Álgebra Sebenta

Tpicos de lgebra Linear e Geometria Analtica

Gaspar J. Machado Departamento de Matemtica e Aplicaes Universidade do Minho Setembro de 2010 (v2.1)

ndice

1

Matrizes Denies iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soma de matrizes e produto de uma matriz por um escalar . . . . . . . Produto de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizes invertveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizes simtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrizes em escada e escada reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clculo de inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios miscelnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 9 11 15 17 19 20 20 30 33 39 39 46 51 55i

2

Determinantes Denies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios miscelnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Sistemas de Equaes Lineares

Denies iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo de Gauss e Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discusso de sistemas de equaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Novamente matrizes invertveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios miscelnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Espaos Vectoriais Denies iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subespaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espao gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independncia e dependncia lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Base e base ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 58 70 72 73 73 79 79 83 86 90 90 93 97

Dimenso de um espao vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Exerccios miscelnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5 Transformaes Lineares 107

Denies iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Matriz de uma transformao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Imagem e ncleo de uma transformao linear . . . . . . . . . . . . . . 116 Caracterstica e nulidade de uma transformao linear . . . . . . . . . . 120 Exerccios miscelnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6 Valores e Vectores Prprios 123

Denies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Exerccios miscelnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129ii

7

Geometria Analtica

135

Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Produto externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Rectas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Bibliograa A Extenso ao Captulo Determinantes B Extenso ao Captulo Espaos Vectoriais C Alfabeto Grego ndice Remissivo 165 167 171 191 192

iii

iv

1MatrizesDenies iniciais1.1def (a) produto cartesiano de dois conjuntos Sejam A e B conjuntos. Chamase produto cartesiano de A e B, que se representa por A B, ao conjunto formado pelos pares ordenados tais que a primeira componente pertence a A e a segunda componente pertence a B, ou seja, A B = {(, ) : A, B}. (b) produto cartesiano de um nmero nito de conjuntos Sejam n N e A1 , A2 , . . . , An conjuntos. Chama-se produto cartesiano de A1 , . . . , An , que se representa por A1 An , a A1 An = {(1 , . . . , n ) : 1 A1 , . . . , n An }. (c) potncia cartesiana de um conjunto Sejam n N e A um conjunto. Chama-se potncia cartesiana de ordem n do conjunto A, que se representa por An , a An = {(1 , . . . , n ) : 1 , . . . , n A}, identicando-se A1 com A. 1.2exe (a) Descreva por extenso {1, 2, 3} {a, b}.1 def def def

2

Topicos de Algebra Linear e Geometria Analtica

(b) Descreva por compreenso R3 . res (a) {1, 2, 3} {a, b} = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. (b) R3 = {(a, b, c) : a, b, c R}. 1.3def (a) matriz, tipo de uma matriz Sejam m, n N. Chama-se matriz do tipo m n (l-se m por n) a uma funo real com domnio {1, . . . , m} {1, . . . , n}. (b) Mmn (R) Representa-se por Mmn (R) o conjunto das matrizes do tipo m n. 1.4obs possvel considerar matrizes cujos elementos do conjunto de chegada no so nmeros reais (e.g., nmeros complexos e polinmios). Neste curso, porm, considera-se apenas este caso. 1.5def 1.6def escalar Chama-se escalar a um elemento de R. elemento de uma matriz Sejam A Mmn (R), i {1, . . . , m} e j {1, . . . , n}. Chama-se elemento i j da matriz A, que se representa por (A)ij (ou por (A)i,j se houver ambiguidade relativamente aos ndices), a (A)ij = A(i , j). 1.7obs (a) Sejam A Mmn (R), i {1, . . . , m} e j {1, . . . , n}. Se se quiser representar por ij o elemento i j da matriz A, usa-se a notao A = [ij ] Mmn (R). (b) habitual representar matrizes por letras maisculas. Neste caso, para representar o elemento i j duma matriz tambm habitual usar a respectiva letra minscula afectada do ndice i j, ou seja, A = [aij ] Mmn (R).def

3

1 Matrizes

(c) Seja A = [aij ] Mmn (R). A representao habitual de A a11 a12 a21 a22 A= . . . . . . am1 am2 .. . a1n a2n . , . . amn

em que aij R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (d) Neste curso, as letras i e j nunca esto associadas unidade imaginria dos nmeros complexos. (e) Quando se est perante matrizes do conjunto M11 (R), o contexto ser suciente para distinguir se se est a fazer referncia matriz ou ao nico elemento que a constitui. 1.8exe D um exemplo de um elemento de M23 (R). res A = 1 1 4 3 2 0

.

1.9exe Explicite as seguintes matrizes: (a) A M23 (R), (A)ij = j i . (b) X = [ij ] M22 (R), ij = i j + 1. res (a) A =0 1 2 1 0 1

.

(b) X = [ 2 3 ]. 3 5 1.10def Seja A = [aij ] Mmn (R). (a) linha de uma matriz Chama-se linha i da matriz A, que se representa por adef i,A i,A

(ou por

i

se no houver ambiguidade relativamente matriz),

= (ai1 , ai2 , . . . , ain ).

4


(b) coluna de uma matriz Chama-se coluna j da matriz A, que se representa por cj,A (ou por cj se no houver ambiguidade relativamente matriz), a cj,A = (a1j , a2j , . . . , amj ). 1.11exe Considere a matriz A = [ 1 2 3 4 ]. 5 6 7 8 (a) Indique o elemento que est na segunda linha e na terceira coluna da matriz A. (b) Indique o elemento 12 da matriz A. (c) Indique a segunda linha da matriz A. (d) Indique a terceira coluna da matriz A. res (a) (A)23 = 7. (b) (A)12 = 2. (c)2 def

= (5, 6, 7, 8).

(d) c3 = (3, 7). 1.12def Seja A Mmn (R). (a) matriz coluna Diz-se que A uma matriz coluna se n = 1. (b) matriz linha Diz-se que A uma matriz linha se m = 1. 1.13obs habitual representar matrizes linha e matrizes coluna por letras minsculas e os seus elementos apenas com um ndice. Assim, e usando esta notao,x1

a representao da matriz coluna x com m linhas x = linha y com n colunas y = [ y1 1.14exe yn

xm

. . .

e da matriz

].

(a) D um exemplo de uma matriz linha com 3 elementos. (b) Indique se a seguinte proposio verdadeira ou falsa: H matrizes que so simultaneamente matrizes linha e matrizes coluna.

5

1 Matrizes

res

(a) q = [ 0 4 1 ]. (b) Proposio verdadeira pois, por exemplo, A = [3] simultaneamente uma matriz linha e uma matriz coluna.

1.15def

matriz rectangular, matriz quadrada

Seja A Mmn (R). Diz-se que

A uma matriz rectangular se m = n. Caso contrrio, diz-se uma matriz quadrada. 1.16def ordem de uma matriz quadrada Seja A Mnn (R). A diz-se uma matriz de ordem n. 1.17exe (a) Indique se a seguinte proposio verdadeira ou falsa: A = [ 1 2 3 ] 0 0 0 uma matriz rectangular. (b) D um exemplo de uma matriz real de ordem 2. res (a) A proposio verdadeira pois o nmero de linhas da matriz A, que 2, diferente do nmero de colunas, que 3. (b) X =1 2 0 1

.

1.18def Seja A = [aij ] Mnn (R). (a) diagonal principal ou diagonal de uma matriz Chama-se diagonal

principal da matriz A ou diagonal da matriz A a (a11 , a22 , . . . , ann ). (b) diagonal secundria de uma matriz Chama-se diagonal secundria da matriz A ao elemento (a1n , a2,n1 , . . . , an1 ). (c) matriz diagonal A diz-se uma matriz diagonal se aij = 0 quando i = j. (d) matriz escalar A diz-se uma matriz escalar se uma matriz diagonal e a11 = a22 = . . . = ann . (e) matriz triangular superior A diz-se uma matriz triangular superior se aij = 0 quando i > j. (f) matriz triangular inferior A diz-se uma matriz triangular inferior se aij = 0 quando i < j.

6


1.19obs

(a) As denies anteriores s se aplicam a matrizes quadradas. (b) A uma matriz diagonal se todos os elementos que no pertencem diagonal so zeros, no sendo, por isso, relevante para esta classicao se os elementos da diagonal so zeros ou no. (c) A uma matriz triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal so zeros, no sendo, por isso, relevante para esta classicao se os elementos da diagonal e acima da diagonal so zeros ou no. (d) A uma matriz triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal so zeros, no sendo, por isso, relevante para esta classicao se os elementos diagonal e abaixo da diagonal so zeros ou no.

1.20exe

(a) D um exemplo de uma matriz diagonal de ordem 4. (b) D um exemplo de uma matriz escalar de ordem 3. (c) D um exemplo de uma matriz triangular superior de ordem 2. (d) D um exemplo de uma matriz triangular inferior de ordem 3 e indique a sua diagonal principal e diagonal secundria. (e) D um exemplo de uma matriz simultaneamente triangular superior e triangular inferior de ordem 2.

res

(a) A = (b) B =

1 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0

0 0 . 0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0

.

(c) C = [ 1 2 ]. 0 1 (d) D =1 0 0 1 0 0 2 1 2

, diagonal principal (1, 0, 2) e diagonal secundria

(0, 0, 2). (e) E = [ 1 0 ]. 0 2 1.21exe Considere as seguintes matrizes: 1 A= 2 1 1 0 0 , B = 0 1 1 2 0 0 2 0 0 1 1 0 , c = 1 , D = 2 3 1 0 1 2 , 0

7

1 Matrizes

e= 1

1

0

1 0 ,F = 0

1 2 ,g = 1 ,H = 0 3

0 . 1

(a) Indique as matrizes rectangulares e o seu tipo. (b) Indique as matrizes quadradas e a sua ordem. (c) Indique as matrizes linha. (d) Indique as matrizes coluna. (e) Indique as matrizes diagonais. (f) Indique as matrizes escalares. (g) Indique as matrizes triangulares superiores. (h) Indique as matrizes triangulares inferiores. res (a) A tipo 2 4, c tipo 3 1, D tipo 3 2, E tipo 1 4. (b) B ordem 3, F ordem 2, g ordem 1, H ordem 2. (c) e, g. (d) c, g. (e) B, g, H. (f) g, H. (g) B, F , g, H. (h) B, g, H. 1.22def trao de uma matriz Seja A Mnn (R). Chama-se trao da matriz A, que se representa por tr(A), soma dos elementos da diagonal de A, ou seja,n

tr(A) =

def i=1

(A)ii .

1.23exe Determine o trao da matriz A = [ 3 2 ]. 7 9 res tr(A) = 3 + 9 = 12.

8


1.24exe Determine o trao da matriz B =

1 3 5 7 9 0 2 4 6

.

sol tr(B) = 16.

1.25def

(a) matriz nula, 0mn , 0

Chama-se matriz nula a uma matriz cujos

elementos so todos iguais a 0. Representa-se a matriz nula do tipo m n por 0mn ou por 0 se no houver ambiguidade relativamente ao tipo. (b) matriz identidade, In , I Chama-se matriz identidade matriz escalar

cujos elementos da diagonal so todos iguais a 1. Representa-se a matriz identidade de ordem n por In ou por I se no houver ambiguidade relativamente ordem.

1.26exe

(a) Indique a matriz nula do tipo 2 4. (b) Indique a matriz identidade de ordem 3.

res

(a) 024 = [ 0 0 0 0 ]. 0 0 0 0 (b) I3 =1 0 0 0 1 0 0 0 1

.

1.27def

matrizes iguais Sejam A = [aij ] Mmn (R) e B = [bij ] Mpq (R). Diz-se que A e B so matrizes iguais se:

(a) m = p; (b) n = q; (c) aij = bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.

1.28obs Usa-se esta denio em algumas demonstraes relativas a matrizes.

9

1 Matrizes

Soma de matrizes e produto de uma matriz por um escalar1.29def soma de matrizes Sejam A, B Mmn (R). Chama-se soma das matrizes A e B, que se representa por A + B, ao elemento de Mmn (R) tal que (A + B)ij = (A)ij + (B)ij . 1.30def produto (ou multiplicao) de uma matriz por um escalar Sejam A def

Mmn (R) e R. Chama-se produto (ou multiplicao) da matriz A pelo escalar , que se representa por A, matriz do tipo m n tal que (A)ij = (A)ij . 1.31obs (a) S se pode somar matrizes do mesmo tipo. (b) sempre possvel multiplicar uma matriz por um escalar. (c) Seja a matriz A. Ento, em vez de (1)A escreve-se A. (d) Sejam A e B matrizes do mesmo tipo. Ento, tendo em considerao a alnea anterior, em vez de A + (B) escreve-se A B. 1.32exe Considere as matrizes A = (a) A + B; (b) 2A; (c) B; (d) res1 2A 1 2 1 0 1 4 def

eB=

3 0 2 1 1 2

. Calcule:

3B.1 2 1 0 1 4 1 2 1 0 1 4 3 0 2 1 1 2 1 2

(a) A + B = (b) 2A = 2 (c) B = (d)1 2 A3B 19 2 3 17 2

+ = =

3 0 2 1 1 2

=

1+3 2+0 1+2 0+1 1+(1) 4+2

= .

2 2 3 1 0 2

.

2(1) 22 21 20 21 2(4) 3 0 2 1 1 2

=

2 4 2 0 2 8

. =1 1 (1)33 1 230 132 2 2 2 1 031 1 13(1) 1 (4)32 2 2 2

=8

1 2 1 0 1 4

11 2

3

3 0 2 1 1 2

=

.

10


1.33exe Considere as matrizes A =

1 1 0 1

, B = [bij ] M22 (R), bij = 3i j e

C = [ij ] M32 (R), ij = i 2 . Indique se esto bem denidas as seguintes expresses, efectuando nesses casos as respectivas operaes: (a) A + B; (b) B + A; (c) A C; sol (a) A + B = [ 1 2 ]; 5 5 (b) B + A = [ 1 2 ]; 5 5 (c) A expresso A C no est bem denida (pois as matrizes A e C no so do mesmo tipo); (d) C =1 1 4 4 9 9

(d) C; (e) (A B) + 3A; (f) 4A B.

;6 3 5 0

(e) (A B) + 3A = (f) 4A B =6 3 5 0

.

.

1.34obs No exerccio anterior, ter sido coincidncia A+B = B +A e (AB)+3A = 4A B? O teorema que se segue diz que no. 1.35teo (a) A, B Mmn (R) : A + B = B + A. (b) A, B, C Mmn (R) : (A + B) + C = A + (B + C). (c) A Mmn (R) : A + 0mn = A. (d) A Mmn (R) : A + (A) = 0mn . (e) , R, A Mmn (R) : ()A = (A). (f) , R, A Mmn (R) : ( + )A = A + A. (g) R, A, B Mmn (R) : (A + B) = A + B. (h) A Mmn (R) : 1A = A. 1.36obs (a) A matriz nula o elemento neutro da soma de matrizes.

11

1 Matrizes

(b) Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo. Ento, tem-se que a expresso A+B +C no resulta ambgua devido propriedade associativa da soma de matrizes.

Produto de matrizes1.37def produto (ou multiplicao) de matrizes Sejam A Mmn (R) e B

Mnp (R). Chama-se produto (ou multiplicao) da matriz A pela matriz B, que se representa por AB, ao elemento de Mmp (R) tal quen

(AB)ij =k=1

(A)ik (B)kj .

1.38obs

(a) S se pode efectuar a multiplicao da matriz A pela matriz B se o nmero de colunas da matriz A for igual ao nmero de linhas da matriz B. Neste caso, o nmero de linhas da matriz resultante igual ao nmero de linhas da matriz A e o nmero de colunas da matriz resultante igual ao nmero de colunas da matriz B. (b) Sejam A = [aij ] M32 (R) e B = [bij ] M24 (R). Como o nmero de colunas da matriz A igual ao nmero de linhas da matriz B, possvel efectuar a operao AB. Por exemplo o elemento (AB)23 obtm-se considerando 2 1 AM32 (R) 2 2,A

e c3,B : =

4 5

3

BM24 (R)

ABM34 (R)

(AB)23 =k=1

a2k bk3 = a21 b13 + a22 b23 = 2 4 + 1 (5) = 3.

12


1.39exe Considere as matrizes A = [ 1 0 ] e B = [ 1 1 2 ]. Indique se esto bem 1 1 0 2 1 denidas as seguintes expresses efectuando, nesses casos, as respectivas operaes: (a) AB; (b) BA. res (a) Como o nmero de colunas da matriz A igual ao nmero de linhas da matriz B, possvel efectuar a operao AB, tendo-se 1 0 1 1 2 AB = 1 1 0 2 1 11+00 11+02 12+01 = 11+10 11+12 12+11 1 1 2 . = 1 3 3 (b) Como o nmero de colunas da matriz B, que 3, diferente do nmero de linhas da matriz A, que 2, no possvel efectuar a operao BA. 1.40exe Considere as matrizes A = sol AB =1 1 3 1 1 4 1 0 2 1 1 1 0 2 1 2 1 1

eB=

1 0 2 2

2 1 1 1

. Determine AB.

.1 1 0 1


, B = [bij ] M22 (R), bij = j e C =

[ 1 1 0 ]. Indique se esto bem denidas as seguintes expresses, efectuando 1 2 1 nesses casos as respectivas operaes: (a) (AB)C; sol (b) A(BC); (c) CI3 ; (d) I2 C.

(a) (AB)C = [ 0 0 0 ]. 3 5 2 (b) A(BC) = [ 0 0 0 ]. 3 5 2 (c) CI3 = [ 1 1 0 ]. 1 2 1

13

1 Matrizes

(d) I2 C = [ 1 1 0 ]. 1 2 1 1.42obs No exerccio anterior, ter sido coincidncia (AB)C = A(BC), CI2 = C e I2 C = C? O teorema que se segue diz que no. 1.43teo (a) A Mmn (R),B Mnp (R),C Mpq (R) : (AB)C = A(BC). (b) A, B Mmn (R), C Mnp (R) : (A + B)C = AC + BC. (c) A Mmn (R), B, C Mnp (R) : A(B + C) = AB + AC. (d) A Mmn (R) : Im A = AIn = A. (e) R,A Mmn (R),B Mnp (R) : (AB) = (A)B = A(B). 1.44obs (a) A matriz identidade o elemento neutro da multiplicao de matrizes. (b) Sejam A Mmn (R), B Mnp (R) e C Mpq (R). Ento, temse que a expresso ABC no resulta ambgua devido propriedade associativa da multiplicao de matrizes, fazendo sentido a seguinte denio: 1.45def potncia de uma matriz Sejam p N e A uma matriz quadrada. Chama-se p-sima potncia da matriz A, que se representa por Ap , ap

Ap =

def k=1

A.

1.46exe Considere a matriz A = [ 2 0 ]. Calcule A3 . 1 1 res Como A uma matriz quadrada, possvel determinar A3 , tendo-se: 2 A3 = 1 0 2 1 1 2 1 1 0 0 4 = 3 1 2 1 1 0 8 0 = 7 1 0 . 1

Nota: como a multiplicao de matrizes associativa, tambm se tem A3 = A(AA). 1.47exe Considere a matriz B =1 2 2 1

. Calcule:

14


(a) B 2 ; (b) B 3 . sol (a) B 2 = (b) B 3 =3 0 0 3 3 6 6 3

. .a b c d

1.48exe Considere a matriz X =

M22 (R). Mostre que

X 2 = (a + d)X (ad bc)I2 . 1.49obs A multiplicao de matrizes no goza da propriedade comutativa. Faz, pois, sentido a seguinte denio: 1.50def matrizes comutveis Sejam A e B matrizes da mesma ordem. Diz-se que as matrizes A e B so comutveis se AB = BA. 1.51exe Mostre que as matrizes X =1 0 0 0 1 0 1 0 2

eY =

2 4 0 3 1 0 1 4 1

so comutveis.

1.52exe Mostre atravs de um contraexemplo que a multiplicao de matrizes no comutativa. 1.53exe Considere as matrizes A = [ 0 1 ] e B = 0 1 (a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ; (b) (A + B)(A B) = A2 B 2 . 1.54exe Sejam A e B matrizes comutveis. Mostre que: (a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ; (b) (A + B)(A B) = A2 B 2 . 1.55exe Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Mostre que (A + B)2 (A B)(A + B) 2B 2 = 2BA.1 1 0 0

. Mostre que:

15

1 Matrizes

Matrizes invertveis1.56obs No se dene a operao diviso de matrizes. No entanto, dene-se um conceito semelhante ao de nmero inverso. 1.57def matriz invertvel ou no-singular, matriz no-invertvel ou singular Seja

A Mnn (R). Diz-se que A uma matriz invertvel ou no-singular se existir uma matriz Z Mnn (R) tal que AZ = ZA = In . Caso contrrio, diz-se que A uma matriz no-invertvel ou singular. 1.58teo Seja A uma matriz invertvel de ordem n. Ento, existe uma e uma s matriz Z Mnn (R) tal que ZA = AZ = In . dem Sejam X, Y Mnn (R) tais que AX = In = XA e AY = In = Y A. Ento: X = XIn = X(AY ) = (XA)Y = In Y = Y, I o elemento neutro da multiplicao de matrizes por (2) a multiplicao de matrizes associativa por (1) I o elemento neutro da multiplicao de matrizes,(1) (2)

i.e., existe uma nica matriz que satisfaz a condio de invertibilidade. 1.59def matriz inversa Seja A uma matriz invertvel de ordem n. Chama-se matriz inversa da matriz A, que se representa por A1 , nica matriz Z tal que AZ = ZA = In . 1.60teo Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem tais que AB = I. Ento, A1 = B. 1.61obs (a) Se A a matriz inversa da matriz B, ento B a matriz inversa da matriz A.

16


(b) Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Ento, AB = I se e s se BA = I. Assim, basta vericar se AB = I ou BA = I para se concluir que as matrizes A e B so invertveis com A1 = B e B 1 = A. 1.62teo (a) Seja A uma matriz invertvel. Ento, A1 tambm uma matriz invertvel e (A1 )1 = A. (b) Sejam A e B matrizes quadradas invertveis da mesma ordem. Ento, AB tambm uma matriz invertvel e (AB)1 = B 1 A1 . dem (a) Como A uma matriz invertvel, tem-se que AA1 = A1 A = I. Logo, A1 invertvel e A11

= A.

(b) Sejam A, B Mnn (R) matrizes invertveis. Ento, existem A1 , B 1 Mnn (R) tais que AA1 = In = AA1 e BB 1 = In = BB 1 , pelo que (AB)(B 1 A1 ) = A(BB 1 )A1 = AIn A1 = AA1 = In , a multiplicao de matrizes associativa por (2) I o elemento neutro da multiplicao de matrizes por (1)(1) (2)

pelo que AB invertvel com (AB)1 = B 1 A1 uma vez que a inversa de uma matriz nica. 1.63exe Considere a matriz A = [ 2 2 ]. Calcule a sua inversa atravs da denio. 2 1 sol A1 = 1 2 1.64obs1 2 2 2

.

(a) H matrizes quadradas que no so invertveis.

17

1 Matrizes

(b) Apresenta-se em

1.107obs uma condio para caracterizar matrizes

invertveis e um mtodo mais prtico para calcular inversas. 1.65exe Considere as matrizes A = (a) Calcule AB. (b) O que pode concluir da alnea anterior? (c) As matrizes A e B so comutveis? res (a) AB =1 3 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 1 1 1 2

eB=

2 1 1 1

.

=

1 3

[ 3 0 ] = [ 1 0 ]. 0 3 0 1

(b) As matrizes so invertveis com A1 = B e B 1 = A. (c) Sim, pois AB = BA = I2 . 1.66exe (a) Sejam A e B matrizes comutveis e invertveis. Mostre que (AB)1 = A1 B 1 . (b) Sejam A e B matrizes comutveis e B uma matriz invertvel. Mostre que A e B 1 so matrizes comutveis. (c) Seja A uma matriz quadrada tal que Ap = 0 para algum p N. Mostre quep1

(I A)1 = I +

Ak .k=1

Matriz transposta1.67def matriz transposta Seja A Mmn (R). Chama-se transposta da matriz A, que se representa por AT , ao elemento de Mnm (R) tal que (AT )ij = (A)ji . 1.68obs (a) sempre possvel calcular a matriz transposta de uma matriz. (b) Calcular a transposta de uma matriz corresponde a trocar linhas com colunas.

18


1.69exe Considere as matrizes A = (a) AT ; (b) resAAT uT u

1 2 0 0 2 1

eu=

1 1

. Calcule:

.1 0 2 2 0 1

(a) AT = (b)AAT uT u

. =1 2 5 4 4 5

=

1 2 0 0 2 1

1 0 2 2 0 1 1 [ 1 1 ] 1

=

5 2

25 2

2

.

Nota: relembrar

1.7obs (e).1 1 0 2 1 1

1.70exe Considere as matrizes A = C = [cij ] M22 (R), cij = (a)AB T +BAT 2

0 (1)i+1 1

, B = [bij ] M23 (R), bij = i j,se i < j, se i = j, e u = se i > j,1 2 0

. Calcule:

;

(e) u T u; (f) u T AT Bu; (g) (Au)T ; (h) u T AT . = .1 1 1 1

(b) C T ; (c) (CBAT C)2 ; (d) uu T ;AB T +BAT 2

sol

(a)

.

(b) C T =

1 1 0 1

(c) (CBAT C)2 = [ 2 0 ]. 0 2 (d) uu T =1 2 0 2 4 0 0 0 0

.

(e) u T u = [ 5 ]. (f) u T AT Bu = [ 2 ]. (g) (Au)T = [ 1 0 ]. (h) u T AT = [ 1 0 ]. 1.71obs No exerccio anterior, ter sido coincidncia (Au)T = u T AT ? O teorema que se segue diz que no. 1.72teo (a) A Mmn (R) : ATT

= A.

19

1 Matrizes

(b) A, B Mmn (R) : (A + B)T = AT + B T . (c) R, A Mmn (R) : (A)T = AT . (d) A Mmn (R), B Mnp (R) : (AB)T = B T AT . (e) A Mnn (R) : se A uma matriz invertvel, ento AT1

= A1

T

.

1.73exe Sabendo que as matrizes A, B, C Mnn (R) so invertveis, resolva em ordem a X a equao matricial C 1 (A + X)B 1 = In . sol X = CB A. 1.74exe Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem no-singulares. Resolva em ordem a X a equao matricial [(AT )1 X]T + (AB)1 = A. sol X = (A2 )T (B 1 )T .

Matrizes simtricas1.75def matriz simtrica Seja A uma matriz quadrada. Diz-se que A uma matriz simtrica se A = AT . 1.76exe D um exemplo de uma matriz simtrica de ordem 3. res A =0 1 2 1 10 3 2 3 1

.1 a b 1 2 3 2 c 3

1.77exe Determine os valores a, b, c R, para que a matriz S = simtrica. res a = 1, b = 2, c = 3.

seja

1.78exe Mostre que o produto de uma matriz pela sua transposta uma matriz simtrica. 1.79exe Uma matriz quadrada A diz-se anti-simtrica se AT = A. Mostre que, dada qualquer matriz quadrada B, a matriz B B T anti-simtrica.

20


Matrizes ortogonais1.80def matriz ortogonal Seja A Mnn (R). Diz-se que A uma matriz ortogonal se AAT = AT A = In . 1.81obs Se A uma matriz ortogonal, ento A uma matriz invertvel e A1 = AT .sen 1.82exe Verique que a matriz A = [ cos cos ], R, ortogonal. sen

res Como cos sen cos sen AAT = sen cos sen cos cos2 + sen2 cos sen sen cos = sen cos cos sen sen2 + cos2 1 0 , = 0 1 i.e., AAT = I2 , tem-se que A uma matriz ortogonal. 1.83exe Indique quais das seguintes matrizes so ortogonais: 1 3 2 3 1 3 2 3

A= 2 3 2 3 sol A e C.

2 31 3

3 1 4 ,C = 5 3 4 3 . 4

4 2 , B = 3 3

1.84exe Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais uma matriz ortogonal.

Matrizes em escada e escada reduzida1.85def Seja A = [aij ] Mmn (R).

21

1 Matrizes

(a) linha nula Diz-se que = ain = 0.

i

uma linha nula da matriz A se ai1 = ai2 =

(b) coluna nula Diz-se que cj uma coluna nula da matriz A se a1j = a2j = = amj = 0. (c) piv de uma linha no-nula Chama-se piv de uma linha no-nula ao seu elemento no-nulo mais esquerda. (d) coluna piv Chama-se coluna piv a uma coluna da matriz se existe um elemento piv nessa coluna. 1.86exe Considere a matriz A =0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 3 0 4 0

.

(a) Identique os pivs das linhas no-nulas da matriz A. (b) Identique as colunas piv da matriz A. res (a) Pivs: (A)15 , (A)22 e (A)32 . (b) Colunas piv: c2 e c5 . 1.87def Seja A Mmn (R). (a) matriz em escada Diz-se que A uma matriz em escada se o nmero de elementos nulos esquerda do piv aumenta de linha para linha at que, possivelmente, sobrem apenas linhas nulas. (b) matriz em escada reduzida Diz-se que A uma matriz em escada reduzida se uma matriz em escada, se todos os pivs so iguais a um e se estes so os nicos elementos no-nulos nas colunas piv. 1.88exe Considere as seguintes matrizes: 0 0 , C = 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 3 0 , 0

1 A= 0

0 1

1 1 ,B = 1 0

0 2

2 0

22


0 0 D= 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 2 0

2 0 0 0

0 0 4 5

1 0 0 0 ,E = 0 0 0 0

0 1 0 0

1 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 , 0 0

1 F = 0

1 0 ,G = 0 1

0 1 ,H = 0 1

1 1 0 , u = 0 , v = 1 . 0 0 0

(a) Indique as matrizes em escada. (b) Indique as matrizes em escada reduzida. res (a) Matrizes em escada: A, B, C, F , G, H, u. (b) Matrizes em escada reduzida: A, C, F , H, u. 1.89def Sejam A Mmn (R), i {1, . . . , m}, j {1, . . . , n}, R \ {0} e R. (a) operao elementar do tipo I nas linhas de uma matriz D-se o nome de operao elementar do tipo I nas linhas da matriz A troca de duas linhas. A troca dei

e

j

representa-se por

i

j.

(b) operao elementar do tipo II nas linhas de uma matriz D-se o nome de operao elementar do tipo II nas linhas da matriz A substituio de uma linha por um seu mltiplo no-nulo. A substituio de linha que se obtm multiplicando por os elementos de pori i i

pela

representa-se

i.

(c) operao elementar do tipo III nas linhas de uma matriz D-se o nome de operao elementar do tipo III nas linhas da matriz A substituio de uma linha pela sua soma com um mltiplo de outra linha. A substituio dei i

pela linha que se obtm somando os elementos dej

aos elementos que se obtm multiplicando por os elementos dei

representa-se por

i

+ j.

23

1 Matrizes

1.90obs Na denio anterior apenas se consideram operaes sobre linhas, apesar de tambm ser possvel denir operaes sobre colunas. Fazendo este curso apenas referncia a operaes elementares sobre linhas, estas passaro a ser referenciadas apenas por operaes elementares.

1.91def

matrizes equivalentes, A B Sejam A, B Mmn (R). Diz-se que A e B so matrizes equivalentes, escrevendo-se A B, se se pode obter uma a partir da outra atravs duma sequncia (nita) de operaes elementares com linhas.

1.92exe Seja a matriz A = matriz A:1

0 2 4 0 1 1 0 2 2 2 0 5 3

. Efectue a seguinte sequncia de operaes na3

2,

2 1,

1

1

2 3,

2

1 2 2

e

1

1

2.

24


res 0 1 2 2 1 2 1 0 0 0 2 1 2 2 0 5 4 1 2 2 0 4 0 2 0 5

1 0 32 1 0 3 1 0 01

1 2 0

0 4 0

2 0 1

1

2

3

1 2 0

0 4 0

0 0 1

1 1 0 2 2 2 0

1 1 0

0 2 0

0 0 1

1 0 0 1 0 01

1

2

2

0 2 0 . 0 1

1.93teo Seja A Mmn (R). Ento, existe uma nica matriz em escada reduzida que equivalente matriz A. 1.94obs Seja A uma matriz no-nula. Ento, existe uma innidade de matrizes em escada que so equivalentes matriz A. 1.95def Seja A uma matriz.

25

1 Matrizes

(a) fe(A) Representa-se por fe(A) o conjunto das matrizes em escada que so equivalentes matriz A. (b) fer(A) Representa-se por fer(A) a nica matriz em escada reduzida que equivalente matriz A. 1.96obs Seja A uma matriz. (a) Note-se que fe(A) um conjunto de matrizes e que fer(A) uma matriz. (b) Em 1.97obs apresenta-se um algoritmo para determinar um ele1.98obs apresenta-se um algoritmo para de-

mento de fe(A) e em terminar fer(A).

26


1.97obs Seja A = [aij ] Mmn (R). Ento, o seguinte algoritmo determina um elemento de fe(A): Passo 1 [inicializar o algoritmo] i 1 j ndice da coluna no-nula mais esquerda da matriz A Passo 2 [seleccionar elemento piv] se aij = 0 entoi

k,

em que

k

a primeira linha abaixo da linha

i

com um

elemento diferente de zero na coluna cj mse Passo 3 [anular os elementos abaixo do piv] para p i + 1 at m fazer apj i p p aij mpara Passo 4 [terminar?] se j se obteve uma matriz em escada ento terminar seno i i +1 j ndice da coluna no-nula mais esquerda da matriz que se obtm eliminando na matriz A as linhas ir para o Passo 2 mse1 , . . . , i1

27

1 Matrizes

1.98obs Seja A = [aij ] Mmn (R). Ento, o seguinte algoritmo determina fer(A): Passo 1 [inicializar o algoritmo] determinar A = [aij ] fe(A) (no que se segue, linhas da matriz A ) i ndice da ltima linha no-nula da matriz A j ndice da coluna piv da linha Passo 2 [colocar elemento piv a 1] se aij = 1 ento 1 i aij i mse Passo 3 [anular os elementos acima do piv] para p 1 at i 1 fazerp i

refere-se s

p

apj

i

mpara Passo 4 [terminar?] se j se obteve uma matriz em escada reduzida ento terminar seno i i 1 j ndice da coluna piv da linha i ir para o Passo 2 mse

28


1.99exe Considere a matriz A = fer(A).

0 0 0 3 0 1 1 2 0 2 2 1

. Determine um elemento de fe(A) e

res 0 0 0 0 1 2A

3 0 0 1 2 2 1 2 1 0 0

1 0 2

1 0 2

2 3 1

0 0 32 1 0 3 0 0 0 3 3+ 2

1 0 0

1 0 0

2 3 3 2 3 0

1 0 0

1 0 0

fe(A)

0 1 2 0 2 3 0

1 0 0

1 0 0

2 1 0

1 2 0 0 0 12

1 0 0

1 0 0

0 1 . 0

fer(A)

29

1 Matrizes

1.100exe Determine, para cada uma das seguintes matrizes, uma matriz equivalente que seja uma matriz em escada e a matriz equivalente que seja uma matriz em escada reduzida:1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 ; 0 2 0 4 0 0 1 5 6 3 4 4 1 6 ; 1 2 5 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 ; 1 0 0 0 1 0 0 2 0 2 1 2 3 1 2 1 2 2 ; 3 1 2 3 1 3 1 2 0 11 5 3 2 5 3 1 ; 4 1 1 5

(a) A = (b) B = (c) C = (d) D = (e) E =

(f) F = (g) G = (h) h = (i) I = (j) J =

1 2 1 2 1 2 4 1 2 3 3 6 2 6 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0

;

;

1 1 ; 3 1 1 1 3 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1

; .

sol Nota: associada a cada matriz no-nula, existe uma innidade de matrizes que lhe so equivalentes e que esto na forma em escada. As solues que a seguir se apresentam, resultam da aplicao do algoritmo apresentado em 1.97obs . (a) (b) (c) (d)1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 2 0 1 0 0 4 5 0

fe(A), fer(A) = fe(B), fer(B) = fe(C), fer(C)

1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 10 0 2 1 5 0 0

.

6 3 4 0 3 26 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2

7 1 0 9 26 0 1 9 . 0 0 0 1 0 0 0 0 = 00100 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

. .

1 2 3 1 0 3 4 4 0 0 7 10 3 3 1 0 0 0 3 1 2 11 5 3 0 0 0 0 0 0

fe(D), fer(D) =1 0 0 0

1 0 0 15 7 0 1 0 4 7 0 0 1 10 74 0 11 13 11 5 3 1 11 11 0 0 0 0 0 0

(e)

fe(E), fer(E) =

.

(f)

1 2 1 2 1 0 0 3 6 1 1 0 0 0 2 3

fe(F ), fer(F ) =1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

4 1 2 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 6

.

(g) G fe(G), fer(G) = (h) (i)

.

1 0 fe(h), fer(h) = . 0 1 1 1 3 0 4 4 8 fe(I), fer(I) = 0 0 3 3

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

.

30


(j)

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

fe(J), fer(J) =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 1 0 1 1 1 0 0

.

Clculo de inversas1.101def matriz elementar Seja E Mnn (R). Diz-se que E uma matriz elementar se se pode obter atravs de uma operao elementar sobre a matriz In . 1.102exe A partir de I4 , determine as matrizes elementares obtidas atravs das seguintes operaes elementares: (a) (b) (c)2 3 3

4;

2 3; 3

2 1. 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3 3 2 1 1 2 4 0 0 0 1 0 3 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 . 0 0 0 0 . 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 . 0 1

res

(a)

(b)

(c)

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 2 0

1.103teo As matrizes elementares so invertveis e as suas inversas so matrizes elementares.

31

1 Matrizes

1.104teo Sejam A, B Mmn (R) tais que A B. Ento, existe um nmero nito de matrizes elementares E1 , E2 , . . . , Ek , tais que B = E1 E2 Ek A. 1.105teo Seja A Mmn (R). Ento, existe um nmero nito de matrizes elementares E1 , E2 , . . . , Ek , tais que fer(A) = E1 E2 Ek A. 1.106teo Seja A Mnn (R). Ento, A invertvel se e s se A o produto de matrizes elementares. 1.107obs (a) Seja A Mnn (R). Ento, A invertvel se e s se fer(A) = In . (b) Sejam k N e A Mnn (R) uma matriz invertvel. Ento, existem matrizes elementares E1 , E2 , . . . , Ek tais que In = Ek E2 E1 A, pelo que1 1 1 A = E1 E2 Ek In ,

ou ainda1 A1 = In Ek 1 1 E2 1 1 E1 1

= Ek E2 E1 In , i.e., A1 obtm-se a partir de In atravs das mesmas operaes elementares que transformam A em In . 1.108exe Verique se as seguintes matrizes so invertveis, calculando, nesses casos, a sua inversa: (a) A =1 1 2 0 1 0 2 2 5

;

(b) B = [ 1 2 ]. 2 4

32


res

(a) 1 1 1 2 2 0 5 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3 32 1 0 1 1 0 2 0 1 1 0 2 0 1 0 0

0 2

0 1

A|I3

1

0 1 0 0 0 1 2

1

2

3

1

1

0

5 0 2

0 1 0

2

0 1

1

0 0

1

1

0 1 0

0 0 1

5 0 2I3 |A1

1 1 0

2

0 . 1

Assim, A uma matriz invertvel pois fer(A) = I3 com A1 = Mostre-se, apenas 1 1 AA = 0 2 (b) 1 2 2 4 1 0 1 2 22 1 0 0 1 2 0 1 2 0 1 . para efeito de vericao, que AA1 = I3 : 1 2 5 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 . 2 5 2 0 1 0 0 1

5 1 2 0 1 0 2 0 1

.

B|I2

Assim, como fer(B) = I2 , conclui-se que a matriz B no invertvel. 1.109exe Verique se as seguintes matrizes so invertveis, calculando, nesses casos, a sua inversa:

33

1 Matrizes

(a) A =

1 0 1 2 0 0 1 1 0

;

(d) D = [ 1 1 ]; 1 0 (e) E = ;0 0 11 2 1 2 1 2

(b) B = [ 1 2 ]; 2 4 (c) C =1 2 3 2 1 0 4 2 5

(f) F =0 1 0

2 3 1 1 2 3 ; 3 1 2 2 3 5 1 0 1 0 2 2

.

sol

(a) A invertvel com A (b) B no invertvel.

1

=

.

(c) C invertvel com C 1 = (d) D invertvel com D1 = (e) E invertvel com E 1 = (f) F no invertvel.

5 4 3 10 7 6 8 6 5 0 1 1 11 18 7 18 5 18

.

.5 18 1 18 7 18 5 18 1 18 7 18

.

Exerccios miscelnea1.110exe Considere as matrizes A =1 0 2 1 0 1 1 0 1 2 1 1

, b = [ 1 ], c = [ 3 ], d = [ 1 ] e E = 2 1 1

. Indique se esto bem denidas as seguintes expresses, efectuando

nesses casos as respectivas operaes: (a) bT A; (b) AbT ; (c) (c T A + d T A)T ; (d) AT b; (e) bT (c + d); (f) (AE)T ; (g) E T AT ; (h) A2 ; (i) (AAT )2 ; (j) (AE)1 .

sol

(a) bT A = [ 3 2 1 ]. (b) A expresso AbT no est bem denida pois o nmero de colunas da matriz A, que 3, diferente do nmero de linhas da matriz bT , que 1.

34


(c) (c T A + d T A)T = (d) AT b =3 2 1

0 2 2

.

.

(e) bT (c + d) = [ 8 ]. (f) (AE)T = (g) E T AT =1 0 1 2 1 0 1 2

. .

(h) A expresso A2 (= AA) no est bem denida pois o nmero de colunas da matriz A, que 2, diferente do seu nmero de linhas, que 3. (i) (AAT )2 = (j) (AE)1 =1 2 13 24 24 45 2 1 0 1

. .

1.111exe Mostre atravs de contraexemplos que as seguintes proposies so falsas: (a) A M22 (R) : A2 = I2 ; (b) A M22 (R) \ {022 } : A2 = 022 ; (c) A, B M22 (R) \ {022 } : AB = 022 . 1.112exe Matrizes Aplicao: Redes e Grafos Denio: Um grafo um conjunto de pontos, designados por vrtices, ligados por segmentos de recta, chamados arestas. As arestas podem ser representadas por pares no-ordenados de vrtices. Exemplo: A Figura 1.1 representa um grafo com vrtices V = {V1 , V2 , V3 , V4 } e arestas A = {{V1 , V2 }, {V2 , V3 }, {V3 , V4 }, {V2 , V4 }}.

V1

V2

V3

V4

Figura 1.1: Grafo 1.

Pode-se imaginar que os vrtices correspondem a ns numa rede de comunicao e que as arestas que ligam os vrtices representam elos de comu-

35

1 Matrizes

nicao entre dois ns da rede. Na realidade, uma rede de comunicao envolve um nmero elevado de vrtices e arestas o que complica a representao grca da rede. Esta diculdade ultrapassada recorrendo a uma representao matricial para a rede. Denio: Considere um grafo com n vrtices. A matriz M = [mij ] Mnn (R) denida por mij = 1 0 se {Vi , Vj } uma aresta do grafo se no existe uma aresta que liga Vi e Vj

a matriz de adjacncia do grafo. Exemplo: A matriz de adjacncia para grafo da Figura 1 M=0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0

.

Nota: A matriz de adjacncia M sempre simtrica. Denio: Um caminho num grafo uma sequncia de arestas que ligam um vrtice a outro. O comprimento do caminho o nmero de arestas que o formam. Exemplo: Na Figura 1.1, a sequncia de arestas ({V1 , V2 }, {V2 , V4 }) representa um caminho de comprimento 2 que liga V1 a V4 e a sequncia de arestas ({V2 , V3 }, {V3 , V2 }, {V2 , V3 }) representa um caminho de comprimento 3 que liga V2 a V3 . Teorema: Sejam M = [mij ] Mnn (R) uma matriz de adjacncia de(k) (k) um grafo e mij um elemento de M k . Ento, mij igual ao nmero de

caminhos de comprimento k de Vi a Vj . Exemplo: Para determinar o nmero de caminhos de comprimento 3 que ligam V2 e V3 no grafo da Figura 1.1, calcula-se M 3 : M3 =0 3 1 1 3 2 4 4 1 4 2 3 1 4 3 2

.

36


Conclui-se,ento, que o nmero de caminhos de comprimento 3 que ligam(3) V2 e V3 m23 = 4.

Exerccio 1: Considere o grafo da Figura 1.2.

V2

V3

V1

V4Figura 1.2: Grafo 2.

V5

(a) Determine a matriz de adjacncia M do grafo. (b) Indique os caminhos de comprimento 2 que comeam em V1 . (c) Indique quantos caminhos de comprimento 3 existem de V2 a V4 . (d) Indique quantos caminhos de comprimento menor ou igual a 3 existem de V2 a V4 . Exerccio 2: Considere a matriz M =0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0

.

(a) Desenhe um grafo que tenha M como matriz de adjacncia e indique os vrtices. (b) Analisando o grafo e a matriz M 2 , indique o nmero de caminhos de comprimento 2 de V1 a V3 . sol Exerccio 1 (a) M =0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0

.

(b) Existem 6 caminhos de comprimento 2 que comeam em V1 : V1 V2 V1 , V1 V4 V1 , V1 V4 V2 , V1 V2 V3 , V1 V2 V4 , V1 V4 V5 . (c) 5. (d) 7. Exerccio 2

37

1 Matrizes

(a) .

V1

V2

V3(b) 2.

V4

38


2DeterminantesDenies2.1def matriz complementar de um elemento de uma matriz Sejam A Mnn (R) e i , j {1, . . . , n}. Chama-se matriz complementar do elemento i j, que se representa por Aij , a A se n = 1,

Aij =

def

matriz que se obtm a partir da matriz A eliminando i e cj1 2 3 4 5 6 7 8 9

se n

2.


e B = [ 5 ].

(a) Determine a matriz complementar do elemento 12 da matriz A. (b) Determine A33 . (c) Determine B11 . res (a) A12 = [ 4 6 ]. 7 9 (b) A33 = [ 1 2 ]. 4 5 (c) B11 = [ 5 ].39

40


2.3def

determinante de uma matriz Seja A Mnn (R). Chama-se determinante(A)11 (A)1n

da matriz A, que se representa por det(A),

(A)n1 (A)nn

. . .

..

.

. . .

ou |A|, a

(A)11 . . det(A) . (A)n1

.. . def

(A)1n . . |A| . (A)nn n

(A)11 (A)1j (1)1+j det(A1j )

se se

n = 1, n 2.

=

j=1

2.4obs (a) A denio que se acaba de dar um exemplo de uma denio recursiva. (b) S se denem determinantes de matrizes quadradas, sendo o seu valor um nmero real. (c) Seja A = [aij ] M11 (R). Note-se que quando se escreve det(A) = |a11 | = a11 , | | no representa o valor absoluto mas sim o determinante. O contexto ser sempre suciente para interpretar o signicado correcto de | |.

2.5exe Seja X = [xij ] M22 (R).

(a) Determine X11 e X12 . (b) Calcule det(X).

res (a) X11 = [ x22 ] e X12 = [ x21 ].

41

2 Determinantes

(b) x11 x212

det(X) =

x12 x22 x1j (1)1+j det(X1j )

j=1

= x11 (1)1+1 det(X11 ) + x12 (1)1+2 det(X12 ) = x11 1 x22 + x12 (1) x21 = x11 x22 x12 x21 . 2.6obs Seja A = [aij ] M22 (R). Ento, det(A) pode-se calcular atendendo a +

a11 h a12 hh zz hzz h zz hhh 4 |zz a21 a22 vindo

det(A) = a11 a22 a12 a21 . 2.7exe Calcule | 1 2 |. 3 4 res | 1 2 | = 1 4 2 3 = 2. 3 4 2.8exe Calcule o determinante da matriz A = sol det(A) = 17. 2.9exe Seja Y = [yij ] M33 (R). Calcule det(Y ).1 5 3 2

.

42


res y11 det(Y ) y21 y313

y12 y22 y32

y13 y23 y33

=j=1

y1j (1)1+j det(Y1j )

= y11 (1)1+1 det(Y11 ) + y12 (1)1+2 det(Y12 )j=1 j=2

+ y13 (1)1+3 det(Y13 )j=3

= y11 1

y22 y32

y23 y33 y21 y31

+ y12 (1) y22 y32

y21 y31

y23 y33

+ y13 1

= y11 (y22 y33 y23 y32 ) y12 (y21 y33 y23 y31 ) + y13 (y21 y32 y22 y31 ) = y11 y22 y33 + y12 y23 y31 + y13 y21 y32 y11 y23 y32 y12 y21 y33 y13 y22 y31 .

43

2 Determinantes

2.10obs Regra de Sarrus (apenas se aplica a matrizes de ordem 3): seja A = [aij ] M33 (R). Ento, det(A) pode-se calcular atendendo a

+

+

+

a12 a13 a11 h hh z hh zz hh zz h3 }zzz a23 a22 a21 h hh zz hhh zz hzz hzz h h zz hhh zz hhh }zz 3 3 }zz a31 h a32 h a33 hh zz hh zz hzz hzz h h zz hhh zz hhh }zz 4 }zz 4 a11 a12 h a13 hh zz hh zz hh zz h4 |zz a21 a22 a23

vindo det(A) = (a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 ) (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 ), ou, atendendo a

+

+

+

a11 a12 a12 h a13 a11 h hh zz hhh zz hh z hzz hzz hh zz hh zhh zz zhh h4 |zzz hh4 |zzz hh4 |zzz a21 a21 a22 a23 a22 z hhh zz hhh zz hhh hh hhz hzz zz h z z hh zz hhh zz zz hhh h4 |zz |zz 4 |zz 4 a31 a32 a33 a31 a32

44


vindo det(A) = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ).

2.11exe Considere a matriz A = res Atendendo a 1 2 9b bb bb bb 0 5 4 3b bb bbb bb bb b b b0 b0 8 7 6b bb bbb bb bb b b b0 b0 2 9 1 bbb bb bb 0 3 4 5 tem-se que

9 1 2 3 4 5 6 7 8

. Calcule det(A).

det(A) = 9 4 8 + 3 7 2 + 6 1 5 246579813 = 27, ou atendendo a 2 9 1 9b 1b bb bb bbb bb bb bb bb bb bb 0 0 0 3 4 5 3 4 bbb bbb bbb bb bb bb bb b b b0 b0 0 6 7 8 6 7

45

2 Determinantes

tem-se que det(A) = (9 4 8 + 1 5 6 + 2 3 7) (2 4 6 + 9 5 7 + 1 3 8) = 27.

2.12exe Calcule o determinante das seguintes matrizes: 1 1 3 2 2 2 e D = 0 4 0 0 1 1 3 2 . 1 2 1 0 7 3 1 1

3 B= 2

2 6 , C = 1 4 1

sol det(B) = 24, det(C) = 0, det(D) = 0. 2.13def co-factor de um elemento de uma matriz ou complemento algbrico de um elemento de uma matriz Seja A = [aij ] Mnn (R). Chama-se co-factor

ou complemento algbrico do elemento i j, que se representa por Aij , a Aij = (1)i+j det(Aij ). 2.14exe Considere a matriz A =5 2 3 4 def

.

(a) Determine o co-factor do elemento 11 da matriz A. (b) Determine o complemento algbrico do elemento 12 da matriz A. (c) Determine A21 . (d) Determine A22 . res (a) A11 = (1)1+1 det(A11 ) = 1 | 4| = 4. (b) A12 = (1)1+2 det(A12 ) = 1 |3| = 3. (c) A21 = (1)2+1 det(A21 ) = 1 | 2| = 2.

46


(d) A22 = (1)2+2 det(A22 ) = 1 | 5| = 5. 2.15obs Relembre-se as seguintes notaes: (A)ij elemento i j da matriz A; Aij matriz complementar do elemento i j da matriz A; Aij co-factor ou complemento algbrico do elemento i j de uma matriz A.

Propriedades2.16teo (Teorema de Laplace) Sejam n um natural maior ou igual a 2, A Mnn (R) e , {1, . . . , n}. Ento:n n

det(A) =j=1

(A)j Aj =i=1 desenvolvimento atravs da linha

(A)i Ai .desenvolvimento atravs da coluna

2.17obs (a) Notar que a denio

2.3def para n

2 consiste no clculo do

determinante atravs do desenvolvimento segundo a primeira linha. (b) Como regra prtica para calcular determinantes atravs do teorema de Laplace, deve-se fazer o desenvolvimento a partir da linha ou coluna que tiver mais zeros. 2.18exe Calcule o determinante da matriz E = da primeira coluna e da quarta linha. sol det(E) = 8. 2.19teo Sejam A, B Mnn (R) e R. (a) Se A for uma matriz diagonal ou triangular (inferior ou superior), ento det(A) =n i=1 (A)ii . 1 2 0 0 1 1 1 0 1 3 2 1 1 2 1 3

atravs do desenvolvimento

47

2 Determinantes

(b) Se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz A so nulos, ento det(A) = 0. (c) Se A tem duas linhas ou colunas iguais, ento det(A) = 0. (d) det(A) = n det(A). (e) det(AT ) = det(A). (f) det(AB) = det(A) det(B). (g) A invertvel se e s se det(A) = 0. (h) Se A uma matriz invertvel, ento det(A1 ) = 2.20obs (a) det(I) = 1. (b) Sejam A1 , . . . , An Mnn (R). Ento, det(n i=1 1 det(A) .

Ai ) =

n i=1

det(Ai ).

(c) Sejam A Mnn (R) e k R. Ento, det(Ak ) = (det(A))k . 2.21exe Considere as seguintes matrizes: 1 1 1 1 1 2 3 A = 0 2 3 , B = 2 2 2 , C = 0 3 3 3 2 0 0 3 1 0 0 D = 0 2 0 , P M33 (R) tal que P 0 0 1 2 0 1 1 0 , 2

uma matriz invertvel.

Usando as propriedades dos determinantes, calcule: (a) det(A). (b) det(B). (c) det(C). (d) det(D). (e) det(2A). (f) 2 det(A). (g) det(A3 ). (h) det(2AT A). (i) det(AT A1 B T ). (j) det(A1 DA). (k) det(ABCD). (l) det(P 1 AP ).

48


res (a) Sendo A uma matriz triangular (superior), tem-se que det(A) = 1 2 3 = 6. (b) Sendo c1,B = c2,B , tem-se que det(B) = 0. (c) Sendo2,C

uma linha nula, tem-se que det(C) = 0.

(d) Sendo D uma matriz diagonal, tem-se que det(D) = 1 2 = 2. (e) det(2A) = (2)3 det(A) = 8 6 = 48. (f) 2 det(A) = 2 6 = 12. (g) det(A3 ) = (det(A))3 = 63 = 216. (h) det(2AT A) = det(2AT ) det(A) = 23 det(AT ) det(A) = 23 det(A) det(A) = 23 6 6 = 288.1 (i) det(AT A1 B T ) = det(AT ) det(A1 ) det(B T ) = det(A) det(A) det(B) =

det(B) = 0. (j) det(A1 DA) = det(A1 ) det(D) det(A) = 2. (k) det(ABCD) = det(A) det(B) det(C) det(D) = 6 0 0 2 = 0. (l) det(P 1 AP ) = det(P 1 ) det(A) det(P ) = 6. 2.22exe Considere as matrizes A, B, C e D do exerccio anterior. Indique, justicando, as que so invertveis. res As matrizes A e D so invertveis pois os seus determinantes so diferentes de zero. 2.23exe Considere a matriz A = y a matriz A invertvel. sol x = y . 2.24exe Considere a matriz Z = matriz Z invertvel.x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 x 1 1 y x y 1 1 det(P ) 1 det(A)

det(D) det(A) = det(D) =

det(A) det(P ) = det(A) =

, x, y R. Indique para que valores de x e

, x R. Indique para que valores de x a

49

2 Determinantes

sol x R \ {2, 1}. 2.25exe Considere a matriz A =2 1 3 5 0 1 2 3 4 1 2 1 2 3 1 4

e seja B uma matriz de ordem 4 tal

que |B| = 12. Calcule o determinante da matriz (AB 1 )T . sol det((AB 1 )T ) = 5. 2.26exe Sejam A uma matriz quadrada tal que det(A) = 2 e B = 2AT . Mostre que a matriz B invertvel. 2.27teo Sejam A, B Mnn (R) e R \ {0}. (a) Se B resulta de A por troca de duas linhas (operao elementar do tipo I), ento det(B) = det(A). (b) Se B resulta de A por multiplicao dos elementos de uma linha de A por (operao elementar do tipo II), ento det(B) = det(A). (c) Se B resulta de A adicionando a uma linha um mltiplo de outra linha (operao elementar do tipo III), ento det(B) = det(A). 2.28obs Sejam A, B Mnn (R) tais que B fe(A) e que se obteve a partir da matriz A atravs das operaes elementares do tipo I e III (por exemplo, por aplicao do algoritmo apresentado em (1)s n i=1 (B)ii ,

1.97obs ). Ento, det(A) =

em que s o nmero de trocas de linhas realizadas.0 1 1 2 1 1 0 1 0 2 0 0 2 0 3 1

2.29exe Considere a matriz A =

.

(a) Calcule det(A) atravs da denio (podendo usar qualquer processo para calcular determinantes de matrizes de ordem 3). (b) Calcule det(A) por aplicao do teorema de Laplace atravs do desenvolvimento a partir da terceira coluna (podendo usar qualquer processo para calcular determinantes de matrizes de ordem 3). (c) Calcule det(A) atravs de 2.28obs .

50


res (a)4

det(A) =j=1

(A)1j (1)1+j det(A1j )

= (A)11 (1)1+1 det(A11 ) + (A)12 (1)1+2 det(A12 ) + (A)13 (1)1+3 det(A13 ) + (A)14 (1)1+4 det(A14 ) 1 = 0 + 1 (1) 1 2 2 0 0 0 1 1 0 1 2 0 0

3 + 0 + 2 (1) 1 1 2

= 0 + 1 (1) 10 + 0 + 2 (1) 2 = 14. Clculos auxiliares:1 1 2 1 1 2 2 0 0 1 0 1 0 3 1 2 0 0

= 1(0130)2(1132)+0(1002) = 10. = 1(0001)1(1002)+2(1102) = 2.

(b)4

det(A) =i=1

(A)i3 (1)i+3 det(Ai3 )

= (A)13 (1)1+3 det(A13 ) + (A)23 (1)2+3 det(A23 ) + (A)33 (1)3+3 det(A33 ) + (A)43 (1)4+3 det(A43 ) 0 = 0 + 2 (1) 1 2 = 2 (1) 7 = 14. Clculos auxiliares:0 1 2 1 0 3 2 1 1

1 0 1

2 3 +0+0 1

= 0(0131)1(1132)+2(1102) = 7.

51

2 Determinantes

(c) 0 1 1 2 1 1 0 1 0 2 0 0 1 2 0 0 1 2 1 3 2 1 1 0 3 3 1 0 4 42 1 0 1 0 3 3 + 2 0 4+ 2 0 4 1 0 0 4 42 3 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 2 3 1 2

0 1 0 2 1 2 3 1 4 1 1 2 0 1 0 2 0 2 5 0 4 3 1 2 0 1 0 2 0 2 5 0 0 7

det(A) = (1)1 (1 1 (2) (7)) = 14. 2.30obs Pedindo-se o determinante de uma matriz, se no for explicitado no enunciado o processo de clculo, este pode ser feito por um mtodo qualquer, nomeadamente aquele que se achar mais simples.

Exerccios miscelnea2.31exe Calcule o determinante da matriz A = distintos. sol det(A) = 1.1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 0 1 1 2 2 1

por dois processos

52


2.32exe Calcule o determinante das matrizes A = C=2 1 1 1 1 1 0 2 2

,D=

0 1 2 1 2 0 2 3 2

,E=

0 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 1

4 1 1 4 0 0 , F 1 1

sen , B = [ cos cos ], R, sen

=

2 1 1 2

3 1 2 1

3 1 2 2

2 1 3 1

.

sol det(A) = 15, det(B) = 1, det(C) = 0, det(D) = 0, det(E) = 1, det(F ) = 2. 2.33exe Sejam A, B Mnn (R). Mostre que det(AB) = det(BA). 2.34exe Considere as matrizes A = [ 1 2 ], D = [ 1 ] e F = [ 2 3 ] e a equao matricial 0 1 1 em X dada por [(AX)T + DF ]1 = I2 . (a) Resolva a equao dada. (b) Diga, sem efectuar quaisquer clculos, qual o determinante de (AX)T + DF . sol (a) X =5 2 3 2

.

(b) det(AX T + DF ) = 1. 2.35exe Sejam p N e A uma matriz quadrada tal que Ap = 0. Mostre que A uma matriz singular. 2.36exe Seja A uma matriz ortogonal. Mostre que det(A) = 1. 2.37exe Determinantes Aplicao: Mensagens codicadas Pode-se codicar uma mensagem associando a cada letra do alfabeto um nmero inteiro e enviar a lista de nmeros que substitui a mensagem. A teoria dos determinantes usada neste contexto para o clculo de inversas com propriedades especiais. Exemplo: A mensagem BOA SORTE! pode ser codicada por 3, 1, 5, 10, 1, 6, 2, 8, 0, onde a letra B representado pelo algarismo 3, a letra O pelo algarismo 1,... e o smbolo ! pelo algarismo 0 (neste exemplo no se codica o espao).

53

2 Determinantes

Para complicar ainda mais a codicao da mensagem e para impedir que o cdigo seja quebrado pode-se usar a seguinte tcnica: o cdigo que representa a mensagem colocado nas colunas de uma matriz B. No exemplo considerado tem-se 3 10 2 B = 1 1 8 . 5 6 0 A matriz B vai ser pr-multiplicada por uma outra matriz A. A matriz A deve vericar as seguintes propriedades: os elementos de A so nmeros inteiros e det(A) = 1. Da resulta que A1 = adj(A) e os elementos de A1 tambm vo ser todos nmeros inteiros. Seja a matriz A dada por 1 A = 0 0 Ento 1 AB = 0 0 0 1 1 2 3 0 1 1 5 10 1 6 13 8 = 1 0 6 2 22 1 7 2 8 , 8 0 1 1 2

0 . 1

contm a mensagem codicada que deve ser enviada: 13, 1, 6, 22, 1, 7, 2, 8, 8. O receptor da mensagem consegue descodic-la multiplicando-a por A1 da seguinte forma: 1 1 A AB = 0 0 2 2 13 1 0 1 1 1 6 22 1 7 2 3 8 = 1 8 5 10 1 6 2

8 . 0

54


A matriz de codicao A pode ser construda a partir da matriz identidade I, aplicando, sucessivamente, operaes elementares do tipo I e do tipo III. A matriz assim obtida vai ter elementos inteiros, verica det(A) = det(I) = 1 e A1 tambm vai ter elementos inteiros. Exerccio: Na codicao de uma mensagem, a letra A representada pelo nmero 1, B por 2, C por 3,..., J por 10, K por 11, L por 12,...e assim por diante (neste exerccio, o espao tambm no considerado). A mensagem foi transformada usando a matriz 1 1 3 1 2 1 2

A= 1 2 e enviada como

45, 60, 47, 63, 82, 68, 44, 48, 65. Qual a mensagem? sol BOM ESTUDO.

3Sistemas de Equaes LinearesDenies iniciais3.1def sistema de equaes lineares, matriz dos coecientes, vector dos termos independentes, vector das incgnitas, matriz aumentada ou matriz ampliada, conjunto soluo Sejam A = [aij ] Mmn (R) e b = [bi ] Mm1 (R). Diz-se que (S) um sistema de m equaes lineares com n incgnitas x1 , x2 , . . . , xn R com matriz dos coecientes A e vector dos termos independentes b se (S) o sistema

a11 x1 a21 x1 . . . am1 x1

+ +

a12 x2 a22 x2 . . .

+ +

a13 x3 a23 x3 . . .

+ +

.. .

+ +

a1n xn a2n xn . . .

= =

b1 b2 . . . bm .

+ am2 x2

+ am3 x3

+

+ amn xn

=

Chama-se vector das incgnitas do sistema (S) matriz coluna x = [xi ] Mn1 (R). Chama-se matriz aumentada ou matriz ampliada do sistema (S),55

56


que se representa por A|b, matriz a11 a12 a22 . . . am2 a13 a23 . . . am3 .. . a1n a2n . . . amn b1 b2 . . . bm .

a21 . . . am1

Chama-se conjunto soluo do sistema (S), que se representa por CS(S) , ax1

CS(S) = {(x1 , . . . , xn ) Rn : A

def

xn

. . .

= b}.

3.2obs Note-se que o sistema (S) da denio anterior pode ser escrito na forma matricial x1 a1n b1 x2 a2n b2 . x3 = . , . . . . . . . amn bm xn

a11 a12 a13 a21 a22 a23 . . . . . . . . . am1 am2 am3

.. .

ou, em notao matricial, como Ax = b. 3.3def sistema de equaes no lineares Chama-se sistema de equaes no lineares a um sistema de equaes que no um sistema de equaes lineares. 3.4exe (a) D um exemplo de um sistema com duas equaes lineares e com trs incgnitas. (b) D um exemplo de um sistema com duas equaes no lineares e com duas incgnitas. x + 2y + z = 1 (a) 3x y z = 0. x + x sen(y ) = 1 (b) x ey = 0.

res

57

3 Sistemas de Equacoes Lineares

3.5def Seja (S) o sistema de equaes lineares Ax = b. (a) sistema homogneo b = 0. (b) sistema homogneo associado Se b = 0, chama-se sistema homogneo associado ao sistema (S) ao sistema Ax = 0. 3.6exe (a) D um exemplo de um sistema homogneo com duas equaes e com trs incgnitas. (b) Identique o sistema homogneo associado ao sistema de equaes lineares x 3x x (a) 3x x (b) 3x + + Diz-se que (S) um sistema homogneo se

+ 2y y 2y y

2y y + + = =

= = 2z z 0 0.

1 0. = = 0 0.

res

3.7def Seja (S) um sistema de equaes lineares. (a) sistema possvel Diz-se que (S) um sistema possvel se # CS(S) > 0. (b) sistema possvel e determinado Diz-se que (S) um sistema possvel e determinado se # CS(S) = 1. (c) sistema possvel e indeterminado Diz-se que (S) um sistema possvel e indeterminado se # CS(S) > 1. (d) sistema impossvel Diz-se que (S) um sistema impossvel se # CS(S) = 0. 3.8def caracterstica de uma matriz Seja A Mmn (R). Chama-se caracterstica da matriz A, que se representa por c(A), ao nmero de linhas no nulas de uma matriz em escada que seja equivalente matriz A.

58


3.9teo Seja Ax = b um sistema de equaes lineares com n incgnitas. Ento: c(A) = c(A|b) c(A) = c(A|b) = n c(A) = c(A|b) < n c(A) < c(A|b) : sistema possvel (Pos) : sistema possvel e determinado (PD) : sistema possvel e indeterminado (PI) : sistema impossvel (Imp).

3.10obs (a) Seja Ax = b um sistema de m equaes lineares com n incgnitas. Ento, se n > m o sistema no pode ser possvel e determinado. (b) Seja Ax = b um sistema de n equaes lineares com n incgnitas, tal que A uma matriz invertvel. Ento, x = A1 b.

Mtodo de Gauss e Gauss-Jordan3.11def varivel piv, varivel livre Sejam Ax = b um sistema de equaes lineares e A fe(A). Se cj,A uma coluna piv, diz-se que xj uma varivel piv. Caso contrrio, diz-se que uma varivel livre. 3.12exe Seja (S) o sistema de equaes lineares cuja matriz dos coecientes A =1 2 2 1 1 2 0 1

e cujo vector dos termos independentes b = [ 3 ]. 1

(a) Determine um elemento de fe(A|b). (b) Identique as colunas piv do sistema (S). (c) Identique as variveis piv e as variveis livres do sistema (S). 1 2 2 1 3 1 2 2 1 3 . (a) 1 2 0 1 1 0 0 2 0 2 2 2 1fe(A|b)

res

(b) Colunas piv de (S): c1 e c3 . (c) Seja x =x1 x2 x3 x4

o vector das incgnitas do sistema (S). Ento, x1 e x3

so as variveis piv de (S) e x2 e x4 so as variveis livres de (S).

59


3.13teo Seja (S) o sistema de equaes lineares cuja matriz dos coecientes A Mmn (R), cujo vector dos termos independentes b Mm1 (R) e cujo vector das incgnitas x = [xi ] Mn1 (R). (a) (Mtodo de Gauss) Seja, ainda, A |b fe(A|b). No caso de (S) ser um sistema possvel, tem-se que:

CS(S) =

(x1 , . . . , xn ) Rn : se xi uma varivel piv, enton

(A |b )i,n+1 xi =

j=i+1

(A |b )ij xj .

(A |b )ii

(b) (Mtodo de Gauss-Jordan) No caso de (S) ser um sistema possvel, tem-se que:

CS(S) =

(x1 , . . . , xn ) Rn : se xi uma varivel piv, enton

(fer(A|b))i,n+1 xi =

(fer(A|b))ij xjj=i+1

(fer(A|b))ii

.

3.14obs (a) Para se resolver um sistema de equaes lineares pelo Mtodo de Gauss comea-se por determinar um elemento pertencente ao conjunto das matrizes em escada equivalentes matriz ampliada do sistema. A partir desta matriz imediato concluir se o sistema possvel e determinado, caso em que no h variveis livres, possvel e indeterminado, caso em que se tem que identicar as variveis livres, ou impossvel. No caso de ser possvel, o seu conjunto soluo obtido atravs do 3.13teo (a).

(b) Para se resolver um sistema de equaes lineares pelo Mtodo de GaussJordan comea-se por determinar a matriz em escada reduzida equivalente matriz ampliada do sistema. A partir desta matriz imediato

60


concluir se o sistema possvel e determinado, caso em que no h variveis livres, possvel e indeterminado, caso em que se tem que identicar as variveis livres, ou impossvel. No caso de ser possvel, o seu conjunto soluo obtido atravs do 3.15exe 3.13teo (b).

(a) D um exemplo de um sistema de duas equaes lineares a duas incgnitas possvel e determinado, resolva-o atravs do Mtodo de Gauss e faa a sua interpretao geomtrica. (b) D um exemplo de um sistema de duas equaes lineares a duas incgnitas possvel e indeterminado, resolva-o atravs do Mtodo de Gauss e faa a sua interpretao geomtrica. (c) D um exemplo de um sistema de duas equaes lineares a duas incgnitas impossvel, resolva-o atravs do Mtodo de Gauss e faa a sua interpretao geomtrica.

res

(a) Seja (S1 ) o sistema de equaes lineares cuja matriz dos coecientes A=1 1 1 1

(S1 )

e cujo vector dos termos independentes b = [ 1 ], i.e., 0 x + y = 1 x y = 0.

Resoluo de (S1 ) atravs do mtodo de Gauss: 1 1 1 1 1 1 . 1 1 0 0 2 1 2 2 1 Como c(A) = c(A|b) = n = 2 (n o nmero de incgnitas), (S1 ) um sistema possvel e determinado equivalente ao sistema de equaes lineares x ou seja, CS(S1 ) = {( 1 , 1 )}. 2 2 x =1 y=1 = 1 2 = 1

+

y 2y

1 2

=

1 2

61


CS(S1 ) pode ser geometricamente interpretado como sendo os pontos de interseco das rectas x + y = 1 e x y = 0, que neste caso um s (ver Figura 3.1).

y

x y =0

11 2

1 2

1

x x +y =1

Figura 3.1: Interpretao geomtrica de um sistema linear de duas equaes a duas incgnitas possvel e determinado.

(b) Seja (S2 ) o sistema de equaes lineares cuja matriz dos coecientes A=1 1 2 2

(S2 )

e cujo vector dos termos independentes b = x + y = 1 2x 2y = 2.

1 2

, i.e.,

Resoluo de (S2 ) atravs do mtodo de Gauss: 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2+2 1 0 0 0 2 Como c(A) = c(A|b) = 1 < n = 2 (n o nmero de incgnitas), (S2 ) um sistema possvel e indeterminado equivalente equao linear x + y = 1.

Sendo y uma varivel livre, tem-se x =1 y =R ou seja, CS(S2 ) = {(1 , ) : R}.

62


CS(S2 ) pode ser geometricamente interpretado como sendo os pontos de interseco das rectas x + y = 1 e 2x 2y = 2, que neste caso so uma innidade (ver Figura 3.2).

y

1

1

x

x + y = 1 2x 2y = 2Figura 3.2: Interpretao geomtrica de um sistema linear de duas equaes a duas incgnitas possvel e indeterminado.

(c) Seja (S3 ) o sistema de equaes lineares cuja matriz dos coecientes A = [ 1 1 ] e cujo vector dos termos independentes b = [ 1 ], i.e., 1 1 2 x + y = 1 (S3 ) x + y = 2. Resoluo de (S3 ) atravs do mtodo de Gauss: 1 1 1 1 1 2 2

1 0

1 0

1 1

.

2

1

Como c(A) = 1 < c(A|b) = 2, (S3 ) um sistema impossvel, tendo-se CS(S3 ) = . CS(S3 ) pode ser geometricamente interpretado como sendo os pontos de interseco das rectas x + y = 1 e x + y = 2, que neste caso no existem (ver Figura 3.3).

63


y

2

1

1

2

x x +y =2

x +y =1

Figura 3.3: Interpretao geomtrica de um sistema linear de duas equaes a duas incgnitas impossvel.

3.16exe Considere os seguintes sistemas de equaes lineares:

(S1 )

x1 x1

+ x2 + x2 x2

+

x3 x3 2x3

= = =

1 1 3;

(S2 )

x x

+ y

+ +

z z

= =

1 2.

(a) Resolva (S1 ) atravs do mtodos de Gauss. (b) Resolva (S1 ) atravs do mtodos de Gauss-Jordan. (c) Resolva (S2 ) atravs do mtodos de Gauss. (d) Resolva (S2 ) atravs do mtodos de Gauss-Jordan.

64


res

(a) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 + 1 0 2 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2 2 1 0 0 3 3 3 2 2 1 1

1 1 0 1

0 3 1 0 3

Assim, (S1 ) um sistema equivalente ao sistema

x1

+

x2 2x2

x3

2x3 3x3

x1 = = 0 x = 2 x = = 3 3 = 1

11+1 1 0+21 2 3 3

=1 =1

=1

ou seja,

CS(S1 ) = {(1, 1, 1)}.

65


(b) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2+ 1 0 1 3 0 1 0 31 2 0 3 2 1 0 1 3 3 0 3 1 1 1+ 3 2 2+2 3 0 0 1 1 0 2 2 2 0 1 1 1 2 0 0 1 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1

1 0

0 3 1 0 3 1 0 1

2 1 2 1 1 1 1 1

Assim, (S1 ) um sistema equivalente ao sistema x1 ou seja, = x2 x3 = = 1 1 1

CS(S1 ) = {(1, 1, 1)}.

66


(c) 1 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 1

Assim, (S2 ) um sistema equivalente ao sistema x + y + z = 1 y = 1. Sendo z uma varivel livre, tem-se x = 1 (1) = 2 y = 1 z =R ou seja, CS(S2 ) = {(2 , 1, ) : R}. (d) 1 1 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1

Assim, (S2 ) um sistema equivalente ao sistema x + z = 2 y = 1. Sendo z uma varivel livre, tem-se x =2 y = 1 z =R

67


ou seja, CS(S2 ) = {(2 , 1, ) : R}. 3.17exe Considere os seguintes sistemas de equaes lineares: x1 + x2 + x3 = 3 (S1 ) x x2 = 0 1 x + x = 0. 1 3 x1 + x2 = 2 (S2 ) x + x3 = 2 1 2x + x + x = 4.1 2 3

x1 + x2 + x3 = 3 (S3 ) x + x2 = 2 1 2x + 2x + x = 1. 1 2 3 x1 x2 + x3 = 1 (S4 ) 2x1 + 2x2 2x3 = 2 x + x x = 1.1 2 3

Responda s seguintes questes para cada um dos sistemas de equaes lineares dados: (a) identique a matriz dos coecientes A, o vector dos termos independentes b, o vector das incgnitas x e a matriz ampliada A|b; (b) classique o sistema quanto ao nmero de solues e determine o seu conjunto soluo; (c) classique o sistema homogneo associado quanto ao nmero de solues e determine o seu conjunto soluo. sol (S1 ) (a) A =1 1 1 1 1 0 1 0 1

,b=

3 0 0

,x=

x1 x2 x3

, A|b =

1 1 1 3 1 1 0 0 1 0 1 0

.

(b) PD. CSAx=b = {(1, 1, 1)}. (c) PD. CSAx=0 = {(0, 0, 0)}. (S2 ) (a) A =1 1 0 1 0 1 2 1 1 2 2 4 x1 x2 x3 1 1 0 2 1 0 1 2 2 1 1 4

,b=

,x=

, A|b =

.

(b) PI. CSAx=b = {(2 t, t, t) : t R}. (c) PI. CSAx=0 = {(t, t, t) : t R}. (S3 ) (a) A =1 1 1 1 1 0 2 2 1 3 2 1 x1 x2 x3 1 1 1 3 1 1 0 2 2 2 1 1

,b=

,x=

, A|b =

.

(b) Imp. CSAx=b = .

68


(c) PI. CSAx=0 = {(s, s, 0) : s R}. (S4 ) (a) A =1 1 1 2 2 2 1 1 1

,b=

1 2 1

,x=

x1 x2 x3

, A|b =

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1

.

(b) PI. CSAx=b = {(1 + s t, s, t) : s, t R}. (c) PI. CSAx=0 = {(s t, s, t) : s, t R}. 3.18exe Resolva os seguintes sistemas de equaes lineares atravs do mtodo de Gauss e de Gauss-Jordan: x1 + 2x2 = 5 (S1 ) 3x2 = 6; x1 + 2x2 = 1 (S2 ) 0x = 2;2

x1 (S3 ) x1 (S4 ) x1 (S5 ) x1

+

2x2 4x2

+ +

3x3 5x3 + +

= = x4 x4 0 0; + + + w w w w + +

14 23; = = 1 1;

+ x2 x2 + x2 x2 + + x2 x2 2x2

+ x3

+ x3 x3 + + z z

= = x3 x3 x3 +

x1 (S6 ) 2x 1 x1

x4 3x4 x4 = = = = 2w w 3w w

= = = 0 5 0 2; = = = =

0 0 0;

x 2x (S7 ) x x 2x (S8 ) 2x

+ y y y

+ +

+

y y y

+ +

z z

1 1 1 2.

2y

+

2z

69


sol (S1 ) sistema PD com CS(S1 ) = {(1, 2)}. (S2 ) sistema Imp, i.e., CS(S2 ) = . (S3 ) sistema PI com CS(S3 ) = {( 5 , 235 , ) : R}. 2 4 (S4 ) sistema PI com CS(S4 ) = {(s, 1 t, s, t) : t, s R}. (S5 ) sistema PI com CS(S5 ) = {(0, , ) : R}.4 1 (S6 ) sistema PI com CS(S6 ) = {( 3 , 0, 3 , ) : R}.

(S7 ) sistema PD com CS(S7 ) = {(1, 1, 1, 1)}. (S8 ) sistema PD com CS(S8 ) = {(0, 1, 0, 0)}. 3.19exe D exemplos de sistemas de m equaes lineares a n incgnitas possveis e determinados, possveis e indeterminados e impossveis para m > n, m = n e m < n, sempre que tal seja possvel. m>n PD m = 2, n = 1 x =1 2x=2 m=n m = 1, n = 1 m 0 e o sentido oposto no caso de < 0 (se = 0, o vector que se obtm o vector nulo). (b) Rn Seja n N. Representa-se por Rn o conjunto dos n-tuplos com elementos em R, ou seja, Rn = {(x1 , . . . , xn ) : x1 , . . . , xn R}. As operaes usuais neste conjunto de soma e multiplicao por um escalar, so dadas, respectivamente, por: (i) (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ); (ii) (x1 , x2 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn ). (c) Mmn (R) Sejam m, n N. Representa-se por Mmn (R) o conjunto das matrizes com m linhas e n colunas com elementos em R, ou seja, Mmn (R) = {A : {1, . . . , m} {1, . . . , n} R}. As operaes usuais neste conjunto de soma e multiplicao por um escalar, so dadas, respectivamente, por: (i) (A + B)ij = (A)ij + (B)ij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n; (ii) (A)ij = (A)ij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (d) Rn [x] Seja n N. Representa-se por Rn [x] o conjunto dos polinmios na varivel x com coecientes em R e que tm grau menor ou igual a n, ou seja, Rn [x] = {a0 x n + + an1 x + an : a0 , . . . , an1 , an R}.def def def def def def def

82


As operaes usuais neste conjunto de soma e multiplicao por um escalar, so dadas, respectivamente, por: (i) (a0 x n + + an1 x + an ) + (b0 x n + + bn1 x + bn ) = (a0 + b0 )x n + + (an1 + bn1 )x + (an + bn ); (ii) (a0 x n + + an1 x + an ) = (a0 )x n + + (an1 )x + (an ). (e) R[x] Representa-se por R[x] o conjunto dos polinmios na varivel x de qualquer grau com coecientes em R. As operaes usuais neste conjunto de soma e multiplicao por um escalar so iguais s denidas no conjunto Rn [x]. (f) C(a, b), C k (a, b), C (a, b) Sejam a, b R tais que a < b e k N.def def

Representa-se por C(a, b) o conjunto das funes reais de varivel real contnuas em (a, b), por C k (a, b) o conjunto das funes reais de varivel real tais que existem todas as derivadas de f at ordem k (inclusive) e f e todas as derivadas de f at ordem k (inclusive) so contnuas em (a, b), e por C (a, b) o conjunto das funes reais de varivel real tais que existem todas as derivadas de f e f e todas as derivadas de f so contnuas em (a, b), ou seja, C(a, b) = {f : (a, b) R : f contnua em (a, b)}, C k (a, b) = {f : (a, b) R : f C(a, b) e C (a, b) = {f : (a, b) R : f C(a, b) edpf dx p def dpf dx p def def

C(a, b), p = 1, . . . , k},

C(a, b), p N}.

As operaes usuais neste conjunto de soma e multiplicao por um escalar, so dadas, respectivamente, por: (i) (f + g)(x) = f (x) + g(x); (ii) (f )(x) = f (x).def def

83

4 Espacos Vectoriais

4.7teo Os seguintes conjuntos com as operaes usuais so espaos vectoriais reais: (a) VA ; (b) Rn ; (c) Mmn (R); (d) R[x]; (e) Rn [x]; (f) C(a, b); (g) C k (a, b); (h) C (a, b). 4.8teo Seja V um espao vectorial. Ento: (a) R : 0V = 0V ; (b) x V : 0x = 0V ; (c) R, x V : (x) = ()x e ()(x) = x; (d) R, x V : se (x = 0V ) ento ( = 0 x = 0V ); (e) , R, x V \ {0V } : se (x = x) ento ( = ); (f) x, x1 , x2 V : se (x1 + x = x2 ) ento (x = x2 x1 ); (g) x, x1 , x2 V : se (x + x1 = x + x2 ) ento (x1 = x2 ).

Subespaos4.9def subespao Sejam o espao vectorial (V, , , R, +, ) e F um subconjunto no-vazio de V . Diz-se que F um subespao de V se (F, , , R, +, ) um espao vectorial. 4.10teo Sejam V um espao vectorial e F V . Ento, F um subespao de V se e s se:

84


(a) 0V F ; (b) x, y F : x + y F ; (c) R, x F : x F . 4.11obs Note-se que o teorema 4.10teo um processo mais prtico de vericar se

um subconjunto de um espao vectorial um subespao do que a denio 4.9def . 4.12exe Mostre que F = {(x1 , x2 ) R2 : x2 = 0} um subespao de R2 . res Sendo F R2 , veriquem-se as trs propriedades do teorema (a) 0R2 = (0, 0) F , pelo que a propriedade (a) vlida; (b) sejam x = (x1 , 0), y = (y1 , 0) F . Ento, x + y = (x1 , 0) + (y1 , 0) = (x1 + y1 , 0) F , pelo que a propriedade (b) vlida; (c) sejam R e x = (x1 , 0) F . Ento, x = (x1 , 0) = (x1 , 0) F , pelo que a propriedade (c) vlida. Conclui-se, assim, que F um subespao de R2 . 4.13exe Mostre que o conjunto das matrizes simtricas de ordem n um subespao de Mnn (R). res Seja F o conjunto das matrizes simtricas de ordem n, i.e., F = {A Mnn (R) : A = AT }, que um subconjunto de Mnn (R). Veriquem-se, agora, as trs propriedades do teorema 4.10teo : 4.10teo :

(a) 0Mnn (R) = 0nn F , pelo que a propriedade (a) vlida; (b) sejam A, B F . Ento, (A + B)T = AT + B T = A + B, A + B F , pelo que a propriedade (b) vlida; (c) sejam R e A F . Ento, como (A)T = AT = A, A F , pelo que a propriedade (c) vlida. Conclui-se, assim, que F um subespao de Mnn (R).

85


4.14exe Mostre que: (a) {(x, y , z) R3 : x = y } um subespao de R3 . (b) {A M22 (R) : (A)12 = (A)21 } um subespao de M22 (R). (c) O conjunto das matrizes diagonais de ordem n um subespao de Mnn (R). (d) Rn [x] um subespao de R[x]. (e) C k (a, b) um subespao de C(a, b) (f) C (a, b) um subespao de C k (a, b). (g) {0V } um subespao de V . (h) V um subespao de V . 4.15exe Mostre que o conjunto G = {(x1 , x2 ) R2 : x2 = 1} no um subespao de R2 . res Para resolver este exerccio necessrio identicar (pelo menos) uma propriedade do teorema 4.10teo que no satisfeita. No entanto, e por

questes didcticas, vai-se vericar todas as propriedades. Sendo G R2 , veriquem-se as trs propriedades do teorema / (a) 0R2 = (0, 0) G, pelo que a propriedade (a) no vlida; (b) sejam, por exemplo, x = (2, 1), y = (3, 1) G. Ento, x + y = (2, 1) + (3, 1) = (5, 2) G, pelo que a propriedade (b) no vlida; / (c) sejam, por exemplo, = 2 e x = (3, 1) G. Ento, x = 2(3, 1) = (6, 2) G, pelo que a propriedade (c) no vlida. / Como as propriedades (a), (b) e (c) do teorema 4.10teo no so satis4.10teo :

feitas, conclui-se que o conjunto G no um subespao de R2 (volta-se a frisar que bastava uma propriedade no se vericar para se concluir que no se estava perante um subespao).

86


4.16teo Seja A Mmn (R). Ento, CS(Ax=0) um subespao de Rn . dem Para mostrar que CS(Ax=0) Rn um subespao de Rn , aplique-se o teorema 4.10teo (no que se segue identica-se Rn com Mn1 (R)):

(a) como A0n1 = 0, tem-se que 0Rn = 0n1 CS(Ax=0) , pelo que a propriedade (a) vlida; (b) sejam x1 , x2 CS(Ax=0) . Ento, como A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = 0 + 0 = 0, tem-se que x1 + x2 CS(Ax=0) , pelo que a propriedade (b) vlida; (c) sejam R e x CS(Ax=0) . Ento, como A(x) = (Ax) = 0 = 0, tem-se que x CS(Ax=0) , pelo que a propriedade (c) vlida. Assim, conclui-se que CS(Ax=0) um subespao de Rn . 4.17exe Mostre que: (a) {(x, y 2 ) R2 } no um subespao de R2 ; (b) {A M22 (R) : det(A) = 0} no um subespao de M22 (R).

Combinao linear4.18def combinao linear Sejam V um espao vectorial, x V e S = {x1 , . . . , xk } V . Diz-se que x uma combinao linear dos elementos de S se 1 , . . . , k R : x = 1 x1 + + k xk . 4.19obs Sejam V um espao vectorial, x V e S = {x1 , . . . , xk } V . Diz-se que x uma combinao linear dos elementos de S se o sistema linear 1 x1 + + k xk = x possvel.

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4.20exe Sejam x = (1, 4), x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2). (a) Mostre que x = (1, 4) uma combinao linear de x1 = (1, 2) e x2 = (1, 1) e escreva x como combinao linear de x1 e de x2 . (b) Mostre que x = (1, 4) uma combinao linear de x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2). (c) Mostre que x = (1, 4) no uma combinao linear de x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2). res (a) Mostrar que x = (1, 4) uma combinao linear de x1 = (1, 2) e x2 = (1, 1) , por denio, mostrar que , R : x = x1 + x2 , i.e., que possvel o sistema de equaes lineares (Sa ) dado por + = 1 (1, 4) = (1, 2) + (1, 1) 2 + = 4. Ento, como 1 1 2 1

1 4

2

1 0

1 1

1 2

2

2

1

a caracterstica da matriz dos coecientes igual caracterstica da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sa ) possvel, concluindo-se que x uma combinao linear de x1 e x2 . Para escrever x como combinao linear de x1 e x2 , resolve-se o sistema (Sa ), tendo-se = 3 = 2, vindo x = 3x1 2x2 . (b) Mostrar que x = (1, 4) uma combinao linear de x1 = (1, 2), x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2) , por denio, mostrar que , , R : x = x1 + x2 + x3 ,

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i.e., que possvel o sistema de equaes lineares (Sb ) dado por (1, 4) = (1, 2) + (1, 1) + (2, 2) + + 2 = 1 2 + + 2 = 4. Ento, como 1 1 2 2 1 2

1 4

2

1 0

1 1

2 2

1 2

22

1

a caracterstica da matriz dos coecientes igual caracterstica da matriz ampliada, pelo que o sistema (Sb ) possvel, concluindo-se que x uma combinao linear de x1 , x2 e x3 . Para escrever x como combinao vindo x = 3x1 + (2 2a)x2 + ax3 , a R. (c) Mostrar que x = (1, 4) no uma combinao linear de x2 = (1, 1) e x3 = (2, 2) equivalente a mostrar que impossvel o sistema de equaes lineares (Sc ) dado por + (1, 4) = (1, 1) + (2, 2) + Ento, como 1 2 1 2 2 2 = = 1 4. linear de x1 , x2 e x3 , resolve-se o sistema (Sb ), tendo-se = = = 3 2 2a a R,

1 4

2

1 0

2 0

1 3

2

1

a caracterstica da matriz dos coecientes menor do que a caracterstica da matriz ampliada, o sistema (Sc ) impossvel, concluindo-se que x no uma combinao linear de x2 e x3 .

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4.21exe Escreva, se possvel, o vector v = (3, 3) R2 como combinao linear dos seguintes vectores de R2 , e interprete geometricamente os resultados obtidos: (a) v1 = (1, 1). (b) v1 = (1, 2). (c) v1 = (1, 2), v2 = (4, 2). (d) v1 = (1, 1), v2 = (2, 2). (e) v1 = (1, 1), v2 = (1, 1). (f) v1 = (1, 1), v2 = (0, 1), v3 = (2, 0). sol (a) v = 3v1 . (b) v no uma combinao linear de v1 . (c) v = v1 + 1 v2 . 2 (d) v = (3 2)v1 + v2 , R. (e) v no uma combinao linear de v1 e v2 . (f) v = (3 2)v1 + (6 2)v2 + v3 , R. 4.22exe Sejam u = (1, 2, 4), v = (2, 5, 6), w = (1, 1, 10), r = (1, 0, ) R3 . (a) Escreva o vector w como combinao linear de u e v . (b) Indique para que valores de R o vector r uma combinao linear de u e v . sol (a) w = 7u 3v . (b) = 8. 4.23exe Escreva u = 5t 2 8t +6 como combinao linear de v = t 2 t e w = 2t 2 4. sol u = 8v 3 w . 2

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Espao gerado4.24def espao gerado, L(S), x1 , . . . , xn Sejam V um espao vectorial e S =

{x1 , . . . , xn } V . Chama-se espao gerado pelo conjunto S, que se representa por L(S) ou por x1 , . . . , xn , ao conjunto de todas as combinaes lineares dos elementos de S, ou seja, L(S) x1 , . . . , xn = {1 x1 + + n xn : 1 , . . . , n R}. 4.25exe Sejam a = (1, 2 3), b = (3, 4, 2), c = (2, 6, 6), d = (9, 2, 5) R3 . (a) c a, b ? (b) d a, b ? sol (a) No. (b) No. 4.26teo Sejam V um espao vectorial e S = {x1 , . . . , xn } U V . Ento: (a) L(S) um subespao de V ; (b) se U um subespao de V , ento L(S) U. 4.27obs Sejam V um espao vectorial e S = {x1 , . . . , xn } V . Ento: (a) chama-se espao gerado ao conjunto L(S) devido alnea (a) do teorema anterior; (b) L(S) o menor subespao de V que contm S no sentido da alnea (b) do teorema anterior.def

Conjunto gerador4.28def conjunto gerador Sejam V um espao vectorial e S = {x1 , . . . , xn } V . Diz-se que S um conjunto gerador de V se V = L(S).

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4.29obs Sejam V um espao vectorial e S = {x1 , . . . , xn } V . Ento, S um conjunto gerador de V se x V, 1 , . . . , n R : x = 1 x1 + + n xn , i.e., se o sistema de equaes lineares 1 x1 + + n xn = x possvel qualquer que seja x V . 4.30exe (a) Verique se R2 = (2, 0) . (b) Verique se R2 = (2, 0), (3, 4) . (c) Verique se R2 = (2, 0), (3, 4), (0, 1) . res (a) Vericar se R2 = (2, 0) equivalente a vericar se, qualquer que seja x = (x1 , x2 ) R2 , possvel o sistema de equaes lineares (S1 ) dado por 2 (x1 , x2 ) = (2, 0) 0 = x1 = x2 .

Ento, como a representao matricial do sistema (S1 ) 2 x1 0 x2 que j est em escada, a caracterstica da matriz dos coecientes menor do que a caracterstica da matriz ampliada se x2 = 0, pelo que o sistema (S1 ) nem sempre possvel, concluindo-se que R2 = (2, 0) , i.e., {(2,0)} no um conjunto gerador de R2 . (b) Vericar se R2 = (2, 0), (3, 4) equivalente a vericar se, qualquer que seja x = (x1 , x2 ) R2 , possvel o sistema de equaes lineares (S2 ) dado por 2 (x1 , x2 ) = (2, 0) + (3, 4) 0 + + 3 4 = x1 = x2 .

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Ento, como a representao matricial do sistema (S2 ) 2 3 x1 0 4 x2 que j est em escada, a caracterstica da matriz dos coecientes igual caracterstica da matriz ampliada qualquer que seja x = (x1 , x2 ) R2 , pelo que o sistema (S2 ) sempre possvel, concluindo-se que R2 = (2, 0), (3, 4) , i.e., {(2,0),(3,4)} um conjunto gerador de R2 . (c) Vericar se R2 = (2, 0), (3, 4), (0, 1) equivalente a vericar se, qualquer que seja x = (x1 , x2 ) R2 , possvel o sistema de equaes lineares (S3 ) dado por (x1 , x2 ) = (2, 0) + (3, 4) + (0, 1) 2 + 3 + 0 = x1 0 + 4 + = x2 .

Ento, como a representao matricial do sistema (S3 ) 2 3 0 x1 0 4 1 x2 que j est em escada, a caracterstica da matriz dos coecientes igual caracterstica da matriz ampliada qualquer que seja x = (x1 , x2 ) R2 , pelo que o sistema (S3 ) sempre possvel, concluindo-se que R2 = (2, 0), (3, 4), (0, 1) , i.e., {(2, 0), (3, 4), (0, 1)} um conjunto gerador de R2 . 4.31obs (a) Um espao vectorial pode admitir diversos conjuntos geradores. (b) Conjuntos geradores distintos podem gerar o mesmo espao vectorial. 4.32exe Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores so conjuntos geradores do espao vectorial R2 : (a) A = {(1, 0), (0, 1)}; (b) B = {(1, 2), (1, 0)};

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(c) C = {(1, 0), (0, 1), (1, 3)}; (d) D = {(1, 2)}; (e) E = {(1, 2), (2, 4), (1, 2)}; (f) F = {(1, 1), (2, 2)}. sol A, B e C. 4.33exe Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores so conjuntos geradores do espao vectorial R3 [x]: (a) A = {1, x, x 2 , x 3 }; (b) B = {1 + x 2x 2 , x 2 + x 3 }; (c) C = {1 + x, 1 x, x 2 , x 3 1, x + x 3 }; (d) D = {1, 2x, x 2 + 1, x 3 x}. sol A, C e D. 4.34exe Seja X = {(1, 0, ), (, , ), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} R3 . Indique para que valores de e o conjunto X um conjunto gerador de R3 . sol R, R \ {0}.

Independncia e dependncia lineares4.35def Sejam V um espao vectorial e S = {x1 , . . . , xn } V . (a) conjunto linearmente independente Diz-se que S um conjunto linearmente independente se 1 , . . . , n R : 1 x1 + + n xn = 0V 1 = = n = 0. (b) vectores linearmente independentes Se S um conjunto linearmente independente, os elementos de S dizem-se vectores linearmente independentes.

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(c) conjunto linearmente dependente Se S no um conjunto linearmente independente, diz-se que S um conjunto linearmente dependente. (d) vectores linearmente dependentes Se S um conjunto linearmente dependente, os elementos de S dizem-se vectores linearmente dependentes. 4.36obs Sejam V um espao vectorial e S = {x1 , . . . , xn } V . (a) Diz-se que S um conjunto linearmente independente se o sistema de equaes lineares 1 x1 + + n xn = 0V possvel e determinado. (b) Diz-se que S um conjunto linearmente dependente se o sistema de equaes lineares 1 x1 + + n xn = 0V possvel e indeterminado. 4.37exe (a) Indique, justicando, se {(2, 0)} um conjunto linearmente independente ou linearmente dependente. (b) Indique, justicando, se {(2, 0), (3, 4)} um conjunto linearmente independente ou linearmente dependente. (c) Indique, justicando, se {(2, 0), (3, 4), (0, 1)} um conjunto linearmente independente ou linearmente dependente. res (a) Como 2 (2, 0) = (0, 0) 0 = = 0 0 = 0,

conclui-se que {(2, 0)} um conjunto linearmente independente.

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(b) Como (2, 0) + (3, 4) = (0, 0) = 0, 2 + 3 = 0 = 0, 0 + 4 = 0 conclui-se que {(2, 0), (3, 4)} um conjunto linearmente independente. (c) Como (2, 0) + (3, 4) + (0, 1) = (0, 0) = 3a , 8 2 + 3 + 0 = 0 a = 4, 0 + 4 + = 0 = a R, conclui-se que {(2, 0), (3, 4), (0, 1)} um conjunto linearmente dependente. 4.38teo Sejam V um espao vectorial e S1 S = {x1 , . . . , xn } S2 V . (a) Se S um conjunto linearmente dependente, ento, S2 um conjunto linearmente dependente. (b) Se S um conjunto linearmente independente, ento, S1 um conjunto linearmente independente. 4.39exe Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores so conjuntos linearmente independentes: (a) A = {(3, 1), (4, 2)} em R2 ; (b) B = {(3, 1), (4, 2), (7, 2)} em R2 ; (c) C = {(0, 3, 1), (2, 4, 1), (2, 8, 5)} em R3 ; (d) D = {(1, 2, 0, 2), (5, 0, 1, 1), (8, 6, 1, 5)} em R4 . sol A e C.

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4.40exe Considere as seguintes matrizes: 2 1 ,B = 2 3 1 7 2 eC= 4 1 m n , m, n R.

A= 1

(a) Determine os valores de m e n para que {A, B, C} seja um conjunto linearmente dependente. (b) Estabelea a relao de dependncia entre A, B e C. sol (a) m = 4 e n = 3. (b) A = 3 B + 1 C. 2 2 4.41exe Indique para que valores do parmetro real , os vectores a = (1, 2) e b = (, 1) de R2 so linearmente independentes. sol R \ { 1 }. 2 4.42exe Considere no espao vectorial R3 os vectores v1 = (1 , 1 , 1) e v2 = (2 , 2 , 0) em que 1 , 2 , 1 , 2 R so constantes reais. Indique, em funo de 1 , 2 , 1 e 2 uma condio necessria e suciente para os vectores v1 e v2 serem linearmente independentes. sol 1 R, 2 R \ {0}, 1 R, 2 R \ {0}. 4.43exe Considere o espao vectorial R3 e um seu subespao S = {(x, y , z) R3 : x = y }. Determine dois vectores linearmente independentes u e v de S e mostre que qualquer vector w

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