Derivada da função ImplícitaO que é uma função implícita?É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x.
É o oposto a função explícita:y = 3x2+5x+1 explícitaxy + y6 = x6 – seny implícitaCalculo da função implícita:Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar siga os seguintes passos:1- Derive cada termo como algo independente, considerando y=f(x);2- Separe o que tiver no 1º membro da equação e o que não tiver no 2º membro.3-Coloque em evidência no 1º membro da equação;
4- Isole na equação e teremos a derivada de f.
dx
dyxf =)('
dx
dy
dx
dy
dx
dy
Derivada da função ImplícitaObservação: Provavelmente a derivada também será uma função implícita, ou seja,
Exemplo: Encontre para a equação abaixo:
xy + y6 = x6 – seny
dx
dy
),( yxgdx
dy =
dx
dy
produtou.v
un
xn
senu
dx
dyyx
dx
dyyy
dx
dyx cos661. 55 −=++
yxdx
dyy
dx
dyy
dx
dyx −=++ 55 6cos6
Derivada da função Implícita
Exercícios:Considere y=f(x) derivável em D(f), determine para:
3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y(x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4
xcosy + ycosx = 1
( ) yxyyxdx
dy −=++ 55 6cos6
yxdx
dyy
dx
dyy
dx
dyx −=++ 55 66cos
yyx
yx
dx
dy
cos6
665
55
++−=
dx
dy
Problemas de Taxa de variaçãoInterpretação geométrica de f ’:
Taxa de variação:(a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a,b] é:
ou )()(
x
y
ab
afbftvm
∆∆=
−−=
)(')()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
ytg
xx=
∆−∆+=
∆∆=
→∆→∆β
x
xfxxf
x
ytg
∆−∆+=
∆∆= )()(α
β
x
y
x
xfxxftvm
∆∆=
∆−∆+= )()(
Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m). Determine o taxa de variação média do deslocamento em t ∈ [2,5]?
Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado.
v média = 7 m/s
smff
t
f/7
3
21
3
930
25
)2()5( ==−=−−=
∆∆
Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da variação de velocidade em relação ao tempo para t ∈ [1.3].
Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração média no intervalo calculado.
amédia = 3m/s2
(b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x se ∆x 0, ou seja, aplicando o limite quando ∆x 0.
2/32
6
2
1723
13
)1()3(sm
vv
t
v ==−=−−=
∆∆
)(')()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
yxx
=∆
−∆+=∆∆
→∆→∆
Problemas de Taxa de variaçãoA taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por :
f ’(x0)
Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (s) é dado por h(t) = − 16t2 + 100. Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a velocidade instantânea do objeto quando t = 1s.
h’(t) = − 32t h’(1) = − 32 pés/s.
Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se deslocando para baixo.
A
Problemas de Taxa de variaçãoAs aplicações das taxas de variação não são exclusividade do campo da física. É possível obter uma taxa de variação instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que determine o que se quer investigar.
Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro, receita e custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas.P é lucro : lucro marginal
R é receita: receita marginal
C é custo: custo marginal
dx
dP
dx
dR
dx
dC
Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x.(b)Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades.(c)Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades.
(a)
$11,50 por unidade
10²0006,0 += xdx
dP
( ) 50,1110²500006,0 =+=dx
dP
Problemas de Taxa de variação(b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando xaumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50).
Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação da oferta:
px – 20p – 3x + 105 = 0Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?
Problemas de Taxa de variação x – fornecimento de caixas (milhares) por dia; p – preço por caixa; t – dias; - variação de caixas fornecidas por dia;
- variação do preço por dia; x= 5 (mil) Se x = 5, então p.5 – 20.5 – 3x + 105 = 0 logo p = 6.Calculando a derivada (implícita) da função oferta:
Substituindo as informações:
4
1
1000
250 −=−=dt
dx
dt
dP
0320 =−−+dt
dx
dt
dP
dt
dxP
dt
dPx
04
1320
4
1.65 =
−−−−+
dt
dP
dt
dP
Problemas de Taxa de variação
Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas.
Exercícios:1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Sua função posição é h = − 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo (s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto?2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da pressão neste instante.
20
1
)15(4
33
4
115 −=⇒
−=⇒⋅=−
dt
dP
dt
dP
dt
dP
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