Facilitador: Ervino Paulo Vogelmann
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Resolver Cálculos de Percentagem, Regra de Três Simples e Composta, Juros Simples e Compostos e problemas envolvendo Proporções e Progressões.
CRONOGRAMA e CONTEÚDO
Carga Horária: 16 h
Encontros: 04
Início: 20/01/11 à 10/02/11
CRONOGRAMA e CONTEÚDO
Matemática Financeira Básica
1. Cálculo de Porcentagem
2. Cálculo de Juros Simples
3. Cálculo de Juros Compostos
4. Cálculo de Regra de Três Simples
5. Cálculo de Regra de Três Composta
6. Cálculo de Proporções
7. Cálculo de Progressões.
MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRAFINANCEIRA
Filipe S Martins/Adaptado Por Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4
OPA!
O que já sei sobre MATEMÁTICA FINANCEIRA?
REVISÃO
• Prioridade na Resolução dos Cálculos
Ex:
25 – 12 x 2 = ?
( ÷ x ) e ( + - )
25 – 12 x 2 =
25 – 24 =1
Fator Multiplicante
• Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação.
ADM1170 - Matemática Financeira - Prof.: André de Almeida Jaques
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TaxaFator Multiplicador
Acréscimo Decréscimo5,0% 1,050 0,950
10,0% 1,100 0,9008,0% 1,080 0,920
22,0% 1,220 0,78056,0% 1,560 0,44012,6% 1,126 0,87480,0% 1,800 0,20038,0% 1,380 0,62090,0% 1,900 0,100
Porcentagens
140 / 35 = 4
* 100 = 400 %
5 % = 5 / 100 = 0,05
0,087 = 0,087 x 100 = 8,70%
• Porcentagem
% por cento Para inserir a porcentagem num
cálculo, dividi-se por 100 o valor da taxa:
Ex.: Se um imóvel for vendido por R$ 300.000,00 então minha comissão de 5 % será calculada da seguinte forma:
05,0100
5%5
Comissão = 300.000 x 5%
Comissão = 300.000 x 0,05
Comissão = R$ 15.000,00
Operações sobre Mercadorias
• Preço de Custo e Venda
PV = PC + LC
Exercícios
1. Um comerciante comprou um terreno por R$ 32.500,00. Conseguiu vendê-lo por R$ 70.000,00. Qual o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra?
PV = PC + L
PV = R$ 70.000,00
PC = R$ 32.500,00
70000 = 32500 + LL = 70000 - 32500
L = R$ 37.500,00
100%
x%
100% x%37500
32500
32500 * x = 37500 * 100
x = 3750000 / 32500
x = 115,38%
Exercícios
1. A cliente comprou um apartamento por R$ 120.000,00 e quer vendê-lo por R$ 150.000,00. Qual o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda?
PV = PC + L
PV = R$ 150.000,00
PC = R$ 120.000,00
150000 = 120000 + LL = 150000 - 120000L = R$ 30.000,00
100%
x%
100% x% 30000
150000
150000 * x = 30000 * 100
x = 3000000 / 150000
x = 20,00%
3. Uma pessoa, tendo adquirido um relógio por R$ 380,00, só conseguiu vendê-lo com um prejuízo de 12% sobre o custo. Por quanto vendeu o relógio?
MATEMÁTICA MATEMÁTICA FINANCEIRAFINANCEIRA
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REGRA DE TRES
SIMPLES E COMPOSTA
TAXAS DE JUROS E TIPOS
DE AMORTIZAÇÕE
S
REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊS
Se a distância para ir foi 300 passos em 5 minutos e para voltar já dei 600 Passos. Quantos passos preciso voltar para chegar em casa?
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três
deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos
três já conhecidos.
Regra de três simples
Passos utilizados numa regra de três simples:
• 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
• 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
29
Regra de três simples30
Regra de três simples31
Regra de três simples
Devemos, portanto, relacionar as grandezas diretamente proporcionais e encontrar a incógnita em questão. 2ºExemplo:– Com o consumo de água em 10 dias é de 500m³,
qual será a quantidade de água consumida em 50 dias?
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32
10 500
50 X
32500
10
000.25
000.2510
5005010
mX
X
X
X
Regra três SimplesADM1170 - Matemática Financeira - Prof.: André de Almeida
Jaques34
Regra três Simples35
Regra três Simples36
Regra três SimplesADM1170 - Matemática Financeira - Prof.: André de Almeida
Jaques37
REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊS
Se a distância para ir foi 300 passos em 5 minutos e para voltar já dei 600 Passos. Quantos passos preciso voltar para chegar em casa?
Regra de três Composta
Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três
deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos
três já conhecidos.
Regra três compostaRegra de três compostas é o relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou a mistura dessas situações. – Exemplo:– Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
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Horas Caminhões
Descarga
8 20 160
5 X 125
25
800000.20125
160
5
160125
16020
5
8
X
XX
X
Regra três composta
Exercício:
– Em 90 dias, 10 operários constroem 1200m de barragem. Em quantos dias 15 operários levarão para construirem 3.200m de barragem?
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Dias Operários
Metros
Regra três composta
Exercício:
– Em 90 dias, 10 operários constroem 1200m de barragem. Em quantos dias 15 operários levarão para construirem 3.200m de barragem?
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42
Dias Operários
Metros
90 10 1200 x 15 3200
Regra três composta
Exercício:
– Em 90 dias, 10 operários constroem 1200m de barragem. Em quantos dias 15 operários levarão para construirem 3.200m de barragem?
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Dias Operários
Metros
90 10 1200 x 15 3200
Regra três composta
Exercício:
– Um Escritório de Contabilidade precisou de 05 Técnico em Contabilidade que trabalharam 14 horas para fazer 140 declaração de IRPF. Quantos Técnicos serão necessários para fazer 380 Declarações em 14 horas?
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Técnicos Horas IRPF
Regra três composta
Exercício:
– Um Escritório de Contabilidade precisou de 05 Técnico em Contabilidade que trabalharam 14 horas para fazer 140 declaração de IRPF. Quantos Técnicos serão necessários para fazer 380 Declarações em 14 horas?
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Técnicos Horas IRPF05 14 140 x 14 380
Regra três composta
Exercício:
– Um Escritório de Contabilidade precisou de 05 Técnico em Contabilidade que trabalharam 14 horas para fazer 140 declaração de IRPF. Quantos Técnicos serão necessários para fazer 380 Declarações em 14 horas?
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Técnicos Horas IRPF05 14 140 x 14 380
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos.
Introdução à amortização
Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!
Existem vários sistemas de amortização de dívidas. Os dois principais são:
Sistema de Amortização Constante (SAC):
A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
Introdução à amortização
Sistema Price ou Francês (PRICE):
Os pagamentos (prestações) são iguais.
Introdução à amortização
Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:
Pagamento = Amortização + Juros
Introdução à amortização
Sistema Price (Sistema Francês) Todas as prestações (pagamentos) são iguais.Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado Vf=300.000,00 pelo coeficiente K dado pela fórmula
Introdução à amortização
Sistema Price (ou Sistema Francês)
n JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65
Sistema de Amortização Constante (SAC) Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 12 meses. A taxa (i) = 2,5 a.m. Valor Financiado 30.000,00
Introdução à amortização
Sistema de Amortização Constante - SAC
n JurosAmortização doSaldo devedor
PagamentoPrestação
Saldo devedor
0 0 0 0 30.000,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Sistema Price (Sistema Francês)Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 12 meses. A taxa (i) = 2,5 a.m. Valor Financiado 30.000,00
Introdução à amortização
Sistema de Amortização Francês (PRICE)
n JurosAmortização doSaldo devedor
PagamentoPrestação
Saldo devedor
0 0 0 0 30.000,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
QUAL A DIFERENÇA VERIFICADA ENTRE OS DOIS DIFERENTES SISTMAS DE AMORTIZAÇÃO?
SAC – Sistema de Amortização Constante
PRICE – Sistema Francês de Amortização
Introdução à amortização
Sistema Price (Sistema Francês)Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 06 meses. A taxa (i) = 1,5% a.m. Valor Financiado 23.800,00
Sistema de Amortização Francês - PRICE
N JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 23.800,00
1
2
3
4
5
6
Total
Sistema de Amortização Constante – (SAC)Preencha as informações na tabela abaixo referente a um financiamento de uma máquina em 06 meses. A taxa (i) = 1,5% a.m. Valor Financiado 23.800,00
Sistema de Amortização Constante - SAC
N JurosAmortização doSaldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 23.800,00
1
2
3
4
5
6
Total
QUAL A DIFERENÇA VERIFICADA ENTRE OS DOIS DIFERENTES SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO?
Quais os Juros Totais no Sistema SAC?Qual a média dos juros verificados nos 06 meses?
Quais os juros Totais no Sistema PRICE?Qual a média dos juros verificados nos 06 meses?
Introdução à amortização
REVISANDO REVISANDO JUROS SIMPLES E COMPOSTOJUROS SIMPLES E COMPOSTO
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4ª Aula – 10/02/2011 - 4ª Aula – 10/02/2011 -
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MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
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JUROS SIMPLES e COMPOSTO
S
Regime Processo de funcionamento
Simples Somente o principal rende juros.
CompostosApós cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros.
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Fórmulas Para Juros Simples
C Capital
n número de períodos
j juros simples decorridos n períodos
r taxa percentual de juros
i taxa unitária de juros (i = r / 100)
P Principal ou valor atual
M Montante de capitalização simples
j = P i n
j = P r n / 100
M = P + j = P (1 + i n)
FV = PV + j = PV (1 + i n)
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EXERCÍCIO
1. Qual os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:
j = P i n
j = 1.250,00 x 0,14 x 4 =
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EXERCÍCIO
1. Qual os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:
j = P i n
j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00
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EXERCÍCIO
j = P i n
2. Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:
j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 =
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EXERCÍCIO
j = P i n
2. Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por:
j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
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EXERCÍCIO
1. Um estudante foi solicitar financiamento estudantil FIES e deparou-se com a seguinte informação: Para Financiar 100% do curso o valor da mensalidade não pode ser inferior a 60% da renda familiar.
Valor da semestralidade do curso: 6.870,00Valor da renda familiar: 1.850,00
Neste caso, verifique se o estudante tem direito a 100% de financiamento?
Raciocínio:
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
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EXERCÍCIO
2. Você comprou um telefone celular e parcelou em 10 X R$14,00.
Após o pagamento da 7ª prestação você terá pago quantos por cento da dívida?
Sabendo que no pagamento à vista o desconto seria de 10%. Qual seria o custo do telefone?
Raciocínio:
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
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EXERCÍCIO
3. Fernando emprestou R$ 4.000,00 cobrando juro de 4% a.m, sendo combinado que o valor seria pago após 05 meses. Qual o Valor final a ser pago?
M = C + j
J = C*i*t
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
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Montante Simples
Montante simples
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa,
usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas:
M = P + j = P (1 + i n)
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Montante Simples
EXERCICIO
1. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização
simples?
M = P + j = P (1 + i n)
Objetivo: M=2PDados: i=150/100=1,5 Fórmula: M=P(1+in)
Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logon = 2/3 ano = 8 meses
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
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Montante Simples
EXERCICIO2. Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril
do mesmo ano?
PeríodoNúmero de dias
De 10/01 até 31/01 21 dias
De 01/02 até 28/02 28 dias
De 01/03 até 31/03 31 dias
De 01/04 até 12/04 12 dias
Total 92 dias
Contagem do tempo
Fórmula para o cálculo dos juros exatos:
j = P r (d / 365) / 100
j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05
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Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.
Juros compostos
Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderíamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
Tempo Data Valor Principal Juros Montante
0 01/01/94 100,00 0 100,00
1 01/02/94 100,00 50,00 150,00
2 01/03/94 150,00 75,00 225,00
3 01/04/94 225,00 112,50 337,50
4 01/05/94 337,50 168,75 506,20
5 01/06/94 506,25 253,13 759,38
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Juros compostos
Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00 em 01/01/94, poderíamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.
Juros Compostos são juros sobre juros
A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:
S1=100(1,5)1
S2=100(1,5)2
S3=100(1,5)3
S4=100(1,5)4
S5=100(1,5)5
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Juros compostos
Cálculo de juros Compostos
J = P [(1+i)n-1]
Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?
Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.
n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano
Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1.
A fórmula empregada é:J = P [(1+i)n-1]
J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21
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EXERCICIO1.Fernando emprestou R$ 4.000,00 a taxa de juros de 4% ao mês A devolução se dará em 05 meses e capitalizados mês a mês. Qual o montante final a receber?
Juros compostos
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EXERCICIO1.Fernando emprestou R$ 4.000,00 a taxa de juros de 4% ao mês A devolução se dará em 05 meses e capitalizados mês a mês. Qual o montante final a receber?
Juros compostos
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EXERCICIO2. Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Qual o montante final?
Juros compostos
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EXERCICIO2. Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Qual o montante final?
Juros compostos
No cálculo, tivemos
R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408
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EXERCICIO2. Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. Qual o montante final?
Juros compostos
No cálculo, tivemos R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408
100% R$ 1.000
102% M M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte)
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Juros compostosNo cálculo, tivemos R$ 1.000 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02= R$ 1.000 (1,02)5 = R$ 1.000 1,10408
100% R$ 1.000
102% M M = R$ 1.020,00 (esta é a nova base de cálculo para o período seguinte)
CAPITAL MONTANTE
2º período: R$ 1.020,00 1,02 = R$ 1.040,40
3º período: R$ 1.040,40 1,02 = R$ 1.061,21
4º período: R$ 1.061,21 1,02 = R$ 1.082,43
5º período: R$ 1.082,43 1,02 = R$ 1.104,08
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
Ervino Paulo Vogelmann para CTC-4
3. Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.
Juros compostos
M = C (1 + i)n(1 + i)n
n i
2% 3% 4% 5%
9 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133
10 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889
11 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034
12 1,26824 1,42576 1,60103 1,79586
13 1,29361 1,46853 1,66507 1,88565
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3. Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.
Juros compostos
M = C (1 + i)n
C = R$ 600i = 4% = 0,04n = 12M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 0,04)12 M = 600 (1,04)12 M = 600 1,60103
M = R$ 960,62
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4. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
Juros compostos
j = M - C
Resolução: C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C (1 + i)n
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4. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
Juros compostos
j = M - C
Resolução: C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C (1 + i)n
M = C (1 + i)n M = 500 (1,05)8 M = R$ 738,73
MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA
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1.1200 galinhas produzem 60 dúzias de ovos/dias.Em quantos dias elas produzirão 380 dúzias?
REGRA DE TRES
EXERCICIO
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EXERCICIO2. 800 trabalhadores produzem 28.200 metros de muros.
Quantos trabalhadores serão necessários para construir 72.000 metros?
REGRA DE TRES
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EXERCICIO3.Um carro viajando a 80 km por hora, percorre 240 km em 03
horas, qual a velocidade necessária, para cumprir o trajeto em 2 horas?
REGRA DE TRES
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