Microeconomia I Prof. Edson Domingues Minimização de Custos.

Microeconomia I

Prof. Edson Domingues

Minimização de Custos

Referências

VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de Janeiro: Campus, 2003 (6a edição americana).

Capítulo 20

Minimização de custos

Uma firma minimiza os custos se produz qualquer nível de produção y 0 ao menor custo total.

c(y) denota o menor custo total possível de produzir y unidades.

c(y) é a função de custo total.

Minimização de custos

Quando a empresa observa um conjunto de preços de insumos w = (w1,w2,…,wn) a função de custo total pode ser escrita como

c(w1,…,wn,y).

O problema da minimização de custos

Considere uma firma que usa dois insumos e produz 1 produto.

A função de produção é

y = f(x1,x2). Tome um nível de produção y 0

dado. Dados os preços dos insumod w1 e

w2, o custo da cesta de insumos (x1,x2) é w1x1 + w2x2


Dados w1, w2 e y, o problema da minimização de custos da firma é resolver

min,x x

w x w x1 2 0

1 1 2 2

sujeito a f x x y( , ) .1 2


Os níveis x1*(w1,w2,y) e x1*(w1,w2,y) na cesta de insumos mais barata são as demandas condicionais pelos insumos 1 e 2.

O (menor possível) custo total para produzir y unidades é portanto

c w w y w x w w y

w x w w y

( , , ) ( , , )

( , , ).

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2

Demandas condicionais por insumos

Dados w1, w2 e y, como a cesta mais barata é encontrada?

E como a função de custo total é calculada?

Isocustos

Uma curva que contém todas as cestas de insumo com o mesmo custo toal é uma curva de isocusto.

E.g., dados w1 e w2, a isocusto de $100 possui a equação

w x w x1 1 2 2 100 .

Isocustos

Em geral, dados w1 e w2, a equação de isocusto de $c é

i.e.

Inclinação é - w1/w2.

xww

xc

w21

21

2 .

w x w x c1 1 2 2

Isocustos

c’ w1x1+w2x2

c” w1x1+w2x2

c’ < c”

x1

x2

Isocustos

c’ w1x1+w2x2

c” w1x1+w2x2

c’ < c”

x1

x2 Inclinação = -w1/w2.

A isoquanta de y’ unidades

x1

x2 todas as cestas que geram y’ unidades de produto. Qual é a mais barata (menos custo)?

f(x1,x2) y’


x1


f(x1,x2) y’


x1


f(x1,x2) y’

x1*

x2*


x1

x2

f(x1,x2) y’

x1*

x2*

Num ponto de solução interior:(a) f x x y( , )* *

1 2


x1

x2

f(x1,x2) y’

x1*

x2*

Num ponto de solução interior:(a) e(b) inclinação da isocusto = inclinação da isoquanta

f x x y( , )* *1 2


x1

x2

f(x1,x2) y’

x1*

x2*

Num ponto de solução interior:(a) e(b) inclinação da isocusto = inclinação da isoquanta, logo:

f x x y( , )* *1 2

).,( em *2

*1

2

1

2

1 xxPMg

PMgTMST

w

w

Exemplo para Cobb-Douglas

Função de produção Cobb-Douglas

Preços dos insumos: w1 e w2. Quais as demandas condicionais

pelos insumos da firma?

y f x x x x ( , ) ./ /1 2 1

1 322 3


Na cesta de insumos (x1*,x2*) que minimizao custo de produzir y unidades:

(a)

(b)

y x x( ) ( )* / * /1

1 32

2 3 e

ww

y xy x

x x

x x

x

x

1

2

1

2

12 3

22 3

11 3

21 3

2

1

1 3

2 3

2

//

( / )( ) ( )

( / )( ) ( )

.

* / * /

* / * /

*

*


y x x( ) ( )* / * /1

1 32

2 3 ww

x

x1

2

2

12

*

*.(a) (b)


y x x( ) ( )* / * /1

1 32

2 3 ww

x

x1

2

2

12

*

*.(a) (b)

De (b), xw

wx2

1

21

2* * .


y x x( ) ( )* / * /1

1 32

2 3 ww

x

x1

2

2

12

*

*.(a) (b)

De (b), xw

wx2

1

21

2* * .

Substituir em (a) para obter

y xw

wx

( )* / */

11 3 1

21

2 32


y x x( ) ( )* / * /1

1 32

2 3 ww

x

x1

2

2

12

*

*.(a) (b)

From (b), xw

wx2

1

21

2* * .


y xw

wx

ww

x

( ) .* / */ /

*1

1 3 1

21

2 31

2

2 3

12 2


y x x( ) ( )* / * /1

1 32

2 3 ww

x

x1

2

2

12

*

*.(a) (b)

From (b), xw

wx2

1

21

2* * .


y xw

wx

ww

x

( ) .* / */ /

*1

1 3 1

21

2 31

2

2 3

12 2

xww

y12

1

2 3

2*

/

Logo é a demanda condicionalda firma pelo insumo 1.


xw

wx2

1

21

2* * xww

y12

1

2 3

2*

/

é a demanda condicional da firma pelo insumo 2.

Como e

xw

www

yw

wy2

1

2

2

1

2 31

2

1 32

22*

/ /

Examplo para Cobb-Douglas

Portanto a cesta de insumos mais barataque produz y unidades é

x w w y x w w y

ww

yw

wy

1 1 2 2 1 2

2

1

2 31

2

1 3

22

* *

/ /

( , , ), ( , , )

, .

x2

x1

w1 e w2 fixos.

Curvas de demanda condicional por insumos

yyy

x2

x1

w1 e w2 fixos.


x y1*( )

x y2* ( )

yyy

y

y

x y2* ( )

x y1*( )

x2*

x1*

y

y

x2

x1

w1 e w2 fixos.


x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

yyy

y

y

y

y

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x2*

x1*

y

y

x2

x1

w1 e w2 fixos.


x y1*( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

yyy

y

y

y

y

y

y

x y2* ( )

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y1*( )

x2*

x1*

y

y

x2

x1

w1 e w2 fixos.


x y1*( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

caminho deexpansão daprodução

yyy

x y2* ( )

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y1*( )

y

y

y

y

y

y

x2*

x1*

y

y

x2

x1

w1 e w2 fixos.


x y1*( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

caminho deexpansão daprodução

yyy

y

y

y

y

y

y

x y2* ( )

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y1*( )

demanda cond. pelo insumo 2

demand cond.pelo insumo 1

x2*

x1*

y

y


Para a função de produção

a cesta de insumo mais barata que produzy unidades é

x w w y x w w y

ww

yw

wy

1 1 2 2 1 2

2

1

2 31

2

1 3

22

* *

/ /

( , , ), ( , , )

, .

3/22

3/1121 xx)x,x(fy


Logo a função de custo total da firma é

c w w y w x w w y w x w w y( , , ) ( , , ) ( , , )* *1 2 1 1 1 2 2 2 1 2



c w w y w x w w y w x w w y

www

y ww

wy

( , , ) ( , , ) ( , , )* *

/ /1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

12

1

2 3

21

2

1 3

22




www

y ww

wy

w w y w w y

( , , ) ( , , ) ( , , )* *

/ /

// / / / /

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

12

1

2 3

21

2

1 3

2 3

11 3

22 3 1 3

11 3

22 3

22

12

2



www

y ww

wy

w w y w w y

w wy

( , , ) ( , , ) ( , , )

.

* *

/ /

// / / / /

/

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

12

1

2 3

21

2

1 3

2 3

11 3

22 3 1 3

11 3

22 3

1 22 1 3

22

12

2

34


Exemplo para Complementos Perfeitos

Função de produção

Preços dos insumos: w1 e w2. Quais as demandas condicionais

pelos insumos da firma? Qual a função de custo total?

y x xmin{ , }.4 1 2


x1

x2

min{4x1,x2} y’

4x1 = x2


x1

x2 4x1 = x2

min{4x1,x2} y’


x1

x2 4x1 = x2

min{4x1,x2} y’

Qual a cesta de insumosde menor custo para y’ unidades?


x1

x2

x1*= y/4

x2* = y

4x1 = x2

min{4x1,x2} y’

Qual a cesta de insumosde menor custo para y’ unidades?


y x xmin{ , }4 1 2


demandas condicionais pelos insumos da firma

x w w yy

1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2

* ( , , ) .e


y x xmin{ , }4 1 2



x w w yy

1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2

* ( , , ) .e

Então a função de custo total é

c w w y w x w w y

w x w w y

( , , ) ( , , )

( , , )

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2


y x xmin{ , }4 1 2



x w w yy

1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2

* ( , , ) .e

Então a função de custo total é

c w w y w x w w y

w x w w y

wy

w yw

w y

( , , ) ( , , )

( , , )

.

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2

1 21

24 4

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