Lista 1 - Vetores - 1º EM
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1111
1. O que é necessário para determinar (caracterizar) uma: a) grandeza escalar? b) grandeza vetorial?
2. Em que consiste a orientação espacial?
3. Classifique os itens abaixo em grandeza escalar (E) e grandeza vetorial (V).
a) ( ) tempo b) ( ) velocidade c) ( ) massa d) ( ) temperatura e) ( ) força f ) ( ) deslocamento
4. A figura a seguir representa diversos segmentos orientados. Quantos vetores estão nela representados?
5. A respeito dos vetores representados abaixo, assinale verdadeiro (V) ou falso (F).
a) ( ) A�
= 4
b) ( ) A�
tem direção para a direita e sentido horizontal
c) ( ) A�
= 4
d) ( ) A�
= B�
e) ( ) B = 4 f) ( )A = B
g) ( ) A�
e B�
têm o mesmo sentido
h) ( ) A�
= - B�
6. Os vetores a seguir referem-se as questões I, II e III.
I. Indique qual dos vetores abaixo corresponde a .+ +�� � ��
A B C
II. Tomando por base o exercício anterior, pode-se afirmar que:
a) + + = + +�� � �� �� � ��
A B C C B A
( ) certo ( ) errado
b) + + = + +�� � �� �� � ��
A B C C B A
( ) certo ( ) errado
III. Determine .+ +�� � ��
A B C Adote o lado do quadrado como
unidade. 7. Dados os vetores representados a seguir, determine seu vetor soma.
8. Determine o módulo do vetor soma de �� �
A e B representados
abaixo.
Dados: 10 10= =�� �
A B
a) ��A
�
B
b)
120°
�
B
��
A
A
B
A
B
C
XY
W
Z
Q
A
BC
D
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2
c)
�
B
��
A
9. Na figura, estão desenhados dois vetores ( ).�� ��
X e Y Estes vetores
representam deslocamentos sucessivos de um corpo. Qual é o
módulo do vetor igual a ?+�� ��
X Y
a) 4 cm b) 5 cm c) 8 cm d) 13 cm e) 25 cm
10. Três vetores de módulos iguais podem ser arranjados de forma a terem resultante nula? Justifique sua resposta.
Observação: Por “resultante”, entenda-se vetor soma.
11. Quando escrevemos ,−��
X o sinal ( – ) indica que o vetor é
negativo. ( ) certo ( ) errado
12. De maneira geral, + = +�� � � ��
A B B A
( ) certo ( ) errado
13. De maneira geral, − = −�� � � ��
A B B A
( ) certo ( ) errado
14. O produto de um vetor ��
A não nulo por um número real diferente
de zero é sempre um vetor que conserva a direção de .��
A ( ) certo ( ) errado
15. O produto de um vetor ��
A não nulo por um número real diferente
de zero é sempre um vetor que conserva o sentido de .��
A ( ) certo ( ) errado
16. Assinale a afirmativa correta.
a) Um vetor ,��
A de módulo 5, somado com um vetor ,�
B de
módulo 7, dá como resposta um vetor que tem sempre módulo 12.
b) A adição vetorial tem a propriedade comutativa, isto é,
.+ = +�� � � ��
A B B A
c) Dois vetores horizontais têm como soma um vetor de módulo sempre maior que zero.
d) A soma de um vetor �
A de direção vertical ( )0≠��
A com
um vetor �
B de direção horizontal pode dar como soma um vetor nulo.
17. Na figura, �
a e �
b são vetores paralelos ao eixo y e, �
c e �
d ,
paralelos ao eixo x. Sabendo que os quatro vetores têm o mesmo módulo, assinale a alternativa incorreta.
a�
b�
c�
d�
a) = = =� � � �
a b c d
b) = −�
�
a b
c) 0+ =� �
�
a b
d) 2+ =� � �
a b a
e) 2+ =� � �
b c a
18. Dados dois vetores �
x e �
y de módulos respectivamente 3 e 5, é
correto afirmar sempre que:
a) 8+ =�
�
x y
b) 2− =� �
x y
c) >�
�
x y
d) 2 8≤ + ≤� �
x y
e) 3 5≤ + ≤� �
x y
19. Represente, no quadriculo a seguir, os vetores:
�
R = 3�
i �
S = 3−�
j �
T = 2�
i + 5�
j �
Q = 3�
i - 3�
j �
U = 5−�
i + 2�
j �
V = 5�
i - 2�
j
YX
1 cm
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3
Lista Complementar:
1. Na figura a seguir estão representados
os vetores a e b,� �
com
a 5 e b 8.= =�
�
Determine o
módulo do vetor s�
tal que
s a b= +� � �
.
53º
a�
b�
2. Para a situação do exercício
anterior, determine o ângulo
formado entre os vetores a e s.� �
53ºa�
b�
s�
θA
B
C
3. Seja x�
a resultante dos vetores a e b� �
representados abaixo.
Determine x .�
Dados: a 4 e b 8.= =�
�
a�
b�
60º
4. Determine o módulo da resultante dos vetores representados
abaixo, sabendo que x 6 e y 8.= =� �
y�
x�
5. Determine o módulo da resultante s�
dos vetores dados.
| a | | b | | c | = 5= =�
� �
120º
120º120º
a�
b�
c�
6. No exercício abaixo, temos x 5 e y 2.= =� �
Determine o
vetor d�
tal que d x y.= −�
� �
y�
x�
7. No caso a seguir, considere x 6 e y 4.= =� �
Determine o
módulo do vetor d�
tal que d x y.= −�
� �
x� y
�
120º
8. Na figura abaixo considere que cada divisão do “quadriculado”
tem medida 1 e que os vetores i e j� �
são perpendiculares
entre si. Represente os vetores a, b, c, d e e,� � � � �
em função de
i e j� �
.
a�
d�
c�
b�
e�
j�
i�
9. Uma grandeza física vetorial fica perfeitamente definida quando se lhe conhecem: A. ( ) valor numérico, desvio e unidade. B. ( ) valor numérico, desvio, unidade e direção. C. ( ) valor numérico, desvio, unidade e sentido. D. ( ) valor numérico, unidade, direção e sentido. E. ( ) desvio, direção, sentido e unidade.
10. São dados os vetores A e B.� �
Qual dos diagramas a seguir
representa o vetor C,�
soma A e B?� �
B�
A�
A. ( )
B�
A�
C�
B. ( )
B�
A� C
�
C. ( )
B�
A� C�
D. ( )
B�
A�
C�
E. ( )
B�
A�
C�
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4
11. Qual é a relação entre os vetores M, N, P e R� � � �
representados na figura?
P�� R
��
N��
M���
A. ( ) M N P R 0+ + + =��� �� �� �� �
B. ( ) P M R N+ = +�� ��� �� ��
C. ( ) P R M N+ = +�� �� ��� ��
D. ( ) P R M N− = −�� �� ��� ��
E. ( ) P R N M+ + =�� �� �� ���
12. A figura mostra três vetores A, B e C.� ��
De acordo com a
figura podemos afirmar que:
A�
B�
C�
A. ( ) A B C 0+ + =�� �� �� �
B. ( ) A B C= −�� �� ��
C. ( ) B A C− =�� �� ��
D. ( ) A B C+ =�� �� ��
E. ( ) A B C= +� ��
13. Na figura abaixo estão desenhados dois vetores ( )x e y .� �
Estes vetores representam deslocamentos sucessivos de um
corpo. Qual é o módulo do vetor igual a x y?+� �
(A escala da
figura é 1:1.)
y�
x�
1 cm
1 cm
A. ( ) 4 cm B. ( ) 5 cm C. ( ) 8 cm D. ( ) 13 cm E. ( ) 25 cm
14. A resultante dos três vetores 1 2 3F , F e F� � �
mostradas na figura
é:
1F�
2F�
3F�
1R��
2R��
3R��
4R��
5R��
A. ( ) 1R��
B. ( ) 2R��
C. ( ) 3R��
D. ( ) 4R��
E. ( ) 5R��
15. Nas figuras seguintes estão representados pares de vetores
( )x e y ,� �
nos quais cada segmento orientado está subdividido
em segmentos unitários.
90º
y�
x�
y�
x�
x�
y�
120º
90º
x�
y�
y�
x�
60º
1 2 3
4 5
Quais destes pares têm a mesma resultante?
A. ( ) 1 e 5 B. ( ) 2 e 4 C. ( ) 3 e 5 D. ( ) 2 e 3 E. ( ) 2 e 5
16. Dados os vetores U, V, X, Y e W�� �� �� �� ���
de mesmo módulo,
qual das relações abaixo está correta?
U��
V��
X��
Y��
W���
60º 120º
A. ( ) U W Y+ =�� ��� ��
B. ( ) X W U+ =�� ��� ��
C. ( ) X Y U+ =�� �� ��
D. ( ) X Y V U+ + =�� �� �� ��
E. ( ) U V Y W+ + =�� �� �� ���
17. Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de raio
e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo da soma dos três vetores determinados pela posição desse ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas, 12 horas e 20 minutos e, por fim, 12 horas e 40 minutos é, em cm, igual a:
A. ( ) 30 B. ( ) ( )10 1 3+
C. ( ) 20 D. ( ) zero 18. O vetor representativo de uma certa grandeza física possui a
intensidade igual a 2. As componentes ortogonais desse vetor
medem 3 e 1. Qual o ângulo que o vetor forma com a sua
componente de maiôs intensidade?
19. No gráfico abaixo estão representados três vetores a, b e c.� � �
Os vetores i e j� �
são unitários. Analise as expressões:
a�
c�
b�
j�
i�
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5
(I) a 2i 3j= +� �� ��
(II) b 2j=����
(III) b c 1i+ = +���
�
Podemos afirma que: A. ( ) são corretas apenas a (I) e a (II). B. ( ) são corretas apenas a (II) e a (III). C. ( ) são corretas apenas a (I) e a (III). D. ( ) são todas corretas. E. ( ) há apenas uma correta.
20. Represente o vetor soma dos seguintes vetores: A) B) C)Y
ZX M
PN N K
T
D)A
B
B
C
E)D E
E
F
F)
A
B C
D
E
G)
X
Y
Z
T
U
H)O
O
2V��
1V��
1V��
2V���
I)
21. Dados dois vetores a e b� �
de soma S�
e diferença
D a b,= −�� � �
esboce, num só diagrama, as quatro grandezas
vetoriais citadas.
22. Dado o conjunto de vetores, marque V para as equações verdadeiras e F para as falsas.
y�
z�
v�
u�
w���
s�
x�
A. ( ) y z s+ =
�� �
B. ( ) ( )x w y z+ = − +� � � �
C. ( ) y w z x+ + = −� � � �
D. ( ) s x u v− = +� � � �
E. ( ) u v s x 0+ + + =� � � � �
F. ( ) u x y z v 0− + + + − =� � � � � �
23. São grandezas escalares:
A. ( ) tempo, deslocamento e força. B. ( ) força, velocidade e aceleração. C. ( ) tempo, temperatura e volume. D. ( ) temperatura, velocidade e volume.
24. Observe a figura. Ela nos informa que:
B�
C�
A�
A. ( ) A B C+ =�� �� ��
B. ( ) C A B+ =�� �� ��
C. ( ) 2 2 2
C A B 0+ − =�� �� �� �
D. ( ) B C A+ =�� �� ��
E. ( ) 2 2 2
A B C+ =�� �� ��
25. No esquema estão representados os vetores
1 2 3 4v , v , v e v .� � � �
A relação vetorial correta entre esses
vetores é:
4v�
3v�
1v�
2v�
A. ( ) 1 4 2 3v v v v+ = +� � � �
B. ( ) 1 2 3 4v v v v 0+ + + =� � � � �
C. ( ) 1 3 4 2v v v v+ + =� � � �
D. ( ) 1 4 2v v v+ =� � �
E. ( ) 1 3 4v v v+ =� � �
26. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares
entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a: A. ( ) 4 B. ( ) um valor compreendido entre 12 e 16 C. ( ) 20 D. ( ) 28 E. ( ) um valor maior que 28
27. Assinale a alternativa errada. Dado o número real k e o vetor
v,�
então:
A. ( ) o vetor u kv=� �
tem o mesmo sentido de
v se k 0.>�
B. ( ) o vetor w kv=� �
tem sentido contrário de
v se k 0.>�
C. ( ) a direção de g kv=� �
é sempre igual à direção de v�
qualquer que seja k ≠ 0.
D. ( ) se a direção de g kv=� �
é diferente da direção de
v, k 0.<�
28. Determine o vetor soma S�
em cada caso a seguir, calculando
o seu módulo e o ângulo formado com a horizontal:
a) 60o
5 U 8 U
5 U
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6
b)
10 U
20 U
α
cosα= 0,8
senα= 0,6
1
10 U
29. Determine o vetor diferença D A B= −�� �� ��
em cada caso a seguir, calculando seu módulo e o ângulo formado com a horizontal: a)
60o
A��
B��
|A| = 8 U��
|B| = 3 U��
b)
α α
B��
A��
sen α
cos α
| A | | B | 20N= =�� ��
30. Determine o vetor X��
que satisfaz cada equação vetorial abaixo:
4.(5N 4M + X) = 0−�� ��� ��
30o
M���
N��
M = 2 = 1N
���
��
31. Qual das relações abaixo não é satisfeita pelos vetores a
seguir:
A B
CD
IH
GF
E
A. ( ) B + D = C�� �� ��
B. ( ) A + C = H + I�� �� �� �
C. ( ) E + D H = G−�� �� �� ��
D. ( ) A + B E + G = I−�� �� �� �� �
E. ( ) I G = H + F−� �� �� �
32. Dados:
a = 13, b = 19 e a + b = 24,
calcular a b−
� � � �
� �
33. Quais condições devem satisfazer os vetores a e b� �
para que
se tenham as relações seguintes:
α
b�
a�
a) a + b = a b−� � � �
b) a + b > a - b� � � �
c) a + b < a b−� � � �
34. No esquema a seguir, as cargas positivas A e B repelem a carga C com forças de 15N e 7N, respectivamente. Determine o módulo da força resultante na carga + C.
++
+
7N 15N
7m
5m3m
A B
C
35. Define-se velocidade relativa de um de um móvel A em relação
a um móvel B pela equação vetorial
AB A BV = V V−�� �� ��
ABV��
= velocidade de A em relação a B.
AV��
= velocidade de A em relação a Terra.
BV��
= velocidade de B em relação a Terra.
Determine ABV��
nos seguintes casos:
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7
VA = 10 m/s
VB = 4 m/s
a)
AV��
BV��
VA = 2 m/s
VB = 3 m/s
b)
AV��
BV�� 60º
VB = 7 m/s
VA = 15 m/s
c)
d)
20 m/s
20 m/s
αα
cos α = 0,8
sen α = 0,6
AV��
BV��
36. Considere a figura abaixo. Determine os vetores (a)
P�
; (b) R��
; (c) S�
; (d) Q��
, em termos dos vetores A��
e B��
.
R��
Q��
A��
P��
S�
B��
37. Determine os módulos dos componentes da resultante e o módulo da resultante da soma de dois deslocamentos vetoriais
a�
e b�
. Suponha que os vetores¨ a�
e b�
possuam os
seguintes componentes em relação a um sistema cartesiano ortogonal:
ax = 4, bx = - 2; ay = 0, by = 5; az = 3, bz = - 1
38. Dois vetores são dados por: ˆ ˆ ˆa 3i 2 j k= − −�
e
ˆ ˆ ˆb 3i j 2k.= − −�
Determine:
a) a b+� �
b) a b−� �
c) a b− +� �
39. Dados dois vetores ˆ ˆa 2i j= −�
e ˆ ˆb i j= −�
, determine o
módulo e a direção de a�
, de b�
, de ( a b−� �
), de
( a b+� �
) e de ( b a−� �
).
40. Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um
plano: 2 m de Norte para Sul, 4 m de Oeste para Leste e 12 m de baixo para cima numa direção que forma um ângulo de 60º com a direção Oeste-Leste. Escolha o eixo Ox apontando no
sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: a) os componentes de cada deslocamento, b) os componentes do deslocamento R resultante, c) o módulo, a direção e o sentido do deslocamento
resultante.
41. Considere o problema 38. Determine o vetor 3a 2b−� �
.
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