O problema da divisão dos 35 camelos da herança nos três irmãos na proporção a seguir:
Três irmãos : A metade do total B terceira parte do total C novena parte do total
Quantos camelos deve corresponder a cada irmão ?
Do livro : “O homem que calculava”, Malba Tahan
A solução de Beremiz
Beremiz pede ao amigo para doar o único camelo para completar 36 camelos e resolver o problema anterior, ele diz não se preocupar porque irá recuperar seu camelo. Logo A Irmão mais velho : recebe a metade de 36 = 36/2 = 18 B Irmão menor : recebe a terça parte de 36 = 36/3= 12, C O caçula : recebe a nona parte de 36 = 36/9= 4, total = 18+12+4 =34. Sobram dois camelos : 1 camelo vai para o amigo de Beremiz e o outro vai para o Beremiz, como pagamento por resolver o Problema.
Divisão em partes proporcionais
Exercício 1 João e André decidem trabalhar juntos vendendo mercadorias durante uma semana. João trabalhou em total 5 dias na semana, e André trabalhou em total 7 dias. O lucro pela venda das mercadorias é de R$ 480,00 no total. Esta quantia deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais aos dias trabalhados. Quanto irá receber cada um?
Quem ? Dias trabalhados Lucro R$ 480,00
João 5 dias x
André 7 dias y
Primeiro Método
Andre recebe João recebe .200)
12
5(480
,280)12
7(480
Lucro total = 480 r = 280 r + 200 r, ok
Solução
Solução
Lucro de João 5 K
Lucro de André 7K
Total 12 K
Lucro total 480 Reais = 12 K K = 480/12 = 40 Reais
João recebe = 5 K = 5 (40) = 200 Reais André recebe = 7 K = 7 (40) = 280 Reais
Segundo Método
Quantidade diretamente proporcionais
• Em uma gráfica, certa impressora imprime 100 folhas em 5 minutos. Quantos minutos ela gastará para imprimir 1000 folhas?
folhas tempo (minutos)
100 5
200 10
300 15
. .
1000 Y ?
Estamos considerando que a impressora trabalha ao mesmo ritmo sempre.
Quantidades diretamente proporcionais
• Duas quantidades X e Y são diretamente proporcionais se o quociente delas é uma constante.
KX
YSendo K uma constate.
No exemplo anterior : Y -> Tempo X -> Número de folhas impressas
KY
1000...
300
15
200
10
100
5 Y = ???
Tarefa : 3 pessoas forma uma cooperativa, a idade de cada um deles é 20 anos, 30 anos e 50 anos, respectivamente. O capital da cooperativa deve ser 4000 reais. Quanto deve aportar cada membro da cooperativa em reais, considerando que o valor a aportar seja proporcional a idade de cada um?. a) 1000, 2000, 1000, b) 1000, 1500, 2500, c) 800, 1200, 2000,
Resposta para o exemplo anterior : Y= 50 min.
solução
Idade e o capital aportado são quantidades proporcionais, segundo dados do problema, logo:
Em (*) : 20k+30k+50k = 4000, logo 100k=4000, k=40;
x = 20 (40)=800; y= 30 (40)=1200; z= 50 (40)= 2000,
resp: c
Idade (anos)
capital aportado (reais)
20 x
30 y
50 z
Sabemos : x+y+z = 4000.... (*)
kzyx
503020
X= 20 k Y= 30 k Z= 50 k
Quantidades diretamente proporcionais
• Dias trabalhos/ lucro (trabalho no mesmo ritmo).
• Folhas impressas/ tempo (impressão no mesmo ritmo).
• Espaço percorrido/ tempo (velocidade constante).
• Peso (saco da farinha) na balança / quantidade em kg.
(mesmo).
• Número de operários /tempo necessário para eles construírem uma casa (trabalho no mesmo ritmo).
estas quantidades são na verdade inversamente
proporcionais.
Teorema de Pitágoras
Exercício 3.- O cone circular reto do lado tem diâmetro 80 cm e a generatris g = 50cm , quanto mede a altura h do cone ?
Cone reto de base circular
Podemos calcular a altura deste cone?
Exercício 4.- Dois navios A e B partem simultaneamente em direções diferentes do mesmo porto: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 40 Km/h e o navio B com velocidade constante de 30 Km/h. Qual será a distância entre eles após 5 horas?
A
B porto
Teorema de Pitágoras
D=?
Y
X
O teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras estabelece que para qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa c é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos, a e b. Enunciando-se da seguinte forma : a2+b2=c2
c b
a
c hipotenusa a cateto b cateto
Triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras
• Se acredita que o matemático hindu Baudhayana (800 a. c.) desenvolveu o teorema antes do Grego Pitagoras.
• Pitágoras de Samos (580 a. c.- 500 a. c.).
• Existem mais de 400 formas diferentes de
demonstrar tal teorema, aqui vamos mostrá-los de duas formas diferentes.
http://www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w
Teorema de Pitágoras: primeira demonstração
Alguns triângulos Pitagóricos
,..24725
,12513
,435
222
222
222
c c
a b
a
b b
c
c
b a
a
a
b
a
c
As áreas dos dois quadrados são iguais (lados iguais).
Como as áreas das partes coloridas são iguais, percebe-se que as áreas das partes em branco devem ser iguais, logo : a2+b2 = c2
c a2
b2
c2
Teorema de Pitágoras: Segunda demonstração
Voltando ao exercício inicial
h
g
r
g = 50 cm r= D/2 = 40cm h = ???
Aplicando o teorema de Pitágoras h2+r2 = g2
h2 + 402 = 502 h 2+ 1600 = 2500 h2 =900, h= 30.30 h = 30, h=30cm
Exercício 4.- Dois navios A e B partem simultaneamente em direções diferentes do mesmo porto: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 40 Km/h e o navio B com velocidade constante de 30 Km/h. Qual será a distância entre eles após 5 horas?
A
B porto
D=?
Solução? Navio A 1h 40 km 5h ??
Navio B 1h 30 km 5h ??
Y
X
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