NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL COM A
UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS MANIPULATIVOS E TECNOLÓGICOS
Adriano Eusébio dos Santos1 - IFC
Elizete Maria Possamai Ribeiro 2
- IFC
Lucilene Alexandre Pereira Arâmbula 3
- IFC
Malu Alexandre Gomes 4
- IFC
Valdirene da Rosa Rocho5 - IFC
Grupo de Trabalho: Didática: Teorias, Metodologias e Práticas.
Agência Financiadora: PIBID/Capes
Resumo
As atuais políticas educacionais apontam para a necessidade de contextualizar os conceitos
matemáticos expostos na sala de aula, possibilitando ao aluno a relação entre seu contexto e
os conceitos formais. Esse artigo resultou de um estudo referente à geometria, da análise da
abordagem deste assunto nas séries iniciais e do planejamento das atividades a serem
desenvolvidas no momento de execução da oficina na forma de uma sequência didática. Essas
atividades foram executadas por meio de uma oficina realizada pelos bolsistas do projeto
PIBID. Utilizou-se para a elaboração destas atividades os materiais manipulativos (sólidos e
embalagens de produtos comerciais) e o software poly no ensino de geometria plana e
espacial. Estes recursos possibilitam explorar diversos conceitos, tais como: medida dos
ângulos, medida dos lados, vértices, número de faces, classificação das figuras, entre outros.
Na oficina, estes recursos foram utilizados com o objetivo de relacionar e comparar as
diversas figuras geométricas com as mais variadas formas encontradas no cotidiano. A
escolha do tema permitiu apresentar a seguinte problemática: como trabalhar a classificação
das figuras geométricas e seus conceitos utilizando materiais manipulativos e recursos
tecnológicos? Esta problemática para ser respondida envolve entre outros objetivos:
diferenciar figuras planas de espaciais, identificando suas principais propriedades; relacionar
os elementos da geometria plana com a geometria espacial; classificar as figuras geométricas
por meio de suas características; explorar as diversas figuras poligonais por meio da
visualização e classificação; relacionar objetos do cotidiano com os poliedros geométricos.
1 Acadêmico do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado
Sombrio (IFC). Bolsista do Projeto PIBID. E-mail: [email protected]. 2 Doutora em Engenharia Mecânica pela UFRGS. Professora do Instituto Federal Catarinense – Campus
Avançado Sombrio (IFC). Coordenadora de área do projeto PIBID. E-mail: [email protected]. 3 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado
Sombrio (IFC). Bolsista do Projeto PIBID. E-mail: [email protected] 4 Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado
Sombrio (IFC). Bolsista do Projeto PIBID. E-mail: [email protected] 5 Mestra em Matemática Aplicada pela UFRGS. Professora do Instituto Federal Catarinense – Campus
Avançado Sombrio (IFC). Professora supervisora do projeto PIBID. E-mail: valdirene.rocho@ifc-
sombrio.edu.br
Ao concluir as atividades, observou-se que é possível utilizar diferentes formas de abordar os
conteúdos de geometria na sala de aula de forma criativa e dinâmica, familiarizando assim
educandos com os conceitos geométricos, uma vez que os materiais manipulativos, assim
como o software oferece esta possibilidade.
Palavras-chave: Materiais manipulativos. Geometria. PIBID.
Introdução
Todas as ciências têm raízes na história do homem. A matemática, que é considerada a
ciência que une a clareza do raciocínio à síntese da linguagem originou-se do convívio social,
das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário e empírico. Contemporaneamente as
políticas públicas apontam para a necessidade de contextualizar os conceitos matemáticos
expostos na sala de aula possibilitando ao aluno a relação entre seu contexto e os conceitos
formais.
Estudar as formas geométricas e suas características torna-se importante para que o
aluno observe semelhanças e diferenças entre as várias formas encontradas na natureza e nas
construções em geral, uma vez que o universo é repleto de objetos.
Assim, a comparação entre as formas geométricas e a identificação de seus elementos
constitutivos proporciona a construção de alguns conceitos geométricos de forma significativa
pelo aluno, pois essa aprendizagem é definida como a que ocorre quando as novas ideias estão
ligadas a informações ou conceitos já existentes, criando então a possibilidade de aplicar esses
conceitos na resolução de diferentes situações problemas de seu contexto.
Segundo Musse e Luiz (2011), vários estudos e pesquisas apontam que a geometria
muitas vezes é deixada de lado nos currículos escolares, ou ainda, sendo pouco aplicada em
sala de aula.
De acordo com as orientações curriculares de matemática do ensino fundamental anos
iniciais (BRASIL, 1997), em relação à geometria têm-se alguns de seus objetivos assim
identificados:
Observar as formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos
criados pelo homem e de suas características.
Identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças e
diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias,
ampliações e reduções.
Construir e representar as formas geométricas.
Segundo Brasil (2014) estamos inseridos em um mundo que nos oportuniza a
interação com as pessoas e os objetos também presente nele e, ao mesmo tempo, os nossos
movimentos provoca-nos a necessidade de que desenvolvamos uma linguagem associada à
localização, visualização e representação.
Ainda, segundo o mesmo autor, esses objetos por sua vez possuem formas, na qual
estas estão relacionadas com a palavra “semelhança”, é correto falar da “forma quadrada”, por
exemplo, já que todos os quadrados são semelhantes, mas é incorreto falar da “forma
retangular”, pois nem todos os retângulos são iguais.
No entanto, os alunos devem ser capazes de distinguir as diferentes figuras
geométricas, classificando-as por meio de suas características e elementos, ou seja, número de
vértices (pontas), faces (polígonos planos) e arestas (quinas). E ainda, perceber a regularidade
e propriedades destas figuras abordadas dentro do contexto, por exemplo, nas obras de
engenharia, arquitetura, artes plásticas, na natureza, entre outras. Muito embora, esses objetos
constituem formas reais são classificados como figuras espaciais.
Assim, como este trabalho refere-se à classificação das figuras geométricas,
utilizaremos o software Poly, que, por sua vez, possibilitará mostrar a planificação de um
poliedro. O uso das tecnologias está presente em nosso meio e há vários recursos tecnológicos
que envolvam a matemática, por exemplo, os softwares Geogebra, Winplot, Graph, Poly,
entre outros.
Além da visualização, pensou-se em um jogo que possibilita trabalhar com as
representações de figuras planas e os sólidos geométricos. Para Flemming, Luz e Mello
(2005) os jogos didáticos é uma tendência que vem ganhando destaque, pode-se utilizar este
como estratégias para o desenvolvimento de ambientes de aprendizagem que propiciem a
criatividade, não só para crianças, mas também para adolescentes e adultos. O uso deste
instrumento ao ser utilizado em classe pode ser discutido a partir de vários referenciais
teóricos e as evidências parecem justificar a importância e a validade nas propostas de ensino
da matemática.
No entanto, vale destacar que, segundo Brasil (2014), é importante reconhecer que
este jogo possibilita o trabalho com representações planas de sólidos geométricos e não
efetivamente com os próprios sólidos.
Para atender as orientações das diretrizes curriculares nacionais iniciou-se um estudo
sobre os conceitos básicos de geometria nas séries iniciais do ensino fundamental. O objetivo
deste estudo foi necessário para a elaboração da sequência didática e posteriormente a
aplicação da oficina.
A partir das considerações anteriores, apresenta-se o problema a ser investigado neste
estudo: Como trabalhar a classificação das figuras geométricas e seus conceitos utilizando
materiais manipulativos e tecnológicos? A fim de buscar resposta para o problema, este
estudo objetiva-se em: realizar uma pesquisa documental nos livros didáticos do ensino
fundamental objetivando observar a abordagem da geometria; classificar as figuras
geométricas por meio de suas características; relacionar os elementos da geometria plana com
a geometria espacial; identificar a semelhança de objetos do cotidiano com os sólidos
geométricos. Para que esses objetivos sejam alcançados, na próxima seção apresenta-se o
caminho percorrido para a sua concretização.
Aspectos Metodológicos
Para a concretização deste trabalho foi necessário o planejamento de um conjunto de
atividades envolvendo o grupo de acadêmicos bolsistas do projeto PIBID sob a orientação da
professora supervisora e da coordenadora deste, de forma que se estabelecessem os seguintes
procedimentos: realização de um estudo referente à geometria, analisando a sua abordagem
nas séries iniciais; elaboração de uma sequência didática com o planejamento das atividades a
serem desenvolvidas no momento de execução da oficina.
A escolha do tema geometria se deu pelo fato de este ser um tópico na qual vem sendo
deixado em segundo plano dentro dos currículos escolares, e ainda quando é estudado este é
apresentado de modo “calculista”.
No entanto, pensamos em explorar alguns conceitos básicos referentes ao tema
abordado. Para a aplicação das atividades usou-se como recurso didático materiais
manipulativos e tecnológicos.
Na sequência, descreve-se as atividades realizadas na oficina:
Atividade 1: Dado um conjunto de figuras geométricas (Quadro 1) faça o que se pede:
a) Organize-as de modo que se obtenham figuras planas e espaciais.
b) Após a distinção entre estas, classifique-as de acordo com suas características e seus
elementos.
Segundo Finker (2008), Musse e Luiz (2011), Paiva (2009) e Saab (2007) a
classificação de uma figura geométrica plana deve ser referente ao número de lados ou quanto
a medida de seus ângulos, e ainda para o caso das figuras geométricas espaciais seja pela
classe dos poliedros e de corpos redondos.
Sendo assim apresenta-se a classificação das figuras planas (Quadro 2 e 3) de acordo
com Paiva (2009) e Musse e Luiz (2011).
Triângulo: são importantes figuras geométricas e utilizadas em diversas aplicações
práticas, como, por exemplo, no cálculo de distância, na construção civil, na astronomia.
Estes são polígonos de três lados, eles podem ser classificados tanto pela medida de seu lado
quanto pela medida de seus ângulos.
Quadro 2 – Classificação dos triângulos
Classificação dos triângulos
Quanto à medida dos lados
Triângulo equilátero: Três lados de
mesma medida.
Triângulo Isósceles: Dois lados
de mesma medida.
Triângulo escaleno: três
lados de medidas diferentes.
Quanto à medida dos ângulos Triângulo retângulo: possui um
ângulo reto (medida igual a 90º)
Triângulo Acutângulo: possui três
ângulos agudos (medida menor
que 90º)
Triângulo Obtusângulo: possui
um ângulo com medida maior
que o ângulo reto.
Fonte: Paiva (2009) e Musse e Luiz (2011).
Quadriláteros: São os polígonos de quatro lados e podem ser classificados como
paralelogramos, trapézios ou quadriláteros quaisquer (trapezóides). Em qualquer quadrilátero
a soma dos ângulos internos é igual a 360º.
Quadro 3 – Classificação dos quadriláteros
Quadriláteros Exemplos Classificação
Paralelogramos: são
quadriláteros que possuem os
lados opostos paralelos e os
ângulos opostos são
congruentes.
Paralelogramo retângulo:
possui os quatro ângulos
retos, ou seja, 90º.
Paralelogramos Losango: é
aquele que apresenta os
quatro lados iguais.
Trapézios: São quadriláteros
que possuem apenas um par de
lados opostos paralelos.
Trapézio qualquer.
Trapézio retângulo: possui
dois ângulos retos
Fonte: Paiva (2009) e Musse e Luiz (2011).
Destacamos que a classificação apresentada não é excludente, por exemplo, um
paralelogramo pode ser um retângulo por possuir quatro ângulos retos, mas também pode ser
considerado um losango pelo fato de possuir quatro lados iguais.
O mundo em que habitamos é completamente formado de objetos tridimensionais,
entre as várias formas encontradas na natureza e nas construções em geral, uma vez que o
universo é repleto de objetos, formas que ocupam as mais variadas posições.
A geometria estuda diversas formas geométricas, dentre elas destacam-se: os prismas,
pirâmides, cilindros, cones, esferas, entre outros, na qual recebem o nome de poliedros
geométricos. No entanto, cinco destes merecem destaque, que são os conhecidos poliedros de
Platão.
Segundo Marques (2015) os poliedros platónicos são poliedros convexos cujas arestas
formam polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os
descobriu em cerca de 400 a.C.. Para Platão o universo era formado por um corpo e uma
alma, ou inteligência, ainda concebia que o mundo era constituído por quatro elementos
básicos: a Terra, o Fogo, o Ar e a Água, e estabelecia uma associação mística entre estes e os
poliedros (Figura 1).
Figura 1 - Poliedros regulares
Fonte: Marques (2015).
Platão associou cada poliedro a um elemento da natureza, utilizando os argumentos
seguintes para justificar algumas associações: tetraedro – representa o mais luminoso e
agudo dos elementos, o fogo; cubo ou hexaedro – representa o mais estável dos elementos, a
terra; icosaedro – representa o elemento mais móvel e fluido de todos, ou ainda, destaca-se
como aquele que desliza mais facilmente, a água; octaedro – representa o ar e dodecaedro –
representa todo o Universo.
No Quadro 4 apresentamos o que caracteriza cada uma das classificações dos
poliedros de Platão.
Quadro 4 – Classificação dos poliedros de Platão quanto ao número de faces, vértices e arestas
Polígono da face F V A
Tetraedro regular Triângulo equilátero 4 4 6
Hexaedro (cubo)
regular
Quadrado 6 8 12
Octaedro regular Triângulo equilátero 8 6 12
Dodecaedro regular Pentágono regular 12 20 30
Icosaedro regular Triângulo equilátero 20 12 30
Fonte: Giovanni e Bonjorno (2000).
Ainda destacamos as principais características e classificação (Quadro 5) dos demais
poliedros e corpos redondos que compõe o conjunto de sólidos geométricos.
Poliedros são sólidos geométricos cujas superfícies são formadas somente por
polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, entre outros). O nome poliedro é derivado
do grego: poli (muitas) + edro (faces). Destaca-se entre eles:
Prismas: é um sólido geométrico delimitado por faces planas no qual as bases se
situam em planos paralelos, suas faces laterais possuem a forma de paralelogramos, os
prismas podem ser retos ou oblíquos, e ainda, classificados em triangulares, quadrangulares,
pentagonais, hexagonais, entre outros.
Pirâmides: apresentam uma classificação semelhante à de um prisma, ou seja, pelo
formato de sua base, por exemplo, se sua base for triangular, teremos uma pirâmide
triangular, se sua base for um pentágono, teremos uma pirâmide pentagonal, e assim
sucessivamente. Vale ainda destacar que suas faces laterais são triângulos.
Corpos Redondos: se destacam por serem diferentes dos demais poliedros em que
todas as faces são planas, os corpos redondos possuem todas, ou algumas de suas faces não
são planas, dentre eles destacamos a esfera, cilindro e cone (Musse e Luiz, 2011).
Quadro 5 - Classificação de sólidos geométricos
Classe dos Poliedros:
Prismas
Pirâmides
Outros poliedros
Classificação dos corpos redondos: São sólidos
geométricos cujas superfícies têm ao menos uma parte
que é arredondada (não plana).
Esfera
Cilindros
Cone
Classe de outros sólidos geométricos São os que não possuem uma forma definida, por
exemplo, um tubo de cola.
Fonte: Etevm (2012) e Giovanni e Bonjorno (2000).
A etapa seguinte se deu com o desenvolvimento das atividades aliando ao processo
ensino aprendizagem as ferramentas das tecnologias, ou seja, a apresentação do software
matemático poly. O mesmo permite a investigação de sólidos tridimensionalmente com
possibilidade de movimento, dimensionalmente planificação e de vista topológica. Possui
uma grande coleção de poliedros, platônicos e arquimedianos entre outros.
No Quadro 6, ilustra-se algumas representações de superfícies de poliedros
desmontados.
Quadro 6 - Exemplos de planificações de poliedros geométricos
Fonte: Os autores.
A etapa seguinte deu-se com a aplicação do jogo dominó geométrico (Figura 2).
Segundo Brasil (2014), é importante reconhecer que este jogo possibilita o trabalho
com representações planas de sólidos geométricos e não efetivamente com os próprios
poliedros. Para a aplicação deste sugere-se no máximo quatro (04) participantes. A seguir
descrevem-se as regras do mesmo:
1) As cartas do dominó devem ser embaralhadas e distribuídas igualmente entre os
jogadores. Caso se opte por quatro jogadores, a peça eu sobrar deverá ser colocada
sobre a mesa.
2) Um dos jogadores inicia a partida, escolhendo uma de suas cartas.
3) Os demais colocam as peças de modo a associar corretamente o modelo geométrico
aos objetos.
4) Se um jogador não tiver a peça indicada, ele deverá passar a vez.
5) Vence o jogador que utilizar primeiro todas as suas cartas.
Figura 2 - Dominó geométrico
Fonte: Brasil (2014).
Ao concluir o conjunto de atividades propostas na sequência didática considera-se que
esta pode proporcionar a abordagem de inúmeros aspectos que resultam no desenvolvimento
de atividades com a utilização de materiais manipulativos e tecnológicos.
Considerações Finais
Ao concluir esta atividade, que permitiu explorar os conceitos da Geometria, pode-se
estabelecer alguns aspectos importantes em relação á mesma. O primeiro diz respeito às
formas de abordar os conceitos de Geometria na sala de aula de forma significativa, criativa e
dinâmica, tendo como objetivo classificar as figuras geométricas de acordo com suas
características. O segundo, de aliar o processo ensino aprendizagem às ferramentas das
tecnologias, ou seja, a apresentação do software matemático Poly das figuras geométrica
espaciais facilita a diferenciação entre os elementos constituintes da geometria plana e da
geometria espacial, pois este software permite visualizar a figura na forma espacial e sua
planificação. Em terceiro de promover a interação social, permitindo a exploração do jogo
“Dominó Geométrico”, promovendo a socialização entre os participantes e a associação
corretamente do modelo geométrico aos objetos.
Por fim, almeja-se a compreensão e a aprendizagem sobre os conceitos relacionados à
geometria.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais:
Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Apoio à Gestão Educacional. Pacto
Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: Jogos na alfabetização matemática. Brasília:
MEC/SEB, 2014.
ETEVM. Poliedros de platão. Visconde de Mauá, 08 mai. 2012. Disponível em:
http://etevm.g12.br/blogs/matematica/2012/05/08/solidos-de-platao/. Acesso em: 08 abr. 2015
______. Poliedros de platão. Disponível em:
http://etevm.g12.br/blogs/matematica/2010/10/28/poliedros-de-platao. Acesso em: 1 abr.
2015.
FINKER, Alexsandra Cibelly, et al. Ensino fundamental: 7ª. Série, 1.v. Curitiba: Positivo,
2008.
FLEMMING, Diva Marília; LUZ, Elisa Flemming; MELLO, Ana Cláudia Collaço de.
Tendências em educação matemática. 2. ed. Palhoça: Unisul Virtual, 2005.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. 2.v.
São Paulo: FTD, 2000.
MARQUES, Sylvie. Poliedros platónicos. Disponível em:
http://avrinc05.no.sapo.pt/index.htm
Acesso em: 11 abr. 2015.
MUSSE, Jorge de Oliveira; LUIZ, Learcino dos Santos. Conteúdos e metodologias do
ensino de matemática I. Caderno Pedagógico. 1. ed. Florianópolis: DIOESC, 2011
PAIVA, Manoel. Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2009.
SAAB, Maria Aparecida Cirino. Matemática. Curitiba: Positivo, 2007.
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