MANOEL PEDRO DE ARAÚJO
O DESLOCAMENTO DE GOOS-HÄNCHEN E OS FENÔMENOS DA QUEBRA
DE SIMETRIA PARA FEIXES GAUSSIANOS
CAMPINAS
2015
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Instituto Física “Gleb Wataghin”
MANOEL PEDRO DE ARAÚJO
O DESLOCAMENTO DE GOOS-HÄNCHEN E OS FENÔMENOS DA QUEBRA
DE SIMETRIA PARA FEIXES GAUSSIANOS
Tese de doutorado apresentada ao Instituto de Física da
Universidade Estadual de Campinas como parte dos re-
quisitos exigidos para obtenção do título de Doutor em
Ciências.
Orientador: Prof. Dr. Stefano De Leo
Co-orientador: Prof. Dr. Luís Eduardo Evangelista de Araujo
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO
FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO
MANOEL PEDRO DE ARAÚJO, E ORIENTADA
PELO PROF. DR. STEFANO DE LEO.
Assinatura do Orientador
CAMPINAS
2015
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Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Física Gleb WataghinValkíria Succi Vicente - CRB 8/5398
Araújo, Manoel Pedro de, 1980- Ar15d AraO deslocamento de Goos-Hänchen e os fenômenos da quebra de simetria
para feixes gaussianos / Manoel Pedro de Araújo. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
AraOrientador: Stefano De Leo. AraCoorientador: Luis Eduardo Evangelista de Araujo. AraTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física
Gleb Wataghin.
Ara1. Goos-Hänchen, Deslocamento. 2. Simetria quebrada (Física). 3. Feixes
gaussianos. I. De Leo, Stefano,1966-. II. Araujo, Luis Eduardo Evangelistade,1971-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física GlebWataghin. IV. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: The Goos-Hänchen shift and the phenomena of symmetry breakingfor gaussian beamsPalavras-chave em inglês:Goos-Hänchen shiftSymmetry breaking (Physics)Gaussian beamsÁrea de concentração: FísicaTitulação: Doutor em FísicaBanca examinadora:Stefano De Leo [Orientador]Alex Eduardo de BernardiniAntonio Zelaquett KhouryGustavo Silva WiederheckerNewton Cesário FrateschiData de defesa: 08-06-2015Programa de Pós-Graduação: Física
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Resumo
Esta tese apresenta uma análise sobre o deslocamento de Goos-Hänchen, o desvio
angular da lei de Snell e o efeito de interferência entre feixes ópticos gaussianos.
Em nosso estudo o deslocamento de Goos-Hänchen foi obtido por meio do método
da fase estacionária. No regime de incidência crítica, tal deslocamento apresenta uma
forte dependência com a largura do feixe, em contraste com as expressões clássicas de
Artmann, que predizem um deslocamento infinito. Também na incidência crítica, obser-
vamos que, dependendo da magnitude da largura da cintura do feixe, ocorre uma quebra
de simetria na distribuição de momento. A maximização da quebra de simetria leva ao
desvio angular da lei de Snell. Mostramos como reproduzir a máxima quebra de simetria
por uma estrutura dielétrica. Como resultado, obtivemos uma nova fórmula analítica para
o desvio angular. Ademais, foi possível estimar o deslocamento de Goos-Hänchen por
meio do efeito de interferência entre feixes. Nesta análise, observamos que, na incidên-
cia crítica, a estimativa usada na literatura para o deslocamento de Goos-Hänchen não é
válida. Portanto, uma nova fórmula foi introduzida para estimar tal deslocamento.
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Abstract
This thesis presents some of the main phenomena associated with Goos-Hanchen shift,
the angular deviation of the Snell’s law and the interference effect among Gaussian optical
beams.
In our study the Goos-Hänchen shift was obtained by using the stationary phase
method. In the case of incidence at critical angle, such displacement shows a strong de-
pendence on the beam width in contrast with the classical expressions of Artmann, which
predict an infinite displacement. Also in the critical incidence we observed that, depen-
ding on the magnitude of the beam waist, there is a symmetry breaking in the momentum
distribution. The maximization of symmetry breaking leads to the angular deviations of
the Snell’s law. In this analysis we showed how to maximize this breaking of the sym-
metry by a dielectric structure. As a result, we obtained an analytical formula to the
Snell’s law angular deviation. Furthermore, we could estimate the displacement of Goos-
Hänchen through the interference effect among beams. The results of this analysis reveal
that, for the critical incidence, the estimative used in the literature for the Goss-Hänchen
shift is not valid. Therefore, a new formula was introduced to estimate such displacement.
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Sumário
1 Introdução 1
1.1 Contribuições originais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Estrutura da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Teorias fundamentais 6
2.1 As leis de reflexão e refração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 O deslocamento de Goos-Hänchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Transmissão em blocos dielétricos 13
3.1 Laser de perfil gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Estrutura dielétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Fase óptica 24
4.1 Fase de Snell e a Lei de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Ângulos de incidência maior que o ângulo crítico (θ > θcri) . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Incidência no ângulo crítico (θ = θcri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.3 Análise numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 O fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana 35
5.1 Modelando a quebra de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xi
5.2 Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Medida do deslocamento de Goos-Hänchen por meio do efeito de interferência 48
6.1 Interferência entre feixes de diferentes polarizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Efeito de interferência em experimentos ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 O comportamento do máximo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 Conclusões 65
7.1 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Perspectivas de trabalho futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Bibliografia 72
xii
Construí amigos, enfrentei derrotas, venci obstácu-
los, bati na porta da vida e disse-lhe: Não tenho medo
de vivê-la.
Augusto Cury
xiii
xiv
Agradecimentos
Agradeço em primeiro lugar a Deus que iluminou o meu caminho durante esta caminhada.
À minha família, que forneceram as ferramentas necessárias para que eu estudasse e sempre me
incentivaram a valorizar o conhecimento.
Ao professor doutor Stefano De Leo, orientador desta tese, por todo empenho, sabedoria, compre-
ensão e paciência na orientação. Também, gostaria de ratificar suas discussões, revisões e sugestões
que tornaram possível a conclusão deste trabalho.
Ao professor doutor Luís Araújo pelo aceite de coorientação desta tese.
Agradeço aos professores doutores Newton Cesario Frateschi e Marcos Cesar de Oliveira, que
participaram como membros da banca de qualificação de pré-requisito deste trabalho, em face de suas
sugestões e discussões.
Também gostaria de agradecer aos professores doutores Alex Eduardo de Bernardini, Antonio
Zelaquett Khoury, Gustavo Silva Wiederhecker e Newton Cesário Frateschi por suas sugestões e dis-
cussões.
Aos alunos que fazem parte de nosso grupo pesquisa, por tantos anos de convivência e amizade,
em especial queles que estiveram envolvidos mais diretamente no desenvolvimento desta tese.
Por fim, ressalto a Capes, pelo apoio governamental que manteve o financiamento desta pesquisa.
Também, um particular agradecimento à UNICAMP, onde pude obter a condição necessária e sufici-
ente para o sucesso de minha vida profissional.
xv
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Lista de Figuras
1.1 Propagação da luz no regime de reflexão total (b). O deslocamento lateral D representa
o deslocamento de Goos-Hänchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.1 Propagação da luz no regime de reflexão parcial, através de dois meios dielétricos
de índices de refração n1 e n2 . Nesta figura ϕin , ϕref e ϕtra representam os ângulos
de incidência, reflexão e transmissão, respectivamente. A lei de reflexão garante que
ϕin = ϕref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Propagação da luz no regime de reflexão parcial (a) e total (b). Em (b) dGH representa
o deslocamento obtido por Goos-Hänchen em 1947 [1]. . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência.
Tal deslocamento apresenta um comportamento infinito para a incidência no ângulo
crítico, ϕcri = arcsin(1/n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Representação esquemática do experimento de Goos-Hänchen retirada do artigo ori-
ginal Annalen der Physik 1947 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
xvii
3.1 Representação geométrica. (a) Esquema representativo da geometria do bloco die-
létrico, dos sistemas de coordenadas e um feixe incidente proveniente de uma fonte S.
O feixe incide sobre a superfície sob o ângulo de reflexão interna total. Na incidência
crítica (b), apresentamos a correção do caminho óptico (dGH) com relação ao caminho
óptico previsto pela lei de Snell (ySnell). (c) A amplificação do deslocamento de GH é
dada por meio de múltiplas reflexões da luz em uma estrutura dielétrica composta por
N blocos em série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1 A distribuição gaussiana de momento. Evolução da distribuição gaussiana de mo-
mento para diferentes ângulos de incidência. A linha pontilhada representa a dis-
tribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linha contínua representa a a
distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0. . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen
em função do ângulo de incidência para o índice de refração fixo n =√
2 e para três
diferentes valores do parâmetro kw0. Os dados numéricos (linhas tracejadas) estão
em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento de Goos-
Hänchen, d[s, p]
GH,cri(ponto) e d
[s, p]
GH(linha contínua para kw0 = 500). . . . . . . . . . . . . 32
4.3 O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução numérica do deslocamento de Goos-
Hänchen em função do índice de refração para o ângulo de incidência, θ = 0 e três
valores diferentes de kw0. Os dados numéricos (linhas tracejadas) estão em excelente
acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen, d[s, p]
GH,cri
(ponto) e d[s, p]
GH(linha contínua para kw0 = 500). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1 O modelo da quebra de simetria. A quebra de simetria da distribuição gaussiana de
momentos gera uma dependência axial para o pico do feixe óptico (b). Esta dependên-
cia é mostrada em (c). Para o valor médio transversal é possível obter uma expressão
analítica axial linear, como na Eq. (5.7), que é confirmada em (d). . . . . . . . . . . 37
xviii
5.2 Representação geométrica. A quebra de simetria gera um desvio angular α da lei de
Snell como está representado em (a) junto com o deslocamento de Goos-Hänchen. A
quebra de simetria é maximizada por uma contribuição de N blocos (b) que em um
experimento óptico pode ser realizado por um prisma longo de lados N BC e AB. . . 39
5.3 A quebra de simetria para N blocos dielétricos. Os gráficos mostram que, para
maximizar a quebra de simetria, temos que diminuir a cintura do feixe, aumentar o
número de blocos e usar ondas polarizadas p. Para tais ondas, uma escolha apropriada
para obter a quebra máxima de simetria é representada por N = 50 e kw0 = 103. . . . 40
5.4 O desvio angular da lei de Snell. Evolução da dependência axial do pico e o va-
lor médio transversal na incidência crítica para a cintura do feixe w0 fixa para dife-
rentes números de blocos N. O desvio angular é evidente em (b) e (d). Notamos
que os pontos físicos nos quais podem ser feita a análise experimental são dados por
zout = zin +N tanϕc AB (pontos× nos gráficos). Os pontos • representam os pontos da
análise numérica para os blocos de borossilicato e sílica fundida (Tab. 5.1). . . . . . 43
5.5 O fenômeno de múltiplos picos. Para kw0 = 103, o feixe óptico transmitido apre-
senta o fenômeno de múltiplos picos. Tal fenômeno é diretamente relacionado ao
alargamento do feixe óptico e é pelo fato de que na distribuição de momento as com-
ponentes de momento negativas são superadas pelas componentes positivas. . . . . . 45
5.6 O efeito focal. Para kw0 = 104, o fenômeno de múltiplos picos não é muito evidente.
Porém, um novo fenômeno aparece. Pelo fato da contribuição de segunda ordem da
fase de óptica, no feixe transmitido podemos observar o efeito de focalização como
mostra em (f). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
xix
6.1 Configuração experimental. Montagem experimental para observar a distância entre
o pico principal do feixe para duas rotações opostas, ±∆ε, do segundo polarizador.
O feixe incidente antes do primeiro polarizador (α = π/4) possui uma mistura igual
de ondas polarizadas s e p, passa pelo bloco dielétrico (zin < z < zout) e passa pelo
do analisador em z = zA perdendo a fase ∆φGH . A interferência óptica é realizada por
meio da mudança do ângulo de rotação do segundo polarizador (β = 3π/4± |∆ε|).
Para ∆ε = 0 o feixe se propaga com dois máximos iguais centrados em ±w(z)/√
2. . 51
6.2 As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de borossilicato. Os
dados numéricos para o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos
através de um bloco dielétrico de borossilicato, são ilustrados no intervalo 10cm ≤
z ≤ 15cm, para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a),
300µm (b), e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na
incidência crítica é evidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional. 53
6.3 As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de sílica fundida. Os
dados numéricos para o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos
através de um bloco dielétrico de sílica fundida são ilustrados no intervalo 10cm≤ z≤
15cm para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm
(b) e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na in-
cidência crítica é evidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4 dependência angular de τ e ∆ΦGH . A dependência angular de τ (taxa entre os mó-
dulos das amplitudes para a luz polarizada s e p) e ∆φGH (diferença de fase entre as
ondas polarizadas s e p) são ilustradas em (a) para blocos dielétricos de borossilicato
e (c) sílica fundida. Na região crítica, τ é aproximada igual a um. Isso foi usado para
simplificar a expressão para feixe transmitido, como mostra a Eq. (6.12). . . . . . . 60
xx
6.5 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato. As curvas
previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco
dielétrico borossilicato e passando através do segundo polarizador para duas rotações
opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm ≤ z ≤ 15cm para diferentes valores da
largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir a
dependência axial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a
curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é
perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . . 61
6.6 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de sílica fundida. As cur-
vas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco
dielétrico de sílica fundida e passando através do segundo polarizador para duas rota-
ções opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para diferentes valores
da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir
a dependência axial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que
a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é
perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . 62
6.7 As curvas do deslocamento de GH para blocos borossilicato e sílica fundida. Os
dados numéricos para o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos transmitidos
através de blocos dielétricos de borossilicato(a) e de sílica fundida(b) são ilustrados
no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm. A mu-
dança de comportamento do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência
crítica é evidente. Por outro lado, a dependência axial foi reduzida. . . . . . . . . . . 63
xxi
6.8 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato e sílica
fundida. As curvas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes
saindo de blocos dielétricos de borossilicato (a) e de sílica fundida(b) e passando atra-
vés do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo
10cm ≤ z ≤ 15cm, para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm. Observamos que
a dependência axial foi reduzida para tal cintura de feixe. Note que a curva de ampli-
ficação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é perdida quando
a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.1 Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussiana de mo-
mento para um ângulo de incidência maior que o ângulo crítico, k w0 σ(n, θ) =−5. A
linha contínua representa a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0. 65
7.2 Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussiana de mo-
mento para a incidência no ângulo crítico, k w0 σ(n, θ) = 0. A linha pontilhada re-
presenta a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linha contínua
representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0. . . . . . . 66
7.3 Quebra de simetria para N blocos dielétricos. Para ondas polarizadas p, os gráficos
mostram que para maximizar a quebra de simetria, temos que aumentar o número de
blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4 Curvas do efeito de interferência para blocos de borossilicato. As curvas previstas
para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico e
passando através do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas
no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para largura da cintura do feixe 300µm. . . . . . . . 68
xxii
Lista de Tabelas
5.1 A desviação da lei de Snell para blocos dielétricos de borossilicato e sílica fundida.
A posição numérica do pico ymax,T e valor médio transversal 〈y〉T do feixe transmitido
na incidência crítica são listados para ondas polarizadas s e p para índices de refração
diferentes em função do número de blocos N e para a taxa fixa da largura da cintura do
feixe/comprimento de onda kw0 e da distância axial z. Notamos que com o aumento
do número de blocos ocorre o aumento do desvio da lei de Snell. . . . . . . . . . . 44
xxiii
xxiv
Capıtulo 1Introdução
O efeito de Goos-Hänchen é um fenômeno óptico em que a luz linearmente polarizada sofre um
deslocamento lateral (deslocamento paralelo ao plano de incidência), quando é totalmente refletida
(veja Fig. 1.1).
b
D
b bc
Figura 1.1: Propagação da luz no re-gime de reflexão total (b). O desloca-mento lateral D representa o desloca-mento de Goos-Hänchen.
Na reflexão total da luz, uma onda evanescente aparece no meio
de menor índice refrativo. Estas ondas evanescentes e o efeito de
interferência entre as ondas incidente e refletida no meio de maior ín-
dice refrativo são responsáveis pelo deslocamento lateral da luz refle-
tida. Este fenômeno foi observado experimentalmente pela primeira
vez em 1947 pelos físicos Goos e Hänchen e explicado teoricamente
por Kurt Artmann em 1948 pelo uso do método da fase estacioná-
ria [2].
Além do deslocamento de Goos-Hänchen, foi descoberto em
1955 por Fedorov [3] outro efeito semelhante a este. Fedorov [3],
observou que quando um feixe circularmente ou elipticamente pola-
rizado é totalmente refletido, este sofre um deslocamento transverso
(deslocamento perpendicular ao plano de incidência). Imbert [4] cal-
culou este deslocamento pelo uso do método do fluxo de energia desenvolvido por Renard [5] para o
deslocamento de Goos-Hänchen. Este fenômeno ficou conhecido por efeito de Imbert-Fedorov.
Estes deslocamentos não são efeitos particulares para a luz, são efeitos ondulatórios e que podem
1
2
acorrer tanto para onda de luz quanto para ondas de partículas da mecânica quântica. Em Mecânica
quântica não relativística, o deslocamento de Goos-Hänchen está associado com “delay time” [6].
Neste contexto, destacamos o trabalho de Renard [5], no qual ele obteve expressões para o desloca-
mento lateral para onda de luz da óptica clássica e para ondas associadas com partículas da mecânica
quântica. Por outro lado, o efeito Imbert-Fedorov está relacionado ao efeito Hall do spin da luz [7, 8]
devido à separação ortogonal em relação ao plano de incidência de duas componentes do spin do feixe
refletido ou transmitido.
Estudos teóricos e experimentais têm sido realizados sobre o deslocamento de Goos-Hänchen. A
começar por Artmann, que foi o primeiro a obter expressões analíticas, estas expressões apresentam
um comportamento infinito na incidência crítica. Muitas tentativas foram realizadas para resolver o
problema do infinito [5,9], Horowitz e Tamir [10] obtiveram uma expressão para o deslocamento pelo
uso da aproximação de fresnel. A expressão obtida apresenta validade para ângulos de incidência
próximos do ângulo crítico. Além disso, temos também as dificuldades experimentais para medir tal
deslocamento. O processo de media do deslocamento de Goos-Hänchen é em geral uma tarefa difícil
por ser um deslocamento da ordem do comprimento de onda da luz. Muitas técnicas foram utilizadas
para a medida desse deslocamento, detre elas destacamos a técnica de múltiplas reflexões [1] e a
técnica de interferência entre feixes que, pode ser entendia como a medida fraca óptica. Esta técnica é
um análogo óptico da medida faca quântica, conceito introduzido por [11]. A técnica de interferência
permite amplificar o efeito de Goos-Hänchen, permitindo resultados validos somente no regime de
reflexão interna total.
Ao longo dos anos, o deslocamento de Goos-Hänchen tem sido objeto de consideráveis estudos,
não somente da sua importância sobre as propriedades fundamentais da luz, mas também por sua
aplicação em muitas áreas da física, tais como acústica [12], física de plasmas [13] e mecânica quântica
[14].
Nesta tese analisaremos o efeito de Goos-Hänchen para feixes gaussianos transmitidos através
de blocos dielétricos estratificados e homogêneos. Em tal análise usaremos uma técnica de cálculo
usada em problemas em mecânica quântica, com base nos artigos feitos por Rotelli e De Leo [15–17].
A descrição do feixe baseia-se no formalismo de pacotes de onda, considerando uma distribuição
gaussiana de momentos.
2
1.1. Contribuições originais 3
1.1 Contribuições originais
Apesar de grande parte deste trabalho incidir sobre temas já abordados, apresentamos algumas
novas contribuições precedentes as seguintes:
•Mudança de comportamento da largura da cintura do feixe e do comprimento de onda para o
deslocamento de Goos-Hänchen [18];
Nesta etapa, solucionamos o problema da infinidade na incidência crítica para o deslocamento de
Goos-Hänchen. Em tal incidência, obtemos o deslocamento de Goos-Hänchen amplificado por um
fator√
w0/λ, em que w0 representa a largura da cintura do feixe e λ o comprimento de onda.
• Efeito de Goos-Hänchen assimétrico [19];
Nesta análise, observamos que a quebra de simetria na distribuição de momento na incidência
crítica causa um efeito dinâmico ao deslocamento de Goos-Hänchen.
• Quebra máxima de simetria no ângulo crítico e expressão fechada para desvios angulares da
lei de Snell [20];
A amplificação da quebra de simetria na distribuição de momento na incidência crítica leva a um
desvio angular máximo da lei de Snell. Em consequência, foi possível obter uma fórmula analítica
para o desvio angular.
• Dependência axial na interferência entre feixes na região crítica [21].
Na incidência crítica, a estimativa para o deslocamento de Goos-Hänchen via interferência entre
feixes ópticos não é válida. Conseguimos aperfeiçoar esta técnica para a incidência crítica e uma nova
fórmula foi introduzida para estimar tal deslocamento.
1.2 Estrutura da tese
A presente tese encontra-se estruturada em sete capítulos, correspondendo o Capítulo 1 à sua
introdução. Os restantes capítulos encontram-se organizados da seguinte forma: Capítulo 2-Teorias
fundamentais, Capítulo 3-Transmissão em blocos dielétricos, Capítulo 4-Fase óptica, Capítulo 5-O
fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana, Capítulo 6-Medida do deslocamento de
Goos-Hänchen por meio do efeito de interferência e, por fim, o Capítulo 7- Conclusões e perspectivas
3
4 1.2. Estrutura da tese
de trabalho futuro.
• Capítulo 2
Neste capítulo introduzimos as leis de reflexão e refração da luz e a teoria de Artmann para o
deslocamento de Goos-Hänchen. O capítulo 2 encontra-se organizado em duas seções. Na seção
2.1 fazemos uma pequena introdução histórica sobre as leis de refração e reflexão. Na seção 2.2
apresentamos a teoria de Artmann com base no formalismo de pacote de onda para o deslocamento de
Goos-Hänchen.
• Capítulo 3
Neste capítulo introduzimos a geometria do sistema dielétrico, e abordamos a propagação do feixe
gaussiano através desse sistema. O capítulo 3 encontra-se organizado em duas seções. Na seção
3.1 introduzimos o laser de perfil gaussiano, de modo a realizar uma pequena introdução de suas
propriedades matemáticas e físicas. Na seção 3.2 apresentamos o sistema dielétrico e a evolução do
feixe gaussiano através deste meio. A evolução do feixe baseia-se na analogia com o potencial da
mecânica quântica.
• Capítulo 4
Neste capítulo analisamos para feixe transmitido às fases de Snell e adicional. Este capítulo está
organizado em duas seções. A seção 4.1 tem como objetivo a obtenção do caminho óptico para um
feixe obtido por meio do método da fase estacionária que representa uma alternativa aos métodos
da óptica geométrica. Na seção 4.2 abordamos a condição para a existência da fase adicional que é
responsável pelo deslocamento de Goos-Hänchen, sendo esta seção dividida em três subseções. Na
subseção 4.2.1 analisamos o deslocamento de Goos-Hänchen para ângulos de incidência maior que o
ângulo crítico. Na subseção 4.2.2 abordamos o problema da infinidade no ângulo crítico. Por fim, na
seção 4.2.3 apresentamos uma análise numérica para o deslocamento de Goos-Hänchen.
• Capítulo 5
Neste capítulo efetuamos o estudo do fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana.
A amplificação deste efeito leva ao desvio angular da lei de Snell. O capítulo 5 encontra-se estruturado
em três seções. Na primeira seção, 5.1, apresentamos de forma sucinta a quebra máxima de simetria
para um feixe modelado assimetricamente. Na seção, 5.2 fazemos somente uma proposta para ob-
servar a quebra de simetria em experimentos reais ópticos e observar em quais circunstâncias isso é
4
1.2. Estrutura da tese 5
possível reproduzir o desvio máximo angular. Por fim, na seção, 5.3 analisamos em quais condições
será possível maximizar a quebra de simetria e obter uma fórmula analítica para o desvio angular da
lei de Snell.
• Capítulo 6
Neste capítulo apresentamos a estimativa do deslocamento de Goos-Hänchen por meio da medida
fraca óptica. O capítulo 6 está organizado em três seções. Na seção 6.1 efetuamos a análise do efeito
de interferência entre feixes de diferentes polarizações, analisando a distância entre os picos do feixe
transmitido. Na seção 6.2 analisaremos a dependência axial no deslocamento de Goos-Hänchen. Na
seção 6.3 estudamos o comportamento dos picos dos feixes. Na seção 6.4 analisamos em que condi-
ções é possível evitar deformações axiais e reproduzir as curvas do deslocamento de Goos-Hänchen.
Para finalizar, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões obtidas ao longo da tese, tendo especial
atenção os resultados de maior importância, assim como as perspectivas de trabalho futuro.
5
Capıtulo 2Teorias fundamentais
Esta seção contém uma breve introdução histórica sobre as leis, de reflexão, de refração e o efeito
de Goos-Hänchen. O efeito de Goos-Hänchen será analisado com base na teria de Artmann pelo uso
do formalismo de pacote de onda do tipo gaussiano.
2.1 As leis de reflexão e refração
ϕin ϕref
ϕtra
b
n1
n2
I R
T
b bc
Figura 2.1: Propagação da luz no regime dereflexão parcial, através de dois meios dielétri-cos de índices de refração n1 e n2 . Nesta fi-gura ϕin , ϕref e ϕtra representam os ângulos deincidência, reflexão e transmissão, respectiva-mente. A lei de reflexão garante que ϕin = ϕref .
A lei da reflexão (o ângulo de incidência é igual ao ân-
gulo de reflexão, ϕin = ϕref , veja Fig.2.1) foi objeto de estudo
por parte do matemático grego Euclides de Alexandria já em
(300 a.C.). No tratado, denominado Catóptrica, ele descre-
veu o comportamento de raios luminosos refletidos por espe-
lhos planos e esféricos [22–24].
Em 1621, o holandês Willebrord van Royen Snell des-
cobriu experimentalmente a lei de refração, um dos grandes
pilares da óptica geométrica. Por meio desta lei, podemos
conhecer a deflexão de um raio luminoso quando este atra-
vessa uma interface entre dois meios de diferentes índices de
refração [24].
René Descartes publicou em 1637 a formulação familiar
6
2.1. As leis de reflexão e refração 7
da lei de refração em termos da razão dos senos (sinϕin/sinϕtra = constante). Ele deduziu esta lei
usando o modelo em que a luz era uma pressão transmitida por um meio elástico [25].
A razão dos senos representa a segunda lei de refração, que é conhecida também como lei de Snell,
lei de Descartes ou lei de Snell-Descartes.
Atualmente, a lei refração da luz é representada da seguinte maneira:
• A primeira lei da refração
O raio de luz incidente (I), o raio refratado (T) e a normal (linha pontilhada) à inter-
face que separa os dois meios, estão contidos no mesmo plano, denominado plano de
incidência da luz.
• A segunda lei da refração
A razão entre o seno do ângulo de incidência e o seno do ângulo refratado é uma cons-
tante.
Matematicamente, pode ser expressa pela equação
sinϕin
sinϕtra
= n21 (2.1)
ou
n1 sinϕin = n2 sinϕtra . (2.2)
Nestas equações, n1 e n2 representam os índices de refração referentes ao meios 1 e 2, e n21 o índice de
refração do meio 2 relativo ao meio 1. ϕin é denominado ângulo de incidência entre o feixe incidente
(I) e a normal (representada pela linha pontilhada), e ϕtra o ângulo de refração entre o feixe refratado
(T) e a normal. Inicialmente, a segunda lei foi apresentada na forma da Eq. (2.1). No entanto, ela é
mais fácil de ser deduzida na forma da Eq. (2.2). Para detalhes da dedução da primeira e segunda lei
de refração veja a referência [23].
7
8 2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen
2.2 O deslocamento de Goos-Hänchen
Observando-se a Eq. (2.2) é interessante ressaltar que, quando o feixe de luz se propaga a partir de
um meio dielétrico mais denso (n1) para outro menos denso (n2) e o ângulo de incidência for maior
que o ângulo crítico de reflexão total, ϕin > ϕcri = arcsin(n2/n1 ), o feixe refletido na interface do
segundo meio sofre reflexão total. A luz linearmente polarizada com campo elétrico perpendicular
ao plano de propagação (polarização s) sofre um deslocamento lateral quando refletida totalmente.
A existência desse efeito foi observado por Newton, com base no seu trabalho “Opticks”, publicado
em 1718 [26]. Na presença de reflexão total, Hermann Fritz Gustav Goos e Hilda Lindberg-Hänchen
observaram experimentalmente um deslocamento lateral do feixe refletido, como também obtiveram
fenomenologicamente as expressões para tal deslocamento. Em reconhecimento a seus descobridores,
este fenômeno ficou conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen.
Posteriormente, Hilda recebeu seu título de doutora em 1943 na Universidade de Hamburg sob a
supervisão de Fritz Goos, com dissertação intitulada:
“Penetração da luz totalmente refletida em um meio raro”.
Seu trabalho resultou em um artigo intitulado:
“Novo e fundamental experimento sobre reflexão total”,
publicado na revista alemã Annalen der Physik em 1947 [1] .
Em 1948, Von Kurt Artmann propôs a primeira derivação teórica para este fenômeno [2] com
base no método. A partir das equações de Fresnel, Artmann observou no regime de reflexão total
uma diferença de fase entre os feixes incidente e refletido. Por meio desta análise, apresentou duas
expressões diferentes para este fenômeno: uma para onda polarizada s e outra para onda polarizada p
(campo magnético perpendicular ao plano de propagação). Em 1949, Goos e Hänchen fizeram novos
experimentos e confirmaram, que o deslocamento lateral depende da polarização da luz [27].
Nesta seção, vamos ilustrar a ideia de Artmann usando o formalismo que será usado nesta tese,
consideramos uma distribuição gaussiana angular centrada em ϕ0,
g(ϕ−ϕ0) =k w0
2√
πexp[−(k w0 )
2(ϕ−ϕ0)
2/4]. (2.3)
8
2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen 9
na qual k = 2π/λ representa o número de onda associado ao comprimento de onda λ e w0 a largura da
cintura do feixe. O campo elétrico incidente para onda polarizada s é obtido fazendo-se a convolução
da onda plana,
exp [ i(nk sinϕy+nk cosϕz)]
com a distribuição gaussiana, Eq. (2.3), da seguinte forma,
E[s]
in(y,z) = E0
∫dϕ g(ϕ−ϕ0) exp [ i(nk sinϕy+nk cosϕz)] . (2.4)
O feixe incidente se propaga de um dielétrico, com índice de refração n, para o ar, como mostra na
Fig. 2.2-a, o campo incidente ao encontrar o ar produz um campo refletido e um transmitido, cujas
equações são respectivamente dadas por
E[s]
ref(y,z) = E0
∫dϕ g(ϕ−ϕ0)R
[s]exp [ i(nk sinϕy−nk cosϕz)]
E[s]
tra(y,z) = E0
∫dϕ g(ϕ−ϕ0)T
[s]exp [ i (k sin ϕy+ k cos ϕz)] .
(2.5)
Os coeficientes
R[s]=
ncosϕ−√
1−n2 sin2ϕ
ncosϕ+
√1−n2 sin
2ϕ
e T[s]=
2n cosϕ
ncosϕ+
√1−n2 sin
2ϕ
(2.6)
representam as amplitudes de Fresnel para ondas polarizadas de tipo s [22].
Utilizando-se o método da fase estacionária [28, 29], podemos determinar o caminho óptico para
o centro dos feixes incidente, refletido e transmitido. A ideia principal desse método apoia-se no
cancelamento das oscilações senoidais devido à variação rápida da fase. A contribuição dominante
para integral ocorre quando a fase é estacionária, ou seja, quando a derivada da fase é nula.
No caso de reflexão parcial, temos n sinϕ< 1, conforme mostra a Fig. 2.2-a, e os caminhos ópticos
9
10 2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen
ϕ0 ϕ0
ϕ0
z
y
I R
T
n
Ar
n sin ϕ0 < 1
n sin ϕ0 = sin ϕ0
b
(a)
n sin ϕ0 > 1
dGH
b bc
(b)
Figura 2.2: Propagação da luz no regime de reflexão parcial (a) e total (b). Em (b) dGH
representa o deslocamento obtido por Goos-Hänchen em 1947 [1].
para o centro dos feixes, incidente, refletido e transmitido, são
y =
tanϕ0 z (Feixe incidente)
− tanϕ0 z (Feixe refletido)
tan ϕ0 z (Feixe transmitido) .
(2.7)
Diante dessa análise, observamos que o caminho para estes feixes não depende da polarização do
feixe.
No caso da reflexão total, temos n sinϕ > 1, como mostra a Fig. 2.2-b, e o coeficiente de reflexão
R[s]=
ncosϕ−√
1−n2 sin2ϕ
ncosϕ+
√1−n2 sin
2ϕ
(2.8)
torna-se complexo. Consequentemente, o feixe refletido ganha uma fase adicional,
10
2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen 11
dG
H/
λ
ϕ0
0
1
2
3
4
5
30 35 40 45 50 55 60
d[s]
GH
d[p]
GH
n =√
2
Figura 2.3: Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência. Tal des-locamento apresenta um comportamento infinito paraa incidência no ângulo crítico, ϕcri = arcsin(1/n).
Φ[s]=−2arctan
√n2 sin
2ϕ−1
n cosϕ
.
Utilizando-se o método da fase estacionária para esta
fase, obtemos o caminho óptico modificado por um
deslocamento adicional (veja Fig. 2.2-b)
y =− tanϕ0 z + d[s]
GH, (2.9)
conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen e dado
por
d[s]
GH=−∂Φ
[s]
k ∂ϕ
∣∣∣ϕ=ϕ0
=λ
π
tanϕ0√n2 sin
2ϕ0−1
. (2.10)
De maneira análoga, podemos obter o deslocamento
para a onda polarizada p, como
d[p]
GH=
λ
π
tanϕ0√n2 sin
2ϕ0−1
1
n2 sin2ϕ0− cos2
ϕ0
. (2.11)
Resumidamente, a análise de Artmann leva às seguintes conclusões sobre o deslocamento de Goos-
Hänchen (veja Fig. 2.3):
1) Apresenta dependência sobre a polarização;
2) É clara a evidência deste deslocamento com o comprimento de onda λ para ângulo suficiente maior
que ϕcri;
3) Na incidência crítica, o deslocamento apresenta a divergência
d[s,p]
GH−→
ϕ→ϕcri
∞ ,
11
12 2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen
em contraste com os resultados obtidos experimentalmente [30, 31], que mostram um compor-
tamento finito.
Figura 2.4: Representação esquemática do experimento de Goos-Hänchen retirada do artigo original Annalen der Physik 1947 [1]
Além do problema teórico so-
bre a infinidade, temos, tam-
bém, as dificuldades experimen-
tais as quais devem-se ao fato de
que o deslocamento é da ordem
de grandeza do comprimento de
onda da luz. Portanto, para detec-
tar tal deslocamento, é necessário
um experimento óptico de múlti-
plas reflexões a fim de amplificar
o deslocamento do feixe, como ilustra a Fig. 2.4. No próximos capítulos trataremos da superação
da superação do problema da infinidade para o deslocamento de Goos-Hänchen, assim como outra
maneira de amplificar este deslocamento meio da técnica de interferência entre feixes de diferentes
polarizações.
12
Capıtulo 3Transmissão em blocos dielétricos
Neste capítulo introduzimos a notação e a geometria do sistema dielétrico utilizado nesta tese. Para
este sistema, calculamos os coeficientes de transmissão e reflexão em cada interface do dielétrico, para
um feixe gaussiano com polarizações s e p. Os cálculos para estes coeficiente são feitos com base na
técnica de cálculo análogo ao usado em potencial degrau da mecânica quântica.
3.1 Laser de perfil gaussiano
Nesta seção, introduzimos o feixe laser de perfil gaussiano que representará o feixe incidente na
próxima seção. Consideramos a seguinte distribuição de momentos,
g(kx, ky) = exp[−
k2
x + k2
y
4w
2
0
], (3.1)
na qual w0 representa a cintura mínima do feixe e kx e ky são as componentes do número de onda
na direção ortogonal à direção de propagação do laser, eixo z. A amplitude do campo elétrico que
representa este feixe laser pode ser definida pela convolução da onda plana
exp[i(kxx+ kyy+ kzz)] (3.2)
13
14 3.1. Laser de perfil gaussiano
com a distribuição de número de onda, g(kx, ky), da seguinte forma
E(r) = E0
w2
0
4π
∫∫dkx dky g(kx, ky)exp[i(kx x+ ky y+ kz z)] , (3.3)
na qual kz =√
k2− k2x− k2
y e que k = 2π/λ representa o número de onda e λ o comprimento de
onda. Para cinturas de feixes maiores que o comprimento de onda, isto é, w0 > λ, podemos usar a
aproximação paraxial
kz ≈ k−k
2
x + k2
y
2k.
Isso nos permite integrar analiticamente a Eq. (3.3). Assim, a equação para o campo elétrico pode ser
reescrita na forma
E(r) ≈ E0
w2
0
4πei k z
∫∫dkx dky exp
[−
k2
x + k2
y
4w
2
0
]exp[
i
(kx x+ ky y−
k2
x + k2
y
2kz
) ]
≈ e i k z A(r) . (3.4)
Observando-se que A(r) é solução paraxial de Helmholtz [22, 32],
[∂xx +∂yy +2 i k ∂z] A(r) = 0 . (3.5)
Introduzindo a função
G(y , z) =w0
2√
π
∫ +∞
−∞
dky exp[−k
2
y w2
0 /4]
exp
[i
(ky y−
k2
y
2kz
)]
= exp
− y
2/w
2
0
1+2 iz
k w20
/
√1+2 i
zk w2
0
, (3.6)
podemos escrever a Eq. (3.4) como o produto de duas funções só de x, z e y, z da seguinte forma
E(r )≈ E0 e( i k z)G (x , z) G (y , z) . (3.7)
14
3.2. Estrutura dielétrica 15
Esta equação representa a distribuição gaussiana da amplitude do campo elétrico de um feixe gaussi-
ano livre (simétrico em x e y) propagando-se na direção do eixo z.
A intensidade é dada por,
I(r) = |E(r)|2≈ E
2
0
w2
0
w2(z)
exp[−2
x2+ y
2
w2(z)
], (3.8)
na qual
w(z) = w0
√1+(
λzπw2
0
)2
descreve a evolução da largura do feixe ao longo da direção de propagação z, w0 representa o raio de
1/e2
da intensidade em z = 0 e w(z) o raio da intensidade após a propagação a uma distância z.
A potência total do feixe de laser é definida pela integração da intensidade I(r) sobre a área de
seção transversal, ou seja,
P≡∫∫
dxdy I(r) =∫∫
dxdy |E(r)|2=
πw2
0
2E
2
0 . (3.9)
Podemos observar que a potência total é independente da direção de propagação z do feixe. A partir
desta equação, podemos escrever a intensidade em função da potência total do feixe
I(r)≈ 2Pπw2
(z)exp[−2
x2+ y
2
w2(z)
]. (3.10)
A divergência de um feixe pode ser entendida como a medida do ritmo com que esta se afasta de sua
cintura. Esta é contida em um cone, que, no limite assintótico, pode ser definida por
tanΘ≡ limz→∞
w(z)z
=λ
πw0. (3.11)
3.2 Estrutura dielétrica
Nesta seção, vamos calcular os coeficientes de reflexão de transmissão para um feixe transmi-
tido através de blocos dielétricos e obter a expressão para o campo elétrico do tipo gaussiano para
15
16 3.2. Estrutura dielétrica
este feixe. A estrutura dielétrica a ser considerada é um bloco dielétrico homogêneo com índice
de refração n e dimensões da ordem de cm, como mostra a Fig.(3.1). Um feixe de luz polarizado
tipo TE (Transverso-Elétrico) ou polarização s, ou seja, campo elétrico perpendicular ao plano y− z,
emerge de uma fonte S, veja Fig. 3.1-a. Este feixe, ao incidir sobre a primeira interface do dielétrico
(ar/dielétrico), sofre uma transmissão, subsequentemente duas reflexões nas interfaces (dielétrico/ar)
e emerge à esquerda como apresenta o diagrama abaixo.
up
1
��
•
Rup
�"left •
Tleft
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•
Tright
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right
•
Rdown
@H
down
Em razão das dimensões do dielétrico serem maiores do que a largura da cintura do laser, cada inter-
face do dielétrico funciona como um potencial degrau da mecânica quântica. Neste caso, podemos
utilizar a analogia com tal potencial para calcular os coeficientes de transmissão e reflexão em cada
interface. Para fazer isso, temos que antes determinar os números de ondas no ar e no dielétrico. Para
esta análise vamos definir três sistemas de eixos (veja Fig. 3.1-a), nos quis z é definida ao longo da
direção z de propagação (ou seja, o perfil transversal x− y perpendicular à direção z não percebe a
mudança ar/dielétrico), os eixos z∗ e z são sempre perpendiculares às interfaces sob análise. Estes
eixos estão relacionados entre si da seguinte forma
16
3.2. Estrutura dielétrica 17
(a)
(b)
b
b
nπ4
π4
3π4
3π4
θ
ψ ϕ
SD
D
D∗A
BC
y
z
z
z∗
left
down
up
right
bc
b
b
b
b
A
BC
• n =√
2 • θ = 0 • AC = AB •
S
dGH
dSnell = AB
bc
b
b bc
b bc
b
b b b b b
b b b b b
1 2 3 N
b b b b b b
Figura 3.1: Representação geométrica. (a) Esquema representativo da geometria do bloco dielétrico, dos sistemasde coordenadas e um feixe incidente proveniente de uma fonte S. O feixe incide sobre a superfície sob o ângulo dereflexão interna total. Na incidência crítica (b), apresentamos a correção do caminho óptico (dGH ) com relação aocaminho óptico previsto pela lei de Snell (ySnell ). (c) A amplificação do deslocamento de GH é dada por meio demúltiplas reflexões da luz em uma estrutura dielétrica composta por N blocos em série.
y∗
z∗
= R
(π
4
)y
z
= R
(π
4+θ
)y
z
, (3.12)
na qual
R(θ) =
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
representa R(θ) uma rotação horária.
17
18 3.2. Estrutura dielétrica
Na descontinuidade ar/dielétrico, temos as componentes dos vetores de ondas no ar e no dielétrico
na direção z dadas por
ar ar dielétrico
(kx, ky, kz)R(θ) // (kx, ky, kz)
left +3 (kx, ky, qz) .
(3.13)
De maneira similar temos que na descontinuidade dielétrico/ar as componentes dos vetores de onda
no dielétrico e no ar na direção z∗ são
dielétrico dielétrico ar
(kx, ky, qz)R(π/4)+3 (kx, qy∗, qz∗)
left // (kx, qy∗, kz∗) .
(3.14)
Para obter os coeficientes, vamos iniciar com a descrição da propagação do laser no ar usando bases
de ondas planas para a solução da equação
[∇
2+ k
2]ψ(r) = 0 , (3.15)
na qual ∇2 é dado em coordenadas cartesianas e k representa o número de onda. Aplicando as con-
dições de continuidade para as soluções no ar e no dielétrico (interface à esquerda) podemos obter
os coeficientes de transmissão e reflexão. Esta técnica será estendida ao cálculo do coeficientes nas
interfaces inferior, superior e direita.
Então, o operador para a solução de ondas planas na interface à esquerda (veja Fig. 3.1-a) é ex-
presso por
[∇
2+ k
2n
2(z)], n(z) =
1, z < D ar
n, z > D dielétrico, (3.16)
na qual z é perpendicular à primeira superfície e n é o índice de refração. As fases espaciais dos feixes
18
3.2. Estrutura dielétrica 19
incidente e refletido são, respectivamente,
ky y + kz z = ky y + kz z e ky y − kz z , (3.17)
na qual as coordenadas y, z e y, z são relacionados através da rotação horária, Eq. (3.12), e os impulsos
são dados por
ky
kz
=
cosθ senθ
−senθ cosθ
ky
kz
. (3.18)
Tendo em conta a descontinuidade ao longo do eixo z, as componentes y dos impulsos não mudam
quando o feixe cruza a interface ar/dielétrico, temos
{qy, qz
}=
{ky,√
n2k2− k2x− k2
y
}. (3.19)
A fase espacial do feixe movendo-se dentro do dielétrico da interface à esquerda (ar/dielétrico) para a
interface inferior (dielétrico/ar) é
ky y + kz z = qy y + qz z . (3.20)
As soluções de onda plana no ar e dentro do dielétrico são dadas por
ψleft(r) = exp[
i(kxx+ ky y)]×
exp [ i kz z ]+Rleft exp [− i kz z ] z < D ,
Tleft exp [ iqz z ] z > D ,(3.21)
nas quais Rleft e Tleft representam os coeficientes de reflexão e transmissão, respectivamente. Impondo a
condição de continuidade de ψleft(r) e ∂z ψleft(r) na interface ar/dielétrico, ou seja, em z = D, obtemos
os coeficientes
Rleft =kz − qz
kz + qzexp[
2 i kz D]
e Tleft =2kz
kz + qzexp[
i(kz−qz) D]. (3.22)
Após a refração na interface à esquerda, o feixe propaga-se na direção da interface inferior, o
19
20 3.2. Estrutura dielétrica
operador para as soluções nessa interface é expresso por
[∇
2 + k2n2(z∗)], n(z∗) =
n, z∗ < D∗ dielétrico
1, z∗ > D∗ ar, (3.23)
na qual z∗ é perpendicular à segunda superfície. As coordenadas y∗, z∗ e y, z são relacionados através
da rotação horária, Eq. (3.12).
A fase espacial do feixe movendo-se dentro do dielétrico da interface à esquerda (ar/dielétrico)
para a interface inferior (dielétrico/ar) é
qy y+qz z = qy∗ y∗+qz∗ z∗ . (3.24)
As fases do feixe refletido e transmitido na interface inferior (dielétrico/ar) são respectivamente,
qy∗ y∗−qz∗ z∗ e ky∗ y∗+ kz∗ z∗ . (3.25)
Os impulsos nesse novo sistema de eixos são
qy∗
qz∗
=
1√2
1 1
−1 1
ky
qz
. (3.26)
Tendo em conta que a descontinuidade é ao longo do eixo z∗ e as componentes y∗ dos momentos não
mudam quando o feixe cruza a interface inferior (dielétrico/ar), temos
{qy∗ , kz∗
}=
{ky∗ ,
√k2− k2
x− k2y∗
}. (3.27)
Portanto, as soluções de onda plana, dentro e fora do dielétrico, em termos dos novos eixos, são
escritas assim
ψdown(r) = exp [ i(kxx+qy∗ y∗ ) ]×
exp [ iqz∗ z∗ ]+Rdownexp [− iqz∗z∗] z∗ < D∗ ,
Tdown exp [ i kz∗ z∗ ] z∗ > D∗ ,(3.28)
20
3.2. Estrutura dielétrica 21
Usando a continuidade para a função em z∗ = D∗ , obtemos os coeficientes
Rdown =qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗
exp[
2 iqz∗ D∗]
e Tdown =2qz∗
qz∗ + kz∗exp[i(qz∗ − kz∗ )D∗
]. (3.29)
O feixe de laser, ao ser refletido na interface inferior, segue na direção da interface superior, sendo
refletido e transmitido. Para o cálculo dos coeficientes nessa interface, podemos usar o resultado
obtido para a interface inferior. Devido à direção de propagação do feixe ser na direção oposta ao
eixo-z∗, podemos utilizar
(kz∗ , qz∗ ) ⇒ −(kz∗ , qz∗ ) e D∗ ⇒AB√
2−D∗ ,
na Eq.(3.29). Então, os coeficientes de reflexão e transmissão para a interface superior podem ser
escritos na forma
Rup =qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗
exp[
2 iqz∗
(AB√
2−D∗
)]e Tup =
2qz∗qz∗ + kz∗
exp[
i(qz∗ − kz∗ )
(AB√
2−D∗
)]. (3.30)
Ao ser refletido na superfície superior, o feixe propaga-se para a interface à direita. Os coeficientes
para essa interface podem ser obtidos diretamente a partir dos coeficientes para a interface à esquerda.
Substituindo
kz ⇔ qz
na Eq.(3.22) e observando a descontinuidade localizada em z = D+BC/√
2, obtemos
Rright =qz − kz
qz + kzexp[
2 iqz
(D+
BC√2
)]e Tright =
2qz
qz + kzexp[
i(qz− kz)
(D+
BC√2
)]. (3.31)
Nestas condições, podemos definir o coeficiente de transmissão total pelo produto das transmissões
nas interfaces à esquerda e direita e pelas reflexões nas interfaces inferior e superior, tal como
T[s](kx,ky) = Tleft Rdown Rup Tright =
4kz qz
(qz + kz)2
(qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗
)2
exp[ iΦSnell ] , (3.32)
na qual
ΦSnell =√
2qz∗ AB+(qz− kz )BC√
2,
representa a fase geométrica, a qual chamamos de fase de Snell. No próximo capítulo, a fase de Snell
permite, pelo uso do método da fase estacionária, obter o caminho óptico previsto pela lei de Snell
21
22 3.2. Estrutura dielétrica
[22, 32] (veja Fig. 3.1-b). E no regime de reflexão interna total θ > θc, os coeficientes das interfaces
inferior e superior tornam-se complexos (k2
z∗ ), o que implica em uma fase adicional, conhecida por
fase de goos-Hänchen, a qual é responsável pelo deslocamento adicional ao caminho geométrico.
O coeficiente de transmissão para onda do tipo TM (Transverso-Magnético) ou polarização p, ou
seja, campo elétrico paralelo ao plano y-z, pode ser obtido a partir do coeficiente da onda polarizada
s. Utilizando a transformação
(kz , kz∗ )⇒ n(kz , kz∗ ) e (qz , qz∗ )⇒ (qz, qz∗ )/n
na amplitude da Eq. (3.32), obtemos o coeficiente para a onda polarizada p,
T[p](kx,ky) =
4n2kz qz
(qz + n2 kz)2
(qz∗ − n
2kz∗
qz∗ + n2 kz∗
)2
exp[ iΦSnell ] . (3.33)
Para a propagação do feixe em um sistema dielétrico composto por N blocos dielétricos paralelos,
como ilustra a Fig. 3.1-c. Neste caso, para garantir duas reflexões em cada bloco e que a altura da
posição do feixe de saída seja igual a do feixe incidente, devemos impor a seguinte relação geométrica
entre os lados AB e BC de cada bloco
BC =√
2 tanϕAB . (3.34)
Em consequência, a propagação de feixe óptico através dessa estrutura é caracterizada por 2N refle-
xões interna. Portanto, para um bloco longo de lado N BC, os coeficientes de transmissão para ondas
polarizadas s e p são expressos por
T[s, p]
N(kx,ky) =
4qz kz
(qz + kz)2
(qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗
)2N
,4n
2qz kz
(qz +n2 kz)2
(qz∗ −n
2kz∗
qz∗ +n2 kz∗
)2N exp[iN ΦSnell] ,
(3.35)
na qual
ΦSnell =[√
2qz∗ +(qz− kz ) tanϕ
]AB .
22
3.2. Estrutura dielétrica 23
De acordo com as análises para os coeficientes e fases, podemos definir o campo elétrico para
feixe transmitido como sendo o produto do campo incidente, Eq. (3.3), por T[s, p]
, assim
E[s, p]
T(r) = E0
w2
0
4π
∫dkx dky T
[s, p]
N(kx, ky) exp
[−
k2
x + k2
y
4w
2
0
]exp[ i k · r ] .
(3.36)
De modo a simplificar a integração da amplitude do campo E[s, p]
T(r), utilizamos o fato das rotações
serem em torno do eixo de coordenada x e somente a segunda ordem de kx contribuir no coeficiente
de transmissão, T[s,p]
(kx,ky). Diante disso, observamos que T[s,p]
(kx,ky) ≈ T[s,p]
(0,ky). Neste caso,
desconsideramos o termo de segunda ordem em kx devido a sua contribuição ser apenas para o alaga-
mento do feixe, que foge do escopo dessa tese. Para detalhes, veja [33]. Diante da aproximação usada
e juntamente com a aproximação paraxial, a expressão para a amplitude do campo, resulta
E[s, p]
T(r) = E0 ei k z G (x , z)G
[s, p]
T(y , z) , (3.37)
com
G[s, p]
T(y , z)=
w0
2√
π
∫dky T
[s, p]
N(0, ky ) exp
[−
k2
y w2
0
4
]exp
[i
(ky y−
k2
y
2kz
)]. (3.38)
Esta equação representa a distribuição de campo nas direções do eixos-y e z, modificada pelo coefici-
ente de transmissão na direção do eixo-y. Para esta distribuição de campo, será analisado no próximo
capítulo o deslocamento adicional com respeito ao previsto pela lei de Snell.
23
Capıtulo 4Fase óptica
Este capítulo apresenta a análise da fase óptica. No regime de reflexão interna total, a fase óptica
contém as fases geométrica e adicional (fase de Goos-Hänchen). A fase geométrica é independente da
polarização e contém o caminho geométrico previsto pela lei de Snell. Por outro lado, a fase adicional
é responsável por um deslocamento adicional, conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen. Apre-
sentamos uma análise detalhada sobre a mudança de comportamento da largura da cintura do feixe e
do comprimento de onda para o deslocamento de Goos-Hänchen. O estudo feito em diferentes regiões
de incidência põe uma nova luz sobre a validade das fórmulas analíticas encontradas na literatura.
4.1 Fase de Snell e a Lei de Snell
Esta seção apresenta o caminho óptico para um feixe obtido por meio do método da fase estacioná-
ria que representa uma alternativa aos métodos da óptica geométrica prevista pela Lei de Snell [34,35].
O método da fase estacionária é o princípio básico da análise assintótica aplicada a integrais oscilató-
rias [28,29]. A ideia principal do método da fase estacionária apoia-se no cancelamento das oscilações
senoidais devido à variação rápida da fase, então a contribuição dominante para integral ocorre quando
a fase é estacionária, ou seja, quando a derivada da fase é nula. Isto significa que muitas oscilações
com a mesma fase podem ser adicionadas construtivamente, resultando em uma função aproxima-
damente constante. Para ilustrar este método, vamos tomar como exemplo a equação para o campo
24
4.1. Fase de Snell e a Lei de Snell 25
incidente, Eq.(3.3). Neste caso, para maximizar a integral devemos impor
[∂
∂kx(kx x+ ky y+ kz z)
]
(0,0)
=
[∂
∂ky(kx x+ ky y+ kz z)
]
(0,0)
= 0 .
O subscrito (0, 0) aponta que as derivadas devem ser calculadas no valor máximo da função convolu-
ção, na qual kx = ky = 0. Para o feixe óptico incidente da Eq.(3.3), a função convolução é a distribuição
gaussiana. Em consequência, o máximo do feixe incidente é localizado em
x = y = 0 .
É importante observar que, pelo uso do método da fase estacionária, podemos obter a posição do
máximo sem fazer qualquer integração. Esta posição do máximo obtida pelo uso do método da fase
estacionária é confirmada pela Eq. (3.7).
No regime de reflexão interna parcial (θ < θcri), o feixe óptico transmitido ganha uma fase com
relação ao feixe óptico incidente, a fase de Snell
ΦSnell =[√
2qz∗ +(qz− kz ) tanϕ
]AB . (4.1)
Para obter a posição do feixe transmitido, Eq. (3.36), pelo uso do método da fase estacionaria, devemos
impor o seguinte vínculo
[∂
∂kx(ΦSnell + k · r)
]
(0,0)
=
[∂
∂ky(ΦSnell + k · r )
]
(0,0)
= 0 .
Observando que
∂qz
∂kx,y= −
ky
qz
∂ky
∂kx,y= −
ky
qz
[cosθ
∂ky
∂kx,y+ sinθ
∂kz
∂kx,y
],
∂qz∗∂kx,y
=∂
∂kx,y
(qz− ky√
2
)= −
ky +qz
qz√
2
[cosθ
∂ky
∂kx,y+ sinθ
∂kz
∂kx,y
], (4.2)
∂kz
∂kx,y=
[− sinθ
∂ky
∂kx,y+ cosθ
∂kz
∂kx,y
],
25
26 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen
e usando a relação sinθ = nsinψ na interface à esquerda, veja Fig.4.1-a, podemos encontrar de ime-
diato a posição de saída em
xSnell = −[
∂ΦSnell
∂kx
]
(0,0)
= 0 (4.3)
e
dSnell = −[
∂φSnell
∂ky
]
(0,0)
= [cosθ− sinθ] tanϕAB . (4.4)
A Eq. (4.4) representa o deslocamento de Snell, como ilustra a Fig. 3.1-b. Sendo, portanto, confirmado
pelo cálculo do caminho óptico pela lei de Snell [36]. No regime de reflexão interna parcial, somente
a fase Eq. (4.1) contribui para o cálculo via método da fase estacionária. É importante observar que
no regime de reflexão interna total (θ > θcri) surge uma fase adicional (fase de Goos-Hänchen), a qual
implica em um deslocamento adicional que não pode ser previsto pela lei de Snell. Tal deslocamento
será analisado em detalhes a seguir.
4.2 Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen
O caminho óptico obtido na seção precedente utilizando o método da fase estacionária pode ser
determinado pela lei de Snell. Nesta seção, será apresentado o cálculo da fase adicional que não pode
ser prevista pela óptica geométrica. Nas interfaces inferior e superior, os coeficientes de reflexão para
onda polarizada s e p são
(qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗
)2
,
(qz∗ − n
2kz∗
qz∗ + n2kz∗
)2 . (4.5)
Recorrendo à expansão de kz∗ em torno do centro da distribuição gaussiana do número de onda loca-
lizada em kx = ky = 0, obtemos
k2
z∗ = k2
z∗ +
[∂k
2
z∗∂ky
]
(0,0)
ky + O[k2
x,k2
y]
= k2
z∗ + 2qz∗
[∂qz∗∂ky
]
(0,0)
ky + O[k2
x,k2
y] . (4.6)
26
4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 27
Utilizando
k2
z∗ = k2(1−n
2sen
2φ) , qz∗ = nk cosφ e
[∂qz∗∂ky
]
(0,0)
=− cosθ senφ
cosψ.
Podemos reescrever kz∗ na forma
k2
z∗
k2 ≈ 1−n2sen
2ϕ− n sin(2ϕ)cosθ
cosψ
ky
k
=n sin(2ϕ)cosθ
cosψ
[σ(n,θ)−
ky
k
](4.7)
com
σ(n, θ) =cosψ
n sin(2ϕ)cosθ
(1−n
2sin
2ϕ
). (4.8)
Para ky > σ(n,θ)k, temos reflexão interna total, ou seja, k2
z∗ 6 0, em consequência, uma fase adicional
(fase de Goos-Hänchen) deverá ser considerada no cálculo do caminho óptico,
{Φ
[s]
GH, Φ
[p]
GH
}=
Arg
[(qz∗ − i |kz∗ |qz∗ + i |kz∗ |
)2 ], Arg
(
qz∗ − in2|kz∗ |
qz∗ + in2|kz∗ |
)2
= −4
{arctan
[ |kz∗ |qz∗
], arctan
[n
2|kz∗ |qz∗
]}. (4.9)
As derivadas destas fases,
{∂Φ
[s]
GH
∂ky,
∂Φ[p]
GH
∂ky
}=
4|kz∗ |
∂qz∗∂ky
{1 ,
n2k
2
k2+(n2
+1) |kz∗ |2
}, (4.10)
serão usadas para obter o deslocamento de Goos-Hänchen.
Para determinar o valor ky, analisamos a distribuição de momentos para diferentes ângulos de inci-
dência. Para σ(n,θ)k w0≤−5 (Fig.4.1-a), a distribuição de momento é simétrica. Portanto, a derivada
da fase adicional deverá ser calculada no centro da distribuição, ky = 0. Neste caso, as derivadas são
válidas para ângulos de incidência maior que o ângulo crítico θ > θcri . Para σ(n,θ)k w0 ≤ 5 (Fig.4.1-
e), significa que kz∗ é real. Portanto, não existe fase adicional. O caso intermediário, σ(n,θ)k w0 = 0
27
28 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen
b
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
kw0σ(n, θ) = − 5
(a)e−
(kyw
0)2/4
b
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
kw0σ(n, θ) = − 1
(b)e−
(kyw
0)2/4
b 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
kw0σ(n, θ) = 0
(c)e−
(kyw
0)2/4
b
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
kw0σ(n, θ) = 1
(d)e−
(kyw
0)2/4
b
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
kw0σ(n, θ) = 5
(e)e−
(kyw
0)2/4
kyw0
Figura 4.1: A distribuição gaussiana de momento. Evolução da distribuição gaussiana de momento para diferen-tes ângulos de incidência. A linha pontilhada representa a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. Alinha contínua representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0.
(Fig.4.1-c) representa a incidência no ângulo. Neste caso, somente metade da distribuição de momento
contém uma fase adicional. Em consequência, as derivadas serão calculadas em ky = kcri ,
kcri =
∫ +∞
0dky ky exp
[−(kyw0)
2/2]∫ +∞
−∞dky exp
[−(kyw0)
2/2] =
1√2π w0
. (4.11)
28
4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 29
4.2.1 Ângulos de incidência maior que o ângulo crítico (θ > θcri)
• σ(n,θ)k w0 ≤−5
Neste caso, devemos calcular as derivadas Eq. (4.10) no centro de distribuição de momentos
(kx, ky) = (0, 0). Assim, é possível encontrar
{∂Φ
[s]
GH
∂ky,
∂Φ[p]
GH
∂ky
}
(0,0)
= −{
d[s]
GH, d
[p]
GH
}, (4.12)
com
{d[s]
GH, d
[p]
GH
}=
4 cosθ senϕ
k cosψ
√n2 sen2
ϕ−1
{1,
1n2 sen2
ϕ− cos2ϕ
}. (4.13)
na qual d[s p]
GHrepresenta o deslocamento de Goos-Hänchen para luz polarizada s e p. Ao analisar
Eq. (7.1), é clara a evidência desse deslocamento com o comprimento de onda. Porém, na incidência
crítica, o deslocamento apresenta um comportamento infinito
d[s,p]
GH−→
ϕ→ϕcri
∞ ,
em contraste com os resultados obtidos experimentalmente [30,31], que mostram um comportamento
finito. A superação desta infinidade na incidência crítica será discutida na próxima subseção.
4.2.2 Incidência no ângulo crítico (θ = θcri)
• σ(n,θ)k w0 = 0
Para a incidência no ângulo crítico, devemos calcular as derivadas Eq. (4.10) em (kx, ky) = (0, kcri) e
mediadas pelo fator 1/2 devido ao fato de que somente metade da distribuição de momentos possui a
29
30 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen
fase adicional. Sendo assim, temos
{d[s]
GH, d
[p]
GH
}
(0,kcri )= −1
24
|kz∗ (0, kcri)|
[∂qz∗∂ky
]
(0,kcri )
{1 ,
n2k
2
k2+(n2
+1) |kz∗ (0, kcri)|2
}. (4.14)
Lembrando que na incidência crítica, nsenφcri = 1, a Eq. (4.7), pode ser expressa na forma
|kz∗ | ≈ k
√ncosθcri sen2φcri
cosψcri
kcri
k, (4.15)
observando que [∂qz∗∂ky
]
(0,kcri )
≈[
∂qz∗∂ky
]
(0,0)
ecosθcri
cosψcri
≈ 1 , (4.16)
as expressões para o deslocamento podem ser escritas em termos do ângulo crítico ou do índice de
refração n como seguem
{d[s]
GH,cri, d
[p]
GH,cri
}=
√k w0
k
√2√
2πtanϕcri
n
{1 , n
2}
=
√k w0
k
√2√
2π1
n√
n2−1
{1 , n
2}. (4.17)
Observamos que o deslocamento de Goos-Hänchen apresenta uma forte dependência com a largura
da cintura do feixe w0 em contraste com as expressões clássicas existentes na literatura que predizem
um deslocamento infinito.
Estas análises para o deslocamento de Goos-Hänchen serão testadas por meio de uma simulação
numérica.
30
4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 31
4.2.3 Análise numérica
Nesta seção, apresentamos a análise numérica do deslocamento para feixes ópticos gaussianos. A
intensidade do feixe transmitido através de um bloco dielétrico (N = 1) é dada por
I[s, p]
T(r)= |ET (r, t) |
2= I0
∣∣∣G (x , z)G(s, p)
T(y , z)
∣∣∣2
(4.18)
= I0 |G (x , z)|2
∣∣∣∣∣w
2
0
4π
∫dky T
[s, p](0, ky) exp
[−
k2
y w2
0
4+ i
(ky y−
k2
y
2kz
)]∣∣∣∣∣
2
.
A estimativa do deslocamento de Goos-Hänchen é calculada pela diferença entre o máximo da equação
acima em yMax com relação ao máximo previsto pelo lei de Snell ySnell ,
yMax− ymax = dGH . (4.19)
Nesta análise desconsideramos os efeitos axiais z = 0, que serão analisados nos capítulos seguintes.
Na Fig.4.2 ilustramos os dados numéricos correspondentes ao deslocamento de Goos-Hänchen para
as polarizações s e p, obtido para índice de refração fixo, n =√
2, variando o ângulo de incidência e
k w0(= 30, 50, 500). Os gráficos na Fig.4.3 referem-se ao ângulo de incidência, θ = 0 e variando o
índice de refração. Podemos observar que a análise numérica, Eq. (4.19), mostra um excelente acordo
com as predições analíticas para o deslocamento no ângulo crítico, Eq. (4.17). Observe que
√kw0
d[s, p]
GH,cri
apresenta dependência do índice de refração n, Eq. (4.17).
Para σ(n,θ)k w0 ≤ −5, a expressão analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen analítica é
expressa por Eq.(7.1). Agora, √kw0
d[s, p]
GH
é proporcional a 1/√
k w0 (nas Figs.4.2 e 4.3, foi usado k w0 = 500 para as curvas analíticas). Para um
31
32 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen
b
b
s -pol
n =√2
kw0 = 30
50
500
SPM[θ]
SPM[θcri]
(a)
√k/w
0d
GH
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
b
b
p -pol
n =√2
kw0 = 30
50
500
SPM[θ]
SPM[θcri]
(b)
kw0 θ
4.8
4.4
4.0
3.6
3.2
2.8
1.2
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0
Figura 4.2: O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função doângulo de incidência para o índice de refração fixo n =
√2 e para três diferentes valores do parâmetro kw0. Os
dados numéricos (linhas tracejadas) estão em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamentode Goos-Hänchen, d
[s, p]
GH,cri(ponto) e d
[s, p]
GH(linha contínua para kw0 = 500).
índice de refração fixo, n =√
2, temos
σ(√
2,θ)k w0 ≤ −5 ⇒ tanθ2− sin
2θ
2 cos2θ≥ 5
k w0
.
32
4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 33
b
b
s -pol
θ = 0
kw0 = 30
50
500
SPM[n]
SPM[ncri]
(a)
√k/w
0d
GH
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
b
b
p -pol
θ = 0
kw0 = 30
50
500
SPM[n]
SPM[ncri]
(b)
kw0 (n− √2 )
4.8
4.4
4.0
3.6
3.2
2.8
1.2
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
0
Figura 4.3: O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução numérica do deslocamento de Goos-Hänchen emfunção do índice de refração para o ângulo de incidência, θ = 0 e três valores diferentes de kw0. Os dados nu-méricos (linhas tracejadas) estão em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento deGoos-Hänchen, d
[s, p]
GH,cri(ponto) e d
[s, p]
GH(linha contínua para kw0 = 500).
Considerando θ� 1 é possível obter
θ ≥ 5k w0
.
Para tais ângulos, a expressão analítica Eq. (7.1) mostra um excelente acordo com os dados numéricos,
Eq. (4.19), veja Fig.4.2.
33
34 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen
A análise numérica apresentada neste capítulo confirma uma transição da largura do feixe para
o deslocamento de Goos-Hänchen, no regime de incidência crítica, como prevê o método da fase
estacionária. Os dados numéricos também confirmam um deslocamento máximo de Goos-Hänchen
para ângulo de incidência maior que o ângulo crítico [37], facilitando a investigação experimental
deste deslocamento nesta região.
34
Capıtulo 5O fenômeno da quebra de simetria na
distribuição gaussiana
Uma análise detalhada da propagação de feixe óptico gaussiano na incidência crítica mostra em
quais condições é possível maximizar a quebra de simetria da distribuição de momento e para quais
valores do comprimento de onda e da largura da cintura do feixe é possível encontrar uma fórmula
analítica para o desvio angular da lei de Snell. Para a propagação através de N blocos dielétricos e
para uma quebra máxima de simetria, superamos o problema da infinidade no ângulo crítico, uma
expressão fechada para o deslocamento de Goos-Hänchen é obtida. Além disso, será analisado o
fenômeno de múltiplos picos, que é uma evidência adicional da quebra de simetria na distribuição de
momento do feixe óptico.
5.1 Modelando a quebra de simetria
Nesta seção mostraremos como a quebra de simetria na distribuição de momento de um feixe
óptico é fundamental para o desvio angular [38–40] do caminho óptico previsto pela lei de Snell
[32, 34]. Para entender por que a quebra de simetria é responsável por tal efeito, será discutido de
forma sucinta a quebra máxima de simetria para um feixe modelado assimetricamente. O efeito da
quebra máxima de simetria sobre o pico e o valor médio da posição do feixe óptico revela uma nova
luz sobre uma possível realização experimental.
35
36 5.1. Modelando a quebra de simetria
Para começar a análise, considere a distribuição gaussiana simétrica g(kx, ky) dada na Eq. (3.1). O
feixe óptico propagando-se na direção do eixo z é representado pela Eq. (3.3). Na aproximação para-
xial, a amplitude do feixe gaussiano é descrita pela Eq.(3.7). Observamos que este campo propaga-se
ao longo da direção z e manifesta uma simetria em torno dessa direção. A intensidade óptica para
esse campo, Eq.(3.8), apresenta dependência das coordenadas axial z e transversais x, y. Observamos
que o máximo decresce com o aumento de z, permanece localizado em x = y = 0. Por exemplo, a
simetria da Eq.(3.8) permite a escolha da função gaussiana |G(y,z)|. Tal função tem seu pico máximo
sobre o z em y = 0 e sua largura aumenta com a distância axial z como mostra a Fig. 5.1-a. Isso ocorre
pelo fato da distribuição gaussiana de momento, Eq.(3.1), ser uma distribuição simétrica centrada em
kx = ky = 0.
〈y〉|G | =
∫dyy |G(y,z)|
2
∫dy |G(y,z)|
2= 0 . (5.1)
Os resultados analíticos mostram que, para distribuição simétrica, a posição do pico e o valor
médio transversal coincidem e não apresentam dependência com o parâmetro z. Em suma, temos que
a simetria na distribuição de momento, g(kx, ky), é responsável pelo comportamento estacionário do
pico do feixe gaussiano.
Para ilustrar como a quebra de simetria muda a situação anterior, vamos modelar a quebra máxima
de simetria, considerando a seguinte distribuição de momento assimétrica,
exp[− k
2
x4
w2
0
]f (ky) , (5.2)
na qual f (ky) é dada por
f (ky) =
0 ky < 0
exp[−(ky w0)2/ 4 ] ky ≥ 0 .
(5.3)
Esta distribuição determina o comportamento do novo campo elétrico,
36
5.1. Modelando a quebra de simetria 37
|F(y
,z
)|y/w0
|G(y
,z
)|
y/w0
〈y/
w0
〉 |F|
z/w0
[ym
ax/
w0] |F
|
z/w0
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
−4 −2 0 2−4 −2 0 2
bc
bc
bc
z/kw2
0= 0
0.51
k w0 = 103
(b)
−4 −2 0 2
bb
b
z/kw2
0= 0
0.51
k w0 = 103
(c)
4 × 1030 1 2 3
20
16
12
8
4
00
4
8
12
16
20
bb
b
k w0 = 200
500
1000
(d)
4 × 1030 1 2 3
k w0 = 200
500
1000
Figura 5.1: O modelo da quebra de simetria. A quebra de simetria da distribuição gaussiana de momentos gerauma dependência axial para o pico do feixe óptico (b). Esta dependência é mostrada em (c). Para o valor médiotransversal é possível obter uma expressão analítica axial linear, como na Eq. (5.7), que é confirmada em (d).
E(r) = E0 ei k z G(x,z)w0
2√
π
∫∞
0
dky f (ky)exp[
i
(kyy−
k2y
2kz
) ]
≈ E0 ei k z G(x,z)F (y,z) , (5.4)
37
38 5.1. Modelando a quebra de simetria
com
F (y,z) = G(y,z){
1+ Erf[
iy
w0
/√
1+2 iz/k w20
]}(5.5)
A assimetria da distribuição de momento f (ky) na Eq.(5.3) é responsável pela dependência axial da
posição do pico, veja Fig. 5.1-b. Esta dependência z é inerente à interferência entre a função gaussiana
e a função erro, que aparecem na Eq.(5.5). A análise numérica feita para valores diferentes de kw0 e
ilustrada nas Fig. 5.1-c e 5.1-d mostra diferentes comportamentos entre a posição do máximo e o valor
médio transversal e confirma a expressão analítica
〈y〉|F | =
∫dyy |F (y,z)|
2
∫dy |F (y,z)|
2=
− i2
∫dky f (ky)e−i
k2y
2k z ∂
∂ky
[f (ky)e−i
k2y
2k z
]∗
∫dky f
2(ky)
+ h.c.
=
∫dky ky f
2(ky)
k∫
dky f2(ky)
z =
√2/π
k w0
z . (5.6)
Por fim, a quebra de simetria na distribuição de momento, Eq.(5.3), gera desvios com relação ao
caminho óptico, y = 0, previsto pela óptica geométrica. Portanto, o feixe modelado mostra um desvio
angular, dado por
αmax = arctan
[√2/π
k w0
]. (5.7)
Nesta equação, o índice subscrito foi introduzido para lembrar que este desvio angular é causado pela
quebra máxima de simetria introduzida na distribuição gaussiana. Este desvio pode ser fisicamente
entendido observando que para a distribuição simétrica, veja g(kx, ky) na Eq.(3.8), os valores positivos
e negativos contribuem para que o caminho óptico permaneça centrado em y = 0. No caso da distri-
buição assimétrica f (ky) dada na Eq.(5.3) somente os valores positivos contribuem para o movimento
e esta gera um desvio máximo angular que claramente depende do parâmetro k w0. No limite de onda
plana, este desvio tende a zero.
Este resultado estimula a investigar em que situação feixes gaussianos, propagando-se através de
blocos dielétricos, poderão experimentar uma quebra de simetria em sua distribuição de momento
similar ao modelo da quebra de simetria apresentado nesta seção. Se isso acontecer, o desvio angular
38
5.2. Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos 39
do caminho óptico previsto pela lei de Snell será igual ao ângulo α dado na Eq. (5.7).
5.2 Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos
Esta seção trata do problema da transmissão de um feixe óptico gaussiano através de um bloco
dielétrico e como realizar a quebra de simetria que permite reproduzir os efeitos discutidos na seção
anterior. Faremos somente uma proposta para observar a quebra de simetria em experimentos reais
ópticos e observar em quais circunstâncias é possível reproduzir o desvio máximo angular αmax , veja
Eq.(5.7).
(a)
(b)
A
BC
• n =√
2 • θ = 0 • AC = AB •
S
αmax
αmax = arctan
√2/π
kw0
bc
b
b bc
b bc
b
b b b b b
b b b b b
1 2 3 N
b b b b b b
Figura 5.2: Representação geométrica. A quebra de simetria gera um desvio angular α da lei de Snell como estárepresentado em (a) junto com o deslocamento de Goos-Hänchen. A quebra de simetria é maximizada por umacontribuição de N blocos (b) que em um experimento óptico pode ser realizado por um prisma longo de lados N BCe AB.
39
40 5.2. Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos
∣ ∣ ∣ ∣ ∣g[s
,p
]
T(k
y)∣ ∣ ∣ ∣ ∣
w0ky w0ky
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2N = 10
3050
kw0 = 103s - pol
(b)N = 103050
kw0 = 104s - pol
(c)
−4 −2 0 2 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2N = 10
3050
kw0 = 103p - pol
(d)
−4 −2 0 2 4
N = 103050
kw0 = 104p - pol
Figura 5.3: A quebra de simetria para N blocos dielétricos. Os gráficos mostram que, para maximizar a quebrade simetria, temos que diminuir a cintura do feixe, aumentar o número de blocos e usar ondas polarizadas p. Paratais ondas, uma escolha apropriada para obter a quebra máxima de simetria é representada por N = 50 e kw0 = 10
3.
Para feixes com ângulos de incidência menor que o ângulo crítico θ < θcri, a amplitude do campo
elétrico transmitido pode ser representada pela função
G[s, p]
T(y , z) =
w0
2√
π
∫ +∞
−∞
dky T[s, p]
N(0, ky ) exp
[−
k2
y
4w
2
0
]exp
[i
(ky y−
k2
y
2kz
)]
=w0
2√
π
∫ +∞
−∞
dky g[s,p]
T(ky) exp
[i
(ky y−
k2
y
2kz
)](5.8)
40
5.2. Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos 41
que se propaga paralela ao eixo-z e com seu pico localizado em
ySnell = N dSnell = N (cosθ− sinθ) tanϕ AB , (5.9)
De acordo com a análise feita no Cap. 4, é importante lembrar que para ângulos de incidência maior
que o ângulo crítico (sinϕ > 1), o feixe óptico ganha uma fase adicional
N Φ[s,p]
GH, (5.10)
responsável pelo deslocamento de Goos-Hänchen.
O desvio angular αmax , dado na Eq. (5.7), é devido ao fato da quebra máxima de simetria apre-
sentada na seção precedente, veja Eq. (5.3). Na estrutura dielétrica mostrada na Fig. 5.2-b (observe
que em um experimento real óptico esta estrutura pode ser reproduzida por um prisma alongo de lado
N BC), o feixe óptico experimenta 2N reflexões internas e isso será fundamental na reprodução para
incidência no ângulo crítico, a quebra máxima de simetria apresentada na seção precedente. De fato,
para a incidência no ângulo crítico, a distribuição de momento g[s,p]
T(ky) centrada em ky = 0 sofre em
cada interface, inferior e superior, uma transmissão parcial par ky < 0 e reflexão total para ky > 0. Para
poucos blocos, o experimento real óptico é muito diferente do modelo apresentado na seção anterior.
Porém, para N� 1 otimizamos a quebra de simetria e, com isso, podemos simular a quebra máxima
de simetria apresentada na seção precedente. Na Fig. 5.3, na qual ilustramos o módulo da distribuição
de momento g[s,p]
T(ky), podemos observar que a quebra de simetria é otimizada não só pelo aumento
do número de blocos, mas pelo uso de ondas polarizadas p ou diminuindo o valor da cintura do feixe.
Como ilustrado na Fig. 5.3-c, para kw0 = 103
(para λ = 633nm significa que w0 ≈ 100µm), N = 50 e
ondas polarizadas p, podemos reproduzir perfeitamente o modelo da quebra de simetria apresentado
na seção precedente. Pelo aumento do número de blocos ou equivalentemente o lado do prisma longo,
podemos alcançar a quebra máxima de simetria Eq. (5.3). Observando que tal distribuição leva a um
desvio máximo angular.
41
42 5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos
5.3 A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos
Como mencionado na seção precedente, é possível realizar em experimento real óptico o modelo
da quebra de simetria. O ângulo de incidência preferido é θ = θcri. Neste caso, para uma escolha
apropriada do número de blocos (N = 50) e da largura da cintura do laser (kw0 = 103), é possível
tomar a seguinte aproximação
g[s,p]
T(ky) =
∣∣∣g[s,p]
T(ky)
∣∣∣ eiN(
ΦSnell + Φ[s,p]GH
)≈ f (ky)eiN
(ΦSnell + Φ
[s,p]GH
). (5.11)
O valor médio transversal para o feixe transmitido é expresso por
〈y〉[s,p]
T,cri=
− i2
∫dky g
[s,p]
T(ky)e−i
k2y
2k z ∂
∂ky
[g[s,p]
T(ky)e−i
k2y
2k z
]∗
∫dky
∣∣∣g[s,p]
T(ky)
∣∣∣2 + h.c.
=
∫dky
[−N
∂
∂ky
(ΦSnell + Φ
[s,p]
GH
)+
ky
kz]
f2(ky)∫
dky f2(ky)
= ySnell,cri + y[s,p]
GH,cri+
√2/π
k w0
z . (5.12)
Note que o desvio angular da lei de Snell α, como mostra a Eq. (5.7) e a Fig. 5.2-a, obtida na
seção precedente para o modelo da quebra de simetria, pode ser reproduzida em experimento real
óptico. Para uma quebra parcial de simetria, o desvio angular é reduzido e uma simulação numérica
é necessária para estimar tal desvio, como apresenta a Fig. 5.4. A posição do pico e o valor médio
transversal, ilustrados na Fig. 5.4 para n =√
2, foram escolhidos porque um bloco dielétrico com tal
índice de refração possui um ângulo crítico θcri = 0 (ϕcri = π/4), também foram calculados para blocos
dielétricos de sílica fundida (n = 1.457) e borossilicato (n = 1.515), como mostra a Tab. 5.1.
{n ,
180oθcri
π,
180oϕcri
π
}={√
2 , 0o, 45
o},{
1.457 ,−2.42o, 43.34
o},{
1.515 ,−5.60o, 41.31
o},
42
5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos 43
(ym
ax,T
−y
Snel
l)/d
Snel
l
(〈y
〉 T−
ySn
ell)/
dSn
ell
z/dSnell z/dSnell
(a)s - pol
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
×
b
×b
×b
N = 50
30
10
(b)s - pol
×
b×
b
×b
N = 50
30
10
(c)p - pol
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.24
0.28
0.32
10 30 50 70 90
×
b
×b
×bN = 50
30
10
(d)p - pol
10 30 50 70 90
×
b
×b
×bN = 50
30
10
Figura 5.4: O desvio angular da lei de Snell. Evolução da dependência axial do pico e o valor médio transversalna incidência crítica para a cintura do feixe w0 fixa para diferentes números de blocos N. O desvio angular éevidente em (b) e (d). Notamos que os pontos físicos nos quais podem ser feita a análise experimental são dadospor zout = zin +N tanϕc AB (pontos × nos gráficos). Os pontos • representam os pontos da análise numérica paraos blocos de borossilicato e sílica fundida (Tab. 5.1).
É importante observar que, aumentando o número de blocos, podemos alcançar quebra máxima
de simetria. Nos deslocamentos de Snell e Goos-Hänchen, observamos uma dependência linear com
o número de blocos,
43
44 5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos
Tabela 5.1: A desviação da lei de Snell para blocos dielétricos de borossilicato e sílica fundida. A posição numéricado pico ymax,T e valor médio transversal 〈y〉T do feixe transmitido na incidência crítica são listados para ondas polarizadass e p para índices de refração diferentes em função do número de blocos N e para a taxa fixa da largura da cintura dofeixe/comprimento de onda kw0 e da distância axial z. Notamos que com o aumento do número de blocos ocorre oaumento do desvio da lei de Snell.
ymax,T−ySnelldSnell
〈y−ySnell〉TdSnell
nN 10 30 50 10 30 50
√2 0.050 0.080 0.108 0.053 0.079 0.104
s-pol1.457 0.049 0.079 0.105 0.052 0.077 0.102
1.515 0.047 0.077 0.102 0.051 0.075 0.099√2 0.063 0.112 0.156 0.066 0.117 0.170
p-pol1.457 0.064 0.113 0.158 0.066 0.119 0.171
1.515 0.064 0.114 0.159 0.067 0.120 0.174
• kw0 = 103 • θ0 = θcri • z = 50dSnell •
ySnell,cri = N (cosθcri− sinθcri ) tanϕcri AB ,
= N
√2−n2
+2√
n2−1−1+√
n2−1√2(n2−1)
AB ,
= N δSnell,cri AB , (5.13)
44
5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos 45
∣ ∣ ∣ ∣ ∣G[s
,p
]
T(y
,z
)∣ ∣ ∣ ∣ ∣
(y − ySnell)/dSnell (y − ySnell)/dSnell
0.2
0.4
0.6
0.8
N = 10s - polz/b = 10
50100
(a)z/b = 10
50100
N = 10p - pol (b)
0.2
0.4
0.6
0.8
N = 30s - pol (c) N = 30p - pol (d)
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.04 0.08 0.12 0.16
N = 50s - pol (e)
0 0.04 0.08 0.12 0.16
N = 50p - pol (f)
Figura 5.5: O fenômeno de múltiplos picos. Para kw0 = 103, o feixe óptico transmitido apresenta o fenômeno de
múltiplos picos. Tal fenômeno é diretamente relacionado ao alargamento do feixe óptico e é pelo fato de que nadistribuição de momento as componentes de momento negativas são superadas pelas componentes positivas.
e
{y[s]
GH,cri, y
[p]
GH,cri
}= N
{1 , n
2}
4k
∫dky
√cosθcri tanϕcri
n cosψcri ky/kf
2(ky)∫
dky f2(ky)
= N{
1 , n2} 4Γ(1/4)√
π√
2
2 − n
2+ 2
√n2−1
4(n2−1)(
n2+ 2
√n2−1
)
1/4 √w0
k
= N{
1 , n2}
δGH,cri
√w0
k. (5.14)
45
46 5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos
A análise numérica ilustrada na Fig. 5.5 e Tab. 5.1 confirma tal predição.
∣ ∣ ∣ ∣ ∣G[s
,p
]
T(y
,z
)∣ ∣ ∣ ∣ ∣
(y − ySnell)/dSnell (y − ySnell)/dSnell
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N = 10s - polz/b = 100
5001000
(a)z/b = 100
5001000
N = 10p - pol (b)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
N = 30s - pol (c) N = 30p - pol (d)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
N = 50s - pol (e)
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
N = 50p - pol (f)
Figura 5.6: O efeito focal. Para kw0 = 104, o fenômeno de múltiplos picos não é muito evidente. Porém, um novo
fenômeno aparece. Pelo fato da contribuição de segunda ordem da fase de óptica, no feixe transmitido podemosobservar o efeito de focalização como mostra em (f).
Em relação ao fenômeno de múltiplos picos, como mostra a Fig. 5.5, é clara a evidência da quebra
de simetria na distribuição de momento. No feixe óptico, as distribuições de momento negativo são
superadas ao aumentar o número de blocos. Isso implica somente contribuições de momento posi-
tivo no alargamento do feixe e consequentemente o fenômeno de múltiplos picos. Como pode ser
observado na Fig. 5.5, esse fenômeno é amplificado não somente pelo aumento do número de blocos,
mas pelo uso de ondas polarizadas p. Na Fig. 5.6, podemos observar outro fenômeno interessante. O
46
5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos 47
feito focal no feixe transmitido é uma consequência da contribuição de segunda da fase óptica que é
responsável pelo alargamento do feixe. A análise da Fig. 5.6-f mostra o aumento do valor máximo do
campo elétrico transmitido e é clara a evidência da focalização do feixe. O detalhamento desse efeito
foge do escopo desta tese e pode ser encontrado na referência [33].
47
Capıtulo 6Medida do deslocamento de Goos-Hänchen por
meio do efeito de interferência
Este capítulo apresenta de forma sucinta e clara o estudo sobre a interferência entre feixes ópti-
cos de diferentes polarizações que são importantes na reprodução do análogo óptico da medida fraca
do spin do elétron. O ponto importante no efeito de interferência é representado pela possibilidade
de estimar com precisão o deslocamento de Goos-Hänchen. A partir de uma análise numérica do
deslocamento de Goos-Hänchen, mostramos claramente uma amplificação, uma mudança de compor-
tamento da cintura do feixe e do comprimento de onda para a incidência próxima do ângulo crítico.
Isso modifica o perfil das curvas e uma nova fórmula será introduzida para estimar o deslocamento de
Goos-Hänchen.
6.1 Interferência entre feixes de diferentes polarizações
A medida do deslocamento de Goos-Hänchen tem sido uma tarefa difícil porque é um efeito muito
pequeno. Uma possibilidade é usar múltiplas reflexões [1], outra possibilidade é usar a técnica de in-
terferência entre feixes ópticos de diferentes polarizações. Esta técnica tem sido usada para a medida
do efeito Imbert–Fedorov e o efeito Hall do spin da luz [11, 41]. Esta técnica de interferência ser
entendida como medida fraca óptica que é um análogo óptico da medida fraca quântica [11], a luz
polarizada faz o papel de partículas de spin-1/2. Hosten and Kwiat [7] foi o primeiro a usar esta ana-
48
6.1. Interferência entre feixes de diferentes polarizações 49
logia para medir deslocamento de feixes ópticos. Eles relataram a primeira observação experimental
do efeio Hall da luz. Análises teóricas do efeito de interferência para a observação de deslocamentos
ópticos têm sido realizadas em [11, 42, 42, 43].
A técnica de interferência entre feixes para a medida destes deslocamentos é ainda objeto de in-
vestigação e continua a estimular novas discussões. Em um recente trabalho experimental [44], pelo
uso do efeito de interferência, o comportamento do deslocamento de Goos-Hänchen foi reproduzido
na região em que o ângulo de incidência está longe do ângulo crítico para permitir algumas aproxima-
ções, ou seja, na região em que o deslocamento de Goos-Hänchen é proporcional ao comprimento de
onda λ. Para a incidência no ângulo crítico, o deslocamento de Goos-Hänchen é amplificado por um
fator√
w0/λ . Essa mudança de comportamento será fundamental para a medida do deslocamento de
Goos-Hänchen na região de incidência crítica.
Para tornar esta análise clara para o leitor, vamos apresentar o esquema experimental para a medida
do deslocamento de Goos-Hänchen via efeito de interferência (veja Fig. 6.1). O aparato consiste de um
bloco dielétrico que introduz um deslocamento d[s]
GH(d
[p]
GH) para polarização s (p) de um feixe gaussiano
no regime de reflexão interna total. Consideramos um sistema de coordenadas cartesianas em que z
está na direção de propagação. Um analisador e um polarizador que seleciona as polarizações inicial
e final nos ângulos α e β com respeito ao plano-xy. O efeito de interferência [44], os parâmetros
que caracterizam o comportamento da medida dos deslocamento de Goos-Hänchen são os ângulos de
polarização do primeiro e segundo polarizador, (veja Fig. 6.1). α e β = α+ π
2 + ∆ε. Para ângulos de
pequenas rotações, ou seja, ∆ε� 1, para um feixe incidente com uma mistura igual de polarizações,
α = π/4. E para ângulos de incidência longe do ângulo crítico, a condição
∆ε� ∆dGH/w(z)≈ λ/w(z) com ∆dGH = d[p]
GH−d
[s]
GH, (6.1)
é satisfeita, e será vista em detalhes depois, a distância entre os picos do feixe de saída para duas
rotações opostas do segundo polarizador, ou seja, β± =34 π ±|∆ε|, é dada por
∆Ymax ≈ ∆dGH/|∆ε| . (6.2)
49
50 6.2. Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen
Consequentemente, para rotações do polarizador que satisfazem o vínculo (6.1), a curva experimental
de ∆Ymax reproduz o deslocamento de Goos-Hänchen amplificada pelo fator 1/|∆ε|. O comportamento
da curvas do deslocamento de Goos-Hänchenb e sua amplificação (na região longe da região de inci-
dência crítica) foi confirmada em uma investigação experimental na referência [44].
Como observado no início desta introdução, a mudança de comportamento da largura da cintura e
do comportamento de onda do feixe leva para
∆dGH,cri ∝
√λw0 � λ . (6.3)
Esta mudança de comportamento do deslocamento de Goos-Hänchen crítico estimula a investigação
do que acontece na incidência próxima do ângulo crítico, pelo fato da amplificação√
w0/λ a condi-
ção usada na literatura [44] não será válida. Tal amplificação modificará o perfil das curvas e uma
nova fórmula será introduzida para estimar o deslocamento de Goos-Hänchen. Em vista de uma pos-
sibilidade de uma implementação experimental via interferência para a incidência próxima do ângulo
crítico, analisamos as cuvas previstas experimentalmente para feixes gaussianos com λ = 633 nm e
w0 = 200, 300, 500 µm, propagando através de blocos dielétricos de borossilicato e sílica fundida. Em
vista destes comentários, nossa discussão pode ser vista como um trabalho complementar aos que
aparecem nas referências [11, 41].
6.2 Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen
Para a estimativa numérica do deslocamento de Goos-Hänchen do feixe transmitido, E[s,p]
out, propagando-
se no plano y-z através do bloco dielétrico (veja Fig. 6.1), é importante lembrar, Eq. (4.19)
que no regime de reflexão interna total o máximo campo elétrico está localizado em
y[s, p]
Max= dSnell +d
[s, p]
GH, (6.4)
ou seja, na posição prevista pela lei de Snell adicionado para o deslocamento de Goos-Hänchen. A
dependência axial no deslocamento de Goos-Hänchen é calculada pela diferença relativa entre os
50
6.2. Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen 51
CONFIGURAÇÃO EXPERIMENTAL
FONTE DELASER
TE ⊕ TM ondas
TM onda TE onda
zC
zα α
zA A
zβ β
zout
zmin
LENTE
POLARIZADOR
ANALIZADOR
POLARIZADOR
DIELÉTRICO
CÂMERA
b
b
O b
z
y
b
b
b
b
Figura 6.1: Configuração experimental. Montagem experimental para observar a distância entre o pico principaldo feixe para duas rotações opostas, ±∆ε, do segundo polarizador. O feixe incidente antes do primeiro polarizador(α = π/4) possui uma mistura igual de ondas polarizadas s e p, passa pelo bloco dielétrico (zin < z < zout ) e passapelo do analisador em z = zA perdendo a fase ∆φGH . A interferência óptica é realizada por meio da mudança doângulo de rotação do segundo polarizador (β = 3π/4±|∆ε|). Para ∆ε = 0 o feixe se propaga com dois máximosiguais centrados em ±w(z)/
√2.
51
52 6.2. Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen
máximos do feixe polarizado p com respeito ao polarizado s, da seguinte forma
y[p]
Max− y
[s]
Max= ∆dGH . (6.5)
Os dados numéricos para a propagação através de blocos de borossilicato (n = 1.515) e sílica fundida
(n = 1.457) para o intervalo (10cm < z < 15cm) são respectivamente ilustrados nas Fig. 6.2 e Fig. 6.3.
Os dados mostram claramente a amplificação para a incidência na região crítica e eles mostram um
excelente acordo com predição teórica para a incidência longe do ângulo crítico, descrita no Cap. 4.
Os gráficos para o deslocamento de Goos-Hänchen para borossilicato e sílica fundida mostram uma
dependência axial. Esta dependência axial tem sido investigada como uma possível origem do desvio
angular no caminho óptico previsto pela lei de Snell, Cap. 5. Entender como esta dependência axial
modifica as curvas do efeito de interferência na região crítica é um dos objetivos principais de nossa
análise.
52
6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos 53
∆d
GH
[µm
]
θ
20
16
12
8
4
0
w0 = 200 µm
Borossilicato (a)
20
16
12
8
4
0
Borossilicato
w0 = 300 µm
(b)
20
16
12
8
4
0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦
Borossilicato
w0 = 500 µm
(c)
Figura 6.2: As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de borossilicato. Os dados numéricospara o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos através de um bloco dielétrico de borossilicato,são ilustrados no intervalo 10cm ≤ z≤ 15cm, para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm(a), 300µm (b), e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica éevidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional.
6.3 Efeito de interferência em experimentos ópticos
Nesta seção vamos apresentar a análise do efeito de interferência entre dois feixes de polarizações
diferentes para a medida do deslocamento de Goos-Hänchen. A expressão matemática do campo
53
54 6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos
∆d
GH[µ
m]
θ
20
16
12
8
4
0
w0 = 200 µm
Sílica fundida (a)
20
16
12
8
4
0
w0 = 300 µm
Sílica fundida (b)
20
16
12
8
4
0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦
w0 = 500 µm
Sílica fundida (c)
Figura 6.3: As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de sílica fundida. Os dados numéricospara o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos através de um bloco dielétrico de sílica fundidasão ilustrados no intervalo 10cm ≤ z ≤ 15cm para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm(a), 300µm (b) e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica éevidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional.
transmitido E[s,p]
T, propagando-se no plano y-z através do bloco dielétrico (veja Fig. 6.1) é dada pela
Eq. (3.37). Na incidência próxima do ângulo crítico e para um bloco dielétrico podemos tomar a
54
6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos 55
seguinte aproximação
T[s,p]
(0,ky) =∣∣∣T [s,p]
0
∣∣∣ exp[i (ΦSnell +Φ[s, p]
GH)] .
Isso permite que a equação para o campo elétrico transmitido seja escrita como segue
E[s, p]
T(r) = E0 ei k z G (x , z)
∣∣∣T [s,p]
0
∣∣∣√
1+2 iz
k w20
exp
−
(y−dSnell−d
[s,p]
GH
)2
w20 +2 i
zk
+ i(
ΦSnell +Φ[s,p]
GH
) , (6.6)
na qual ΦSnell e dSnell representam a fase e o deslocamento de Snell, e Φ[s,p]
GHe d
[s,p]
GHrepresentam a
fase e o deslocamento de Goos-Hänchen, o qual é estimado numericamente nos gráficos das Fig. 6.2
e Fig. 6.3 .
• Polarizador α
A intensidade do feixe gaussiano passando pelo polarizador α e saindo do bloco dielétrico e,
movendo-se na direção do polarizador (zout < z < zA na Fig. 6.1) é expressa por
IT(y,zout < z < zA) =∣∣∣sinαE
[s]
T(r)+ cosαE
[p]
T(r)∣∣∣
2
∝
∣∣∣∣∣∣τ tanα exp
−
(y−dSnell−d
[s]
GH
w(z)
)2
+ i∆ΦGH
+ exp
−
(y−dSnell−d
[p]
GH
w(z)
)2∣∣∣∣∣∣
2
,
(6.7)
na qual τ =∣∣∣T [s]
0 / T[p]
0
∣∣∣ representa a razão entre as amplitudes dos coeficientes de transmissão para a
luz polarizada s e p, e ∆ΦGH = Φ[s]
GH−Φ
[p]
GHa diferença de fase. A dependência de θ em τ e ∆ΦGH é
ilustrada na Fig. 6.4 (borossilicato e sílica fundida). Além da diferença de fase, os feixes emergem do
bloco deslocados pelas quantidades, d[s]
GHe d
[p]
GH.
• Analisador A
Após a remoção da diferença de fase entre a luz polarizada s e p pelo analisador localizado em
55
56 6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos
z = zA , a intensidade torna-se
IT(y,zout < z < zA) =∣∣∣sinαE
[s]
T(r)+ cosαE
[p]
T(r)∣∣∣
2
∝
∣∣∣∣∣∣τ tanα exp
−
(y−dSnell−d
[s]
GH
w(z)
)2+ exp
−
(y−dSnell−d
[p]
GH
w(z)
)2∣∣∣∣∣∣
2
.
(6.8)
• Polarizador β
Finalmente, o segundo polarizador localizado em z = zβ
combina as polarizações s e p produzindo
a intensidade do feixe transmitido como
IT(y,z > zβ) =
∣∣∣sinα sinβE[s]
T(r)+ cosα cosβE
[p]
T(r)∣∣∣
2
∝
∣∣∣∣∣∣τ tanα tanβ exp
−
(y−dSnell−d
[s]
GH
w(z)
)2+ exp
−
(y−dSnell−d
[p]
GH
w(z)
)2∣∣∣∣∣∣
2
,
=
∣∣∣∣∣∣∣∣τ tanα tanβ exp
−
Y +∆dGH
2w(z)
2+ exp
−
Y − ∆dGH
2w(z)
2
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
(6.9)
com
Y = y − dSnell −d[s]
GH+d
[p]
GH
2e ∆dGH = d
[p]
GH− d
[s]
GH.
Na Eq. (6.9) α e β são os ângulos de polarização do primeiro e do segundo polarizador, veja
Fig. 6.1. A dependência angular de τ é ilustrada nas Fig. 6.4-a (borossilicato) e Fig. 6.4-c (sílica fun-
dida) para ângulos de incidência na região crítica. Esta escolha permite reescrever a intensidade do
56
6.4. O comportamento do máximo principal 57
feixe transmitido como segue
IT(y,z > zβ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣tanα tanβ exp
−
Y +∆dGH
2w(z)
2+ exp
−
Y − ∆dGH
2w(z)
2
∣∣∣∣∣∣∣∣
2
.
(6.10)
Na forma desta equação é evidente que a intensidade é uma superposição de duas gaussianas centradas
em ±∆dGH . A técnica de interferência utiliza o controle dos ângulos α e β para a medida indireta do
deslocamento de Goos-Hänchen através da medida da distância entre os máximos desta função. Isso
será analisado na próxima seção.
6.4 O comportamento do máximo principal
Para a análise do comportamento do máximo da intensidade apresentada na seção precedente, o
ponto de partida no efeito de interferência óptica é a definição dos ângulos do primeiro e do segundo
polarizador
{α , β}={
π
4,
π
2+α
}.
Admitindo que dGH é da ordem do comprimento de onda λ,
∆dGH
w(z)∼ λ
w(z)� 1 .
Para esta escolha é possível encontrar uma função simétrica para a intensidade do feixe transmitido,
IT(Y ) ∝ Y2
exp
[− 2Y
2
w2(z)
], (6.11)
57
58 6.4. O comportamento do máximo principal
com dois picos centrados em Y±
max= ± w(z)/
√2 e um mínimo centrado em Ymin = 0. Alterando o
ângulo do segundo polarizador de β para β+∆ε (∆ε� 1), quebramos a simetria da distribuição,
IT(Y,∆ε) ∝
[∆ε +
∆dGH
w2(z)
Y]2
exp
[− 2Y
2
w2(z)
]. (6.12)
Em termos de ∆ε, obtemos
Ymin(∆ε) =− ∆ε
∆dGH
w2(z) (6.13)
e
Y±
max(∆ε) =
−∆ε ±√
(∆ε)2+2 [∆d2
GH/ w2
(z) ]
2∆dGH
w2(z) . (6.14)
É evidente que para ∆ε positivo, o Y+
max(|∆ε|) representa a posição do pico principal da intensidade do
feixe transmitido. Por outro lado, para ∆ε negativo, o pico principal está centrado em Y−
max(−|∆ε|).
Utilizando a Eq. (6.14), a distância entre esses dois picos é dada por
∆Ymax = Y+
max(|∆ε|)−Y
−
max(−|∆ε|) =
−|∆ε| +√|∆ε|2 +2 [∆d2
GH/ w2
(z) ]
∆dGH
w2(z) . (6.15)
Em suma, temos que através da separação dos máximos correspondentes a duas rotações opostas±∆ε,
o deslocamento de Goos-Hänchen pode ser determinado.
Na região 0≤ |∆ε| ≤ ∆dGH/w(z), obtemos
(√
3−1) w(z) ≤ ∆Ymax ≤√
2 w(z) . (6.16)
Isso mostra evidentemente que pelo aumento do valor de |∆ε|, reduzimos a distância entre os picos.
Para |∆ε| � ∆dGH/w(z),
∆Ymax ≈ ∆dGH/|∆ε| . (6.17)
Para ângulo de incidência distante da região crítica, devido ao fato do deslocamento de Goos-Hänchen
58
6.4. O comportamento do máximo principal 59
ser proporcional ao comprimento de onda do laser, a condição
∆dGH
w(z)≈ λ
w(z)� |∆ε|
pode ser satisfeita. Portanto, distante da região crítica, as curvas experimentais de ∆Ymax reproduzem
as curvas de de Goos-Hänchen amplificadas por um fator 1/|∆ε|.
Para uso experimental, é conveniente expressar o deslocamento de Goos-Hänchen, ∆dGH , em ter-
mos da quantidade experimental ∆Ymax . Da Eq. (6.15), podemos obter
∆dGH =|∆ε| ∆Ymax
1−∆Y 2max
/2w2(z)
. (6.18)
A expressão (7.6) descreve o comportamento do deslocamento de Goos-Hänchen em função da
distância dos picos e da coordenada axial. As medidas experimentais para este estudo teórico estão
sendo realizadas e confirmam de fato a validade dessa equação na região de incidência crítica. Na
região crítica, a dependência axial e a transição do comprimento de onda e da cintura do feixe são
ilustradas nas Fig. 6.2 (borossilicato) e Fig. 6.3 (sílica fundida). Podemos observar que, a dependência
axial e a transição do comprimento de onda e da cintura do feixe vão em contradição à validade do
vínculo |∆ε| � ∆yGH/w(z). Isso significa que, nessa região, as curvas experimentais de ∆Ymax reprodu-
zem as curvas de Goos-Hänchen. As curvas previstas experimentalmente da distância dos dois picos
são ilustradas para diferentes valores de |∆ε| nas Fig. 6.5 (borossilicato) e Fig. 6.6 (sílica fundida).
Os gráficos confirmam que, na incidência crítica, a amplificação não reproduz a proporcionalidade de
1/|∆ε|. A dependência axial pode afetar as curvas experimentais e, para pequenas rotações do segundo
polarizador produz uma região praticamente plana, veja as Fig. 6.5-a e Fig. 6.6-a para |∆ε|= 0.01. A
dependência axial é removida pelo aumento da cintura do feixe w0 como se verifica nas Fig. 6.7 (sí-
lica fundida) e Fig. 6.8 (borossilicato). Observamos que a amplificação da 1/|∆ε| é reproduzia para
ângulos distantes da região crítica.
59
60 6.4. O comportamento do máximo principal
θ
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦
τ
∆φGH
Borossilicato (a)
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
τ
∆φGH
Sílica fundida (b)
−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦
Figura 6.4: dependência angular de τ e ∆ΦGH . A dependência angular de τ (taxa entre os módulos das amplitudespara a luz polarizada s e p) e ∆φGH (diferença de fase entre as ondas polarizadas s e p) são ilustradas em (a) parablocos dielétricos de borossilicato e (c) sílica fundida. Na região crítica, τ é aproximada igual a um. Isso foi usadopara simplificar a expressão para feixe transmitido, como mostra a Eq. (6.12).
60
6.4. O comportamento do máximo principal 61
∆Y
max
[µm
]
θ
600
500
400
300
200
100
0
(a)
|∆ε| = 0.01
0.03
0.050.1
w0 = 200 µm
Borossilicato
600
500
400
300
200
100
0
(b)
|∆ε| =0.01
0.030.05
0.1
w0 = 300 µm
Borossilicato
600
500
400
300
200
100
0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦
(c)|∆ε| =0.01
0.03
0.05
0.1
w0 = 500 µm
Borossilicato
Figura 6.5: As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato. As curvas previstas paraa distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico borossilicato e passando através dosegundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para diferentesvalores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir a dependênciaaxial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida paraincidência distante da incidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico.
61
62 6.4. O comportamento do máximo principal
∆Y
max
[µm
]
θ
600
500
400
300
200
100
0
(a)
|∆ε| = 0.01
0.030.050.1
w0 = 200 µm
Sílica fundida
600
500
400
300
200
100
0
(b)
|∆ε| =0.01
0.030.050.1
w0 = 300 µm
Sílica fundida
600
500
400
300
200
100
0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦
(c)
|∆ε| =0.01
0.03
0.050.1
w0 = 500 µm
Sílica fundida
Figura 6.6: As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de sílica fundida. As curvas previstas para adistância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico de sílica fundida e passando através dosegundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para diferentesvalores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir a dependênciaaxial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida paraincidência distante da incidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico.
62
6.4. O comportamento do máximo principal 63
∆d
GH
[µm
]
θ
30
25
20
15
10
5
0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦
(a)
w0 = 1.0 mm
Borossilicato
30
25
20
15
10
5
0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦
(b)
w0 = 1.0 mm
Sílica fundida
Figura 6.7: As curvas do deslocamento de GH para blocos borossilicato e sílica fundida. Os dados numéricospara o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos transmitidos através de blocos dielétricos de borossilicato(a) ede sílica fundida(b) são ilustrados no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm.A mudança de comportamento do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica é evidente. Poroutro lado, a dependência axial foi reduzida.
63
64 6.4. O comportamento do máximo principal
∆Y
max
[µm
]
θ
30
25
20
15
10
5
0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦
(a)
w0 = 1.0 mm
Borossilicato
|∆ε| = 0.01
0.03
0.050.1
30
25
20
15
10
5
0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦
(b)
w0 = 1.0 mm
Sílica fundida
|∆ε| = 0.01
0.03
0.050.1
Figura 6.8: As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato e sílica fundida. As curvasprevistas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de blocos dielétricos de borossilicato (a) ede sílica fundida(b) e passando através do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas nointervalo 10cm≤ z≤ 15cm, para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm. Observamos que a dependência axialfoi reduzida para tal cintura de feixe. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante daincidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico.
64
Capıtulo 7Conclusões
Nesta seção, resumimos os resultados de maior relevância obtidos durante o doutorado. Apresen-
taremos, também, tópicos de pesquisa que podem representar estímulo para futuros trabalhos.
7.1 Resultados obtidos
No capítulo 2 usamos o método da fase estacionária para obter o deslocamento de Goos-Hänchen
[18]. Nosso estudo fornece uma nova luz sobre a região de validade das fórmulas analíticas. No
b
− − − − − − −
kw0σ(n, θ) = − 5
FASE
e−
Figura 7.1: Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuiçãogaussiana de momento para um ângulo de incidência maior que o ângulo crítico,k w0 σ(n, θ) = −5. A linha contínua representa a distribuição com coeficiente de re-flexão complexo, kz∗ < 0.
regime de reflexão interna total, observamos que toda a distribuição de momentos contém uma fase
adicional (veja Fig. 7.1) e consequentemente as derivadas podem ser calculadas no centro da distribui-
65
66 7.1. Resultados obtidos
ção, ky = 0. Isso leva ao deslocamento da ordem do comprimento de onda λ,
{d[s]
GH, d
[p]
GH
}=
λ
π
2 cosθ senϕ
cosψ
√n2 sen2
ϕ−1
{1,
1n2 sen2
ϕ− cos2ϕ
}. (7.1)
Em nossa análise, o método da fase estacionária foi estendido para o regime de incidência crí-
tica. Para incidência no ângulo crítico, somente metade da distribuição de momentos contém a fase
adicional (veja Fig. 7.2).
b
kw0σ(n, θ) = 0
FASE
e−
Figura 7.2: Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussi-ana de momento para a incidência no ângulo crítico, k w0 σ(n, θ) = 0. A linha pon-tilhada representa a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linhacontínua representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0.
Em consequência, as derivadas devem ser calculadas em
kcri =
∫ +∞
0dky ky exp
[−(kyw0)
2/2]∫ +∞
−∞dky exp
[−(kyw0)
2/2] =
1√2π w0
. (7.2)
O deslocamento de Goos-Hänchen é agora amplificado pelo fator√
w0/λ,
{d[s]
GH,cri, d
[p]
GH,cri
}≈ λ
√w0
λ
[2π
1n2(n2−1)
] 14 {
1 , n2}. (7.3)
No capítulo 3, observamos que na incidência crítica, a assimetria da fase adicional produz a uma
quebra de simetria na distribuição de momento g[s, p]
T(ky) (veja Fig. 7.3) [19, 20].
A maximização da quebra de simetria da distribuição de momento leva ao desvio angular da lei de
Snell. Mostramos como reproduzir a máxima quebra de simetria na distribuição de momento de feixe
66
7.1. Resultados obtidos 67
por uma estrutura composta por N blocos dielétricos (veja Fig. 7.3). Nesta análise mostramos que
o desvio angular máximo é obtido para um feixe gaussiano com λ = 633nm e largura w0 = 100µm
utilizando ondas polarizadas p e uma estrutura composta por 50 blocos (veja Fig. 7.3). Neste caso, é
possível encontrar um desvio angular da lei de Snell
αmax = arctan
∫dky ky f
2(ky)
k∫
dky f2(ky)
= arctan
[√2/π
k w0
]≈√
2/π
k w0
≈ 0.05o π
180o . (7.4)
N = 15
1050
kw0 = 103p - pol
Figura 7.3: Quebra de simetria para N blocosdielétricos. Para ondas polarizadas p, os gráficosmostram que para maximizar a quebra de simetria,temos que aumentar o número de blocos.
No capítulo 4 foi elaborado um estudo sobre o
efeito de interferência entre feixes [21]. Neste estudo,
observamos que as curvas do deslocamento de Goos-
Hänchen são reproduzidas pela fórmula analítica pa-
drão, ou seja, a proporcionalidade entre as curvas ex-
perimentais da distância dos picos e as cuvas do des-
locamento de Goos-Hänchen
∆Ymax ≈∆dGH
|∆ε|(7.5)
pode ser reproduzida somente na região distante da
incidência crítica (veja Fig. 7.4).
Na incidência crítica devido à amplificação de√
w0/λ, a consequente proporcionalidade entre
as curvas experimentais da distância dos picos e as cuvas do deslocamento de Goo-Hänchen não
é reproduzida (veja Fig. 7.4). Portanto, uma nova fórmula analítica foi introduzida para estimar o
deslocamento de Goos-Hänchen,
∆dGH =|∆ε| ∆Ymax
1−∆Y 2max
/2w2(z)
. (7.6)
A partir dessa equação é importante notar que para uma distância entre os picos da ordem do compri-
67
68 7.2. Perspectivas de trabalho futuro
600
500
400
300
200
100
0
|∆ε| = 0.01
0.030.05
0.1
w0 = 300 µm
Borossilicato
Figura 7.4: Curvas do efeito de interferência para blocos de boros-silicato. As curvas previstas para a distância entre os picos principaisdos feixes saindo de um bloco dielétrico e passando através do segundopolarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo10cm≤ z≤ 15cm para largura da cintura do feixe 300µm.
mento de onda,∆Ymax
w(z)≈ λ
w(z)� 1 ,
podemos obter a fórmula analítica padrão usada na literatura
∆dGH ≈ |∆ε| ∆Ymax . (7.7)
É importante observar (veja Fig. 7.4) a dependência axial no efeito de interferência entres os feixes
em proximidade do ângulo crítico. Um recente estudo experimental feito numa colaboração entre
os professores doutores Stefano De Leo, Luis Araujo, Silvânia Carvalho e o mestrando Octávio José
mostra a validade da nova fórmula proposta e consequentemente a dependência axial no efeito de
interferência. A dependência axial antes do ângulo crítico representa desvios angulares da lei de
Snell.
7.2 Perspectivas de trabalho futuro
Existem alguns tópicos que não foram abordados nesta tese e que merecem atenção:
1) Uma fórmula analítica completa para o deslocamento de Goos-Hänchen na região de incidência
68
7.2. Perspectivas de trabalho futuro 69
crítica. Além disso, analisaremos a dependência do deslocamento de Goos-Hänchen sobre a
distribuição do feixe;
2) Comportamento do máximo e do valor médio da intensidade em proximidade da região crítica;
3) Estimativa dos desvios angulares antes da região crítica;
Para o feixe no regime de reflexão parcial, pretendemos obter uma fórmula analítica para o
desvio angular da lei de Snell para o feixe refratado e o desvio da lei de reflexão para o feixe
refletido.
4) Efeito de interferência entre feixes incluindo a fase óptica;
Para esta análise vamos considerar o campo elétrico transmitido polarizado s e p dado por
E[s, p]
T(r) ∝ exp
−
(y−dSnell−d
[s,p]
GH
)2
w20 +2 i
zk
+ i(
ΦSnell +Φ[s,p]
GH
) (7.8)
Neste estudo faremos uma avaliação do efeito da diferença da fase de Goos-Hänchen ∆φGH =
Φ[s]
GH−Φ
[p]
GHno efeito de interferência e, na potência do feixe.
5) Efeitos dos termos de segunda ordem da fase óptica;
Nesta análise podemos observar que a quebra de simetria axial e o alargamento axial transversal
apresentam dependência sobre o ângulo de incidência. Para ângulo de incidência θ = π/4 observamos
que o efeito do termo de segunda ordem da fase geométrica modifica a simetria axial e alargamento
axial transversal
w
z− k
[∂
2ΦSnell
∂k2x
]
(0,0)
, w
z− k
[∂
2ΦSnell
∂k2y
]
(0,0)
.
Neste estudo as contribuições mais significativas advêm da fase geométrica pelo fato das contribuições
serem proporcionais às dimensões do bloco enquanto que as contribuições da fase de Goos-Hänchen
são proporcionais ao comprimento de onda. Esta análise foi realizada para feixes gaussianos e do tipo
Hermite-Gauss e, resultou em dois artigos:
69
70 7.2. Perspectivas de trabalho futuro
Quebra de simetria transversal e modificação do alargamento axial para feixes ópticos
gaussianos, submetido ao “ J. Mod. Opt. (2015)”.
Efeito focal para feixes ópticos do tipo Hermite-Gauss, submetido ao “Eur. Phys. J. D
(2015)”.
Em continuação, estendemos esta análise para feixes ópticos do tipo Laguerre-Gauss que está em
fase de preparação.
Para futuras investigações pretendemos investigar a possibilidade da quebra de simetria axial e o
alargamento axial transversal para ângulos de incidência que ativam os efeitos de segunda ordem da
fase de Goos-Hänchen. Discutiremos em que região de incidência podemos maximizar a quebra de
simetria axial e modificar o alargamento do feixe.
70
7.2. Perspectivas de trabalho futuro 71
Publicações e submissões no período do doutoramento
Publicações
• M. P. Araújo, S. De Leo and G. G. Maia, Axial dependence of optical weak measurements in the
critical region, J. Optics. 17, 035608 (2015).
• M. P. Araújo, S. A. Carvalho, and S. De Leo, Maximal breaking of symmetry at critical angle and
closed-form expression for angular deviations of the Snell law, Phys. Rev. A 90, 033844-11 (2014).
• M. P. Araújo, S. A. Carvalho and S. De Leo, The asymmetric Goos-Hänchen effect, J. Optics. 16,
015702 (2014).
• M. P. Araújo, S. A. Carvalho and S. De Leo, The frequency crossover for the Goos-Hänchen shift,
J. Modern Opt. 60, 1772-1780 (2013).
Submissões
• M. P. Araújo, S. A. Carvalho and S. De Leo, Focal effect for Hermite-Gaussian beams, submetido
ao Eur. Phys. J. D (2015).
• M. P. Araújo, S. De Leo and M. Lima, Transversal symmetry breaking and axial spreading modifi-
cation for gaussian optical beams, submetido ao J. Mod. Opt. (2015).
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