REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENZA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICADE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
NUCLEO: EDO. LARAUNEFA
*Oviedo Nairocknis *Peña Sergio*Sanchez Joonser*Suarez DanielSecc.: 5t3is
Método de Euler Es la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de variables , que dependen de . Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma:
Escogiendo un paso de t pequeño se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para calcular los valores de en el tiempo se necesitan conocer en el tiempo t. La fórmula sería:
Entonces para averiguar los valores de a cualquier t basta conocer sus valores iniciales (condiciones iniciales a y resolviendo iterativamente con un paso hasta llegar a ese valor de t.
http://www.youtube.com/watch?v=aB8_x7szgMA
Método de TaylorEste método utiliza la expansión de Taylor alrededor de un punto y puede alcanzar cualquier orden de error que se desee.La expansión de Taylor en un punto es:
podemos estimar los valores de y(x) truncando el desarrollo de Taylor. Por ejemplo, si consideramosla aproximación hasta el termino de grado 1 en h; es decir,
y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h " (usando la E.D.O.) " y(˜x + h) ! y(˜x) + hf (˜x, y(˜x))
es fácil deducir el método de Euler. Por tanto, el método de Euler es un método de aproximaciónde orden 1.
Método de taylor de orden 2Para obtener un método de orden 2 podemos considerar el desarrollo de Taylor truncado en el termino de h². Más concretamente, usando la aproximación
y(˜x + h) ! y(˜x) + y!(˜x)h + y!!( ˜x)h²/2
se obtiene un nuevo método de aproximación; a saber:
y0 = y(a)
yk+1 = yk + hy!k + h²/2 y!! k para k = 0, 1, . . . , n − 1
donde los valores de y!k e y!! k que aparecen en la expresión anterior se calculan desde la ecuación diferencial del P.V.I. como sigue:
y!k = f (xk, yk)
y!! k = f!x (xk, yk) + f!y (xk, yk) y!k
Ejemplo http://www.ugr.es/~lorente/APUNTESMNQ/cap22.pdf
Método de Runge-KuttaEs un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales.Se trata de un método por etapas que tiene la siguiente expresión genérica:
Donde:
i = 1,..., e
Con aij,bi,ci constantes propias del esquema numérico. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,..., e, los esquemas son explícitos.
Ejemplo:
Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = tn y otra en t = tn + Δtn. F (u, t) en la primera etapa es:
y para estimar F (u, t) en t = tn + Δtn usamos un esquema Euler
Con estos valores de F introducidos en la ecuación
nos queda la expresión:
Las constantes propias de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c2 = 1.
Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).
http://www.youtube.com/watch?v=Tsg7wTdvtLs
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2006A/EcDifOrdSupA06.pdf
http://www.edutecne.utn.edu.ar/eulerianas/6%20-%20Ecuaciones%20Diferenciales%20de%20Derivadas%20Parciales.pdf
Ecuaciones Diferenciales de orden superior.
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