Matrizes Conceitos Básicos
São tabelas numéricas dispostas em filas horizontais e em filas verticais. As filas horizontais são chamadas de linhas e as filas verticais de colunas.
Sanches(in)forma: As matrizes são tabelas utilizadas em todos os ramos da ciência, na engenharia, na computação e etc.
5387410
02452
10221
x
A
33016
405
213
x
B
2210
01
x
C
Matrizes Conceitos Básicos
Matriz de ordem p por q de elementos mij,
onde i = nº de linhas e j = nº de colunas
M=
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m1q...... m2q
m31 m32 m33 m3q...
... ... ... ...
...
mp1 mp2 mp3 mpq...
Forma Literal de uma Matriz
As matrizes são representadas por letras maiúsculas e seus elementos, pela mesma letra minúsculas, acompanhadas de dois índices que representam a posição do elemento na matriz.Ex.: Seja a matriz M = (mij)pxq.
Matrizes Conceitos Básicos
Tipos de MatrizesAs matrizes podem ser classificadas segundo:
A natureza dos elementos
A forma
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a forma em:
Rectangular
Quadrada
Coluna
Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Se o número de colunas é igual a um
Se o número de linhas é igual a um
53
054421252043201
33
231310201
13
101
31221
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Real
Complexa
Nula
se todos os seus elementos são reais
ijij aAa :
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
CaAa ijij :
se todos os seus elementos são nulos
0: ijij aAa
100251
10251
i
000000
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior
Triangular Inferior
0: ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os elementos abaixoda diagonal principal são nulos
uma matriz quadrada em que os elementos acimada diagonal principal são nulos
0: ijij ajiAa
5000620003007211
5103022000250001
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Diagonal
Escalar
0: ijij ajiAauma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos
5000
0200
0040
0001
uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais
ij
ijij
aji
ajiAa 0:
2000020000200002
Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes ou Matriz Transposta
Seja A uma matriz de tipo mxn.Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
e escreve-se B=AT
5305442
12520
43201
A
35014
523
452
420
201
TA
jiji ab mjni ,....;,..., 11
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxnSegundo a natureza dos elementos em:
Simétrica
Densa
Dispersa
5740
7232
4301
0211
se os elementos aij são iguais aos aji
se a maioria dos seus elementos são não nulos
se a maioria dos seus elementos são nulos
Anti-Simétrica se a sua transposta for igual a sua oposta.
053
502
320
A
053
502
320TA
053
502
320
A
645046633
BAc
Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
342015321
A
303031312
B
3 3 6
6 4 05 4 6
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
njmibac
BACMCMBA
ijijij
nmnm
,,1,,1;
:,
Operações com Matrizes
Matrizes
ABBAMBA nm ,
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Elemento neutro
Elemento oposto ou simétrico
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm
AOAMOMA nmnm :
OBAMBMA nmnm :
Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm opostos
A soma de matrizes do mesmo tipo
Assim o conjunto M mxn forma um
Grupo Aditivo Comutativo
Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e um escalar
O produto de por A é uma matriz C
342015321
A
91260315963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por
njmiac
ACMAMA
ijij
nmnm
,,1,,1;
:
Operações com Matrizes
do mesmo tipo de A
Matrizes
AA
Operações com Matrizes
e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
AAA )(
BABA
AA1
Matrizes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...... a2n
a31 a32 a33 a3n...
... ... ... ...
...
am1 am2 am3 amn...mxn
A matriz resultante é formada pelo produto escalar interno de cada linha da 1ª matriz, por todas as colunas da 2ª matriz.
Multiplicação de Matrizes
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.
=
b1
b2
b3
...
bm
x1
x2
x3
...
xq
Operações com Matrizes
pxq mxq
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
=
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
15 29
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x33x3
8
2x3
12 15
15 29 27
Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por:
mxp
n
kjkkiji bac
1
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes
CBACBA
Operações com Matrizes
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e um escalar.
CBCACBA )(
CABACBA
BABABA
Matrizes
AATT
Operações com Matrizes
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e um escalar.
TTT BABA )(
TT AA
TTT ABBA
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