Matemática - Módulo 1

TEORIA DOS CONJUNTOS

1. Considerações iniciais

O capítulo que se inicia trata de um assunto que, via-de-regra, é abordado em um plano secundário dentro dos temas que norteiam o ensino médio. Entretanto, para o vestibular do ITA é necessário o conhecimento mais profundo do tema, principalmente no que tange às propriedades em breve indicadas e aos conceitos de complementar e diferença .

Embora seja possível resolver todos os exercícios relativos à Teoria dos Conjuntos apenas com noções intuitivas, um dos objetivos desse material é iniciar o aluno em uma linguagem matemática mais elaborada e elegante. Com isso, é possível estabelecer uma base sólida para o melhor entendimento dos capítulos subseqüentes e para a resolução dos exercícios.

Feito o parêntese inicial, o ponto de partida da Teoria dos Conjuntos é admitir que conjunto e elemento de um conjunto são conceitos primitivos(aceitamos como conhecidos sem definição), e não conceitos definidos. Para esclarecer a diferença entre os dois: na geometria euclidiana, os conceitos ponto , reta e plano são primitivos; a partir deles, são definidos os demais conceitos (circunferência, segmento de reta, polígono, etc...). Observações: 1) o conceito primitivo elemento de um conjunto deve ser levado ao pé da

letra, ou seja, não se discute se x é elemento ou não, mas sim se x é elemento de determinado conjunto ou não.

2) Um conjunto pode ser representado por uma letra maiúscula de nosso alfabeto; ou por uma lista ordenada de todos os elementos desse conjunto (com ou sem repetição) entre chaves;ou pela forma: { x

U : A(x) }, em que A(x) é uma propriedade cuja finalidade é selecionar elementos de U; ou ainda pela representação gráfica proposta pelo matemático John Venn(1834-1923) , conforme expresso abaixo:

= { Verde, Vermelho, Violeta } = conjunto das cores cujos nomes se iniciam pela letra V .

3) Existe um conjunto sem elementos denominado CONJUNTO VAZIO, indicado por { } ou . Essa observação consiste em um postulado( = axioma; é uma proposição aceita como verdadeira sem demonstração, ao contrário dos chamados teoremas).

Verde Vermelho

Violeta

2. SUBCONJUNTOS

2.1.Def.: dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento

de A é elemento de B, isto é:

x

U, x

A

x

B. Neste caso, diz-se

que A está contido em B ou B contém A ( B

A ). O conjunto U,

denominado CONJUNTO UNIVERSO, é fixo e contém todos os conjuntos

que possam ser envolvidos.

Convém atentar que, se existir ao menos um elemento de A que não

pertença a B, ter-se-á A B. Em outras palavras, temos que

A B

x U : x A x B.

2.2.Propriedades e observações importantes

1) A, temos A A ( inclusive

!!! ) propriedade reflexiva;

2) A, temos

A;

3) Se A tem n elementos, então o número de subconjuntos de A é 2n. Esse é

um exercício de Análise Combinatória elementar, tente fazê-lo!

4) A B e A B A = B propriedade anti-simétrica;

5) Atentar para a diferença entre pertinência e inclusão: enquanto um

elemento pertence

a um conjunto, um subconjunto está contido

em um

conjunto (mesmo que a esse subconjunto pertença apenas um elemento!).

3. UNIÃO ou REUNIÃO

3.1.Def: Denomina-se União de A com B

ao conjunto dos elementos que

pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. Assim, escrevemos

A

B = { x

U : x

A

x

B }. Essa simples definição traz consigo

algumas propriedades interessantes:

1) A B = B A (propriedades comutativa da União)

2) (A B) C = A (B C) (propriedade associativa da União)

3) A

= A

4) A B A B = B

5) A A = A

6) A

B e A

B A

A B

B

4. INTERSECÇÃO

4.1.Def: Chamamos intersecção de A com B

ao conjunto dos elementos

comuns aos conjuntos A e B. Isso equivale a dizer que

A B = { x U : x A x B }.

4.2. Propriedades

1) A B = B A (Propriedade comutativa)

2) (A B) C = A (B C) (Propriedade associativa)

3) A (B C) = (A B) (A C)

4) A (B C) = (A B) (A C) (Propriedades distributivas)

5) A B A B = A

6) A

=

7) A B C (A B) (A B)

8) A A = A

5. DIFERENÇA

5.1.Def.:Dados dois conjuntos A e B, chamamos diferença entre A e B

ao

conjunto dos elementos de A que não são elementos de B (veja figura

acima), isto é: A B = { x U : x A x B }.

5.2.Propriedades

1) (A B) A

2) (A B) (B A) =

3) A - = A e

- A =

4) A (A B) = A B

6.COMPLEMENTARIDADE

6.1.Def.: Dados dois conjuntos A e X com A

X (atenção!!), denomina-se

complementar de A em relação a X ao conjunto:

CXA = { x

X : x

A }.Verificar as diferenças entre complementaridade e

diferença!

Obs.: se o conjunto X não for especificado, infere-se que X = U e

neste caso é usual indicar o complemento de A por _

A ou AC.

6.2.Propriedades importantíssimas!

1) A AC =

2) A AC = U

3) (AC)C = A

4) A BC = A B

5) (A B)C = AC BC (relações de Morgan prove!)

6) (A B)C = AC BC

7) B A A B = CAB

8) ( )C = U

9) A BC = A A B =

7.PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÃO

7.1.Def.: Dados os conjuntos A e B, chamamos produto cartesiano de A por

B

ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y) em que x e y pertencem,

respectivamente, a A e B: A X B = { (x;y) : x A y B }.

7.2.Observações e propriedades

1) Se A = ou B = , por convenção tem-se A X B =

2) para o produto cartesiano não existe comutação, ou seja, A X B pode

não ser igual a B X A. Entretanto, esta operação possui propriedades

distributivas :

i) A X (B C) = (A X B) (A X C)

ii) A X (B C) = (A X B) (A X C)

iii) (A B) X C = (A X C) (B X C)

7.3.Def.: Dados os conjuntos A e B, denomina-se relação de A em B

a

qualquer subconjunto de A X B. As mais importantes relações são as

chamadas FUNÇÕES, mas este é um assunto para o capítulo seguinte.

Antes disso, alguns exercícios:

8.Questões do ITA de 1969 a 2001

1- (ITA-1969) Sejam R o conjunto dos números reais e C um subconjunto de

R. Definimos SUPREMO de C(sup(C)) como sendo o número real L

satisfazendo às seguintes condições:

i) L é maior ou igual a qualquer número pertencente a C;

ii) Dado um número real L < L, existe sempre um número x de C tal que

x >L .

Seja C o conjunto dos números naturais menores do que 11. Uma das

afirmações abaixo, relativas ao conjunto C, é verdadeira. Assinale-a.

a) L = 9

b) L = 10

c) L = 11

d) L = 12

e) não existe sup(C)

2- (ITA-1974) Sejam A, B e C conjuntos contidos num mesmo conjunto U.

Seja x um elemento de U. Seja

CBA = { x

U : x

B e x

A }, então

CC(A B) é igual a:

a) CCA CCB

b) CCA CCB

c) CAB

d)

e) nda

3- (ITA-1985) Seja X um conjunto não vazio e sejam A e B dois subconjuntos

de X. Define-se AC = { x X : x A } e A B = {x A:x B}. Dadas

as sentenças:

1. A B =

A BC B AC;

2. Se X = R; A = {x

R; x3 1 = 0} ;

B = { x

R ; x2 1 = 0 } ;

C = { x

R; x 1 = 0 },

então A = C = B.

3. A - = A

4. A B A BC

Podemos afirmar que está(ão) correta(s):

a) As sentenças 1 e 3.

b) As sentenças 1, 2 e 4 .

N n ;6

n!sen

n!(-1)

A n

c) As sentenças 3 e 4 .

d) As sentenças 2, 3 e 4.

e) Apenas a sentença 2.

4- (ITA-1987) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de R. Assinale a

alternativa correta:

a) Se F G e G F, então necessariamente F = F G.

b) Se F G é o conjunto vazio, então necessariamente F = R .

c) Se F G e G F, então F G = F G.

d) Se F G = F, então necessariamente G F.

e) Se F G e G R, então (F G) G = R.

5- (ITA-1988) Sejam A, B e C subconjuntos dos números reais. Então:

a) (A B)C = AC BC

b) (A B)C = AC BC

c) Se A B, então AC BC

d) (A B) CC = (AC C)C (BC C)C

e) A (B C)C = (A BC) (A CC)

6- (ITA-1989) Sejam A, B e C subconjuntos não vazios de R. Dadas as

igualdades abaixo:

1. (A B) X C = (A X C) (B X C)

2. (A B) X C = (A X B) (B X C)

3. (A B) A (B A) B

4. A (B C) = (A B) (A C)

5. (A B) (B C) = (A C) (A B)

Podemos afirmar que:

a) 2 e 4 são verdadeiras

b) 1 e 5 são verdadeiras

c) 3 e 4 são verdadeiras

d) 1 e 4 são verdadeiras

e) 1 e 3 são verdadeiras

7- (ITA-1995) Seja o conjunto:

Qual o conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A é o próprio A?

a) (- , -2] [2, )

b) (- , -2]

c) [-2, 2]

d) [-2, 0]

e) [0,2)

8- (ITA-1995;questão convidada ) Visto que, para todo x

1 e n

N, vale

a desigualdade xn > n(x 1), temos como conseqüência que, para 0 < x < 1 e

n N, tem-se:

a) xn - 1 < [n(x + 1)]-1

b) xn - 1 < [(n + 1)(1 + x)]-1

c) xn - 1 < [n2(1 - x)]-1

d) xn - 1 < [(n + 1)(1 x)]-1

e) xn - 1 < [n(1 x)]-1

9- (ITA-1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as

seguintes afirmações:

i) (A B)C (B AC)C =

ii) (A BC)C = B AC

iii) [(AC B) (B A)]C = A

Sobre essas afirmações podemos garantir que:

a) apenas a afirmação (i) é verdadeira.

b) apenas a afirmação (ii) é verdadeira.

c) apenas a afirmação (iii) é verdadeira.

d) todas as afirmações são verdadeiras.

e) apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.

10- (ITA-1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere

as afirmações:

(i) Se (E X G) (F X H), então E F e G H.

(ii) Se (E X G) (F X H), então (E X G) (F X H) = F X H.

(iii) Se (E X G) (F X H) = (F X H), então (E X G) (F X H).

Então:

a) Apenas a afirmação (i) é verdadeira.

b) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.

c) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.

d) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

11- (ITA-2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto

finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A B) = 8, n(B C) = 10, n(A

C) = 9, n(A

B

C) = 11 e n(A

B

C) = 2. Então n(A)+n(B)+n(C) é igual

a:

a) 11

b) 14

c) 15

d) 18

e) 25

12- (ITA-2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não vazios. Com

respeito às afirmações:

(I) X { [ Y ( X Y )C ] [ X ( XC YC)C ] } = X

(II) Se Z X então ( Z Y ) [ X ( ZC Y ) ] = X Y

(III) Se ( X Y )C Z então ZC X.

temos que:

a) apenas (I) é verdadeira.

b) apenas (I) e (II) são verdadeiras.

c) apenas (I) e (III) são verdadeiras.

d) apenas (II) e (III) são verdadeiras.

e) todas são verdadeiras.

GABARITO

01 - B

02 - B

03 - A

04 - C

05 - E

06 - D

07 - C

08 - E

09 - A

10 - E

11 - D

12 - B