Introdução ao Planejamento de Introdução ao Planejamento de ExperimentosExperimentos
Rochelle Costa
PROJETO DE EXPERIMENTOS
Introduzida por Fischer em 1935
Inicialmente aplicada a experimentos de agricultura
Agronomia, Biologia, Engenharia Química, Engenharia
Industrial e Engenharia da Qualidade
Inicialmente
Todas as áreas de conhecimento
Atualmente
Fortemente apoiada em conceitos estatísticos
A eficiência de experimentos assim projetados é superior em termos de informação a qualquer outra seqüência de não
estruturada de ensaios.
Otimizar o planejamento, execução e análise de um experimento
Objetiva
Se estruture uma seqüência de ensaios de forma a traduzir os objetivos preestabelecidos pelo pesquisador
Permite
Projeto de Experimentos
É utilizada na otimização de um SISTEMA
Avaliado por...
ProdutoProduto
ProcessoProcesso
ServiçoServiçoEx.: tênis para
absorver impacto
Ex.: treinamento
Indicadores de desempenho
Características de qualidade resultantes da sua operação
Ex.: Eficácia do treinamento em aumentar o VO2máx
Projeto de Experimentos
Influenciar o desempenho do
sistema
Fatores de ruído
Variáveis Intervenientes
Controle
Projeto de Experimentos
Objetivo central do projeto de experimentos
Maximizar o desempenho do sistema;
Minimizar custos;
Tornar o desempenho do sistema pouco sensível ao efeito dos fatores de ruído.
Procedendo uma avaliação estatística dos resultados para...
Assegurar respaldo científico;
Maximizar as informações obtidas.
Projeto de Experimentos
Fases do projeto de experimentos
Projeto de Experimentos
Objetivo do Experimento
Metodologia do Experimento
Planejamento Final e Execução do Experimento
Análise
Otimização
Trabalho em Equipe
Exige...
Conhecimentos Mercadológicos(Ex.: Lacunas na literatura)
Conhecimentos Técnicos(Ex.: Procedimentos para a coleta de dados)
Conhecimentos Estatísticos(Ex.:para selecionar e executar os testes adequados para cada experimento)
Projeto de Experimentos
Terminologias
Projeto de Experimentos
Parâmetros do Processo (Procedimentos Metodológicos)
Todos os fatores que podem ser alterados e que talvez tenham um
efeito sobre as variáveis dependentes.
Fatores Controláveis (Variáveis independentes)
São aqueles parâmetros dos procedimentos metodológicos que serão
estudados a vários níveis experimentais.
Variáveis de Resposta (Variáveis Dependentes)
São os parâmetros que serão medidos, avaliados pelo experimento.
Terminologias
Projeto de Experimentos
Fatores de Ruído (Variáveis Intervenientes)
São as variáveis que não podem ser controladas mas que afetam o
experimento. São responsáveis pelo erro experimental (variabilidade).
Fatores Constantes (Variáveis de Controle)
São os parâmetros que não entram no experimento e que são
mantidos constantes durante o estudo.
Etapas de um Experimento
1. Objetivo do Experimento (O QUÊ)
• Revisão de literatura – procurando as lacunas na literatura;
• Definir os objetivos gerais e específicos do estudo;
• Analisar a importância/relevância desses objetivos.
2. Metodologia do Experimento (COMO)
• Definir as variáveis dependentes associadas aos objetivos do estudo;
• Identificar outras variáveis de interesse;
• Identificar os procedimentos metodológicos;
• Identificar os fatores controláveis;
• Definir o número de níveis para cada variável independente;
• Definir possíveis interações entre as variáveis independentes;
• Identificar as restrições experimentais (limitações do estudo);
• Escolher o modelo estatístico do experimento.
Projeto de Experimentos
Projeto de Experimentos
Etapas de um Experimento
3. Planejamento Final e Execução do Experimento
• Escrever o delineamento experimental;
• Definir a ordem das coletas (aleatorização);
• Definir os procedimentos de coleta (uniformização);
• Desenhar as planilhas de coleta de dados;
• Executar o experimento e anotar os resultados.
4. Análise
• Realizar a análise dos dados;
• Criar uma tabela com os dados descritivos;
• Elaborar gráficos dos efeitos dos fatores principais;
• Elaborar gráficos das interações significativas.
Projeto de Experimentos
Etapas de um Experimento
5. Otimização
• Modelar individualmente cada variável dependente;
V.D. = f (F.C.)
• Definir uma função objetivo:
L = f1 (V.D.) → L = f2 (F.C.)
• Otimizar, isto é, achar o ajuste dos fatores controláveis que
minimiza/maximiza L.
• Verificar a consistência da solução.
Aplicações Práticas dos Resultados
ANOVA ONE-WAYANOVA ONE-WAY
COMPARAÇÃO DE VÁRIOS GRUPOS
(One-Way Analysis of Variance)
Técnica estatística desenvolvida por R. A. Fisher.
Consiste em um procedimento que decompõe, em vários componentes
identificáveis, a variação total entre os valores obtidos no experimento.
Cada componente atribui a variação a uma causa ou fonte de variação
diferente.
O número de causas de variação ou “fatores” depende do delineamento
da investigação.
ANOVA One-Way
Quando utilizar?
Experimentos que envolvem:
• 1 Variável Dependente
• 1 Variável Independente a vários níveis (grupos)
ANOVA One-Way
Variação global é subdividida em duas frações:
Variação entre as médias dos vários grupos, quando comparadas com a
média geral de todos os indivíduos do experimento – representa o efeito
dos diferentes tratamentos.
Variação entre as unidades experimentais de um mesmo grupo ou
tratamento, com relação à média desse grupo – representa as diferenças
individuais, ou aleatórias, nas respostas.
Variação TotalVariação entre
tratamentosVariação dentro dos
tratamentos= +
ANOVA One-Way
Variação entre os grupos experimentais = variância entre os tratamentos
Variância Entre
Variação dentro do mesmo tratamento = média das variâncias de cada grupo, sendo chamada Variância Média Dentro dos Grupos
Variância Intra
...Como representa também a fração da variabilidade que não é explicada pelo efeito dos tratamentos
Variância Residual
Variância do Erro Experimental
ou
ANOVA One-Way
O teste de comparação entre os efeitos dos tratamentos baseia na
pressuposição de que os k tratamentos A, B, ... podem originar médias
diferentes, mas a variação entre os indivíduos (σ²) é igual em todas as
populações que estão sendo comparadas.
Em outras palavras...
H0 : μA = μB = ... = μk
Supondo homocedasticidade, ou seja...
σ²A = σ²B = … = σ²K = σ²
ANOVA One-Way
Dessa forma, deduz-se que se houver efeito diferencial entre tratamentos, a
variação entre eles deve ser maior que a variação dentro do mesmo
tratamento.
Variância Variância EntreEntre
Variância Variância IntraIntra>>
Variância Entre
Variância Intra> 1
vs. tabelaH0
H0
Razão F de VariânciasRazão F de Variâncias
ANOVA One-Way
Cálculos para obtenção das variâncias entre e intra
Variável Dependente: flexibilidade
Variável Independente: treinamento (3 tipos)
T1T1 T2T2 T3T3
(i=1) (i=2) (i=3) Total
1 5 2 ----
3 7 0 ----
---- 8 3 ----
n 2 3 3 8
Σx = Ti 4 20 5 29
Σx² 10 138 13 161
x 2 6,7 1,7 ----
s 1,41 1,52 1,53 ----
Incremento flexibilidade
(x)
Tabela 1 Incremento nos níveis de flexibilidade (variando de 0 a 10) em indivíduos submetidos a três tipos de treinamento (T).
ANOVA One-Way
Causas variação SQ GL QM Fcalc F5%;2;5
Entre tratamentos 44,55 2 22,28 9,82 5,79
Intra trat. (resíduo) 11,33 5 2,27 ---- ----
Total 55,88 7 ---- ---- ----
Tabela 2 Análise da variância realizada com os dados da Tabela 1.
SQ = soma dos quadrados; GL = graus de liberdade; QM = quadrado médio
SQ Total SQt = Σx² - C
QM Intra ou QM ResidualQMi = SQi / GLi
Termo de Correção CC = (Σx)²/Σn
SQ Intra ou SQ Residual SQi = SQt – SQe
SQ Entre
Σ(T²n ) - CSQe =
GL TotalGLt = (Σn) – 1
GL Entre GLe = k -1
GL Intra ou GL ResidualGLi = (Σn) – k
QM EntreQMe = SQe / GLe
Fcalc
Fcalc = QMe/QMi
ANOVA One-Way
Fcalc = 1 Se H0 verdade Variância Entre = Variância Intra
Porém...
Mesmo sendo H0 verdadeira, podem se esperar diferenças aleatórias
entre as variâncias entre e intra porque os experimentos são realizados
com amostras. Assim, existe a possibilidade que Fcalc flutue, ao acaso, ao
redor de 1, sem que isso indique um efeito diferencial nos tratamentos.
Então...
Para testar a significância do valor de F obtido no experimento, isto é,
verificar se o valor de Fcalc difere de 1 ao acaso ou por efeito dos
tratamentos, compara-se este valor com um Ftabelado. Este estipula o
limite para uma diferença aleatória entre as variâncias entre e intra.
Tabela F
GL entre
GL intra
Tabela F
ANOVA One-Way
Se...
FFcalccalc << F Ftabeladotabelado
Não há ≠ entre os tratamentos já que a
variação observada entre populações é da
mesma ordem daquela observada dentro
das populações.
FFcalccalc >> F Ftabeladotabelado Há ≠ entre as populações.
9,82 > 5,79
Fα;glN;glD
ANOVA One-Way
Resumindo...
1. Ho: μ1 = μ2 = μ3
H1: existe alguma diferença entre essas médias.
2. α = 0,05
3. GLnumerador (entre) = k – 1 = 3 – 1 = 2
GL denominador (intra) = (Σn) – k = 8 – 3 = 5
Então, F0,05;2;5 = 5,79
4. Fcalc = 9,82 > F0,05;2;5 = 5,79.
Rejeita-se H0
ANOVA One-Way
Condições para o uso da ANOVA
Variâncias amostrais (s²) devem ser semelhantes nas diferentes amostras;
Os dados devem ter distribuição normal.
Amostras iguais
Amostras ≈ iguais
n n
ANOVA é válida ...
ANOVA
FC
4786.745 2 2393.372 10.035 .000
7870.912 33 238.512
12657.657 35
Between Groups
Within Groups
Total
Sum ofSquares df Mean Square F Sig.
Output
ANOVA One-Way
ANOVA One-Way
Valor F significativo na ANOVA
Porém...
Quais tratamentos são diferentes entre si
Comparações Múltiplas entre MédiasComparações Múltiplas entre Médias
μA μB μA μC μB μC
Porque não fazer vários testes t ?
N de médias (k)Nível de significância usado no teste
0,05 0,01 0,001
2 0,05 0,01 0,001
3 0,14 0,03 0,003
4 0,26 0,06 0,006
5 0,40 0,10 0,010
6 0,54 0,14 0,015
10 0,90 0,36 0,044
ANOVA One-Way
Tabela 3 Valores dos níveis de significância usados nos testes de acordo com o número de médias testadas.
ANOVA One-Way
Semelhantes ao teste t, porém...
Levam em conta o número
de comparações feitas no
experimento.
A variância dentro dos grupos é estimada
usando o QM resíduo, que é baseado em
todas as amostras, enquanto no teste t a
variância é estimada com base em duas
amostras apenas.
Comparações Múltiplas entre MédiasComparações Múltiplas entre Médias
Mais usados...
• Teste de Tukey
• Teste de Student-Newman-Keuls (SNK)
• Correção de Bonferroni
Multiple Comparisons
Dependent Variable: FC
-9.68167 6.30493 .288 -25.1527 5.7893
-27.82000* 6.30493 .000 -43.2910 -12.3490
9.68167 6.30493 .288 -5.7893 25.1527
-18.13833* 6.30493 .019 -33.6093 -2.6673
27.82000* 6.30493 .000 12.3490 43.2910
18.13833* 6.30493 .019 2.6673 33.6093
-9.68167 6.30493 .320 -25.8423 6.4789
-27.82000* 6.30493 .000 -43.9806 -11.6594
9.68167 6.30493 .320 -6.4789 25.8423
-18.13833* 6.30493 .025 -34.2989 -1.9777
27.82000* 6.30493 .000 11.6594 43.9806
18.13833* 6.30493 .025 1.9777 34.2989
-9.68167 6.30493 .134 -22.5091 3.1458
-27.82000* 6.30493 .000 -40.6475 -14.9925
9.68167 6.30493 .134 -3.1458 22.5091
-18.13833* 6.30493 .007 -30.9658 -5.3109
27.82000* 6.30493 .000 14.9925 40.6475
18.13833* 6.30493 .007 5.3109 30.9658
-9.68167 6.30493 .403 -25.5840 6.2207
-27.82000* 6.30493 .000 -43.7224 -11.9176
9.68167 6.30493 .403 -6.2207 25.5840
-18.13833* 6.30493 .021 -34.0407 -2.2360
27.82000* 6.30493 .000 11.9176 43.7224
18.13833* 6.30493 .021 2.2360 34.0407
-9.68167 5.31566 -24.0385 4.6752
-27.82000* 6.30465 -44.8479 -10.7921
9.68167 5.31566 -4.6752 24.0385
-18.13833 7.15901 -37.4738 1.1971
27.82000* 6.30465 10.7921 44.8479
18.13833 7.15901 -1.1971 37.4738
(J) intensidade80 bpm
100 bpm
60 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
(I) intensidade60 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
100 bpm
60 bpm
80 bpm
100 bpm
Tukey HSD
Scheffe
LSD
Bonferroni
Dunnett C
MeanDifference
(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound
95% Confidence Interval
The mean difference is significant at the .05 level.*.
60 = 80 < 100
60 = 80
60 < 100
80 = 100
Comparações Múltiplas
Testes de Comparações Múltiplas
Teste de Tukey
Complemento à ANOVA;
Visa identificar quais as médias que, tomadas duas a duas, diferem
significativamente entre si;
Método que protege o testes de um aumento no nível de significância
devido ao grande número de comparações efetuadas;
Se forem utilizados k grupos experimentais, é possível realizar k(k – 1)/2
comparações de médias duas a duas.
Teste de Student-Newman-Keuls (SNK)
É similar ao Tukey, com exceção de que o valor crítico depende não do
número de tratamentos (k) envolvidos no experimento, mas do número de
médias incluídas (k´) na amplitude de médias que será sendo testada.
Testes de Comparações Múltiplas
Correção de Bonferroni
Consiste em corrigir o valor de α, calculando-se:
αBonf =αm
α = nível de significância global do experimentom = nº de comparações a serem realizadas
tBonf = xA - xB
√QMi( )1 1nA nB
+
É usada em muitos testes estatísticos;
No caso de comparações múltiplas após a ANOVA, o procedimento consiste
em calcular uma diferença entre médias usando a fórmula:
Vantagem: não requer que as várias comparações sejam independentes;
Desvantagem: produz um teste mais conservador que o Tukey, a menos
que seja usada uma correção (procedimento seqüencial de Holm).
Testes de Comparações Múltiplas
Teste de Dunnet
Teste utilizado para comparar uma média, geralmente a do grupo-controle,
com as demais;
Aplica-se quando o pesquisador não está interessado em realizar todas as
comparações possíveis, mas apenas as (k – 1) de cada tratamento com o
controle, aproveitando a vantagem de maior poder da análise de variância.
Teste de Scheffé
Teste menos poderoso que o de Tukey ou o SNK;
Especialmente útil nos casos dos contrastes múltiplos, quando se quer
comparar um grupo de tratamentos com outro, por exemplo, A2 + A3 contra A1.
Testes de Comparações Múltiplas
Apresentação dos Resultados
Treinamento A2 A1 A3
n 3 2 3
Média¹ 6,7 2,0 1,7
Treinamento n Média¹
A1 2 2,0a
A2 3 6,7b
A3 3 1,7a
Tabela 4 Modelo de apresentação dos resultados de uma comparação múltipla de médias.
Tabela 5 Modelo 2 de apresentação dos resultados de uma comparação múltipla de médias.
¹ Médias sublinhadas não diferem significativamente entre si pelo teste de Tukey (α =5%)
Modelo 1
¹ Médias indicadas pela mesma letra não diferem significativamente entre si pelo teste de Tukey (α =5%)
Modelo 2
• Termo de correção C → C = (Σx)²/Σn → C = (29)²/8 = 105,12
• SQ Total → SQt = Σx² - C → SQt = 161 – 105,12 = 55,88
• SQ Entre → SQe = Σ(T²n ) - C → 4² 20² 5²+ +
2 3 3- 105,12 = 149,67 – 105,12 = 44,55
• SQ Intra ou SQ Residual → SQi = SQt – SQe → 55,88 – 44,55 = 11,33
• GL Total → GLt = (Σn) – 1 → 8 – 1 = 7
• GL Entre → GLe = k -1 → 3 – 1 = 2
• GL Intra ou GLResidual → GLi = (Σn) – k → 8 – 3 = 5
• QM Entre → QMe = SQe / GLe → 44,55 / 2 = 22,28
• QM Intra ou QM Residual → QMi = SQi / GLi → 11,33 / 5 = 2,27
ANOVA One-Way
Cálculos da ANOVA
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