Microeconomia I
Prof. Edson Domingues
Minimização de Custos
Referências
VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de Janeiro: Campus, 2003 (6a edição americana).
Capítulo 20
Minimização de custos
Uma firma minimiza os custos se produz qualquer nível de produção y 0 ao menor custo total.
c(y) denota o menor custo total possível de produzir y unidades.
c(y) é a função de custo total.
Minimização de custos
Quando a empresa observa um conjunto de preços de insumos w = (w1,w2,…,wn) a função de custo total pode ser escrita como
c(w1,…,wn,y).
O problema da minimização de custos
Considere uma firma que usa dois insumos e produz 1 produto.
A função de produção é
y = f(x1,x2). Tome um nível de produção y 0
dado. Dados os preços dos insumod w1 e
w2, o custo da cesta de insumos (x1,x2) é w1x1 + w2x2
O problema da minimização de custos
Dados w1, w2 e y, o problema da minimização de custos da firma é resolver
min,x x
w x w x1 2 0
1 1 2 2
sujeito a f x x y( , ) .1 2
O problema da minimização de custos
Os níveis x1*(w1,w2,y) e x1*(w1,w2,y) na cesta de insumos mais barata são as demandas condicionais pelos insumos 1 e 2.
O (menor possível) custo total para produzir y unidades é portanto
c w w y w x w w y
w x w w y
( , , ) ( , , )
( , , ).
*
*1 2 1 1 1 2
2 2 1 2
Demandas condicionais por insumos
Dados w1, w2 e y, como a cesta mais barata é encontrada?
E como a função de custo total é calculada?
Isocustos
Uma curva que contém todas as cestas de insumo com o mesmo custo toal é uma curva de isocusto.
E.g., dados w1 e w2, a isocusto de $100 possui a equação
w x w x1 1 2 2 100 .
Isocustos
Em geral, dados w1 e w2, a equação de isocusto de $c é
i.e.
Inclinação é - w1/w2.
xww
xc
w21
21
2 .
w x w x c1 1 2 2
Isocustos
c’ w1x1+w2x2
c” w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2
Isocustos
c’ w1x1+w2x2
c” w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
x2 Inclinação = -w1/w2.
A isoquanta de y’ unidades
x1
x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)?
f(x1,x2) y’
O problema da minimização de custos
x1
x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)?
f(x1,x2) y’
O problema da minimização de custos
x1
x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)?
f(x1,x2) y’
O problema da minimização de custos
x1
x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)?
f(x1,x2) y’
O problema da minimização de custos
x1
x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)?
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
O problema da minimização de custos
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
Num ponto de solução interior:(a) f x x y( , )* *
1 2
O problema da minimização de custos
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
Num ponto de solução interior:(a) e(b) inclinação da isocusto = inclinação da isoquanta
f x x y( , )* *1 2
O problema da minimização de custos
x1
x2
f(x1,x2) y’
x1*
x2*
Num ponto de solução interior:(a) e(b) inclinação da isocusto = inclinação da isoquanta, logo:
f x x y( , )* *1 2
).,( em *2
*1
2
1
2
1 xxPMg
PMgTMST
w
w
Exemplo para Cobb-Douglas
Função de produção Cobb-Douglas
Preços dos insumos: w1 e w2. Quais as demandas condicionais
pelos insumos da firma?
y f x x x x ( , ) ./ /1 2 1
1 322 3
Exemplo para Cobb-Douglas
Na cesta de insumos (x1*,x2*) que minimizao custo de produzir y unidades:
(a)
(b)
y x x( ) ( )* / * /1
1 32
2 3 e
ww
y xy x
x x
x x
x
x
1
2
1
2
12 3
22 3
11 3
21 3
2
1
1 3
2 3
2
//
( / )( ) ( )
( / )( ) ( )
.
* / * /
* / * /
*
*
Exemplo para Cobb-Douglas
y x x( ) ( )* / * /1
1 32
2 3 ww
x
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
Exemplo para Cobb-Douglas
y x x( ) ( )* / * /1
1 32
2 3 ww
x
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
De (b), xw
wx2
1
21
2* * .
Exemplo para Cobb-Douglas
y x x( ) ( )* / * /1
1 32
2 3 ww
x
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
De (b), xw
wx2
1
21
2* * .
Substituir em (a) para obter
y xw
wx
( )* / */
11 3 1
21
2 32
Exemplo para Cobb-Douglas
y x x( ) ( )* / * /1
1 32
2 3 ww
x
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
From (b), xw
wx2
1
21
2* * .
Substituir em (a) para obter
y xw
wx
ww
x
( ) .* / */ /
*1
1 3 1
21
2 31
2
2 3
12 2
Exemplo para Cobb-Douglas
y x x( ) ( )* / * /1
1 32
2 3 ww
x
x1
2
2
12
*
*.(a) (b)
From (b), xw
wx2
1
21
2* * .
Substituir em (a) para obter
y xw
wx
ww
x
( ) .* / */ /
*1
1 3 1
21
2 31
2
2 3
12 2
xww
y12
1
2 3
2*
/
Logo é a demanda condicionalda firma pelo insumo 1.
Exemplo para Cobb-Douglas
xw
wx2
1
21
2* * xww
y12
1
2 3
2*
/
é a demanda condicional da firma pelo insumo 2.
Como e
xw
www
yw
wy2
1
2
2
1
2 31
2
1 32
22*
/ /
Examplo para Cobb-Douglas
Portanto a cesta de insumos mais barataque produz y unidades é
x w w y x w w y
ww
yw
wy
1 1 2 2 1 2
2
1
2 31
2
1 3
22
* *
/ /
( , , ), ( , , )
, .
x2
x1
w1 e w2 fixos.
Curvas de demanda condicional por insumos
yyy
x2
x1
w1 e w2 fixos.
Curvas de demanda condicional por insumos
x y1*( )
x y2* ( )
yyy
y
y
x y2* ( )
x y1*( )
x2*
x1*
y
y
x2
x1
w1 e w2 fixos.
Curvas de demanda condicional por insumos
x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
yyy
y
y
y
y
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x2*
x1*
y
y
x2
x1
w1 e w2 fixos.
Curvas de demanda condicional por insumos
x y1*( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
yyy
y
y
y
y
y
y
x y2* ( )
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y1*( )
x2*
x1*
y
y
x2
x1
w1 e w2 fixos.
Curvas de demanda condicional por insumos
x y1*( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
caminho deexpansão daprodução
yyy
x y2* ( )
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y1*( )
y
y
y
y
y
y
x2*
x1*
y
y
x2
x1
w1 e w2 fixos.
Curvas de demanda condicional por insumos
x y1*( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y2* ( )
x y2* ( )
caminho deexpansão daprodução
yyy
y
y
y
y
y
y
x y2* ( )
x y2* ( )
x y2* ( )
x y1*( )
x y1*( )
x y1*( )
demanda cond. pelo insumo 2
demand cond.pelo insumo 1
x2*
x1*
y
y
Exemplo para Cobb-Douglas
Para a função de produção
a cesta de insumo mais barata que produzy unidades é
x w w y x w w y
ww
yw
wy
1 1 2 2 1 2
2
1
2 31
2
1 3
22
* *
/ /
( , , ), ( , , )
, .
3/22
3/1121 xx)x,x(fy
Exemplo para Cobb-Douglas
Logo a função de custo total da firma é
c w w y w x w w y w x w w y( , , ) ( , , ) ( , , )* *1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
Exemplo para Cobb-Douglas
Logo a função de custo total da firma é
c w w y w x w w y w x w w y
www
y ww
wy
( , , ) ( , , ) ( , , )* *
/ /1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
12
1
2 3
21
2
1 3
22
Exemplo para Cobb-Douglas
Logo a função de custo total da firma é
c w w y w x w w y w x w w y
www
y ww
wy
w w y w w y
( , , ) ( , , ) ( , , )* *
/ /
// / / / /
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
12
1
2 3
21
2
1 3
2 3
11 3
22 3 1 3
11 3
22 3
22
12
2
Exemplo para Cobb-Douglas
c w w y w x w w y w x w w y
www
y ww
wy
w w y w w y
w wy
( , , ) ( , , ) ( , , )
.
* *
/ /
// / / / /
/
1 2 1 1 1 2 2 2 1 2
12
1
2 3
21
2
1 3
2 3
11 3
22 3 1 3
11 3
22 3
1 22 1 3
22
12
2
34
Logo a função de custo total da firma é
Exemplo para Complementos Perfeitos
Função de produção
Preços dos insumos: w1 e w2. Quais as demandas condicionais
pelos insumos da firma? Qual a função de custo total?
y x xmin{ , }.4 1 2
Exemplo para Complementos Perfeitos
x1
x2
min{4x1,x2} y’
4x1 = x2
Exemplo para Complementos Perfeitos
x1
x2 4x1 = x2
min{4x1,x2} y’
Exemplo para Complementos Perfeitos
x1
x2 4x1 = x2
min{4x1,x2} y’
Qual a cesta de insumosde menor custo para y’ unidades?
Exemplo para Complementos Perfeitos
x1
x2
x1*= y/4
x2* = y
4x1 = x2
min{4x1,x2} y’
Qual a cesta de insumosde menor custo para y’ unidades?
Exemplo para Complementos Perfeitos
y x xmin{ , }4 1 2
Função de produção
demandas condicionais pelos insumos da firma
x w w yy
1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2
* ( , , ) .e
Exemplo para Complementos Perfeitos
y x xmin{ , }4 1 2
Função de produção
demandas condicionais pelos insumos da firma
x w w yy
1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2
* ( , , ) .e
Então a função de custo total é
c w w y w x w w y
w x w w y
( , , ) ( , , )
( , , )
*
*1 2 1 1 1 2
2 2 1 2
Exemplo para Complementos Perfeitos
y x xmin{ , }4 1 2
Função de produção
demandas condicionais pelos insumos da firma
x w w yy
1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2
* ( , , ) .e
Então a função de custo total é
c w w y w x w w y
w x w w y
wy
w yw
w y
( , , ) ( , , )
( , , )
.
*
*1 2 1 1 1 2
2 2 1 2
1 21
24 4
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