O ENSINO DE ÁLGEBRA A PARTIR DE JOGOS, MATERIAIS
MANIPULATIVOS, HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E SOFTWARE
EDUCACIONAL – EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Geiseane Lacerda Rubi 1
Resumo: Esta experiência ocorreu durante a disciplina de Estágio do Ensino
Fundamental com alunos de uma 6ª série de uma escola municipal, na cidade de São
Leopoldo – RS, no período de outubro a dezembro de 2009. O desafio foi ensinar
Equações do 1º grau com uma incógnita, tendo em vista que a Álgebra é um assunto da
Matemática em que os alunos brasileiros apresentam significativa dificuldade de
aprendizagem. E, também que os professores temem em ensinar álgebra por considerar
um grande desafio, devido ao fato de os alunos demorarem a desenvolver o pensamento
algébrico, pois, normalmente, identificam a álgebra como, apenas, uma forma de operar
com letras. Sabendo desta dificuldade e da rejeição que os alunos têm quando se refere
ao ensino / aprendizagem de álgebra. E, observando as peculiaridades que a turma em
questão apresentava tais como, indisciplina, alto número de repetentes, déficit de
atenção, autoestima baixa, desunião e falta de respeito com os próprios colegas, foi
pensado em estratégias de ensino diferenciadas do tradicional quadro e giz. Então, foi
planejado aulas participativas e diferenciadas que desenvolvessem não apenas o
conteúdo matemático, mas o respeito com o próximo, o saber trabalhar em equipe e o
cooperativismo. As aulas tiveram o auxílio de alguns objetos de aprendizagem, tais
como: jogos, materiais concretos manipulativos (balança), história da matemática
(ilustrada) e software educacional chamado PATSolver que é um resolvedor de
equações algébricas de 1º e 2º grau com uma incógnita. A utilização desses materiais
citados a cima com estratégias pedagógicas bem desenvolvidas ensinam álgebra e
desenvolvem o pensamento algébrico, sendo significante a utilização dos mesmos no
processo de ensino / aprendizagem de matemática. Mas, é fundamental que o professor
1 Graduanda do 7º semestre de Matemática Licenciatura – UNISINOS – ([email protected])
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possa planejar e acompanhar as atividades desenvolvidas promovendo a participação e
integração de todos, direcionando os alunos para refletirem sobre o que estão
desenvolvendo com determinada atividade. É insignificante o uso de materiais lúdicos
(diversos jogos, materiais concretos, softwares educacionais, vídeos, applets, entre
tantos outros existentes) se o professor não planejar a aula com estratégias instigantes.
Alguns pensam que apenas utilizando o objeto de aprendizagem já está desenvolvendo
uma ótima aula. De nada adianta grandes recursos se não são significativos, se os alunos
não compreendem a relação do objeto com o conteúdo estudado. Por isso, é preciso
cautela no momento de utilizar objetos de aprendizagem para que o mesmo sirva como
um recurso a mais que desenvolverá o raciocínio lógico-matemático. Finalmente,
através das avaliações realizadas e do acompanhamento das aulas, nota-se uma
significativa melhora dos alunos quanto à aprendizagem e quanto ao gosto pela
disciplina de matemática.
Palavras-Chave: Álgebra, Ensino de Equações do 1º grau, Aulas Lúdicas.
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1. Introdução
A Álgebra é uma área da Matemática em que os alunos brasileiros apresentam
significativa dificuldade de aprendizagem. De acordo com Secretaria de Educação
Fundamental, “Nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica
(SAEB), por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente atingem um índice de
40% de acerto em muitas regiões do país” [SEF 1998], confirmando a problemática que
professores e alunos vivenciam.
Além disso, professores temem em ensinar álgebra por considerar um grande
desafio. Isso se deve ao fato que os alunos demoram a desenvolver o pensamento
algébrico, pois, normalmente, identificam a álgebra como apenas uma forma de operar
com letras e acabam decorando regras que possuem suas peculiaridades, porém os
alunos generalizam-nas aplicando em todas as equações, resultando em erros
conhecidos por “erro de falsa regra”. Podem-se utilizar essas expressões que se tornam
regras, mas, conforme Garbi (2009, p. 20), é preciso nunca se esquecer dos raciocínios
que existem por trás dos procedimentos que se tornam mecânicos...
Pensando nisso, o papel do professor consiste em criar estratégias de ensino
diversificadas para tornar mais compreensível o conteúdo, fazendo com que os alunos
aprendam e não decorem regras, mas compreendam o que sucede em uma equação
proposta. Assim, os objetos de aprendizagem aqui citados possibilitam desenvolver
conceitos algébricos como o conceito de igualdade, de equação, de incógnita e das
manipulações realizadas nas equações.
2. O ensino de Equações do 1º grau
O desafio foi ensinar Equações do 1º grau com uma incógnita (conteúdo de álgebra
elementar) sabendo da dificuldade e rejeição que os alunos têm quando se refere ao
ensino / aprendizagem de Álgebra. Então, procurou-se, com diversas estratégias,
planejar aulas participativas e diferenciadas do tradicional quadro e giz, por meio de:
• Jogos: O jogo, na educação matemática, permite que a brincadeira evolua
até o conteúdo sistematizado, tornando a aprendizagem divertida. Mas, é
preciso cuidado quanto à aplicação e ao tipo de jogo, pois há jogos que são
apenas para treino e, outros que desenvolvem uma determinada habilidade
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no aluno. Também é essencial a reflexão sobre a atividade desenvolvida com
os alunos para dar sentido e mostrar a aprendizagem diante o jogo. São os
jogos que visam desenvolver o raciocínio algébrico e o cálculo mental.
Através de um jogo chamado de “Motivos de gostar e aprender Matemática” teve
inicio as atividades com a turma. Esse jogo desenvolve o cálculo mental e o raciocínio
algébrico. No final do jogo, os alunos foram questionados sobre suas respostas e como
chegariam ao resultado se não tivessem todos os dados. Alguns minutos passaram para
o primeiro palpite. Os alunos foram instigados a pensarem nas possibilidades, muitos
citaram que resolveriam por tentativa e erro. Então, o questionamento proposto: “Se
estivéssemos tratando de grandes quantidades, ficaríamos tentando... tentando?!”.
Outros, então, falaram que não poderia ser por tentativa e erro, pois os números são
infinitos, logo, as tentativas serão infinitas. Este jogo foi utilizado para introduzir o
raciocínio algébrico. Um aluno que estava repetindo a 6ª série citou que no lugar do
número que não sabemos podemos utilizar uma letra e depois que calcularmos
encontramos o valor da letra, ou seja, do que queremos saber. Posteriormente ao ensino
de resolução de equações, foi utilizado o jogo “Contato do 1º Grau”, realizado em
duplas, visando analisar as diversas equações que podem resultar em um mesmo valor.
Também, foram observadas as equações simétricas e suas variâncias.
Figura 1: Imagem de alguns jogos utilizados com os alunos.
• História da Matemática: A contextualização dos conteúdos sistematizados
através da história ilustrada aos alunos permite refletir sobre as
possibilidades e necessidades das equações nos tempos remotos e nos dias
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atuais. Assim, a história das equações, do surgimento da álgebra dá sentido e
a devida importância quanto à aprendizagem deste conteúdo. Utilizou-se,
também, o mapa geográfico mundial para localizar os alunos
geograficamente.
Com o auxílio de cartazes e mapa geográfico contou-se a história da álgebra e do
início das equações. O diálogo foi recíproco e o interesse também. No momento em que
era contada a história de matemáticos como AL-Khowarizmi, François Vietè, a história
dos babilônios, egípcios, com seus papiros e o início da álgebra ilustrava-se com
cartazes e localizava-se os alunos, no mapa, mostrando onde ocorreram os registros.
Surgiram, então, questionamentos sobre a utilidade das equações que foram sanadas
conforme o decorrer da aula. Refletimos sobre as possibilidades de alguns problemas
utilizados na época, como troca de mercadorias, impostos, entre outros. Então, foram
questionados sobre que tipo de problemas temos hoje envolvendo álgebra. Logo
surgiram respostas.
Figura 2: Imagem do cartaz utilizado com os alunos.
Figura 3: Imagem do cartaz mostrado aos alunos.
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• Materiais concretos manipulativos: Como a aprendizagem matemática se
dá tanto pela reflexão como pela experiência, os materiais concretos são
grandes aliados para que o aluno construa relações entre o cotidiano e o
conteúdo. Neste caso, a manipulação da balança serviu para a construção do
significado da igualdade entre membros da equação, utilizando o conceito
euclidiano. Há, ainda, outras habilidades que possa desenvolver através da
Balança de dois pratos, tais como: comparação de objetos, comparação de
pesos, igualdade, o significado de equação, diferença de equação e inequação
e as manipulações que fazemos para validar a igualdade em uma equação.
Em outra aula, foi utilizado balanças para introduzir o significado da igualdade e
dos princípios multiplicativo e aditivo para resolver uma equação. Os alunos foram
divididos em grupo (quatro alunos por grupo) e foi entregue um roteiro para realizarem
a atividade. O envolvimento e o interesse em comparar pesos e objetos foi o que mais
chamou atenção. Esta atividade foi finalizada por meio da formalização do “equilibrar
dos pratos” e mostrando os princípios utilizados para deixar com o mesmo peso os dois
lados da balança. Todos, até mesmo um aluno tri-repetente da sexta série, participaram
ativamente da aula.
Após construir os conceitos de equação, de igualdade, de princípios aditivos e
multiplicativos, trabalhou-se com situações problemas, e resolução de equações do 1º
grau com uma incógnita. Quando utilizado exemplos concretos e do dia-a-dia dos
alunos resolviam mentalmente, mas demonstravam dificuldade em expor no papel o
raciocínio utilizado para solucionar o problema. Muitas vezes, foi necessário comparar a
maneira de manipular a equação com a atividade da balança. Também, muitos alunos
realizavam as manipulações das equações e no final escreviam “balança equilibrada”,
mostrando que compreenderam o conceito de igualdade, mas, ainda estavam
relacionando apenas com a possibilidade da balança.
Passaram algumas aulas e, novamente, foi trabalhado com a balança e com
situações-problemas. Então, a tarefa foi, com o material que tinham em mãos, criar
problemas sobre as relações que estavam fazendo entre, por exemplo, o prego e a
semente de uma planta, ou, a tampinha e os cubinhos. E, assim, foram criando novas
relações e comparando as situações do dia-a-dia em que utilizavam as equações.
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Figura 4: Imagem da Balança de dois pratos utilizada com os alunos.
• Software Educacional: O computador é uma ferramenta muito atrativa para
alunos e professores. Logo, é interessante utilizarmos a tecnologia a favor da
educação matemática. O PATSolver2 é um software educativo capaz de
resolver equações de 1º e 2º grau com uma incógnita [Seffrin et al, 2009].
Apresenta não apenas a solução final, mas todas as manipulações realizadas
na equação, inserida pelo aluno, até o resultado final. Este software
educativo faz parte de um projeto de pesquisa orientado e coordenado pela
Professora Dra. Patrícia A. Jaques Maillard, desenvolvido no PIPCA
(Programa Interdisciplinar de Computação Aplicada) na Universidade do
Vale do Rio dos Sinos (UNISINOS – São Leopoldo/RS).
Percebeu-se a necessidade de outras estratégias de ensino que chamasse a
atenção dos alunos, tendo em vista, o desinteresse que começaram a demonstrar. Então,
foi pensado em utilizar o Resolvedor de Equações, software educativo citado a cima,
pois, a maioria dos alunos, demonstram interesse por computador.
Os alunos foram direcionados ao Laboratório de Informática, chamado na escola
de EVAM. Ocorreu um imprevisto, assim somente dois computadores estavam com o
Resolvedor instalado e funcionando, dos 14 computadores que escola possui, somente
em dois foi possível instalar, pois estava em condições de uso (uma realidade frequente
nas escolas públicas). Assim, foram distribuídos na forma de meia-lua, ao redor dos
computadores. 2 Disponível para download em http://inf.unisinos.br/~pjaques/resolvedor.html.
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Inicialmente mostrou-se o PATSolver aos alunos, criou-se uma equação e após
o PATSolver resolveu a equação. Foram explicados todos os passos dado pelo
resolvedor até a solução final da equação. Informou-se que a ferramenta poderia
resolver inúmeras equações e, até mesmo, equações do 2º grau, conteúdo que irão
estudar na 8ª série do Ensino Fundamental.
Logo houve interesse pela ferramenta, já que gostam muito de computadores.
Então, em função de poucos computadores, foram chamados de dois em dois alunos
para inserirem uma equação proposta pela professora para verificar determinadas
habilidades como números negativos e operações com os mesmos, simplificação, entre
outras. Quando o resolvedor apresentava a resolução da equação, aleatoriamente
perguntou-se aos alunos sobre o que significava a operação dada pelo PATSolver ou
qual a operação que o mesmo esta realizando e o porquê.
Assim, toda turma teve a oportunidade de interagir com o software. Após,
fiaram alguns minutos livres para inserirem as equações que gostariam, neste momento
“livre”, percebeu-se que os alunos tentavam encontrar algum erro no programa. E a
maior curiosidade apresentada foi: “Como um programa pode resolver um equação e
mostrar todos os passos sem antes saber qual será a equação?!”.
Retornando à sala de aula, responderam um questionário e realizaram um teste para
comparar com a avaliação anteriormente realizada com os alunos, ou seja, algumas
questões que trabalhe as habilidades exploradas com o resolvedor. O objetivo era
verificar se a ferramenta educacional ajudou os alunos na compreensão da resolução de
equações. A melhora foi cerca de 80% e os erros antes destacados foram praticamente
nulos. Mesmo o programa sendo restrito auxilia os alunos na análise e resolução de
equações do 1º grau. Os resultados apontam uma melhora considerável do desempenho
dos alunos quanto à resolução de equações do 1º grau, desde que sejam aplicadas
estratégias pedagógicas de utilização da ferramenta, pois como a ferramenta é limitada
exige, do professor, um planejamento sobre questionamentos e destaques direcionando
os alunos à aprendizagem.
Como houve interesse por parte de todos os alunos e, devido ao fato da utilização do
software ficar restrito, em função de apenas dois computadores funcionarem, os alunos
foram convidados para uma nova interação com a ferramenta, mas na UNISINOS que
dispôs computadores para cada aluno utilizar a ferramenta individualmente.
Alguns destaques do questionário respondido pelos alunos:
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• O que você aprendeu com esta ferramenta?
É uma ferramenta interessante, pois apresenta todos os passos até a resposta
final da equação. É bem completa e aceita qualquer equação.
• Qual sua opinião?
É um programa legal, mas ele só resolve as equações. Serve para nos ajudar a
compreender melhor os passos para o desenvolvimento da equação. Também, por que
você pode colocar qualquer equação de qualquer tamanho. Mas é preciso primeiro
aprender equações, depois usar o programa. Outro destaque é que ajuda muito para
aqueles alunos que estão com dificuldades em equações. Deveria ter em todas as escolas
e em todos os computadores.
• O que destaca de interessante?
Mostrar todos os passos até a solução, ou seja, o desenvolvimento da equação
com as operações corretas.
Figura 5: Interface do Software educativo, PATSolver.
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3. Considerações Finais
O ensino / aprendizagem de álgebra é um dos maiores desafios do ensino
fundamental. Porém, a utilização de jogos, o aporte histórico da matemática, o uso de
materiais que promovam a auto-reflexão, assim como o emprego de softwares
educativos, como o PATSolver, tornam a aprendizagem mais significativa e
interessante. O resultado é favorável, pois os alunos aprendem a resolver equações e
desenvolvem o pensamento algébrico através da experiência e da reflexão.
Finalmente destaco que aulas bem planejadas, com objetivos definidos,
metodologias diferenciadas e a utilização de diversos instrumentos são de grande valia
para a aprendizagem dos alunos. Acredito ser esse o papel do professor: proporcionar
aulas que os alunos se envolvam e aprendam com empolgação. Devemos nos esmerar e
utilizar dos recursos disponíveis para a aprendizagem, pois temos que acompanhar a
evolução da tecnologia e da sociedade.
Por isso, docentes devem planejar suas aulas com estratégias de ensino diferenciadas
buscando a participação, a interação dos alunos com as aulas e as atividades propostas,
bem como, a reflexão do conteúdo em questão. Utilizando-se da tecnologia, dos jogos e
de materiais manipulativos para enriquecer e envolver seus alunos nas aulas.
Enfim, concluo relatando que o esforço em encontrar alternativas de ensino e
diferentes estratégias para os alunos aprenderem equações teve resultado positivo e
percebeu-se a evolução dos mesmos a cada aula. Sem dúvida, é trabalhoso criar e
planejar aulas diferenciadas, mas o esforço é recompensado pela evolução do aluno, não
apenas, quanto aos conteúdos, mas quanto ser humano. Esse deve ser o objetivo de uma
professora que se preocupa com a aprendizagem efetiva de seus alunos.
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Referências Bibliográficas Cury, H. N.; Konzen, B. Análise de resoluções de questões em matemática: as etapas
do processo. Educação Matemática em Revista-RS, v. 7, n. 7, p. 33-41, 2006.
Fiorentini, Dario e Morin, Maria Ângela (org.). Por trás da porta, que matemática
acontece? Campinas. SP: Editora Graf. FE/Unicamp – Cemmpem, 2001.
Garbi, Gilberto G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Editora Livraria de
Física, 3ª edição, 2009.
Schliemann, Analúcia Dias. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Ed. Cortez, 10ª
edição, páginas 12-99; 145, 1995.
Sef. (1998) Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Volume 3.
MEC/SEF.Brasília, p.148.
Seffrin, H. M. ; Rubi, G. L. ; Mello, Gabriel. E. C. ; Carlotto, T. ; Jaques, P. . Um
resolvedor de equações algébricas como ferramenta de apoio à sala de aula no ensino
de equações algébricas. In: XV Workshop Sobre Informática na Escola- XXIX
Congresso da Sociedade Brasileira de Computação, 2009, Bento Gonçalves.
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