Capítulo2-Modelação
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Cap2–ModelaçãodeSistemasFísicos
Isabel Ribeiro António Pascoal
Transparênciasdeapoioàsaulasteóricas
TodososdireitosreservadosEstasnotasnãopodemserusadasparafinsdisQntosdaquelesparaqueforam
elaboradas(lecionaçãonoInsQtutoSuperiorTécnico)semautorizaçãodosautores
INTRODUÇÃOaoCONTROLOMeAERO
1ºsemestre–2017/2018
Capítulo2-Modelação
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Cap2-2
ObjecQvos
• DefiniroqueéummodeloediscuQroseuusopararesponderaperguntassobreocomportamentodesistemas_sicos
• Introduzirosconceitosdeentrada,saídaedinâmica• Darexemplosdemodelosdesistemas_sicosem
domíniosdiversos• Linearização
Ø Referênciaso Cap.2–dolivrodeFranklin,Powel,Naemi(referênciaprincipal)o Cap.2-dotextodeKarlAstrom,RichardMurray,disponívelna
Web.o Cap.1(atéseção1.4.6)–dolivrodeMªIsabelRibeiro,Análisede
SistemasLineares,2002,ISTPress(disponívelnaISTPressnoIST)
Capítulo2-Modelação
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Cap2-3
RevisãosobreIntroduçãoaoControlo
Controlo==Sensoriamento+
Computação+Atuação
Sensoriamento/Perceção
Computação
AtuaçãoSistema_sico
Ø Sistemasdecontroloporretroaçãoocorrememmuitosdomínios
Ø Obje<vosdocontrolo• Modificarocomportamentodesistemas
comasseguintesrestrições:
Estabilidadeemcadeiafechada Robustezfaceaincertezasdemodelização Atenuaçãodeperturbações
Capítulo2-Modelação
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Cap2-4
Modelos
• Modelo=abstraçãodarealidade_sica(sistemasbiológicos,mecânicos,térmicos,deinformação,...).Extraidarealidade_sicaascaracterísQcasrelevantesconsiderandohipótesessimplificaQvas.
• Ummodeloforneceumaprediçãodecomoéocomportamentodosistema
• Oprojectodecontroladoresparasistemas_sicosfaz-seaparQrdeummodelodessesistema.Osmodelosnãotêmqueserexactos.
– Modelosquedescrevammuitodetalhadamenteumsistemapodemsercomplexos– Desconhecem-setodososfenómenos_sicosqueregulamocomportamentodosistema– Namodelaçãofazem-se,muitasvezes,hipótesessimplificaQvas
• Aretroaçãogaranterobustezaincertezas(emdeterminadoslimites)nomodelo
• Osmodelosusadosparacontrolorelacionamentradascomsaídase(eventualmente)comvariáveisinternasdosistema
Capítulo2-Modelação
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Cap2-5
Modelos
• Omodeloquesederivadependedaperguntaaquesepretenderespondersobreosistema_sico.– Perguntasdiferentesèmodelosdiferentes– PerguntasiguaismashipótesessimplificaQvasdiferentesèmodelos
diferentes
• Aomesmosistema_sicopodemcorrespondermodelosdiferentes
• Devemserescolhidasescalasdetempoedeespaçoadaptadasàsquestõesaquesepretenderesponder
Capítulo2-Modelação
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Cap2-6
ModeloeRepresentaçãoMatemáQca
• Deentrada-saída–relacionadirectamenteaentradacomasaída• Equaçãodiferencial
• Linearounãolinear• Varianteouinvariantenotempo
• FunçãodeTransferência• Sóparasistemaslinearesinvariantesnotempo
• Deestado–relacionaaentrada,asaídaevariáveisinternasdosistema
Entrada Saída
r(t) y(t) Sistema
DoModeloparaaRepresentaçãoMatemá<caUQlizaçãodasleis_sicasnatraduçãomatemáQcadashipótesessimplificaQvasdamodelação
RepresentaçãomatemáQca
RepresentaçãomatemáQca
Capítulo2-Modelação
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Cap2-7
Modelação:Exemplos
Algunsexemplosdesistemas_sicos– Sistemasmecânicos– Circuitoselétricos– Sistemaseletromecânicos– Sistemastérmicos– Sistemashidráulicos– Dinâmicadepopulações– ......
Capítulo2-Modelação
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Cap2-8
SistemadeControlodeVelocidade(CruiseControl)
• ObjeQvodosistemadecontrolo– Manterconstanteavelocidadedoveículo
• Modelodosistema_sico– Entrada:forçaf(t)geradapelomotor– Saída:velocidadev(t)doautomóvel
f(t)Sensordevelocidade
MotorControladorv(t)vref(t) +
_f(t)
v(t)f(t)
• QualéomodelomatemáQcodestesistema_sicoquerelacionaf(t)comv(t)?
• FazendohipótesessimplificaQvasobtém-seummodelo.
Capítulo2-Modelação
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Cap2-9
SistemasMecânicosdeTranslação
LeideNewton(séc.XVII)
Ø F=somadasforçasaplicadasaocorpo(N)Ø v=vectorvelocidadedocorpo(m/s)Ø M=massadocorpo(Kg)Ø mv=momentolinearKgm/s
F=d(mv)/dt
Aforçatotalaplicadaaumcorporígidoéigualàderivadaemordemaotempodoseumomentolinear
Capítulo2-Modelação
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Cap2-10
SistemasMecânicosdeTranslação
• Massa
• Mola
X
2
2
dt)t(xdm)t(f =
Massa - Armazena energia cinética
m f(t)
X
K
)t(x K)t(fs −=
Mola - Armazena energia potencial
K=constante da mola
fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0).
K )t(x K
)t(fs
ElementosBásicos
Capítulo2-Modelação
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Cap2-11
SistemasMecânicosdeTranslação
• Atrito
ElementosBásicos
dt)t(xd )t(fd β−=
Atrito-Elementodissipadordeenergia
b=coeficientedeatritoviscoso
X
b
b
Xx(t)
dt)t(xd β
)t(fd
Aforçadeatrito,fd(t),queseopõeaomovimento,éproporcionalàvelocidade
• simplificaçãodarealidade
• éusualmenteumafunçãonãolineardavelocidade
Capítulo2-Modelação
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Cap2-12
SistemadeControlodeVelocidade(CruiseControl)
v(t)f(t) QualéomodelomatemáQcodestesistema_sicoquerelacionaf(t)comv(t)assumindoashipótesessimplificaQvas?
Hipótesessimplifica<vas:• Inérciarotacionaldasrodasédesprezável
• Oatritoqueseopõeaomovimentoéproporcionalàvelocidade(atritoviscoso)
• Oautomóvelmove-senoplanohorizontal
b
m f(t)
Força externa aplicada
f(t) dt)t(xd (t)v =
Sistema
Capítulo2-Modelação
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Cap2-13
SistemasMecânicosdeTranslação
Exemplode1ªOrdem
b
m f(t) Força externa aplicada
f(t) dt)t(xd (t)v =
Sistema
A força de atrito opõe-se ao movimento
dt)t(dvm
dt)t(xdmaplicadas forças 2
2
==∑
dt)t(dvm)t(v)t(f)t(f)t(f d =β−=+
Força externa Força do atrito
Lei de Newton
)t(f)t(vdt)t(dvm =β+
• Representaçãodeentrada-saídao nodomíniodotempo
o entrada:f(t)o saída:v(t)
o Equaçãodiferenciallineardecoeficientesconstantesde1ªordem
o Sistemade1ªordem
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Cap2-14
SistemasMecânicosdeTranslação
Exemplode2ªOrdem
b
m f(t) Força externa aplicada
f(t) x(t)Sistema
A força de atrito opõe-se ao movimento
2
2
dtx(t)dmaplicadas forças =∑
2
2
d dtx(t)dm
dtdx(t)βf(t)(t)ff(t) =−=+
Força externa Força do atrito
Lei de Newton
f(t)dtdx(t)β
dtx(t)dm 2
2
=+
• Representaçãodeentrada-saídao nodomíniodotempo
o entrada:f(t)o saída:x(t)
o Equaçãodiferenciallineardecoeficientesconstantesde2ªordem
o Sistemade2ªordem
Capítulo2-Modelação
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Cap2-15
SistemasMecânicosdeTranslação
Exemplode2ªOrdem
m f(t) Força externa aplicada
f(t) (t)xSistema
2
2
dt)t(xdmaplicadas forças =∑
2
2
dt)t(xdm)t(Kx
dt)t(dx)t(f =−β−
b
K
dt)t(xd β−
)t(Kx−
)t(f)t(Kxdt)t(dx
dt)t(xdm 2
2
=+β+
Capítulo2-Modelação
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Cap2-16
FunçãodeTransferência
)t(f)t(vdt)t(dvm =β+
EQUAÇÃODIFERENCIAL-RepresentaçãomatemáQcadosistemanodomíniodotempo
• paraumadadaentrada• asaídapodeobter-seporresoluçãodaequaçãodiferencial
AplicandoTransformadadeLaplaceunilateraleconsiderandocondiçõesiniciaisnulas
)s(F)s(V)s(msV =β+
∫∞
τ−
−
ττ=
=
=
0
s de)(x)s(X
)]t(f[TL)s(F
)]t(v[TL)s(V
TransformadadeLaplaceunilateral
β+=ms1
)s(F)s(V FUNÇÃODETRANSFERÊNCIA-RepresentaçãomatemáQca
dosistemanodomíniodavariávelcomplexa
Capítulo2-Modelação
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Cap2-17
FunçãodeTransferência
SLIT r(t) y(t)
FUNÇÃODETRANSFERÊNCIA
0.i.c)s(R)s(Y)s(G
=
=
G(s) R(s) Y(s)
Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =
• Afunçãodetransferênciaéumconceitopotenteparadescreverocomportamentodesistemasdopontodevistadeentrada/saída
• ParaSLITs,afunçãodetransferênciacaracterizacompletamenteosistemadopontodevistadeentrada-saída
QuocientedatransformadadeLaplacedosinaldesaídapelatransformadadeLaplacedosinaldeentradaconsiderandonulasascondiçõesiniciais
Capítulo2-Modelação
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Cap2-18
FunçãodeTransferência
SLIT r(t) y(t)
0.i.c)s(R)s(Y)s(G
=
=
G(s) R(s) Y(s) r(t) y(t)
R(s) Y(s)
TL TL-1
Obtençãodasoluçãodaequaçãodiferencialqueéarepresentaçãodocomportamentodeentrada-saída
)s(R).s(G)s(Y =
Se as condições iniciais forem nulas
Afunçãodetransferênciaéumconceitopotenteparadescreverocomportamentodesistemasdopontodevistadeentrada/saída
Resolução da eq.diferencial
Capítulo2-Modelação
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Cap2-19
FunçãodeTransferênciaeDiagramadeBlocos
v(t)f(t)
)t(f)t(vdt)t(dvm =β+
β+=ms1
)s(F)s(V
βms1+ V(s)F(s)
x(t)f(t)
βms1+
V(s)F(s) X(s)
s1
β)s(ms1+
X(s)F(s)
f(t)(t)xβ(t)xm =+ !!!
Ø Omesmosistema_sicoØ Modelosdiferentes
Capítulo2-Modelação
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Cap2-20
CruiseControl(emplanohorizontal)
v(t)f(t)
βms1+
V(s)F(s)
Sistema_sico
K
modelodosistema_sico
Sistemacontroladocomcontroladorproporcional
Vref(s)+
_
?=(s)V
V(s)ref controlador
Capítulo2-Modelação
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Cap2-21
SistemasMecânicosdeRotação
rotaçãoemtornodeumeixo
• LeideNewton-Euler
Asomadosbináriosqueactuamnumcorpoéigualaoprodutodomomentodeinérciadessecorpopelasuaaceleraçãoangular.
2
2
dtθ(t)dJT(t) =
2
2
dtθ(t)d
T=somadosbináriosaplicadosaosistema(N.m)=vectoraceleraçãoangularaqueocorpoestásujeito(rad/s2)J=momentodeinércia(Kg.m2)(supostoconstante)
Capítulo2-Modelação
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Cap2-22
SistemasMecânicosdeRotação
• Inércia
• MolaRotacional
ElementosBásicos
dtdJ
dtθ(t)dJT(t) 2
2 ω==
Armazena energia cinética rotacional
-Velocidadeangular
θ(t)K (t)Ts −=Mola armazena energia potencial rotacional
K = constante da mola
Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio.
é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação. θ(t)K
w
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Cap2-23
SistemasMecânicosdeRotação
• AtritoRotacional
ElementosBásicos
Atrito-Elementodissipadordeenergia
b-coeficientedeatritoviscoso
ObináriodeatritoTd(t),queseopõeaomovimento,éproporcionalàvelocidadeangular
• simplificaçãodarealidade
• éusualmenteumafunçãonãolineardavelocidade
ω(t) β(t)Td −=
β
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Cap2-24
Sistemasmecânicosderotação
2
1
2
1
1
2
NN
rr ==θ
θ
Avelocidadelinearéigualnopontodecontactodasduasrodas
Engrenagem(caixadedesmulQplicação)
2211 θθ rr =
Roda dentada 1 – entrada
Raio - # dentes -
1N1r
Roda dentada 2 – saída
Raio - # dentes -
2N2r
adesmulQplicaçãoangularéinversamenteproporcionalaoquocientedonúmerodedentes.
Capítulo2-Modelação
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Cap2-25
Sistemasmecânicosderotação
Engrenagem(caixadedesmulQplicação)
Roda dentada 1 – entrada
Raio - # dentes -
1N1r
Roda dentada 2 – saída
Raio - # dentes -
2N2r
1
2
2
1
1
2
NN
TT == θ
θ
Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia
2211 θθ TT =a“mulQplicação”debinárioédirectamenteproporcionalaoquocientedonúmerodedentesdasrodas.
Resumo
q2q1 T1 T2
1
2
NN
2
1
NN
Energia rotacional
Capítulo2-Modelação
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Cap2-26
Exemplo:Pêndulo
m
L
mg
θ
PênduloMassatodaconcentradanaextremidadeBraçodecomprimentoL[m]BinárioaplicadoTc(t)[N.m]
Pergunta:Comovariaoânguloθ(t)emfunçãodeTc(t)?
Momentodeinérciaemtornodopontoderotação=J=mL2
∑= aplicados binários(t)θ J !!
θsin L mg-(t)T(t)θ mL c2 =!!
2c
mL(t)Tsinθ
Lg(t)θ =+!!
mg
θmgcosθ
mgsinθ
• Eq.Diferencialnãolinear• NãoexisteFunçãodeTransferência• Faz-sealinearizaçãodosistema
(t)Tc
Por definição, o momento de inércia J de uma partícula de massa m que gira em torno de um eixo, a uma distância L dele, é mL2
termodevidoàgravidade
Capítulo2-Modelação
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Cap2-27
CarrocompênduloinverQdo
M Massadocarro
m Massadopêndulo
b Coeficientedeatritonomovimentodocarro
L Comprimentoatéaocentrodemassadopêndulo
I Inérciadopêndulo
F Forçaexternaaplicadaaocarro
x Posiçãodocarro
θ
ÂngulodopêndulorelaQvamenteàverQcal(posiçãodeequilíbrioθ=0), medido no sentido contrário aos ponteiros de relógio
Pretende-se:Equaçõesdadinâmicademovimentodosistemaemtermosdexedeθ
Assume-seque:• Opêndulosósemovenoplanodapágina• Ocentrodegravidadedopênduloéoseucentrogeométrico
h�p://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend/invpen.html
L
L
0
FM
X
Y
θ
m,I
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Cap2-28
CarrocompênduloinverQdo
Coordenadasdocentrodemassadopêndulo(quandoocarrosedeslocoudex)
LcosθyLsinθxx
G
G
−=+=
(xG,yG)
L
θ
LsinθX
Y
x
-Lcosθmg
sinθθLy
cosθθLxx
G
G
!!
!!!
=
+=
cosθθLsinθθLy
sinθθL-cosθθLxx2
G
2G
!!!!!
!!!!!!!
+=
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡cosθsinθ-
θLsinθcosθ
θL0x
yx 2
G
G !!!!!!!!!
Capítulo2-Modelação
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Cap2-29
CarrocompênduloinverQdo
Ø Somadasforçasnoreferencialhorizontalassociadoaocarro
xb-FxmxM G !!!!! =+Ø Somadasforçasnopêndulonadirecçãohorizontal
sinθθmLcosθθmLxmxm 2G
!!!!!!! −+=
N=forçadereação(desconhecida)aplicadapelopêndulo
FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ !!!!!!
xb! Forçadeatrito
L
L
0
FM
X
Y
θ
m,I ObalançodeforçassegundoXétalqueamassadocarro(M)mulQplicadapelaaceleraçãodocarroadicionadaàaceleraçãodopendulosegundoXmulQplicadapelamassadopêndulo(m)éigualàsomadasforçasnocarro(forçaexternaeforçadeatrito)
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Cap2-30
CarrocompênduloinverQdo
Balançodebinários
L*pêndulo dolar perpendicu na força aplicados binários Σ θI Σ==!!
cosθxmLmgL)sinθymL( θI GG !!!!!! −−−=
LcosθyLsinθxx
G
G
−=+=
cosθxmL- mgLsinθ θ)mL(I 2 !!!! =++
.
.
. 0
FM
X
Y
m,I
xb!Forçadeatrito
mg
θ
N
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Cap2-31
CarrocompênduloinverQdo
FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ !!!!!!
cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 !!!! −=++
Sistemadeequaçõesdiferenciaisnãolineares
L
L
0
FM
X
Y
θ
m,I
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Cap2-32
CarrocompênduloinverQdo
0
FM
X
Y
q
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡cosθsinθ-
θLsinθcosθ
θL0x
yx 2
G
G !!!!!!!!!
Vetoraceleração
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0x!!
A B
A
B
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Cap2-33
SistemasElectromecânicos
Parâmetroscaracterís<cos:
Ra-resistência–Ohm
La-indutância–Henry
ea-tensãodeentradanocircuitodaarmadura–Volt
ia-correntenocircuitodaarmadura-Ampere
vb-forçacontra-electromotriz–Volt
Tm–bináriodisponívelnoveiodomotor
Motordecorrenteconbnua
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Cap2-34
Motordecorrentecon�nua
O rotor gira num campo magnético
Força contra-eletromotriz
)(tmbm
bb ωKdt(t)dθKv ==
Equaçãodocircuitodaarmadura
aba
aaa e(t)vdtdiLiR =++
tensãodeentradanorotor
Forçacontra-electromotriztensãoaosterminaisdaresistência
quedadetensãonabobina
(s)E(s)V(s)sIL(s)IR abaaaa =++
sLR1
aa +
+
_
Ea(s)
Vb(s)
Ia(s) Θm(s)
bsK
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Cap2-35
Motordecorrentecon�nua
Binarioacessívelnoveiodomotor
atm IKT =t
maatm K
)s(T)s(I )s(IK)s(T ==
(proporcionalaia;Kt=Kb)
sLR1
aa +
+
_
Ea(s)
Vb(s)
Ia(s)Kt
Tm(s) Θm(s)
bsK
termo em θm
(s)E(s)sΘKK
(s)s)TL(Ramb
t
maa =++
termos em Tm
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Cap2-36
Motordecorrentecon�nua
(s)T(s)Ωβ(s)sΩJ mmmmm =+
EquaçãodoROTOR
(s)T(s)s)Θβs(J mmm2
m =+
)]t([TL)s( mm ω=Ω
sLR1
aa +
+
_
Ea(s)
Vb(s)
Ia(s)Kt
Tm(s))sJ(s
1mm β+
Θm(s)
bsK
Porreduçõessucessivasdodiagramadeblocos,obtenhaafunçãodetransferênciadomotor.
(t)ωβ(t)T(t)ωJ mmmmm −=!
mωVelocidadeangulardoveiodomotor
(t)θβ(t)T(t)θJ mmmmm!!! −=
( ) (s)θsK(s)E)sL(R
K(s)T mbaaa
tm −
+=
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Cap2-37
Motordecorrentecon�nua
SeLapuderserdesprezada(emcomparaçãocomRa)
(s)T(s)s)Θβs(J mmm2
m =+
(s)E(s)sΘKK
(s)s)TL(Ramb
t
maa =++
(s)E(s)sΘK(s)ΘK
s)βss)(JL(Rambm
t
m2
maa =+++
(s)E(s)sΘK)βs(JKR
ambmmt
a =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
)]RKK(β
J1s[s
)J/(RK(s)E(s)Θ
a
btm
m
mat
a
m
++=
a)s(sK
(s)E(s)Θ
a
m
+= FunçãodeTRANSFERÊNCIAdaforma
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Cap2-38
Controlodeposiçãodeummotordecorrentecon�nua
Sistema de controlo de posição angular do motor
a)s(sK
(s)E(s)Θ
a
m
+=
a)(sK+ s
1
Integrador (posicao angular é o integral da velocidade angular. Pólo em zero!)
Wm(s)Ea(s)
Θm(s)
Dinâmica da velocidade angular
asK+ s
1+_
K
Θm(s)
Ea(s)
R(s)
KKsasKK
R(s)(s)ΘG(s) 2
m
++==
Capítulo2-Modelação
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Cap2-39
Dinâmicadeconduçãodeumrobotmóvel
{R})t(y
)t(x
)t(θ
WY
{W} WX
vd(t)–velocidadelineardarodadireitave(t)–velocidadelineardarodaesquerdaL–distânciaentrerodas
2rodasmotorastraseiras2rodasdianteirasnãomotorizadas
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
+=
+=
L(t)v(t)v(t)θ
(t))sin(2
(t)v(t)v(t)y
(t))cos(2
(t)v(t)v(t)x
ed
ed
ed
!
!
!
θ
θ
Pergunta:Comovariamnotempoaposição(x,y)eorientaçãoθdoveículoemfunçãodasvelocidadeslinearesdasduasrodas?
Sistemade3equaçõesdiferenciaisnãolineares
rodasmotoras
Capítulo2-Modelação
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Cap2-40
Dinâmicadeconduçãodeumrobotmóvel
{R})t(y
)t(x
)t(θ
WY
{W} WX
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
+=
+=
L(t)v(t)v(t)θ
(t))sin(2
(t)v(t)v(t)y
(t))cos(2
(t)v(t)v(t)x
ed
ed
ed
!
!
!
θ
θ
Controlo:Quevaloresdevemterve(t)evd(t)paraqueoveículosigaumdeterminadocaminho?
rodasmotoras
Controlador
(x,y,θ)Coordenadasdocaminhoaseguir
ve
vd
Écombasenestemodelodosistema_sico(éummodelosimplificado)queseprojectaocontrolador
Capítulo2-Modelação
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Cap2-41
Linearização
v(t)f(t)
b
m f(t)
Força externa aplicada
Sistemanãolinear Aproximaçãolinear
Exemplo:carroaaltavelocidade
dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2
21 =−−
Velocidadeelevada Forçadeatrito:termolinear+termoquadráQco
221d v(t)βv(t)β(t)f −−=
Sistemanãolinear
Capítulo2-Modelação
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Cap2-42
Linearização:Exemplo
dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2
21 =−−
Condiçãodeequilíbrio
• Oqueéumasituaçãodeequilíbrio?• SeosistemaesQvernumasituaçãodeequilíbrioenãohouvernenhumaperturbação,elemantém-seindefinidamentenessasituação
• Osistemaestánumasituaçãodeequilíbrioquandoumaforçaexternaigualaaforçadeatrito
dinâmicanãolinear
evctev(t) ==
Caracterizaçãodoequilíbrio
0=dtdv(t) 0vβvβf 2
e2e1e =−−
2e2e1e vβvβf += Ospares(ve,fe)quesaQsfazemestarelação
sãopontosdeequilíbriodosistema
Sistemanãolinear Aproximaçãolinearemtornodeumasituaçãodeequilíbrio
Capítulo2-Modelação
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Cap2-43
Linearização:exemplo
Estudodocomportamentodosistemaemtornodeumasituaçãodeequilíbrio (ve,fe)
δv(t)vv(t) e +=
δf(t)ff(t) e +=
2e2e1e
e δv(t))(vβδv(t))(vβδf(t))(fdtδv(t))d(vm +−+−+=+
221 v(t)βv(t)βf(t)
dtdv(t)m −−=
Incrementospequenosemtornodoequilíbrio
????2e1e βδv(t))(vβδf(t))(fdt(t)dδm −+−+=v
???linear linearVe=cte.
Capítulo2-Modelação
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Cap2-44
Linearização:exemplo
???=+= 2e
2 δv(t))(vv(t)Apr.sériedeTayloremtornodopontodeequilíbriodesprezandoostermosnãolineares(ordemsuperiorà1ª)
...)xx(dxfd
21)xx(
dxdf)x(f)x(f 2
0xx
2
2
0xx
0
00
+−+−+≅==
Apr.sériedeTaylor
δv(t)2vvv(t) e2e
2 +≅ Desprezandotermosdeordemsuperior
δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt(t)dδm e
2e2e1e +−+−+=v
Éválidoparaincrementospequenos
v
v2
ve
Capítulo2-Modelação
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Cap2-45
Linearização:exemplo
δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt(t)dδm e
2e2e1e +−+−+=v
2e2e1e vβvβf += Condiçãodeequilíbrio
δv(t)vβδv(t)βδf(t)dt(t)dδm e21 2−−=v
δf(t)v(t))vβ(βdt(t)dδm e21 =++ δ2v Eq.
diferenciallinear
Funçãodetransferência)]v2β(β[sm
1δF(s)δV(s)
e21 ++=
Capítulo2-Modelação
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Cap2-46
Linearização:exemplo
Funçãodetransferência)]v2β(β[sm
1δF(s)δV(s)
e21 ++=
v(t)f(t)
dv(t)df(t)
Sistemanãolinear
SistemaLinearizado δf(t)v(t))vβ(βdt(t)dδm e21 =++ δ2v
f(t)v(t)βv(t)βdtdv(t)m 2
21 =++
• Relacionaincrementosnasaídacomincrementosnaentrada• Osincrementossãoemtornodeumdeterminadopontodeequilíbrio(ve,fe)
Alocalizaçãodopólodependedavelocidadedeoperaçãove
Capítulo2-Modelação
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Cap2-47
Pêndulo:Linearização
m
L
mg
θ
2c
mL(t)Tsinθ
Lg(t)θ =+!!(t)Tc
Nãolineardevidoaotermosinq
0T 0,θ c == Pontodeequilíbriodosistema
Paraqpequenos(pequenasperturbaçõesemtornodopontodeequilíbrio)
θsinθ ≅
2c
mL(t)Tθ
Lg(t)θ =+!!Modelolinearquedescreveo
comportamentodosistema,massóparaqpequenos
...0)(θdθθsin dθθsin
0θ
0θ+−+≅
=
=
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