bem definida.
SejaD ⊂∑
2 um conjunto com a seguinte propriedade: dados quaisquer dois vetores
ξ, ξ′ ∈ D, eles possuem infintas coordenadas distintas e infinitas coincidentes. Desse
ponto em diante, nosso objetivo sera mostrar que dados ξ e ξ′ em D, com ξ 6= ξ′, o par
de vetores f(ξ), f(ξ′) e distribucionalmente caotico, ou seja, existe ε > 0 tal que, para
todo τ > 0, Ff(ξ)f(ξ′)(ε) = 0 e F ∗f(ξ)f(ξ′)(τ) = 1.
Primeiramente, note que
d(f(ξ), f(ξ′)) = ‖f(ξ)− f(ξ′)‖ =
∥∥∥∥∥∞∑k=1
ξkxk −∞∑k=1
ξ′kxk
∥∥∥∥∥ =
∥∥∥∥∥∞∑k=1
(ξk − ξ′k)xk
∥∥∥∥∥ .Denotando θ = (θ1, θ2, · · · ) = (ξ1−ξ′1, ξ2−ξ′2, · · · ), temos d(f(ξ), f(ξ′)) =
∥∥∥∑∞k=1 θkxk
∥∥∥.Observe que os possıveis valores que ξk − ξ′k pode assumir e 0, -1 ou 1 e, alem disso, θ
tem infinitas coordenadas nao nulas e infinitas coordenadas nulas.
Seja z =∑∞
k=1 θkxk e considere (xkj)∞j=1 uma subsequencia infinita de (xk)k, cuja
kj−esima coordenada de θ seja nao nula, para todo j ∈ N, e seja (xkl)∞l=1 uma sub-
sequencia infinita tal que a kl−esima coordenada de θ seja zero, para todo l ∈ N.
Fixado kj para algum j ∈ N, por (P3’), (P5’) e (P2”) e para n = N ′kj , · · · , Nkj , segue
‖T nz‖ =
∥∥∥∥∥∞∑k=1
T n(θkxk)
∥∥∥∥∥=
∥∥∥∥∥∥T n(θkjxkj) +
kj−1∑ν=1
T n(θνxν) +∞∑
ν=kj+1
T n(θνxν)
∥∥∥∥∥∥≥ ‖T n(θkjxkj)‖ −
∥∥∥∥∥∥kj−1∑ν=1
T n(θνxν)
∥∥∥∥∥∥−∥∥∥∥∥∥
∞∑j=kj+1
T n(θνxν)
∥∥∥∥∥∥> 1− εkj−1 − εkj . (4.8)
Como a sequencia (εk)∞k=1 decresce para zero, note que, para kj suficientemente
grande o valor 1 − εkj−1 − εkj em (4.8) fica maior do 12. Assim, na Definicao 4.4,
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4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
tomando ε = 12, temos2
Ff(ξ)f(ξ′)(1/2) = lim infn
F nf(ξ)f(ξ′)(1/2)
= lim infn
[1
n· card
0 ≤ i < n− 1; d(T if(ξ), T if(ξ′)) <
1
2
]= lim inf
n
[1
n· card
0 ≤ i < n− 1; ‖T iz‖ < 1
2
]〈4.1〉≤ lim inf
j
[1
Nkj
· card
0 ≤ i < Nkj − 1; ‖T iz‖ < 1
2
](4.8)
≤ limj→∞
N ′kjNkj
(P4)
≤ limj→∞
1
kj= 0.
Portanto, Ff(ξ)f(ξ′)(1/2) = 0. Agora, fixemos kl, para algum l ∈ N. Por (P5’) e (P2”),
para n = N ′kl , · · · , Nkl , temos
‖T nz‖ =
∥∥∥∥∥T n(∞∑k=1
θkxk
)∥∥∥∥∥≤ ‖T n(θkl)xkl‖+
kl−1∑ν=1
‖T n(θνxν)‖+∞∑
ν=kl+1
‖T n(θνxν)‖
< 0 + εkl−1 + εkl . (4.9)
Dado τ > 0 arbitrario, como a sequencia (εk)∞k=1 decresce para zero, o valor εkl−1 + εkl
em (4.9) fica menor do que τ para kl suficientemente grande. Desse modo, para qualquer
τ > 0, obtemos
F ∗f(ξ)f(ξ′)(τ) = lim supn
F nf(ξ)f(ξ′)(τ)
= lim supn
[1
n· card
0 ≤ i < n− 1; d(T if(ξ), T if(ξ′)) < τ
]= lim sup
n
[1
n· card
0 ≤ i < n− 1; ‖T iz‖ < τ
]〈4.1〉≥ lim sup
l
[1
Nkl
· card
0 ≤ i < Nkl − 1; ‖T iz‖ < τ]
(4.9)
≥ liml
Nkl −N ′kl + 1
Nkl
(P4)
≥ liml
kl − 1
kl= 1.
2Relembre que na demonstracao do presente teorema usaremos 〈4.1〉 para representar a expressao“Observacao 4.1”.
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4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Logo, F ∗f(ξ)f(ξ′)(τ) = 1, para todo τ > 0 e, portanto f(ξ), f(ξ′) e um par distribuci-
onalmente caotico de T , para quaisquer vetores distintos ξ, ξ′ ∈ D. Assim f(D) e um
conjunto (1/2)−misturado.
Abaixo apresentaremos resultados espectrais para operadores que satisfazem o CFCD,
logo para operadores distribucionalmente caoticos3.
Proposicao 4.2. Seja T ∈ L(X). Valem as seguintes propriedades:
(a) Se existe uma constante r > 1 tal que, para todo m ∈ N, existe xm ∈ X\0satisfazendo ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m, entao rσ(T ) ≥ r.
(b) Se σ(T ) ⊂ z ∈ C; |z| > 1 e limn→∞ ‖T nx‖ = 0, entao x = 0.
Demonstracao. (a) Consideremos, por contradicao, que rσ(T ) < r. Assim, seja ε > 0
tal que rσ(T ) + ε < r. Como rσ(T ) := limn→∞ ‖T n‖1n , existe m ∈ N de modo que
‖T n‖ 1n < rσ(T ) + ε < r, para todo n ≥ m.
Dado m + 1 ∈ N, existe x ∈ X\0 tal que ‖T ix‖ ≥ ri‖x‖, para todo
i = 1, 2, · · · ,m + 1; em particular ‖Tm+1x‖ ≥ rm+1‖x‖. Entao∥∥∥Tm+1 x
‖x‖
∥∥∥ ≥ rm+1,
donde ‖Tm+1‖1
m+1 ≥ r, o que e uma contradicao.
(b) Suponhamos x 6= 0. Como 0 /∈ σ(T ), T e invertıvel. Alem disso, uma vez que4
σ(T−1) = σ(T )−1, segue que rσ(T−1) < 1. Escrevamos
‖x‖ = ‖T−nT nx‖ ≤ ‖T−n‖‖T nx‖,
donde
‖x‖1n ≤ ‖T−n‖
1n‖T nx‖
1n .
Tomando o limite na desigualdade acima, obtemos
1 ≤ rσ(T−1) lim infn‖T nx‖
1n
e entao lim infn ‖T nx‖1n ≥ rσ(T−1)−1 > 1. Logo, existe η > 0 tal que
lim infn‖T nx‖
1n ≥ η > 1,
donde lim infn ‖T nx‖ =∞, o que e uma contradicao, pois limn→∞ ‖T kn‖ = 0.
3A definicao de espectro e de raio espectral de um operador T ∈ L(X) e dada no Capıtulo 1 (cf.Definicao 1.8).
4σ(T )−1 := λ−1;λ ∈ σ(T ).
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4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
Corolario 4.1. Seja T ∈ L(X). Se T satisfaz o CFCD, com CFCD-constate r, entao
rσ(T ) ≥ r.
Teorema 4.4. Seja T ∈ L(X) um operador que satisfaz o CFCD, com CFCD-constante
r. Entao valem as seguintes propriedades:
(a) Para todo r0 ∈ [1, r], tem-se σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| = r0 6= ∅.
(b) Nao existem subconjuntos fechados e disjuntos F1 e F2 em C tais que
F1 ⊂ z ∈ C; |z| < r e F2 ⊂ z ∈ C; |z| > 1, com F1 ∪ F2 = σ(T ).
Demonstracao. (a) Suponhamos, por contradicao, que existe r0 ≤ r tal que
σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| = r0 = ∅. Considere os conjuntos fechados e disjuntos
σ1 = σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| ≤ r0 e σ2 = σ(T ) ∩ z ∈ C; |z| ≥ r0.
Pelo Teorema da Decomposicao de Riesz (cf. Teorema 1.7), existem X1 e X2 subespacos
fechados e T−invariantes nao-triviais de X tais que X = X1 ⊕X2 e
σ(T |X1) = σ1 e σ(T |X2) = σ2.
Assim, denotando T1 = T |X1 e T2 = T |X2 , temos T = T1 ⊕ T2. Dado m ∈ N, existe
xm = x1m + x2
m ∈ X\0 tal que
‖T k1 x1m‖+ ‖T k2 x2
m‖=5‖T k1 x1m + T k2 x
2m‖ = ‖(T k1 ⊕ T k2 )(x1
m + x2m)‖ = ‖T kxm‖
k→∞−→ 0
e ‖T kxm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m. Como σ(T2) ⊂ z ∈ C; |z| > r0e limk ‖T k2 x2
m‖ = 0, pela Proposicao 4.2(b), segue que x2m = 0. Entao, xm = x1
m e
‖T k1 x1m‖ = ‖T kxm‖ ≥ ri‖xm‖ = ri‖x1
m‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m. Portanto, pela
Proposicao 4.2(a) obtemos que rσ(T1) ≥ r, o que e uma contradicao com o fato de
σ(T1) ⊂ z ∈ C; |z| < r0.(b) Suponhamos que existam F1 ⊂ z ∈ C; |z| < r e F2 ⊂ z ∈ C; |z| > 1
subconjuntos fechados e disjuntos de σ(T ) tais que σ(T ) = F1 ∪ F2. Pelo Teorema da
Decomposicao de Riesz, existem X1 e X2 subespacos de X tais que X = X1 ⊕ X2 e
σ(T1) = F1 e σ(T2) = F2, onde T1 = T |x1 e T2 = T |x2 .
Seja m ∈ N, entao existe xm = x1m + x2
m ∈ X\0 tal que
‖T k1 x1m‖+ ‖T k2 x2
m‖ = ‖T kxm‖k→∞−→ 0
5Ja temos que o espaco (X, ‖ · ‖) e de Banach. Pelas hipoteses do respectivo teorema, existemsubespacos fechados X1, X2 ⊂ X tais que X = X1⊕X2. Assim, a funcao ‖ · ‖⊕ : X1⊕X2 −→ R dadapor ‖x‖⊕ = ‖xX1 +xX2‖⊕ := ‖xX1‖+ ‖xX2‖ e uma norma em X. Alem disso, e possıvel verificar queo espaco (X = X1⊕X2, ‖ · ‖⊕) tambem e de Banach, logo ‖ · ‖ e ‖ · ‖⊕ sao equivalentes. Fazendo umaabuso de notacao, dados x1 ∈ X1 e x2 ∈ X2, escreveremos simplesmente ‖x1 + x2‖ = ‖x1‖+ ‖x2‖.
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4. Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Caoticos
e ‖T kxm‖ ≥ ri‖xm‖, para todo i = 1, 2, · · · ,m. Como σ(T2) ⊂ z ∈ C; |z| > 1 e
limk→∞ ‖T k2 x2m‖
k→∞−→ 0, pela Proposicao 4.2(b), x2m = 0, logo
‖T i1x1m‖ = ‖T ixm‖ ≥ ri‖xm‖ = ri‖x1
m‖,
para i = 1, . . . ,m. Portanto, pela Proposicao 4.2(a), rσ(T1) ≥ r, o que e uma con-
tradicao, pois F1 ⊂ z ∈ C; |z| < r.
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