MATEMÁTICA
Aula 31
Sistemas Lineares
OBTENÇÃO DA INVERSA( dispositivo prático)
Calcular o det A
Matriz dos cofatores (Ac)
Transposta da matriz dos cofatores (Ac)t
tc
1 )A.(Adet
1A =-
Pode-se ter:
det A ≠ 0 - A é inversível ou não singular.
det A = 0 - A é não inversível ou singular.
Exemplo de aplicação:
Obter a inversa da matriz
A = ˙˚
˘ÍÎ
È
3210
Resolução:
1) det A = fi≠-=-= 022.13.03210
inversível.
2) Matriz dos cofatores: Ac = ˙˚
˘ÍÎ
È
-
-
0123
3) Transposta da matriz dos cofatores:
(Ac)t =
t
0123
˙˚
˘ÍÎ
È
-
- = ˙
˚
˘ÍÎ
È
-
-
0213
4) ˙˚
˘ÍÎ
È-=˙
˚
˘ÍÎ
È
-
-
-==-
012
12
3
0213
.2
1)A.(
Adet1
A tc
1
Propriedades da inversa
A-1 é única.
(A-1)-1 = A.
(A.B)-1 = B-1. A-1.
(A-t)-1 = (A-1)t.
Propriedades da inversa
A . A-1 = I fi det(A . A-1) = det I
fi det A . det A-1 = det I
fi Adet
1Adet 1 =-
Elemento bij da inversa
bij da A-1 = Adet
Adaadocofator ji
Exemplo de Aplicação
Sendo A = ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
--
-
-
213230121
,
qual o elemento da terceira linha e primeira coluna de sua inversa?
A = ˙˙˙
˚
˘
ÍÍÍ
Î
È
--
-
-
213230121
b31 da A-1 = ( )
119
111330
.1
AdetAdaadocofator
31
13 =-
--
=
+
Teorema de Cramer
{(x1, x2, x3, ..., xn)} = ˛˝¸
ÓÌÏ
˜̃¯
ˆÁÁË
Ê
DD
,...,DD
,DD
,DD n321
D : determinante do sistema.
Di : troca-se a iésima coluna pela independente.
Exemplo de Aplicação:
Sabendo que x, y e z são números reais e
( ) ( ) ( ) 03zyxzyx2 222 =-+-+-+
quanto vale x + y + z ?
Resolução:
ÔÓ
ÔÌ
Ï
=++
=+-
=-+
fiÔÓ
ÔÌ
Ï
=-
=-
=-+
3z1y0x00z0y1x10z1y1x2
03z0yx
0zyx2
D = 3D100011112
-=fi-
-
D = 3D100011112
-=fi-
-
Dx = 3D103010110
X -=fi-
-
133
DD
x x =-
-==fi
D = 3D100011112
-=fi-
-
Dy = 3D130001102
y -=fi
-
133
D
Dy y =
-
-==fi
D = 3D100011112
-=fi-
-
Dz = 9D300011012
z -=fi- 339
DD
z z =-
-==fi
{(x,y,z)} = {(1,1,3)}
x + y + z = 1 + 1 + 3 = 5
MÉTODO DE GAUSS(escalonamento)
Exemplo:
x -1 x -2 +
+
ÔÓ
ÔÌ
Ï
=+
=--
-=+-
)c(5zy3
)b(1z3y
)a(2zyx
2
2
1
ÔÓ
ÔÌ
Ï
=++
-=--
-=+-
)c(1z3yx2
)b(1z2y2x
)a(2zyx
1
1
1
x 3
+
V = {(1;2;-1)}
ÔÓ
ÔÌ
Ï
=+
=--
-=+-
)c(5zy3
)b(1z3y
)a(2zyx
2
2
1
ÔÓ
ÔÌ
Ï
=-
=--
-=+-
)c(8z8
)b(1z3y
)a(2zyx
3
2
1
ÔÓ
ÔÌ
Ï
-=fi=-
=fi=--
=fi-=+-
1z8z82y1z3y1x2zyx
Top Related