MATEMÁTICA

Aula 31

Sistemas Lineares

OBTENÇÃO DA INVERSA( dispositivo prático)

Calcular o det A

Matriz dos cofatores (Ac)

Transposta da matriz dos cofatores (Ac)t

tc

1 )A.(Adet

1A =-

Pode-se ter:

det A ≠ 0 - A é inversível ou não singular.

det A = 0 - A é não inversível ou singular.

Exemplo de aplicação:

Obter a inversa da matriz

A = ˙˚

˘ÍÎ

È

3210

Resolução:

1) det A = fi≠-=-= 022.13.03210

inversível.

2) Matriz dos cofatores: Ac = ˙˚

˘ÍÎ

È

-

-

0123

3) Transposta da matriz dos cofatores:

(Ac)t =

t

0123

˙˚

˘ÍÎ

È

-

- = ˙

˚

˘ÍÎ

È

-

-

0213

4) ˙˚

˘ÍÎ

È-=˙

˚

˘ÍÎ

È

-

-

-==-

012

12

3

0213

.2

1)A.(

Adet1

A tc

1

Propriedades da inversa

A-1 é única.

(A-1)-1 = A.

(A.B)-1 = B-1. A-1.

(A-t)-1 = (A-1)t.

Propriedades da inversa

A . A-1 = I fi det(A . A-1) = det I

fi det A . det A-1 = det I

fi Adet

1Adet 1 =-

Elemento bij da inversa

bij da A-1 = Adet

Adaadocofator ji

Exemplo de Aplicação

Sendo A = ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

--

-

-

213230121

,

qual o elemento da terceira linha e primeira coluna de sua inversa?

A = ˙˙˙

˚

˘

ÍÍÍ

Î

È

--

-

-

213230121

b31 da A-1 = ( )

119

111330

.1

AdetAdaadocofator

31

13 =-

--

=

+

Teorema de Cramer

{(x1, x2, x3, ..., xn)} = ˛˝¸

ÓÌÏ

˜̃¯

ˆÁÁË

Ê

DD

,...,DD

,DD

,DD n321

D : determinante do sistema.

Di : troca-se a iésima coluna pela independente.

Exemplo de Aplicação:

Sabendo que x, y e z são números reais e

( ) ( ) ( ) 03zyxzyx2 222 =-+-+-+

quanto vale x + y + z ?

Resolução:

ÔÓ

ÔÌ

Ï

=++

=+-

=-+

fiÔÓ

ÔÌ

Ï

=-

=-

=-+

3z1y0x00z0y1x10z1y1x2

03z0yx

0zyx2

D = 3D100011112

-=fi-

-

D = 3D100011112

-=fi-

-

Dx = 3D103010110

X -=fi-

-

133

DD

x x =-

-==fi

D = 3D100011112

-=fi-

-

Dy = 3D130001102

y -=fi

-

133

D

Dy y =

-

-==fi

D = 3D100011112

-=fi-

-

Dz = 9D300011012

z -=fi- 339

DD

z z =-

-==fi

{(x,y,z)} = {(1,1,3)}

x + y + z = 1 + 1 + 3 = 5

MÉTODO DE GAUSS(escalonamento)

Exemplo:

x -1 x -2 +

+

ÔÓ

ÔÌ

Ï

=+

=--

-=+-

)c(5zy3

)b(1z3y

)a(2zyx

2

2

1

ÔÓ

ÔÌ

Ï

=++

-=--

-=+-

)c(1z3yx2

)b(1z2y2x

)a(2zyx

1

1

1

x 3

+

V = {(1;2;-1)}

ÔÓ

ÔÌ

Ï

=+

=--

-=+-

)c(5zy3

)b(1z3y

)a(2zyx

2

2

1

ÔÓ

ÔÌ

Ï

=-

=--

-=+-

)c(8z8

)b(1z3y

)a(2zyx

3

2

1

ÔÓ

ÔÌ

Ï

-=fi=-

=fi=--

=fi-=+-

1z8z82y1z3y1x2zyx