Interpretacao Fısica dos Zeros dos Polinomios Ortogonais deJacobi

Jonas Antonio Padovani Ederli, Fernando Rodrigo RafaeliDepto de Matematica, Estatıstica e Computacao, FCT, UNESP,

19060-900, Presidente Prudente, SPE-mail: jonaspadovani@hotmail.com, rafaeli@fct.unesp.br

Palavras-chave: Analise e aplicacoes, polinomios ortogonais de Jacobi, zeros, interpretacaofısica

Resumo: Neste trabalho apresentamos uma bela interpretacao fısica advinda da eletrostaticapara os zeros dos polinomios ortogonais de Jacobi.

1 Introducao

Uma das principais motivacoes e das mais bonitas para o estudo dos zeros dos polinomiosortogonais de Jacobi, que sao solucoes de equacoes diferenciais de segunda ordem, e que elespossuem uma bela interpretacao fısica advinda da eletrostatica. O vetor dos zeros e o ponto deequilıbrio de um campo eletrostatico. Resumidamente, a interpretacao eletrostatica dos zeros don-esimo polinomio de Jacobi, P (α,β)

n (x), que sao ortogonais em [−1, 1] com relacao a funcao pesoωα,β(x) = (1−x)α(1 +x)βdx, α, β > −1, e a seguinte: Sejam, entao, xn,k(α, β), k = 1, . . . , n, oszeros de P (α,β)

n (x) arranjados em ordem decrescente, funcoes dos parametros α, β. T. J. Stieltjesprovou em [2, 3, 4] que, dadas duas cargas fixas nos pontos −1 e 1 com forcas (β+1)/2 e (α+1)/2,respectivamente, e n cargas unitarias livres em (−1, 1), a energia do campo eletrostatico geradapor elas atinge um mınimo local quando as cargas unitarias estao localizadas em xn,k(α, β).Aqui, o campo obedece a lei do potencial logarıtmico o que significa que todas as cargas, fixas elivres, sao distribuıdas ao longo de fios infinitos perpendiculares ao eixo real. G. Szego [5, Secao6.83] provou que a energia tem um unico mınimo global, o que mostra que os zeros do polinomiode Jacobi de grau n sao os pontos de equilıbrio estavel da energia.

A. Markov [1] (ver, tambem, G. Szego [5, Teorema 6.12.1]) provou que todos os zerosxn,k(α, β) sao funcoes crescentes de β e decrescentes de α. Isso fica intuitivamente claro dainterpretacao eletrostatica apresentada acima uma vez que todas as cargas sao positivas e serepelem.

Referencias

[1] A. Markov, Sur les racines de certaines equations (second note), Mathematische Annalen,27 (1886), 177–182.

[2] T. J. Stieltjes, Sur les quelques theoremes d’algebre, C.R. Acad. Sci. Paris, 100 (1885),439–440.

[3] T. J. Stieltjes, Sur les polynomes de Jacobi, C. R. Acad. Sci. Paris, 100 (1885), 620–622.

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[4] T. J. Stieltjes, Sur les racines de l’equation Xn = 0, Acta Math., 9 (1886), 385–400.

[5] G. Szego, Orthogonal polynomials, 4th ed., Amer. Math. Soc. Coll. Publ., Vol. 23, Provi-dence, RI, 1975.

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