Matemática no Winplot
Tema: Funções do 2° grau e Construções Gráficas
Curso de Informática Educativa IProjeto de Aprendizagem- ExecuçãoCursista: Sandra de SouzaTutor: Luís Alberto Duncan Rangel
As aulas que antecedem a aula prática no laboratório de Informática, serão utilizadas para apresentação do conteúdo.
1ª aula:
Usando o retroprojetor, farei a apresentação do assunto que se dará da seguinte forma:
Onde aplicamos o conceito de parábolas?
- No lançamento de objetos: ao lançar um objeto (pedra, bola, etc.) almejando alcançar a maior distância horizontal e vertical, a curva descrita pelo objeto é o de uma parábola.
- As antenas parabólicas, também servem de exemplo.
Na sequência, apresentarei a Função do 2° grau e suas construções:
Chama-se Função Quadrática ou polinomial do 2° grau, qual função definida pela forma , onde a, b e c são valores reais e . São todas as funções polinomiais de grau 2.
Exemplos:
a)
b)
c)
:f cbxaxxf 2)(0a
1 e 4 ,3 onde ,143)( 2 cbaxxxf
1 e 0 ,1 onde ,1)( 2 cbaxxf
0 e 8 ,1 onde ,8)( 2 cbaxxxf
Raízes ou Zeros da Função do 2° grau
São os valores de , que anulam a função , ou seja, que tornam .
As raízes x’ e x’’ representam o corte da parábola, que representa a função, com o eixo .
Pontos Notáveis da Parábola
- Os pontos de intersecção da curva com o eixo (se existirem): x’ e x’’.
Para encontrarmos os pontos, resolvemos a equação utilizando a fórmula de Bháskara:
- Se , teremos duas raízes reais e distintas ;- Se , não teremos raízes reais;- Se , temos duas raízes reais e iguais.
cbxaxxfx 2)( de )(xf 0)( xf
ox
ox
acba
bx 4 onde ,2
2
0 ''' xx00
Podemos fazer um resumo das condições do discriminante e do coeficiente a:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
0 e 0: ase 0 e 0: ase
0 e 0: ase 0 e 0: ase
0 e 0: ase 0 e 0: ase
Vértice da Parábola
Vértice da parábola V(xv, yv)
- Se na função a parábola cortará acima da origem do plano cartesiano.
- Se a parábola cortará o eixo na origem do plano cartesiano.
- Se a parábola cortará o eixo abaixo da origem do plano cartesiano.
Fique Ligado
0 ),( cxfoy
,ocoy
,ocoy
O domínio e a Imagem da Função do 2° grau
- O conjunto domínio da função do 2° grau é o conjunto dos números reais .
- O conjunto imagem desta função é aquele formado pelas ordenadas de todos os pontos do gráfico, maiores ou iguais ou menores ou iguais a ordenada do vértice (yv).
D(f)
)0(para 4
/)Im(
)0(para 4
/)Im(
aa
yyf
aa
yyf
Valor Máximo ou Mínimo da função do 2° grau
- Se será o valor mínimo da parábola.
- Se será o valor máximo da parábola.
ayva
4 ,0
ayva
4 ,0
Ponto máximo
Ponto mínimo
Estudo do Sinal da Função do 2° grau
Para estudarmos o sinal da função do 2° grau devemos adotar o seguinte procedimento:
• Determinamos as raízes da função;
• Marcamos as raízes sobre o eixo (caso existam);• Analisamos a concavidade da parábola ;• Estudaremos o sinal da função.
oy
)0 ou 0( aa
Exemplo:
Estude o sinal da função .
Resolução:
65)( 2 xxxf
2'' e 3'01
4b065
2
2
xx
acxx
32para ,0)(3 ou 2para ,0)(3 ou 2para ,0)(
xxfxxxfxxxf
Gráfico da função do 2° grau
O Gráfico de uma função polinomial do 2° graucom é uma curva chamada Parábola. Logo podemos definir que:
• Se , a parábola terá a concavidade para cima.• Se , a parábola terá a concavidade para baixo.
cbxaxxf 2)(0a
0a0a
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função .
Primeiro atribuímos a x alguns valores, entre eles os zeros e o vértice da função, construímos o gráfico.
Resolução:
xxxf 2)(
Resumindo Tudo:
Olha a dica
Para construir uma função do 2° grau, temos que:
1° Determinar as raízes da função, se existirem.
2° Marcar os valores das raízes sobre o eixo x.
3° Calcular o vértice V(xv,yv) da parábola e marcar no plano cartesiano.
4° Marcar no eixo y o valor do coeficiente c.
5° Analisar a concavidade da parábola e traçar a curva passando pelos pontos marcados e apontar se a mesma possui ponto de máximo ou de mínimo.
Organizando as ideias sobre função quadrática, trabalhando com a forma fatorada (forma canônica).
• Forma Geral ou desenvolvida:
• Forma Canônica:
Exemplo – Vejam:
O gráfico representado terá o vértice deslocado dois para a direita e subira três unidades em relação a y.
Como “a” é positivo, sua concavidade será para cima.
cbxaxxf 2)(
vkxaxf 2)()(
3)2()( 2 xxf
Exemplo:
fatorando:
O gráfico não será deslocado na vertical (v=0), mas apenas na horizontal: se k=-3, desloca três para a direita em relação a origem.
Obs:. Após a explicação detalhada do conteúdo, com a participação ativa dos alunos interagindo com perguntas e contribuições, com exemplos pessoais, farei a proposta de atividade para a aula seguinte. Este trabalho foi desenvolvido em dois tempos de aula de 50 minutos.
,18122)( 2 xxxf )96(2 2 xx
2)3( 2)( xxf
Pedirei que tragam para aula seguinte, folha de papel milimetrado para construirmos alguns gráficos das funções quadráticas em sala com o meu monitoramento, tirando todas as dúvidas existentes.
Material solicitado:
• Papel milimetrado• lápis• Par de esquadros ou régua• Calculadora
2ª aula em classe
- Construção de gráficos das funções do 2° grau.Com os materiais solicitados que foram trazidos pelos alunos, farei a proposta de construção gráfica da função do 2° grau para iniciar a ação pedagógica em classe, acrescentando em um segundo momento uma constante numérica K a função inicial, chamando a atenção dos alunos para a translação do gráfico em relação ao eixo das ordenadas. Posteriormente acrescentarei uma constante numérica K a incógnita “x”, formando , fazendo os alunos visualizarem a translação do gráfico no eixo das abscissas.
2)( xxf
kxxf 2)(
2)()( kxxf
A atividade está programada para ser realizada em um tempo de aula de 50 minutos onde a turma será dividida em duplas. Após a construção dos gráficos, eu apresentarei no retroprojetor a imagem de cada construção para que os alunos possam visualizar, comparar e avaliar as suas construções.
1) Função polinomial do 2° grau – análise gráfica:
2) Fazendo gráficos para as funções:
2)( xxf
2 ou 2 onde ,2)( e 2)( 22 kkxxfxxf
3) Trabalhando com a construção gráfica da função:
Analisaremos cada caso, discutindo as construções e comparando com as construções realizadas pelos alunos para alcançarmos a compreensão do que foi construído.
2 ou 2 onde ,)2()( e )2()( 22 kkxxfxxf
3ª aula – No laboratório de Informática
Após a etapa inicial, em que os alunos em dupla estarão reconhecendo o programa Winplot e visualizando todas as etapas de execução do mesmo, farei a proposta de uma atividade para que todas as duplas coloquem em prática a execução do exercício no programa.
As atividades propostas no Winplot:
Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções a e b; e em outro, os gráficos das funções c e d.
a)
b) c)
d)
)( 2xxf
2)( 2xxf
)( 2xxf
2)( 2xxf
Atividade 1
Gráficos das funções c e d:
Atividade 2Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções a, b e c; em outro os gráficos das funções e, f e g.
a)
b)
c)
1)( 2 xxf
3)( 2 xxf
3)( 2 xxf
Atividade 2Gráficos das funções:
e)
f)
g)
12)( 2 xxf
23)( 2 xxf
45,0)( 2 xxf
Atividade 3Construa agora num mesmo gráfico, as funções quadráticas destacadas abaixo, utilizando as mesmas ferramentas do Winplot:
a)
b)
c)
2)1()( xxf
2)3()( xxf
2)1()( xxf
Coleta de dados:Ao término dos trabalho desenvolvidos em sala de aula e no laboratório de informática, pude analisar o grau de interesse e participação de todos os alunos envolvidos nas atividades e, concluí que o trabalho em dupla foi muito colaborativo e possibilitou a maior aplicabilidade das tarefas propostas e execução das mesmas foi além do esperado, em termos de retorno e aceitação por partes do alunos que conseguiram atingir quase 100% do que foi objetivado. Avaliação:Ao final de todas as etapas planejadas e executadas com êxito, pude observar a critério de avaliação que:
• Houve identificação entre as duplas para o desenvolvimento das tarefas;
• O assunto da tarefa proposta foi o foco principal das discussões;
• Utilizaram de forma correta as funções dadas para construir, compreender e comprovar as transformações ocorridas na construção gráfica usando, adequadamente, o programa Winplot como ferramenta;
• As duplas apresentaram a conclusão das tarefas propostas com uma boa análise dos aspectos observados nas construções e suas peculiaridades.
Conclusão: O projeto de aprendizagem-execução, foi integralmente baseado no projeto-planejamento da semana anterior. O mesmo teve como proposta, aproximar os alunos da praticidade que se alcança quando utilizamos o software Winplot, reconhecendo suas ferramentas e sua aplicabilidade nas funções do segundo grau. Para chegarmos ao resultado esperado, trabalhamos em sala de aula com explicações do assunto e com construções gráficas no papel milimetrado. Estas construções e visualização dos slides foram fatores determinantes para que a aula experimental no laboratório de informática ocorresse conforme o planejado. Os alunos se envolveram com o projeto de forma motivadora e puderam perceber a importância do software Winplot como uma grande ferramenta para ampliar a compreensão do assunto estudo.
Referencias bibliográficasLONGEN, Adilson. Uma Atividade Humana, 1ª edição, Curitiba 2003.
Coleção do Professor de Matemática: A Matemática do Ensino Médio, SBM.
IME.USP-SP: http: //www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ acessado em 24 de outubro de 2012.
http://guaiba.ulbra.br/seminario/eventos/2009/artigos/matematica/salao/503.pdf acessado em 23 de outubro de 2012.
http://www.sbempb.com.br/anais/arquivos/trabalhos/CC-8716291.pdfacessado em 16 de outubro de 2012.
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/114-2.pdf acessado em 17 de outubro de 2012. http://meta-matematica.blogspot.com.br/2008/07/atividade-com-o-winplot.html acessado em 18 de outubro de 2012. http://wwwp.fc.unesp.br/~arbalbo/arquivos/introducao_winplot.pdf acessado em 19 de outubro de 2012.
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