Alberto Jos Meta Godinho
Impacto do Ambiente de Geometria Dinmica Geogebra na Aprendizagem de
Quadrilteros caso da 11 Classe
Licenciatura em Ensino de Matemtica com Habilitaes no Ensino de Informtica
Universidade Pedaggica
Beira
2015
Alberto Jos Meta Godinho
Impacto do Ambiente de Geometria Dinmica Geogebra na Aprendizagem dos
Quadrilteros caso da 11 Classe
Licenciatura em Ensino de Matemtica com Habilitaes no Ensino de Informtica
Supervisor
Prof. dr. Eliseu Castanheira
Universidade Pedaggica
Beira
2015
Trabalho de Pesquisa a ser entregue ao
Departamento de Cincias Naturais e
Matemtica, Curso de licenciatura em ensino
de Matemtica com Habilitaes em Ensino de
Informtica como requisito para a obteno do
ttulo de Licenciado.
I-3
NDICE
AGRADECIMENTOS ........................................................................................................... I-7
DECLARAO DE HONRA ................................................................................................ I-8
RESUMO ................................................................................................................................ I-9
ABSTRACT .......................................................................................................................... I-10
Captulo I: Introduo ....................................................................................................... I-12
I.1 Justificativa da escolha do tema ............................................................................. I-13
I.2 Problematizao ..................................................................................................... I-13
I.3 Hipteses ................................................................................................................ I-15
I.3.1 Primria ........................................................................................................... I-15
I.3.2 Secundrias ..................................................................................................... I-15
I.4 Objetivos do trabalho ............................................................................................. I-15
I.4.1 Objetivo Geral ................................................................................................. I-15
I.4.2 Objetivos Especficos...................................................................................... I-15
I.5 Procedimentos Metodolgicos ............................................................................... I-15
I.5.1 Mtodo de Abordagem ................................................................................... I-15
I.5.2 Mtodos de Procedimentos ............................................................................. I-16
I.6 Tcnicas de Trabalho ............................................................................................. I-17
I.6.1 Questionrio .................................................................................................... I-17
I.6.2 Pr-teste........................................................................................................... I-17
I.6.3 Intervenes Didcticas .................................................................................. I-17
I.6.4 Ps-teste .......................................................................................................... I-17
I.6.5 Anlise de dados ............................................................................................. I-17
Captulo II: FUNDAMENTAO TERICA ............................................................. II-18
II.1 O que so e como surgiram as TICs?................................................................... II-18
II.1.1 As TICs no PEA ........................................................................................... II-18
I-4
II.1.2 Indicadores relativos s TIC .......................................................................... II-19
II.2 Sobre o Geogebra .................................................................................................. II-20
II.3 Tringulos: Congruncia e Semelhanas .............................................................. II-24
II.3.1 Elementos dos Tringulos .............................................................................. II-24
II.3.2 Classificao dos Tringulos ......................................................................... II-24
II.3.3 Congruncia de Tringulos ............................................................................ II-26
II.3.4 Teorema de Pitgoras ..................................................................................... II-28
II.3.5 Semelhana de Tringulos ............................................................................. II-28
II.4 O Modelo de aprendizagem de geometria do casal Van Hiele ............................. II-31
II.4.1 Nvel 0: Visualizao ou reconhecimento ..................................................... II-31
II.4.2 Nvel 1: Anlise ............................................................................................. II-31
II.4.3 Nvel 2: Deduo informal ou classificao .................................................. II-32
II.4.4 Nvel 3: Deduo formal ................................................................................ II-32
II.4.5 Nvel 4: Rigor ................................................................................................ II-32
Captulo III: Bibliografia..................................................................................................... 38
I-5
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Comandos Novo Ponto, Intersectar duas linhas, Ponto mdio ou centro............. II-21
Figura 2: Recta definida por dois pontos e segment definido por dois pontos .................... II-21
Figura 3: Recta perpendicular e Recta paralela ................................................................... II-21
Figura 4: Circunferncia dados o centro e um ponto, Circunferncia dados o centro e o raio e
Compasso ............................................................................................................................. II-21
Figura 5: Processo de Construo de rectas paralelas em Geometria Dinmica ................. II-22
Figura 6: Processo de construo de um tringulo equiltero usando Geogebra ................ II-23
Figura 7: Elementos do Tringulo ....................................................................................... II-24
Figura 8: Tringulo Escaleno ............................................................................................... II-25
Figura 9: Tringulo Issceles ............................................................................................... II-25
Figura 10: Tringulo Equiltero ........................................................................................... II-25
Figura 11: Tringulo Acutngulo......................................................................................... II-26
Figura 12: Tringulo Rectngulo ......................................................................................... II-26
Figura 13: Tringulo Obtusngulo ....................................................................................... II-26
Figura 14: Tringulo Rectngulo ......................................................................................... II-28
Figura 15:Homotetia de centro O e razo 2 2 ................................................................ II-29
I-6
I-7
AGRADECIMENTOS
I-8
DECLARAO DE HONRA
I-9
RESUMO
I-10
ABSTRACT
I-11
I-12
CAPTULO I: INTRODUO
I-13
I.1 Justificativa da escolha do tema
A escolha do tema tem como motivao o crescente uso das tecnologias de informao e
comunicao na educao matemtica. Ultimamente tem-se abraado muito o uso de
computador pela parte dos alunos que frequentam o ensino secundrio, e muita das vezes por
no conhecer softwares educativos, eles desviam-se no uso da mquina para fins menos
produtivos.
No decorrer nas Prticas pedaggicas III no curso de Licenciatura em Ensino de
Matemtica no 3 ano, em que o pesquisador observou pouco interesse na rea de
geometria por parte dos alunos, os quais desconheciam as propriedades/figuras
geomtricas bsicas;
O facto de que em Moambique ainda h fraco aproveitamento das TICs no ensino
secundrio geral como material para o processo de ensino e aprendizagem;
A fraca conciliao entre as definies e suas representaes, por parte dos alunos;
Aproveitar as salas de informtica/equipamentos informticos que o governo e
organizaes tm doado as instituies de ensino em Moambique para impulsionar o
processo de ensino e aprendizagem;
Tentar aproximar o til ao agradvel, j que atualmente os alunos tm tido queda para
uso do computador, mas por falta de conhecimentos de softwares produtivos eles
desviam-se quando esto nesse mundo;
As dificuldades existentes em esboar com perfeio figuras geomtricas no quadro, e
a limitao que os materiais rudimentares tm, aliado ao tempo que deve ser bem
aproveito visto que esboar figuras geomtricas trabalhoso.
Sendo assim, pretende-se colocar o aluno como importante decisor no que diz respeito a
implementao de software no processo de ensino e aprendizagem na disciplina de Matemtica
e no caso de Geogebra em particular.
I.2 Problematizao
Com o advento do desenvolvimento veio a necessidade de uma melhor gesto de informao
e desta sugiram mquinas que o fizessem de forma eficiente e eficaz, mas as mquinas no
ficaram por a, elas evoluram para muitos ramos de domnio, um deles a matemtica que, afinal
foi uma das principais contribuintes para criao de tais sistemas. Existe um forte ligao entre
a matemtica e a informtica, uma contribuindo para o desenvolvimento da outra.
I-14
Nota-se ultimamente o medo por parte dos alunos quando se fala de matemtica, sendo a
disciplina menos desejadas pelos mesmos, onde muitos deles quando chegam a 11 Classe ou
a entrada das instituies de ensino optam por cursos que contenham o mnimo de matria no
que diz respeito a matemtica.
So poucas, se no inexistentes, as actividades prticas que a disciplina de matemtica realiza
no ensino secundrio, fazendo com que os alunos se distanciem da matemtica que existe no
dia-a-dia, quando se olha nas estruturas de edifcios que so construdos todos os dias
espalhados pela cidade inteira, quando na sua comunidade os alunos interagem com os mais
velhos que exercem actividades como a carpintaria, o artesanato; os xitiques de forma parcial
ou integral a matemtica, os elementos matemticos esto presentes mas so como fantasmas
aos alunos.
Com a acessibilidade existente actualmente, normal que os alunos mais novos tenham acesso
aos SmartPhones, Tablets, Laptops e Computadores Pessoais (PC), e fazem o uso dos mesmos
para diferentes tipos de actividades que de certa forma no fazem parte de contributo para o
desenvolvimento escolar, no sabendo eles que podem estar a conectados com matemtica a
toda hora e a todo momento.
O poder disponibilizado pelas TICs no pode ser deixado de parte no processo de ensino e
aprendizagem da matemtica em Moambique, ento o autor v nesta, uma oportunidade de
tentar observar as diferenas que podero existir se introduzido o geogebra na aprendizagem
da geometria, analisando posteriormente o impacto do ambiente de geometria dinmica
Geogebra na aprendizagem da geometria, disto surgir a pergunta, ser que o geogebra
trar melhores resultados na aprendizagem da geometria?
Sendo assim teremos o estudante como principal decisor nos resultados da pesquisa, visto que
o seu desempenho manipulando e percebendo as mudanas trazidas fornecer os dados
importantes para a pesquisa.
I-15
I.3 Hipteses
I.3.1 Primria
Se forem apresentadas novas ferramentas inovadoras de ensino, iria facilitar a integrao dos
alunos as novas tecnologias, que poder contribuir para uma forma mais simples de transmisso
de conhecimentos nas activades escolares.
I.3.2 Secundrias
Se os professores passassem a lecionar algumas aulas aproveitando as salas ou
equipamentos informticos, daria a possibilidade dos alunos interagirem com novos
meios de aprendizagens.
I.4 Objetivos do trabalho
I.4.1 Objetivo Geral
Avaliar o Impacto do Ambiente de Geometria Dinmica Geogebra na Aprendizagem
de Semelhana e Congruncia de Tringulos.
I.4.2 Objetivos Especficos
Esboar actividades usando o Geogebra;
Manipular as figuras geomtricas pr-elaboradas usando o Geogebra;
Rever os conceitos de semelhana e congruncia de tringulos usando o Geogebra.
I.5 Procedimentos Metodolgicos
I.5.1 Mtodo de Abordagem
I.5.1.1 Mtodo Indutivo
Induo um processo mental por intermdio do qual, partindo de dados particulares,
suficientemente constatados, infere-se uma verdade geral ou universal, no contida fias partes
examinadas. (MARCONI e LAKATOS 2003)
Tendo como base o uso de meio de ensino, sero analisados aspectos particulares na forma de
compreenso e adaptao a matria e sistemas, que no fim culminar com um estudo para
anlise dos resultados obtidos.
I-16
I.5.2 Mtodos de Procedimentos
I.5.2.1 Consulta Bibliogrfica
Na viso de (GIL 2008), citado por Manual de Elaborao de projectos (2006) aquela que
desenvolvida com base em material j elaborado. Fazem parte deste conjunto de materiais
artigos cientficos, livros, textos retirados da Internet.
A pesquisa bibliogrfica vai consistir na de leitura de diversa literatura desde livros,
dissertaes, teses, artigos virtuais cientficos explicativos que abordem a temtica, elaborao
de resumos, fichas de citaes, fichas de leitura fichas de anlise crtica, instrumentos estes que
vo servir de base para a compilao da fundamentao terica.
I.5.2.2 Observao direta
A observao uma fonte constante de conhecimento em que, no s se observam in loco os
factos e fenmenos, mas tambm se examinam (BARROS e LEHFELD 1986).
Com este mtodo pretende-se fazer assistncia das aulas sobre como tem sido lecionadas, e
perceber o nvel de apreenso dos contedos por parte dos alunos.
I.5.2.3 Mtodo Experimental
O mtodo experimental consiste essencialmente em submeter os objectos de estudo influncia
de certas variveis, em condies controladas e conhecidas pelo investigador, para observar os
resultados que a varivel produz no objecto. (GIL 2008)
Com a actividade pratica e controlada que o autor ir submeter os alunos utilizando o Geogebra,
o mtodo experimental enquadra-se como um procedimento a ser usado par conseguir chegar
aos objectos da pesquisa.
I.5.2.4 Mtodo Comparativo
O mtodo comparativo procede pela investigao de indivduos, classes, fenmenos ou fatos,
com vistas a ressaltar as diferenas e similaridades entre eles. (GIL 2008)
Como base a pesquisa tem como finalidade observar as diferenas no aprendizado dos
quadrilteros de formal tradicional, como feito nas escolas nacionais e com a utilizao do
Geogebra.
I-17
I.6 Tcnicas de Trabalho
I.6.1 Questionrio
Para (MARCONI e LAKATOS 2003),o Questionrio apresenta-se como uma srie de
perguntas que devem ser respondidas por escrito, sem a presena do pesquisador. As questes
apresentadas podem ser abertas, fechadas ou relacionadas.
Essa tcnica ser aplicada mediante perguntas aos alunos e professores da escola a fim de obter
informaes, opinies e sensibilidades sobre a pesquisa.
I.6.2 Pr-teste
O pr-teste permite resolver problemas, identificar omisses, verificar o nvel de compresso
das questes e a adequabilidade da sequncia, aferir o tempo de preenchimento, avaliar a
obteno da informao desejada e verificar em que nvel de aprendizagem de Van-Hiele os
inqueridos se encontram.
O resultado do mesmo, permitir posteriormente fazer uma comparao na assimilao dos
contedos pelos alunos, aps submetidos as sesses de uso de Geogebra.
I.6.3 Intervenes Didcticas
As intervenes didcticas foram introduzidas como forma de apresentar aos alunos a
ferramenta em destaque Geogebra.
Foram preparadas e realizadas 4 intervenes didcticas e aboradadas durante 4 dias com a
durao de 90 minutos cada por dia. O principal objectivo das intervenes era de submeter os
alunos ao ambiente experimental, verificar o nvel de envolvimento dos mesmo com uma nova
forma de aprender geometria.
I.6.4 Ps-teste
O uso do ps-teste foi de grande vantagem como forma de avaliar o nvel de assimilao dos
contedos, verificar a mudana de grau de aprendizagem do casal Van-Hiele no que diz
respeito a aprendizagem da geometria.
Os dados colectados neste teste permitiram fazer uma comparao de assimilao de contedo
pelos alunos aps o uso do Geogebra como ferramenta de ensino dos quadrilteros.
I.6.5 Anlise de dados
II-18
CAPTULO II: FUNDAMENTAO TERICA
Neste captulo iremos abordar sobre as bases que fizeram desta pesquisa um documento
cientfico, isto , os livros e demais documentos que deram vida aos assuntos abordados.
II.1 O que so e como surgiram as TICs?
O conceito de Tecnologias de Informao surge enquanto conjunto de conhecimentos,
reflectidos quer em equipamentos e programas, quer na sua criao e utilizao a nvel pessoal
e empresarial. Das vrias ferramentas, mtodos e tcnicas que coexistem na empresa, no
domnio das Tecnologias de informao, o computador destaca-se, na medida que o elemento
em relao ao qual existe uma maior interao com a componente humana das organizaes.
(SOUSA 2005).
De acordo com (RAMOS 2008), considera-se Tecnologias de Informao e Comunicao
(TIC) aos procedimentos, mtodos e equipamentos para processar informao e comunicar que
surgiram no contexto da Revoluo Informtica, Revoluo Telemtica ou Terceira Revoluo
Industrial, desenvolvidos gradualmente desde a segunda metade da dcada de 1970 e,
principalmente, nos anos 90 do mesmo sculo. Estas tecnologias agilizaram e tornaram menos
palpvel o contedo da comunicao, por meio da digitalizao e da comunicao em redes
para a captao, transmisso e distribuio das informaes, que podem assumir a forma de
texto, imagem esttica, vdeo ou som. Considera-se que o advento destas novas tecnologias e
a forma como foram utilizadas por governos, empresas, indivduos e sectores sociais
possibilitaram o surgimento da Sociedade da Informao.
II.1.1 As TICs no PEA1
(ANTNIO e COUTINHO s.d.) Citando (Costa, 2007) afirma que, O uso de tecnologias na
escola tem uma longa histria, mas, tal como noutras reas cientficas, s no decorrer do sculo
passado viria a constituir um novo campo de estudo e de investigao.
Desta forma nota-se que seria inevitvel, que nos dias presentes houvessem projectos e
pesquisas que introduzissem os sistemas computacionais no PEA, como de acordo com
(ANTNIO e COUTINHO s.d.), de 1998 2002 o projecto denominado Internet para as
escolas foi implementado abrangido cerca de 25 escolas no territrio Moambicano. O mesmo
1 Processo de Ensino e Aprendizagem
II-19
projecto anda nas mos do Ministrio da Educao desde 2002 denominado actualmente
SchoolNet Moambique.
No incio dos anos 50, B. F. Skinner apresentou uma mquina de ensinar que se baseava no
conceito de instruo programada, que consistia em dividir o material a ser ensinado em
pequenos mdulos, de maneira que cada facto ou conceito fosse apresentado ao aluno de forma
sequencial.
Com o advento do computador, tornou-se claro que os mdulos do material de instruo
poderiam passar a ser apresentados com grande flexibilidade. Assim, durante o incio dos anos
sessenta, foram criados diversos programas informticos de instruo programada e comeou
a popularizar-se a expresso ensino assistido por computador ou "computer-aided
instruction".
De acordo com (ANTNIO e COUTINHO s.d.), os primeiros anos do processo de integrao
dos computadores nas escolas ficaram muito marcados pela tentativa da sua utilizao de modo
a melhorar a eficcia do acto de ensinar.
Cabe ao autor com as tentativas existentes, os projectos em andamento e o material disponvel,
implementar o seu estudo a fim de verificar quais proveitos recolher do mesmo.
II.1.2 Indicadores relativos s TIC
As estatsticas disponveis revelam-nos que, apesar dos esforos e dos progressos realizados,
subsistem limitaes no acesso e utilizao das TIC.
Na tabela abaixo, obtida em (ANTNIO e COUTINHO s.d.), apresenta os indicadores de
acesso a TIC e aos servios existente no mesmo.
Tabela 1: Indicadores de Telecomunicaes de Moambique (Fonte: (ANTNIO e COUTINHO s.d.)).
II-20
Apesar de baixos ainda em 2007, os valores mostraram-se crescentes em 2010 em todos os
aspectos apresentados. No tendo uma pesquisa mais recente, visto que data passam 5 (cinco)
anos, provvel que estes nmeros tenham subido de forma exponencial, com os actuais baixo
custo e fontes de computadores, servio de internet e subscries de telemveis. O autor v
desse modo um campo frtil, pedindo para ser cultivado e semeado de conhecimento e novas
tcnicas que acompanham as tendncias actuais.
II.2 Sobre o Geogebra
De acordo com a (Wikipedia 2015), Geogebra uma aplicao interativa de geometria,
lgebra, estatstica e clculo, projetado para o ensino, e aprendizagem de Matemtica e cincias
desde o ensino primrio at ao nvel superior [].
O Geogebra um software simples, intuitivo, didtico e muito simples de usar. Para os leigos2
no apresentaro dificuldades no seu manuseamento, visto que o software pode ser utilizado
apenas com o mouse e todas as ferramentas encontram-se bem visveis e explicitas para melhor
utilizao do mesmo.
O Geogebra simula um plano, para que nele seja possvel fazer construes com rgua e
compasso. Numa comparao distante, o Geogebra assemelha-se ao programa j instalado nos
sistemas operativos da Microsoft, o Microsoft Paint. Sendo que no Paint possvel desenhar
figuras e demais, mas no existe o rigor presente no Geogebra, onde no Geogebra possvel
manter propriedades pr-determinadas atravs de vrios comandos, e construir figuras de
Geometria Dinmica, que so construes que no perdem as suas propriedades mesmo que os
seus pontos sejam manipulados.
No mbito da elaborao dos trabalhos com o programa, utilizei as ferramentas Novo ponto,
Interseco duas linhas, Ponto mdio ou centro, Reta Definida por Dois Pontos, Segmento
Definido por Dois Pontos, Reta Perpendicular, Reta Paralela, Compasso, Exibir/Esconder
Objeto, Desfazer e Refazer e Exibir Rtulo, as quais encontram-se todas presentes no Geogebra
por defeito.
2 Pessoas com pouco domnio de certa matria
II-21
Figura 1: Comandos Novo Ponto, Intersectar duas linhas, Ponto mdio ou centro
Figura 2: Recta definida por dois pontos e segment definido por dois pontos
Figura 3: Recta perpendicular e Recta paralela
Figura 4: Circunferncia dados o centro e um ponto, Circunferncia dados o centro e o raio e Compasso
Como exemplo de uma construo em Geometria Dinmica, isto , uma construo slida,
podemos considerar os seguintes exemplos. Dados dois pontos A e B sendo AB, traamos a
II-22
reta a que passa por A e B, depois traamos uma reta b, perpendicular a a que passe por A, e
traamos tambm uma reta c, perpendicular a a que passe por B. Podemos movimentar os
pontos A ou B, que as retas b e c sempre sero paralelas, independente das suas posies. Esta
uma construo slida. Por outra, dados dois pontos A e B sendo AB, traamos a reta a que
passe por A e B, pelos C e D, pontos fora de a, traamos a reta b que parea visualmente
paralela a a. Neste caso, quando movermos qualquer um dos pontos, as retas tero direes
distintas, a figura no manter o paralelismo.
Em uma segunda construo, dado o segmento de reta com o centro em A e raio AB,
tracemos a circunferncia g. Com o centro em B e raio AB, tracemos a circunferncia h. Na
interseo de g e h, marcamos o ponto C, tracemos os segmentos e . Teremos o tringulo
equiltero ABC. Se movermos os pontos A ou B para qualquer posio, o triangulo ainda
manter as suas propriedades.
Figura 5: Processo de Construo de rectas paralelas em Geometria Dinmica
II-23
Como ilustra a figura a seguir:
A motivao para o uso do Geogebra, a insero das Tecnologias de Informao e
Comunicao (TICs) no ensino e aprendizagem em Moambique, tanto como mostrar as
outras faces do computador aos estudantes que o usam para fins menos produtivos, visto que
manipulando os objectos no geogebra ser maior a interao entre o aluno e a matria, e
consequentemente, o interesse pela matemtica e suas maravilhas.
O programa ser de grande ajuda no que diz respeito a percepo visual de um quadriltero,
onde os alunos podero manipular e conhecer muitos modelos de quadrilteros de maneira fcil
e intuitiva. Sendo um software, o geogebra funciona segundo os comandos emitidos pelo
utilizador, e trabalha dentro de um ambiente limitado as operaes nele existente. Desta,
necessrio planejar os procedimentos de construo das figuras geomtricas para que ela
obedea as propriedades desejadas. Portanto, ser necessrio que o utilizador tenha
conhecimento formal dos quadrilteros notveis para que possam planejar o procedimento da
sua construo.
Figura 6: Processo de construo de um tringulo equiltero usando Geogebra
II-24
II.3 Tringulos: Congruncia e Semelhanas
Dados trs pontos A, B e C no colineares, reunio dos AB, AC e BC chama-se tringulo
ABC. (DOLCE e POMPEO 1997).
No plano, o tringulo a figura geomtrica que ocupa o espao interno limitado por trs
segmentos de reta que concorrem, dois a dois, em trs pontos diferentes formando trs lados e
trs ngulos internos que somam 180. (Wikipedia s.d.)
II.3.1 Elementos dos Tringulos
De acordo com (DOLCE e POMPEO 1997) os elementos do tringulo so: vrtices, lados e
ngulos.
Pelo (FERREIRA 2004) temos que:
Vrtice o ponto comum a duas ou mais retas ou segmentos de retas, ou que pertence a mais
de um lado ou face de uma figura;
Lado qualquer face de um objecto; e
ngulo a medida de afastamento entre duas rectas.
II.3.2 Classificao dos Tringulos
Os tringulos podem ser classificados por dois critrios, quanto ao comprimento dos seus lados
e quanto a amplitude dos seus ngulos.
II.3.2.1 Classificao dos Tringulos quanto ao comprimento dos seus lados
Nesta classificao (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010) eles apresentam trs variantes:
Figura 7: Elementos do Tringulo
II-25
II.3.2.1.1 Escaleno
Quando os trs lados tm comprimentos diferentes:
II.3.2.1.2 Issceles
Quando pelo menos, dois dos seus lados tm o mesmo comprimento.
II.3.2.1.3 Equiltero
Quando os trs aldos tm o mesmo comprimento.
II.3.2.2 Quanto amplitude dos seus ngulos
Nesta classificao (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010) eles apresentam tambm, trs
variantes:
Figura 8: Tringulo Escaleno
Figura 9: Tringulo Issceles
Figura 10: Tringulo Equiltero
II-26
II.3.2.2.1 Acutngulos
Quando todos os seus ngulos internos so agudos:
II.3.2.2.2 Rectngulo
Quando tem um ngulo recto:
II.3.2.2.3 Obtusngulo
Quando tm um ngulo obtuso:
II.3.3 Congruncia de Tringulos
Duas figuras so congruentes ou geometricamente iguais quando tm a mesma forma e
dimenses, isto , quando possvel sobrepor uma na outra. (NHZE, Matemtica 8 Clase
1998).
Figura 11: Tringulo Acutngulo
Figura 12: Tringulo Rectngulo
Figura 13: Tringulo Obtusngulo
II-27
Para verificar a congruncia dos tringulos, so preciso critrios pr determinados, porque
levaria muito tempo para verificar a congruncia elemento a elemento, que vo provar
geometricamente que os mesmos so geometricamente iguais. Baseando-se na mesma fonte,
podemos encontrar trs critrios de congruncia:
1. Critrio lado-lado-lado (l-l-l)
Dois tringulos dizem-se congruentes se tiverem os lados correspondentes congruentes, um a
um.
2. Critrio lado-ngulo-lado (l-a-l)
Dois tringulos dizem-se congruentes se tiverem dois lados e o ngulo por eles formado
respectivamente congruentes.
3. Critrio ngulo-lado-ngulo (a-l-a)
Dois tringulos dizem-se congruentes se tiverem dois ngulos e o lado a eles adjacente
respectivamente congruentes.
O (NHZE, Matemtica 8 Clase 1998) mais ambicioso deferente de (NHEZE, JOO e
NHABIQUE 2010) e classifica tambm os casos especiais para os tringulos rectngulos,
sendo esses:
4. Critrio cateto-cateto (c-c)
Dois tringulos rectngulos so congruentes se tiverem os dois catetos congruentes, cada um a
cada um.
5. Critrio cateto-ngulo (h-a)
Dois tringulos rectngulos so congruentes se tiverem um cateto e ngulo congruente a ele,
diferente do ngulo recto, respectivamente congruentes.
6. Critrio hipotenusa-ngulo agudo (h-a)
Dois tringulos rectngulos so congruentes se tiverem a hipotenusa e um ngulo agudo,
respectivamente congruentes.
7. Critrio hipotenusa-cateto (h-c)
II-28
Dois tringulos so congruentes se tiverem a hipotenusa e um cateto, respectivamente
congruentes.
II.3.4 Teorema de Pitgoras
Impossvel falar de tringulos rectngulos sem falar da relao mtrica existente entre os
catetos e a hipotenusa. O teorema de Pitgoras considerado um dos mais famosos teoremas
da matemtica. (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010).
Tomamos a figura que se segue:
No tringulo ABC da figura 14, temos:
O lado AB, que o maior lado de todos, e est oposto ao ngulo recto, denomina-se
hipotenusa;
Os lados AC e BC denominam-se catetos;
O ngulo em C mede 90 sendo, por isso, um ngulo recto.
Das vastas definies, enunciadas por diversos autores, (NHEZE, JOO e NHABIQUE 2010)
dizem o seguinte:
Num tringulo rectngulo, o quadrado da medida da hipotenusa igual soma dos quadrados
das medidas do cateto.
Esta relao representada da seguinte forma + = .
II.3.5 Semelhana de Tringulos
Duas figuras planas dizem-se semelhantes se tiverem os ngulos correspondentes congruentes
e os lados correspondentes proporcionais. A semelhana simbolizada por ~. (NHZE,
JOO e NHABIQUE, Matemticas Para Todos - 9 Classe 2011)
Figura 14: Tringulo Rectngulo
II-29
Diferente da congruncia, a semelhana mantm apenas as medidas dos ngulos das figuras,
sendo a medida dos lados mudadas dependendo da razo aplicada pela proporcionalidade, mas
mantendo uma proporo entre figura original e a sua imagem.
II.3.5.1 Homotetia
Falando de semelhana, invocamos obrigatoriamente o conceito que cria as figuras
proporcionais, tal conceito chama-se Homotetia, e segundo (NHZE e JOO, Matemtica 9
Classe 1999) dados um centro O e uma razo r, temos que homotetia uma aplicao
geomtrica que a cada ponto P do plano faz corresponder um ponto Pde tal modo que =r.
por . e se denota
Figura 15:Homotetia de centro O e razo 2 2
II-30
II.3.5.1.1 Propriedades da Homotetia
O transformado de um segmento de recta atravs de uma homotetia um segmento de
recta paralelo;
Uma homotetia de razo positiva mantm o sentido dos segmentos orientados e a de
razo negativa inerte o sentido dos segmentos orientados;
Numa homotetia, o comprimento do segmento imagem igual ao produto do mdulo
da razo pelo comprimento do segmento objecto;
Existe uma proporcionalidade directa entre os comprimentos dos segmentos de recta e
os comprimentos dos seus transformados atravs da homotetia.
II.3.5.1.2 Classificao das Homotetias
Quanto ao valor absoluto da razo r, a homotetia pode ser:
Uma ampliao se |r| > 1;
Uma isometria se |r| = 1;
Uma reduo se |r| < 1.
Quanto ao sinal da razo, as homotetias podem ser:
Inversas, se k < 0;
Directas, se k > 0.
II.3.5.2 Critrios de semelhana de tringulos
Critrio lado-lado-lado (LLL)
Dois tringulos so semelhantes se tiverem os trs lados proporcionais;
Critrio ngulo-ngulo (AA)
Dois tringulos so semelhantes se tiverem dois ngulos respectivamente congruentes;
Critrio lado-ngulo-lado (LAL)
Dois tringulos so semelhantes se tiverem dois lados respectivamente proporcionais e o
ngulo por eles formado congruente.
Tal como na congruncia, os tringulos retngulos apresentam casos particulares de
semelhana.
Dois tringulos rectngulos com um angulo agudo congruente so semelhantes;
II-31
Dois tringulos rectngulos que tenham dois catetos proporcionais so semelhantes.
II.4 O Modelo de aprendizagem de geometria do casal Van Hiele
Dois professores holandeses de Pierre M. Van Hiele e Dina Van Hiele-Geldof estabeleceram
um modelo de aprendizagem de geometria, como resultado de duas teses de doutorado. Eles
estabeleceram 5 (cinco) nveis de raciocnio na aprendizagem da geometria, na qual segundo
(SILVA e CANDIDO s.d.) segue que:
II.4.1 Nvel 0: Visualizao ou reconhecimento
O aluno tem percepo global das figuras; na observao de um conjunto de figuras cada figura
observada isoladamente de outras figuras de mesma classe e dada ateno a atributos
irrelevantes das figuras.
- Percepo individual: o aluno observa o objeto e o associa figura, sem reconhecer que ela
faz parte de uma classe, a figura observada por suas partes.
- As descries das figuras so feitas atravs de comparaes de objetos com formas
geomtricas.
- O vocabulrio bsico para poder fazer descries das figuras, sem a utilizao de
propriedades das formas geomtricas.
- As descries so feitas pelos aspectos fsicos e posio no espao.
II.4.2 Nvel 1: Anlise
- Os alunos comeam a perceber conceitos geomtricos, fazendo anlise das caractersticas das
figuras. Observam a figura no como um todo, mas identificam suas partes, propriedades
geomtricas e percebem as consequncias das propriedades.
- H utilizao dessas propriedades para resoluo de problemas.
- Demonstraes por meio de exemplos.
- Os alunos no relacionam diferentes propriedades entre figuras diferentes, no entendem
definies.
- Utilizam-se de muita observao e experimentao
II-32
II.4.3 Nvel 2: Deduo informal ou classificao
- Os alunos conseguem fazer inter-relaes entre as propriedades de uma figura e compar-las
com outra figura, por exemplo, um quadrado um retngulo pois, tem todas as propriedades
de um retngulo.
- Podem realizar classificaes inclusivas.
- Definem corretamente conceitos e tipos de figuras.
- Possuem raciocnio dedutivo informal.
- Podem entender uma demonstrao, mas no so capazes de elaborar uma demonstrao
formal completa.
II.4.4 Nvel 3: Deduo formal
- Os alunos conseguem fazer distino entre postulados, teoremas e definies
- Elaboram demonstraes formais sem decor-las.
- So capazes de ter uma viso global das demonstraes.
- Percebem que podem chegar ao mesmo resultado mediante diferentes formas de
demonstrao.
- So capazes de formular enunciados de problemas.
- Utilizam linguagem precisa.
II.4.5 Nvel 4: Rigor
- Os alunos esto aptos a estudar sistemas axiomticos distintos do usual, (geometria
euclidiana).
- So capazes de fazer comparaes entre diferentes sistemas axiomticos.
O quinto nvel no em sido muito explorado pelos pesquisadores. P.M Van Hiele afirma que
se interessava pelos trs primeiros nveis, justamente por ter desenvolvido a teoria no ensino
secundrio.
Apndice
Apndice 1
Questionrio aos Alunos
Nome:_________________________________ --- Cdigo_________---
Data____/____/_______
1.O que endentes por TICs (Tecnologias de Informao e Comunicao)?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________.
2.Tens acesso a um computador?
Sim No
a) Onde?
Pessoal/Casa Escola Amigo Internet Caf
3.Para que finalidade fazes o uso do mesmo?
Trabalhos Jogos Entretenimento Estudos Outro
4.Tens acesso a um Smartphone?
Sim No
a) Qual?
Android Android (Tablet) Iphone Ipad Windows Phone
5.Para que finalidade fezes o uso do mesmo?
Uso comum Pesquisa Jogos
6.J tiveram alguma aula prtica ou expedio relacionada com a disciplina de matemtica?
Sim No
7.Quais so as ferramentas de ensino que o teu professor usa nas aulas de matemtica?
Apagador Quadro Giz Estojo (Rgua, Compasso, etc) Computador
Outro
8.J tiveram alguma aula de matemtica com o uso de computador?
Sim No
9.Como acha que seria uma aula de matemtica utilizando um computador?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________.
10.J ouviu falar de/Conhece o Geogebra?
Sim No
a) Onde?
Escola Amigos Internet Outro
Comente.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________.
Obrigado.
Apndice 2
Questionrio aos docentes
Nome:_________________________________ --- Cdigo_________---
Data____/____/_______
1.O que endentes por TICs (Tecnologias de Informao e Comunicao)?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________.
2.Tens acesso a um computador?
Sim No
a) Onde?
Pessoal/Casa Escola Amigo Internet Caf
3.Para que finalidade fazes o uso do mesmo?
Trabalhos Jogos Entretenimento Estudos Outro
4.J realizou alguma aula prtica ou expedio relacionada com a disciplina de matemtica?
Sim No
5.Quais so as ferramentas de ensino que usa nas aulas de matemtica?
Apagador Quadro Giz Estojo (Rgua, Compasso, etc) Computador
Outro
6.J lecionou alguma aula de matemtica com o uso de computador?
Sim No
7.Como acha que seria uma aula de matemtica utilizando um computador?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________.
10.J ouviu falar de/Conhece o Geogebra?
Sim No
a) Onde?
Escola Amigos Internet Outro
Comente.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________.
Obrigado.
CAPTULO III: BIBLIOGRAFIA
ANTNIO, Gilberto Lus, e Clara Pereira COUTINHO. TIC em Moambique - Recanto do
Saber. Universidade Eduardo Mondlane - Lus Neves Cabral Domingos. s.d.
http://ticeduca.ie.ul.pt/atas/pdf/281.pdf (acedido em 14 de Julho de 2015).
BARROS, Adil Jesus da Silveira, e Neide Aparecida de Sousa LEHFELD. Fundamentos de
metodologia: um guia bsico para a iniciao cientfica. So Paulo: Makron Books,
1986.
DOLCE, Osvaldo, e Jos Nicolau POMPEO. Fundamentos de Matemtica Elementar 9
Geometria Plana. 7. So Paulo: Atual Editora, 1997.
Exame nacional 2015 da Educao para Todos: Moambique. Unesco. Janeiro de 2015.
http://unesdoc.unesco.org/images/0023/002317/231723por.pdf (acedido em 14 de
Julho de 2015).
FERREIRA, Aurlio Buarque de Holanda. Miniaurlio Eletrnico. So Paulo, 2004.
GIL, Antnio Carlos. Mtodos e Tcnicas de Pesquisa Social. 6 Edio. So Paulo: Editora
Atlas, 2008.
MARCONI, Marina de Andrade, e Eva Maria LAKATOS. Fundamentos de Metodologia
Cientfica. 5 Edio. So Paulo: EDITORA ATLAS S.A., 2003.
NHEZE, Ismael C., Rafael JOO, e Fabio F. NHABIQUE. Matemtica para todos 8 Classe.
Maputo: Editora Nacional de Moambique, 2010.
NHZE, Ismael Cassamo. Matemtica 8 Clase. Maputo: Diname, 1998.
NHZE, Ismael Cassamo, e Rafael JOO. Matemtica 9 Classe. 2. Maputo: Diname, 1999.
NHZE, Ismael Cassamo, Rafael JOO, e Fabio F. NHABIQUE. Matemticas Para Todos
- 9 Classe. Maputo: E.N.M, 2011.
PALACIOS, Ester. Desenvolvimento cognitivo na Juventude | Artigos. s.d.
http://www.cipiranga.com.br/index.php?option=com_content&view=article&id=404:
desenvolvimento-cognitivo-na-infancia-e-na-juventude&catid=62:artigos (acedido em
14 de Julho de 2015).
RAMOS, Srgio. Conceitos Bsicos em TIC. Livre - Sistemas e programas livres no Ensino
e Formao. Outubro de 2008.
http://livre.fornece.info/media/download_gallery/recursos/conceitos_basicos/TIC-
Conceitos_Basicos_SR_Out_2008.pdf (acedido em 14 de Julho de 2015).
SILVA, Luciana, e Cludia Cuena CANDIDO. Instituto de Matemtica e Estatsta -
Universidade de So Paulo. s.d.
http://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/outros/Luciana%20Silva.pdf (acedido em
16 de Fevereiro de 2015).
SOUSA, Srgio. TECNOLOGIAS de INFORMAO: O que so? Para que servem? 5 Edio.
Lisboa: FCA - Editora de Informtica, 2005.
Wikipedia. GeoGebra - Wikipdia, a enciclopdia livre. 2015.
https://pt.wikipedia.org/wiki/GeoGebra (acedido em 25 de Maro de 2015).
. Tringulo - Wikipedia a Enciclpedia Livre. s.d.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo (acedido em 23 de Julho de 2015).
http://pt.slideshare.net/isamab/pr-teste acessado aos 15 de junho de 2015 pelas 12 horas e 37
minutos
http://www.knoow.net/monografias/cienciaseducacao/integracao_tic_nas_aulas_de_matemati
ca_d.htm , acessado aos 17 de junho de 2015 pelas 11 horas e 31 minutos
http://www.ime.usp.br/~cpq/main/arquivos/outros/Luciana%20Silva.pdf acessado aos 15 de
Abril de 2015
http://gartic.com.br/imgs/mural/ra/radicalpixtar/trapezio.png
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/uploads/3/471losangopipa.jpg
http://eiem2013.spiem.pt/wp-content/uploads/2013/05/GD1C3PereiraSerrazina.pdf
http://mat.absolutamente.net/rem_quad.php
https://tube.geogebra.org/material/show/id/55232
https://tube.geogebra.org/material/show/id/62128
https://tube.geogebra.org/material/show/id/113758
https://tube.geogebra.org/material/show/id/127548
https://tube.geogebra.org/material/show/id/337071
https://tube.geogebra.org/material/show/id/437415
https://tube.geogebra.org/material/show/id/1166373
Teste Diagnostico
Nome____________________________________________
Na figura 1, abaixo, temos a circunferncia k de centro O. Nela est inscrita um pentgono
regular (polgono de 5 lados iguais). Das propriedades do pentgono regular temos que: cada
ngulo interno mede 108; todos os lados so iguais; a distncia a partir de qualquer vrtice ao
centro a mesma.
Figura 1:
1. De quantas formas pode se classificar os tringulos? Quais so?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______
2. Identifique na figura 1:
i) Os tringulos issceles: ______________________________________________;
ii) Os tringulos escalenos: ______________________________________________;
iii) Os tringulos acutngulos: ____________________________________________;
iv) Os tringulos obtusngulos: ___________________________________________;
v) Os tringulos equilteros: ____________________________________________;
vi) Os tringulos rectngulos: ____________________________________________.
3. Durante as suas aulas aprendeste a comparar os tringulos pela semelhana e pela
congruncia.
i) Quando consideramos duas figuras congruentes?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______
ii) Quando consideramos duas figuras semelhantes?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______
4. Dos critrios de congruncia temos: (l l l : Lado, lado, lado), (l a l : Lado, ngulo,
lado) e (a l a : ngulo, lado, ngulo), dos critrios de semelhana temos: (L L L
: Lado, lado, lado), (L A L : Lado, ngulo, lado) e (A A : ngulo, ngulo). Dos
tringulos abaixo diga se so congruentes ou semelhantes, justificando o critrio.
Tringulos Congruentes/Semelhantes Critrio
i) ABD GHD Semelhantes A-A
ii) EGD CHD Congruentes l-a-l
iii) AED BCD Congruentes l-l-l
iv)
v)
vi)
Nos lugares vazios, preencha a tabela, com outros tringulos cuja semelhana ou congruncia
so notveis, justificando o critrio.
5. Das igualdades que se seguem, qual delas reflecte o teorema de Pitgoras?
a) 100 = 64 + 36 b) 3 = 2 + 1 c) 16 + 4 = 20 d) 225 = 144 + 81
6. Na figura abaixo, AC diagonal do quadrado ABCD. Calcule o valor do lado, usando
os conhecimentos do teorema de Pitgoras.
Fim, Bom Trabalho
X
Ficha de Acompanhamento
Nome: __________________________________
1. Nas figuras apresentadas, todos os trs ngulos do tringulo da direita esto fixadas de modo
que sejam sempre congruente com o seu ngulo correspondente no tringulo do lado esquerdo.
O professor ir manipular qualquer um dos vrtices do tringulo ABC , assim como os
comprimentos laterais e posio do tringulo A'B'C '. (Explorando dois ngulos iguais).
a) Voc pode encontrar uma maneira de fazer os dois tringulos serem diferentes?
Sim No - _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b) Voc percebe alguma relao especial entre os comprimentos laterais dos dois tringulos?
Sim No - _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. Nas figuras apresentadas, as medidas dos ngulos em A' e B' so fixadas de modo a que eles
sempre iro coincidir com os ngulos em A e B. Alm disso, o segmento B'C' ir sempre ser
congruente com segmento BC. O professor ir manipular qualquer um dos vrtices do tringulo
ABC, e os comprimentos dos outros lados do tringulo A'B'C'. Voc pode encontrar uma
maneira de fazer os dois tringulos serem diferentes? Explique por que ou por que no.
(Explorando AAL)
Sim No - _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
3. Nas figuras apresentadas, o comprimento do segmento A'B' fixado de modo que sempre
coincida com o comprimento de AB. Alm disso, as medidas dos ngulos em A' e B' so fixadas
de modo a que eles sempre coincidam com os ngulos em A e B. o professor ir manipular
qualquer um dos vrtices do tringulo ABC, e os comprimentos dos outros lados no fixos do
tringulo A' B'C'. Voc pode encontrar uma maneira de fazer os dois tringulos serem
diferentes? Explique por que ou por que no. (Explorando ALA)
Sim No - _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Nas figuras apresentadas, segmentos A'B' e B'C' so fixos para coincidir com os
comprimentos de seus objetos correspondentes, e o ngulo no ponto C' fixada para ser
congruente com ngulo BCA, o professor ir manipular qualquer outro lado e ngulo.
possvel fazer o segundo tringulo diferente do primeiro, ou eles so sempre congruente? ?
Explique por que ou por que no. (Explorando LLA)
Sim No - _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5. Nas figuras apresentadas, os segmentos A'B' e B'C' so fixos para coincidir com os
comprimentos de seus objetos correspondentes, e o ngulo A'B'C' fixo para ser congruente
com ngulo ABC, o professor ir manipular os outros lados e ngulos. possvel fazer o
segundo tringulo diferente do que o primeiro, ou eles so sempre congruente? Explique por
que ou por que no. (Explorando LAL)
Sim No - _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
6. Nas figuras apresentadas, todos os segmentos da imagem so ajustados para ter
comprimentos que so congruentes com o seu objeto correspondente, mas os seus trs ngulos
so manipulveis. O professor ir manipular a figura. possvel fazer o segundo tringulo
diferente do primeiro, ou eles so sempre congruente? Explique por que ou por que no.
(Explorando LLL)
Sim No - _________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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