UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA
FACULDADE DE CINCIAS INTEGRADAS
DO PONTAL
Joo Chrisstomo Ribeiro
Universidade Federal de Uberlndia
e-mail: [email protected]
Jssica Azevdo Vieira
Universidade Federal de Uberlndia
e-mail: [email protected]
Aplicaes do Interfermetro de Michelson:
Comprimento de onda de um laser de He-Ne, ndice de refrao do ar e
ndice de refrao do CO2
Resumo: Este experimento tem o objetivo de utilizar o interfermetro de Michelson para realizar medidas do
comprimento de onda de um laser de He-Ne atravs da observao de franjas de interferncia de igual
inclinao e igual espessura. Um feixe de luz divido pelo mtodo de diviso de amplitudes atravs de um
espelho parcialmente espelhado, resultando no fenmeno de interferncia. A atividade experimental tambm
possibilita a determinao dos ndices de refrao do ar e do dixido de carbono (CO2). Atravs da anlise
destes resultados juntos com os valores dos referenciais tericos, ser possvel verificar a preciso do
instrumento utilizado nas atividades.
INTRODUO
Dois feixes se originando de fontes independentes, no existe correlao entre as
flutuaes nos dois feixes em lugar algum. Ao sobrepor os feixes, a distribuio de
intensidade do feixe resultante a soma de intensidades dos dois feixes originais. Porm,
quando os dois feixes se originam na mesma fonte, as flutuaes de fase e intensidade so
correlacionadas em certo grau. Dois feixes coerentes sobrepostos tem uma distribuio de
intensidade que descreve uma srie de mximos e mnimos. Este fenmeno chamado de
interferncia.
Com os dois feixes em fase tem-se uma interferncia construtiva, com um mximo de
intensidade. J quando os feixes se apresentam defasados um do outro (em oposio de fase)
a interferncia destrutiva e ocorre um mnimo de intensidade. As flutuaes nos feixes so
mais altamente correlacionadas e as franjas so mais ntidas quando a luz monocromtica.
possvel dividir o feixe de luz utilizando um espelho parcialmente espelhado, que
reflete parte da luz e transmite o restante. Este mtodo chamado de diviso de amplitude.
Quando uma onda eletromagntica plana, que descrita por (, ), passa por um divisor
de feixes d origem a dois campos, descritos por (, ) = . (, ) para o feixe refletido
e (, ) = . (, ) para o feixe transmitido. Um divisor de feixe com balanceamento ideal formando metade da potncia na
reflexo e metade na transmisso, as suas amplitudes sero iguais e a distribuio de
intensidade da interferncia dada pela equao:
= 4. 022 (
2) [1]
Onde I0 so as intensidades e a diferena de fase. Para feixes bem paralelos uniforme, havendo uma colinearidade sobreposio no anteparo, acoplado somente pela
diferena no tempo de percurso a que sucedeu a diviso no anteparo , ou atravs da diferena de percurso tico total de cada feixe . 2, em que d a diferena de comprimento nos braos do interfermetro. Devemos lembrar que precisamos considerar o comprimento
percorrido em um meio dieltrico = . caso os braos contenham diferentes elementos pticos. Caso a seja um mltiplo de comprimento de onda obteremos um mximo
de intensidade e que nos fornece a seguinte equao (onde m um nmero inteiro):
2 = [2]
ndice de refrao do Ar
Para determinar o ndice de refrao n do ar, um recipiente cheio de ar, com paredes
planas e paralelas, utilizado. Esse ndice depende linearmente da presso P, e para P=0,
tem-se o vcuo absoluto, de modo que n=1, pois:
=
[3]
Onde c a velocidade da luz no vcuo (c = 3 x 108 m/s) e v a velocidade da luz no
meio. Como o meio o prprio vcuo, tem-se n = 1. O quociente entre a diferena do ndice
de refrao e a diferena de presso observados, n/P, determinado por:
n
=
2 1
[4]
Sendo 1, o ndice de refrao usado como referncia. Os caminhos da onda ptica d, igual:
= 1. [5]
Onde s o comprimento geomtrico do recipiente vazio. Ressalta-se que leva-se em
considerao o fato da luz passar duas vezes pelo caminho, por causa da reflexo do espelho.
Logo, variando-se a presso dentro do recipiente por P, o caminho ptico variado por d. Assim,
= 2. 1. [6]
Observa-se uma modificao no padro do anel com mudanas na presso (o centro
do padro de interferncia do anel alternadamente mostra mximos e mnimos). Comeando
com uma presso ambiente Po, percebe-se, quando a presso reduzida, N vezes a
restaurao da posio inicial dos padres de interferncia (ou seja, um mnimo de
intensidade no centro do anel) at uma certa presso P. Uma mudana de mnimo mnimo
corresponde uma modificao do caminho ptico por um comprimento de onda . Logo, entre a presso P e P+P, o caminho ptico muda para:
= (2 1) [7]
Associando-se as equaes (6) e (7), e considerando-se que o recipiente atravessado
duas vezes pela luz, obtm-se:
2 1 = (2 1)
2 [8]
Logo,
n
=
N
2 [9]
ndice de refrao do CO2
Para medir o ndice de refrao do CO2, um recipiente previamente resfriado com ar e
paredes paralelas e planas utilizado. Este recipiente introduzido na trajetria do feixe entre
o sistema de separao do feixe e um espelho. Como os ndices de refrao do ar e do CO2
so diferentes, o ndice de refrao no recipiente proporcional quantidade de CO2
introduzido. O comprimento r da trajetria ptica do recipiente de comprimento geomtrico
s ento diferente para o ar e para o dixido de carbono. Como o feixe de luz atravessa duas
vezes o recipiente, o comprimento geomtrico da trajetria ptica s=2l. Isso resulta em:
1 = 1. [10]
2 = 2. [11]
Para o ar, com ndice de refrao n1 e para o dixido de carbono com ndice de refrao
n2. Sabe-se que quando o ndice de refrao diminudo, os anis de interferncia aumentam
de dentro para fora.
Logo, a direo do movimento dos anis permite dizer se o ndice de refrao do gs
maior ou menor que o do ar. Verificando a contagem entre mximos e mnimos, a mudana
do comprimento da trajetria ptica r medida, devido a mudana de um mnimo para um mximo corresponde /2. Como N vezes so associadas, tem-se que:
=
2 [12]
Assim,
2 = 1 + [13]
2 = 1 + [14]
Associando (13) e (14), obtm-se:
= . [15]
De (12), verifica-se que:
2= . [16]
Visto que n = n2 n1, e conhecido o valor de s, possvel adquirir o ndice de refrao do CO2.
Interfermetro de Michelson
O arranjo experimental do interfermetro de Michelson consiste em um sistema de
dois espelhos (M1 e M2) perpendiculares entre si sendo um deles fixo e o outro mvel, respectivamente; e um espelho parcialmente espelhado (beam splitter na fig.1) posicionado na interseco das normais dos dois espelhos e a 45 em relao fonte de luz.
No interfermetro o feixe de luz dividido por um espelho parcialmente espelhado
(onde ocorre uma diviso de amplitudes), ele refletido nos dois espelhos e atravessa
novamente no espelho parcialmente espelhado at incidir sobre um anteparo para produzir
fenmenos de interferncia. A fig.1 mostra o esquema experimental do interfermetro. O
padro de interferncia formado se altera perceptivelmente conforme a posio o espelho
mvel, que variada utilizando um parafuso micromtrico.
Figura 1 Esquema do Interfermetro de Michelson. Fonte de luz (S), espelho fixo (M1), espelho mvel (M2), espelho parcialmente espelhado divisor de feixes (Beam Splitter).
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Alinhamento
O experimento foi montado de acordo com o arranjo experimental da fig.2. Ele
composto por uma fonte laser, uma lente de 20 mm de distncia focal, um interfermetro
composto por um conjunto de trs espelhos e um anteparo para observao do fenmeno de
interferncia da luz. A fonte laser foi colocada a aproximadamente a 30 cm do espelho semi
prateado (espelho S3, fig. 3). Os dois dispositivos ficaram na mesma altura em relao ao
banco ptico. Em seguida ajustou-se o micrmetro do espelho S1 na posio de 0,00mm.
No primeiro momento, para o ajuste fino da trajetria do laser, retirou-se a lente de 20
mm (f= 20 mm) do arranjo experimental. O Feixe foi alinhado ao laser e o conjunto de
espelhos, de tal forma que este feixe incidiu no espelho S3 (ver fig.3) com um ngulo de
aproximadamente 45 em relao ao mesmo. ideal que o feixe esteja centralizado em todos
os espelhos do interfermetro. Com este alinhamento ser possvel ver dois (ou mais, devido
a vrias reflexes) feixes incidindo no anteparo. Utilizando os parafusos de ajuste no espelho
S2 foi possvel fazer com que estes feixes de luz coincidam em um mesmo ponto no anteparo.
Feito isto, os feixes de luz estaro sobrepostos. A lente foi recolocada em um ponto mdio
entre a fonte e o espelho semi prateado (aprox. 15 cm em relao fonte e ao espelho). Com
isso ser possvel observar um padro de interferncia circular no anteparo. Utilizamos os
parafusos de ajuste de inclinao do espelho S2 para melhor visualizao do padro de
interferncia.
Figura 2 Arranjo experimental para medir comprimentos de onda com o Interfermetro de Michelson. Composto por fonte laser, lente de 20mm e interfermetro montados em um banco ptico; e anteparo para
observao do fenmeno de interferncia.
Medidas
Para facilitar a contagem das mudanas de padro de interferncia, utilizou-se dois
pedaos de fita adesiva, eles foram colocados em paralelo a uma distncia um do outro que
fosse aproximadamente do tamanho de uma das franjas, com isso contar as alternncias dos
padres de interferncia se tornou mais fcil. Com uma boa visualizao do padro circular
de interferncia da luz no anteparo foi possvel comear as medidas.
Atividade I
Ao utilizar o micrmetro para deslocar o espelho S1, escolheu-se um sentido de
deslocamento e ele foi mantido at o trmino das medidas, para evitar um atraso no
mecanismo do micrmetro comprometendo assim as medidas realizadas. Conforme a
distncia do espelho S1 alterada pelo micrmetro, foi possvel ver uma alternncia das
franjas de interferncia da luz. Escolheu-se uma posio inicial para o micrmetro (xi). Ao
fazer o espelho se deslocar utilizando o micrmetro, os mximos e mnimos comearam a se
alternar. Assim foi medido o deslocamento do micrmetro para 20 alternncias de mximos.
Este processo foi repetido mais 5 vezes, para 40, 60, 80, 100 e 120 alternncias de mximos
e mnimos. Todos os dados foram anotados.
Figura 3 Esquematizao os espelhos e das trajetrias do feixe de luz. S1: Espelho mvel (ajuste da diferena de deslocamento); S2: Espelho fixo (ajuste de inclinao ; S3 Espelho semi prateado (divisor de
feixes de luz).
Visto que n = n2 n1, e conhecido o valor de s, possvel adquirir o ndice de refrao do CO2.
Atividade II - Observao das franjas de interferncia
Interferncia de igual inclinao
O processo de alinhamento foi feito novamente, tomando o devido cuidado de deixar
o espelho S1 alinhado com o espelho S2 (com a mesma inclinao). Ao fazer o espelho se
deslocar utilizando o micrmetro, os mximos e mnimos comearam a se alternar. As
alternncias foram registradas com uma cmera digital, de acordo com as fig.5(a), fig.5(b),
fig.5(c) e fig.5(d).
Interferncia de igual espessura
Para observar as franjas de interferncia, o ngulo do espelho S1 foi ajustado, de modo
que a imagem virtual ficasse inclinada em relao ao do espelho S2. O micrmetro foi
ajustado de modo que as franjas curvam se movessem em direo ao centro. Foram tiradas
as fotos da fig.6(a) e fig.6(b). Em seguida invertemos a inclinao do espelho S1 e em relao
ao espelho S2, neste momento foram tiradas as fotos das fig.6(c) e da fig.6(d).
Atividade III Determinao do ndice de refrao do ar
O recipiente fixado ao interfermetro e conectado bomba de vcuo e ao barmetro.
Ajustado o trajeto do feixe pelo espelho regulvel M1, o sistema est regulado. Inicialmente,
as lentes acopladas de f= +20 mm, foram removidas. O feixe de laser encontra com o espelho
semi transparente em um ngulo de 45 e assim, dividido. Os feixes parciais so refletidos
pelo espelho correspondente e se encontram na tela S. Os dois pontos luminosos se deparam
atravs do ajuste em um dos espelhos. O ajuste se conserva at que os anis de interferncia
concntricos sejam visveis no centro. Para a determinao do ndice de refrao do ar, o
parafuso do micrmetro girado para a sua posio inicial, na qual o centro do anel de
interferncia fique escuro. A presso no recipiente diminuda atravs da bomba manual.
Conforme o centro dos anis de interferncia apresenta um mnimo de intensidade, a presso
e o correspondente nmero de mnimos percorridos so registrados. diminuda a presso
no sistema atravs da alavanca da bomba manual.
Atividade IV Determinao do ndice de refrao do CO2
O recipiente preso ao interfermetro de Michelson e uma pea conectora fechada
utilizando uma rolha de Teflon. O procedimento da atividade III repetido. Aps ajustar o
trajeto do feixe ajustando o espelho M, o feixe alargado pelas lentes, f=+20 mm. Aps isso,
ambos os espelhos do interfermetro so ajustados. O feixe laser incide no espelho semi
transparente em um ngulo de 45 e dividido. Ambos os feixes parciais so refletidos pelos
espelhos correspondentes e incidem no anteparo S. Os dois pontos de luz so superpostos
atravs da utilizao dos dois parafusos de ajuste de um dos espelhos. O ajuste feito at que
os crculos de interferncia concntrica estejam claramente visveis no centro. Para
determinar o ndice de refrao, o micrmetro-parafuso ajustado para uma posio inicial
onde os crculos de interferncia apaream estar escuros. A garrafa pressurizada de dixido
de carbono conectada pipeta de vidro pela vlvula e uma mangueira de silicone. A pipeta
de vidro orientada atravs do grampo universal ajustado em um p magntico de tal modo
que a ponta aponta para a arte no fechada do recipiente. A presso no recipiente diminuda
com a bomba manual. Assim que o centro dos crculos de interferncia mostrar um mnimo
de intensidade, a presso e a quantidade correspondente de mnimos passando so registradas.
RESULTADOS
Comprimento de onda do Laser He-Ne
O padro de interferncia obtido durante o experimento foi registrado com uma cmera
digital e pode ser visto na fig. 4, onde indicado o ponto de referncia utilizado para se contar
as alternncias de mximos e mnimos.
Figura 4 Padres de interferncia da luz. Conforme a distncia do espelho mvel varia, os padres de interferncia do laser comeam a se alternar. Olhando sempre para um mesmo ponto no anteparo possvel
contar o nmero de alternncias e assim relacionar com o deslocamento do espelho para encontrar o valor para o comprimento de onda do laser.
A Tabela 1 contm as leituras feitas durante o experimento. De acordo com o manual
do interfermetro (PHYWE 08557.00) o deslocamento real do espelho deve ser reduzido em
uma proporo de 1:10, como indicado na Tabela 1, Coluna Deslocamento do Espelho Mvel (L). Foi calculado o valor do comprimento de onda para cada grupo de medidas atravs da equao =2.L/N. Por fim, foi feita uma mdia destes resultados. O valor encontrado indicado na Tabela 1.
TABELA 1 Dados Experimentais do Interfermetro de Michelson
Nmero
de Franjas
(N)
Leitura do
Micrmetro
(10*L)
Leitura do
Micrmetro
(10*L)
Deslocamento
do Espelho
Mvel (L)
Comprimento
de Onda () Comprimento
de Onda ()
Mm m m m Nm
20 6,30E-02 6,30E-05 6,30E-06 6,30E-07 630
40 1,29E-01 1,29E-04 1,29E-05 6,45E-07 645
60 1,89E-01 1,89E-04 1,89E-05 6,30E-07 630
80 2,53E-01 2,53E-04 2,53E-05 6,33E-07 633
100 3,16E-01 3,16E-04 3,16E-05 6,32E-07 632
120 3,71E-01 3,71E-04 3,71E-05 6,18E-07 618
MDIA 6,31E-07 631
Alm do clculo do comprimento de onda atravs da mdia das medidas, tambm foi
feito um grfico do Deslocamento do Espelho vs N de Interferncia. Sabendo que =2.L/N, podemos calcular o comprimento de onda atravs da inclinao da reta de um ajuste linear
do grfico citado. Nota-se que a inclinao desta reta ser igual a /2.
Figura 3 Grfico do Comprimento de Onda ()
O valor encontrado atravs da Tabela 1 foi de 631nm e o encontrado atravs do grfico
(Fig.3) foi de 619nm. Fazendo uma mdia entre os dois valores encontrados encontrou-se o
valor de 625nm. De acordo com indicao do laser de He-Ne o comprimento de luz nominal
igual a 632,8nm. Logo, o erro percentual deste procedimento experimental foi de 1,23%
para o comprimento de onda do laser de He-Ne.
ndice de refrao do Ar
A Tabela 2 registra o nmero de mnimos percorridos pelos anis de interferncia, atravs da
diferena de presso:
TABELA 2 Nmero (N) de mnimos encontrados com a respectiva presso (P)
N P(hPa) N/P
1 105 9,5238 E-3
2 220 9,0909 E-3
3 340 8,8235 E-3
4 450 8,8888 E-3
5 580 8,6209 E-3
Figura 4 Grfico da razo N/P
A figura 4 mostra o grfico da razo N/P. Atravs do um ajuste linear da reta, foi possvel determinar o valor de 0,00847 para ainclinao.
Analisando a Tabela 2, observa-se na quarta coluna o quociente entre o nmero de
mnimos e a diferena de presso, o qual associado equao (9), indica uma mdia para a
modificao do ndice de refrao (n) com a mudana de presso (P), uma vez que j determinou-se experimentalmente o comprimento de onda do laser (625 nm) e conhecido
o comprimento geomtrico da clula/recipiente (10 mm).
Construiu-se a Tabela 3, a qual refere-se razo (n/P), como tambm, fornece o ndice de refrao do ar, obtido por (4). Nessa expresso, nota-se que n1 indica o ndice de
refrao do vcuo, ou seja, n = 1, a diferena de presso est associada a cada mnimo
observado e o ndice de refrao do ar dado por n2.
TABELA 3 Determinao do ndice de refrao do Ar
N P(hPa) n/P n2
1 105 2,9762 E-7 1,0000312
2 220 2,8409 E-7 1,0000625
3 340 2,7573 E-7 1,0000937
4 450 2,7778 E-7 1,0001250
5 580 2,6940 E-7 1,0001562
MDIA 1,0000940
ndice de refrao do CO2
Com a conexo do recipiente de CO2 ao sistema utilizado na atividade III, determinou-
se o ndice de refrao do gs. Para tal, provocou a diferena de presso na alavanca do manmetro, e observou-se 8 nmeros de mnimos nos anis de interferncia. Por esse
resultado, calculou-se a variao do ndice de refrao fazendo o uso de (16). Assim:
8(625 109
2) = 2(0,01)
= 1,25 104
Ressalta-se que o comprimento da trajetria ptica s = 2l, onde l representa o
comprimento geomtrico do recipiente, pois o feixe de luz atravessa o recipiente duas vezes.
Como l vale 0,01, para o CO2, constata-se que s equivalente 0,02. Obtm-se assim, a
variao do ndice de refrao contida na clula, sendo esta 1,25E-4. Mas, quer-se o ndice
de refrao do CO2, o qual extrado atravs de n = n2 n1, onde n2 o valor desejado e n1 o ndice de refrao do ar, adquirido na atividade III.
= 2 1
1,25 104 = 2 1,0000937
2 = 1,000218
Sabe-se que o valor nominal para essa medida 1,000416, sob condies normais.
Avaliando as duas medidas por (16), tem-se que:
= ( / ) 100
= (1,000218 1,000416/ 1,000218) 100
= 0,019%
Revela-se assim um erro percentual consideravelmente pequeno.
CONCLUSO
Utilizando-se um Interfermetro de Michelson foi possvel medir o comprimento de
onda de um feixe de luz. Devido a diferena de fase entre as duas partes de um feixe de He-
Ne, que fora dividido por um espelho semi espelhado, projetou-se em um anteparo um padro
de interferncia de luz. O clculo para o comprimento de onda do laser, desenvolveu-se
atravs de duas medidas diretas: a do deslocamento do espelho, e a do nmero de alternncia
das interferncias construtivas e destrutivas. O erro percentual entre o valor experimental e o
valor nominal de 1,23%, sendo ento visvel, o grau de preciso do Interfermetro de
Michelson, levando em considerao que o tratamento das medidas desmembrou-se em
escalas nanomtricas.
Posteriormente, determinou-se o ndice de refrao do ar e esse resultado possibilitou
a determinao do ndice de refrao do dixido de carbono (CO2). Essa atividade elencou-
se atravs da montagem de um sistema composto pelo Interfermetro de Michelson, sendo
projetado em um anteparo, anis, e visualizado um padro de interferncia, ou seja, um
processo anlogo ao da determinao do comprimento de onda do feixe, sendo este utilizado
em triplicata, durante as atividades. Para o primeiro caso de ndice de refrao (atividade III),
o nmero encontrado experimentalmente para o ndice de refrao do ar foi 1,000094, sendo
o valor literrio conhecido por 1,000269, ou seja, obteve-se um erro percentual de 0,017%,
implicando assim, boa preciso do Interfermetro para o uso do experimento. Na terceira
atividade calculou-se o valor representativo ao do ndice de refrao do dixido de carbono,
sendo este 1,000218. Como o valor nominal d-se em 1,000416, denota-se um erro percentual
de 0,019%, propondo uma discrepncia pequena, em relao aos valores citados.
Associando o uso do Interfermetro de Michelson nas trs atividades propostas, sendo
elas: determinao do comprimento de onda do feixe de luz de He-Ne e clculo dos ndices
de refrao do ar e CO2, perceptvel erros percentuais pequenos entre os valores obtidos
experimentalmente com os nominais, verificando assim, boa preciso no uso e manuseio do
Interfermetro.
REFERNCIAS
[1] Eisberg, Robert. Fsica Quntica / Robert Eisberg e Robert Resnick; traduo de
Paulo Costa Ribeiro, Enio Frota da Silveira de Marta Feij Barroso. Rio de Janeiro: Elsevier, 1979 27 Reimpresso. (P.587)
[2] Manual da PHYWE - Michelson interferometer Disponvel em: . Acesso em: 19 ago. 2014, 16:30.
[3] Manual da PHYWE - Refraction index of air and CO2 with Michelson interferometer Disponvel em:
. Acesso em: 19 ago. 2014, 16:30.
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