O USO DE DOBRADURA EM GEOMETRIA
Ana Lucia Hirata1
Ana Márcia Fernandes Tucci de Carvalho2
Resumo
Com o objetivo de mostrar a eficiência do Origami no ensino da Geometria, o presente trabalho, por meio de materiais manipuláveis, interfere na defasagem do conhecimento de Geometria. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. O desenvolvimento das noções de geometria plana sem o uso da régua e compasso, utilizando o recurso Origami (arte japonesa de dobrar papel), tem como objetivo trabalhar a geometria a partir do conhecimento do aluno, sendo que com o auxílio desse recurso, formas que antes ficavam apenas na imaginação do aluno passam a ser reais. Com isso ele pode manuseá-las e visualizá-las, facilitando assim a aprendizagem de alguns conceitos geométricos. A utilização de atividades diferenciadas, como o uso de materiais como o origami, aumenta a motivação e o prazer em aprender matemática. Palavra-chave: Dobradura. Geometria Plana. Geometria Espacial. Origami.
1. Introdução
Este artigo apresenta algumas reflexões e resultados obtidos sobre o ensino
e a aprendizagem de geometria, uma das mais antigas ciências que a humanidade
conhece. A praticidade associada aos conhecimentos geométricos teve um papel
importante no crescimento cultural da humanidade. A utilização de materiais
manipuláveis no ensino-aprendizagem da Geometria proporciona uma prática
pedagógica diferenciada.
Segundo os PNC (1997), o ensino de Matemática deve explorar metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios (BRASIL, 1997, p.26).
1 Professora da Rede Pública do Estado do Paraná, participante do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE (2012). Contato: [email protected] 2 Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina, UEL.
Contato: peresbi @yahoo.com.br
É possível perceber que os conhecimentos geométricos são importantes e
contribuem para a compreensão de situações cotidianas, envolvendo os problemas
que surgem na vida do aluno. Isso compreende desenvolver capacidades, tais como
“[...] a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação,
evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da
evolução da Matemática” (PONTE et al; 2009 p.71).
O trabalho desenvolvido por Sheng et al (2005), menciona a importância do
uso da dobradura em geometria na compreensão do pensamento matemático. As
atividades propostas procuram aproveitar a vivência e o conhecimento dos alunos
incentivando-os a buscar soluções para os problemas.
A dobradura do papel possibilita uma percepção muito direta e intuitiva da
Geometria, favorecendo, por exemplo, a compreensão das diferenças entre formas
geométricas (cubo, prismas, pirâmides...). As séries de modelos de papeis dobrados
exploram o potencial espacial dessa técnica para a construção do conhecimento. É
nesse sentido que este artigo tem como objetivo propor que a Geometria seja
trabalhada de maneira lúdica, com a utilização de recursos pedagógicos que
estimulem a criatividade e a visão espacial dos alunos.
Os recursos didáticos nas aulas de matemática envolvem uma diversidade de elementos utilizados principalmente como suporte experimental na organização do processo de ensino e aprendizagem. Entretanto, considero que esses materiais devem servir como mediadores para facilitar a relação professor/aluno/conhecimento no momento em que um saber está sendo construído. (PASSOS, 2010, p.78).
Apesar dos conteúdos relacionados à Geometria serem parte importante da
matemática, percebe-se grande dificuldade dos estudantes no estudo e
compreensão desta disciplina, tomada muitas vezes como abstrata. Diante dessa
dificuldade observada, optou-se pela utilização do Origami como um recurso auxiliar
no ensino da Geometria. O Origami representa um interessante recurso
metodológico, pois com ele os estudantes podem intensificar e formalizar os
conhecimentos geométricos adquiridos informalmente pela observação do meio em
que vivem.
Com o auxílio desse recurso, formas que antes ficavam apenas na
imaginação do aluno materializam-se, e com isso ele as pode manusear e visualizar,
o que pode facilitar a aprendizagem de alguns conceitos geométricos, como também
incitar a imaginação, aperfeiçoar movimentos motores finos, permitir a aquisição de
percepções geométricas e combinações de cores e tipos de papeis. Além disso, o
trabalho manual para a realização de um origami exige concentração, disciplina e
atenção, qualidades subjetivas que acompanham a maioria das tarefas
matemáticas.
Neste sentido, utilizar as técnicas adquiridas e habilidades que o fazer
Origami, pensado como um ‘material manipulável’, promovem na sala de aula traz
benefícios para o aluno e também para o professor.
Entendemos a expressão ‘materiais manipuláveis’ em sua acepção: são
materiais que podem ser manuseados, manipulados com as mãos, pode-se tocar,
sentir, movimentar, moldar. Assim, o material dourado, a escala de cuisenaire, os
blocos lógicos, os círculos de frações, sólidos geométricos e o ábaco são exemplos
de materiais manipuláveis, muitos jogos são materiais manipuláveis, assim como o
Origami também o é.
A utilização de materiais manipuláveis permite que o aluno saia do campo
meramente abstrato e perceba com maior clareza muitos conceitos matemáticos, já
que os materiais funcionam como instrumentos de mediação em muitas situações, o
que favorece a aprendizagem.
2. O Ensino da Geometria e Origamis
Segundo as Diretrizes Curriculares (PARANÁ, 2008), com relação ao
conteúdo estruturante Geometrias, no Ensino Fundamental, espera-se que o
estudante compreenda os conceitos e os elementos da Geometria Plana e
Geometria Espacial, bem como utilize linguagem adequada para descrever os
conceitos associados a estes tópicos.
Uma aula diferenciada envolvendo recursos lúdicos utilizados pelos
estudantes ao aprender um novo conteúdo de Geometria proporciona aos mesmos,
maneiras de ver e entender aspectos espaciais do mundo físico, desenvolve seu
raciocínio, sua capacidade de ler e interpretar problemas matemáticos. A utilização
do recurso manipulável como auxílio pedagógico para a matemática possibilita
também, muitas vezes, o diálogo com outras disciplinas, estabelecendo um caráter
interdisciplinar.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (1997):
O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. Além disso, se esse trabalho for feito a partir de exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento (BRASIL,1997, p.56).
Ensinar matemática para o estudante paralelo à execução de trabalho com
as dobraduras desenvolve o pensamento geométrico do mesmo, já que estabelece a
capacidade de construir conceitos geométricos a partir, não de uma ideia perceptiva
do objeto em estudo, mas de algo concreto que pode ser transformado, manuseado,
em tempo real. O aluno precisa observar e trabalhar atentamente com diversos tipos
de materiais manipuláveis, acentuando a sua criatividade e curiosidade, resultando
em uma aprendizagem significativa da matemática, ao mesmo tempo que explora,
compara, modifica as formas e o tamanho dos objetos que manuseia.
Segundo os PCN, o aprendizado de Geometria está além do restrito ao
campo matemático, já que
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (BRASIL,1998,p.51).
O atual currículo recomenda atividades preocupadas em explorar a
habilidade do aluno, para que aprenda por meio delas, buscando estratégias que
levem o estudante a adquirir o conhecimento e aplicabilidade do ensino de
geometria.
Existe uma infinidade de Origamis que representam sólidos geométricos.
Assim, diante das dificuldades expressas no ensino da geometria, o uso de origamis
pode auxiliar na aprendizagem.
Inicialmente, é preciso esclarecer que à medida que a confecção do papel foi
se tornando mais simples e mais acessível, o Origami, a arte tradicional japonesa de
dobrar papel (Ori significa dobrar e Kami significa papel) tornou-se cada vez mais
uma arte popular. Esse nome prevaleceu ao longo do tempo para manter sua origem
no idioma japonês e por sua fácil pronúncia (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE
DIFUSÃO DO ORIGAMI, 2005).
Essa arte vem sendo utilizada no Japão desde o séc. VIII. Contudo, apesar
de o Japão ser considerado ‘berço’ do Origami, acredita-se que a referida arte surgiu
na China, local em que o papel foi inventado no ano 105 a.C. onde, portanto, sua
utilização é mais antiga. Sabe-se também que na Europa, via Espanha, no séc. VIII
desenvolveram-se alguns objetos semelhantes ao Origami (SHENG et. al., 2005).
Na confecção de um Origami, deve-se ter um princípio básico: evitar o uso de
cola e tesoura, não utilizando, portanto, outro material que não seja o papel. Por isso
o desenvolvimento de habilidades finas como atenção, acurácia e disciplina estão
associadas à construção de origamis.
A partir da manipulação de objetos, o aluno descobre as propriedades
conhecidas apenas por abstração, fazendo conexões importantes entre o real e o
abstrato; esse conhecimento está intrinsicamente nos objetos, bastando sua
manipulação para que haja aprendizagem.
3. Desenvolvimento
Este trabalho foi desenvolvido com alunos do 9º ano do Ensino
Fundamental, do Colégio Estadual José de Anchieta pertencente ao Núcleo de
Londrina/PR. Antecipadamente, o projeto foi apresentado à direção e equipe
pedagógica do colégio. Salienta-se que direção e APM colaboraram com a compra
dos jogos e papeis dobradura utilizados nas atividades desenvolvidas.
O projeto contou com a participação e entusiasmo dos estudantes que se
empenharam com organização e disciplina nas atividades propostas.
3.1 Atividades
A primeira atividade desenvolvida com os alunos foi denominada ‘Observar
Objetos’. Esta salientou a diferença entre corpos redondos e poliedros, figuras
geométricas planas de figuras geométricas espaciais, permitiu o cálculo de áreas
planas e perímetro.
Os alunos trouxeram objetos que fazem parte do cotidiano deles (carta de
jogo, moedas, caixa de creme dental, CD, globo, dado, latas, etc.) que foram
observados e classificados em poliedros e corpos redondos. Usaram a régua para
medir e reproduzir as figuras geométricas planas observadas nas faces dos
poliedros. Fizeram planificações destes poliedros.
FIGURA1: Objetos trazidos pelos alunos (caixa
de creme dental, globo miniatura, rolo de durex,
caixa de madeira).
FIGURA 2: Objetos trazidos pelos alunos ( estojo
de grafites, apontador).
Fonte: Acervo Pessoal
Após observarem as figuras planas que constituam as superfícies
encontradas nos objetos, calcularam a área dessas figuras. Observou-se que, nos
objetos menores, alguns alunos preferiram calcular usando como subunidade de
medida o milímetro, “mm”, ao invés do centímetro, “cm”. Dessa forma, não
realizaram cálculos com o uso da vírgula, o que causa neles um pouco de
insegurança e confusão. Isto aponta para a necessidade de retomar conteúdos de
anos anteriores, como a transformação de unidades, reforçando o caráter do
aprendizado paulatino e constantemente retomado como fator necessário para a
interiorização de certos pontos curriculares, como este.
A partir deste primeiro contato com os objetos trazidos de casa pelos alunos,
exploramos um quebra-cabeça tridimensional. O quebra-cabeça, usado em uma das
atividades constitui-se de um material manipulativo com peças de madeira em
formato de prismas e cubos, foram comprados 15 jogos com verba da APMF do
colégio.
Os alunos trabalharam em grupo nos primeiros momentos, manipularam o
jogo e depois de algum tempo, a atividade passou a se direcionada pelo professor.
Eles tiraram as medidas e calcularam área das figuras planas laterais
observadas nas peças. Foi uma atividade considerada difícil pelos alunos, já que a
montagem final do quebra cabeça tridimensional exigia grande percepção espacial.
FIGURA 3
FIGURA 4
FIGURAS 3 e 4: Alunos montando o quebra-cabeça com paralelepípedos e cubos.
Fonte: Acervo pessoal.
Para que os alunos conseguissem montar todo o quebra-cabeça, foi
confeccionado um quebra-cabeça tendo como modelo uma das faces do cubo,
usando figuras planas que se posicionavam na primeira etapa da montagem.
Também foram fornecidas algumas ‘dicas’ de montagem, como o fato de que os
cubos menores constituiriam, ao final da montagem, a diagonal principal do cubo
obtido. Com essas informações, os alunos realizaram a montagem final do cubo.
FIGURA 5: Peças do quebra-cabeça com figuras planas.
Fonte: Acervo pessoal.
FIGURA 6: Cálculo dos alunos das figuras planas.
Fonte: Acervo pessoal.
Outra atividade realizada foi denominada “Caixas”. Para o início desta
atividade, os alunos trouxeram uma folha de papel cartão onde confeccionaram uma
caixa maior com tampa, que foi usada para guardar os papeis, trabalhos e módulos
das outras atividades.
As construções das caixas menores, uma de base quadrada e outra de base
retangular, utilizaram como ponto de partida papeis no formato quadrado com 15 cm
de lado. Os alunos seguiram o passo a passo das etapas por meio da TV pendrive,
cada fase foi apresentada por meio de uma fotografia, indicando o passo da
atividade e a dobradura que deveria ser feita, além das instruções orais fornecidas
pela professora, à medida em que se construíam as caixas.
FIGURA 7: Exemplos de passos para confecção de caixas Fonte: Arquivo pessoal
Com a construção de dois tamanhos diferentes de caixas, foi possível
comparar as medidas e cálculos encontrados pelos alunos, uma vez que ambas
foram confeccionadas com o mesmo tamanho e formato de papel. Os estudantes
calcularam a área da base, área lateral e área total das caixas confeccionadas e
também o volume de areia que seria necessário para encher cada caixa.
FIGURA 8: Confecção de uma caixa de base
quadrada.
FIGURA 9: Caixas confeccionadas pelos alunos.
Fonte: Acervo pessoal
Após a construção das caixas, procedeu-se ao feitio de poliedros, montados
por meio de módulos previamente confeccionados.
Para a construção do tetraedro, cubo e outros poliedros, foram usados
papeis de formato quadrado, com tamanho com 15 cm de lado. Os alunos seguiram
o passo a passo das dobras por meio da TV pendrive. Novamente, cada fase foi
apresentada por meio de uma fotografia, indicando o passo da atividade e a
dobradura que deveria ser feita, além das instruções orais fornecidas pela
professora, à medida em que construíam os módulos necessários para obtenção do
poliedro final.
Na construção do tetraedro foram necessários dois papeis de formato
quadrado. Após dobrar o papel, este foi desdobrado. Os alunos observaram nas
dobras marcadas a formação de triângulos. Isto permitiu classificar os triângulos
quanto aos ângulos e quanto aos lados. Observou-se também, nas dobras feitas
durante a confecção, retas paralelas e transversais, podendo os alunos classificar os
ângulos formados entre as retas.
FIGURA 10: Retas formadas com as dobras.
FIGURA 11: Módulos do tetraedro.
Fonte: Acervo pessoal
Ao término da montagem, os alunos puderam medir e calcular a área do
triangulo equilátero formado na face do tetraedro e calcular a área total da superfície
desse poliedro. Uma aluna, ao medir a aresta da base, perguntou se podia
“arredondar” a medida para facilitar o cálculo, estabelecendo uma relação
importante: nas aplicações práticas quase sempre as medidas são aproximadas.
Para a formação do cubo foram usados seis módulos diferentes (papéis).
Após a montagem os alunos fizeram os registros da atividade com o direcionamento
da professora. Observaram-se retas paralelas, diagonal do quadrado, número de
faces, número de vértices e, posteriormente, foi calculado área da superfície de uma
face, área da superfície total e volume do cubo.
FIGURA 12: Módulos confeccionados para
montagem do cubo.
FIGURA 13: Cubo confeccionado por um aluno.
Fonte: Acervo pessoal
Quais os tipos de retas foram identificadas nos passos da dobradura,
reconhecer a diagonal do quadrado, calcular área da face, área da superfície total do
poliedro e calcular o volume do cubo.
FIGURA 14: Registro de cálculos e observações da atividade.
Fonte: Acervo pessoal.
Finalmente, escolhemos também para apresentar aqui a atividade
‘Caleidoscópio’. Nesta, os alunos primeiramente fizeram uma pesquisa de preço dos
materiais (espelhos e plástico) que seriam utilizados na confecção do caleidoscópio.
A representante da sala calculou o valor que coube a cada aluno e ficou responsável
pela arrecadação do dinheiro. Esta dinâmica permitiu um trabalho grupal de
independência e autonomia, com responsabilidade para os próprios estudantes. Os
materiais foram comprados e distribuídos, alguns outros materiais utilizados na
confecção foram providenciados individualmente.
Na construção do caleidoscópio, foram utilizados três espelhos, plástico
transparente, fita adesiva e materiais coloridos trazidos pelos alunos, como
miçangas, canutilhos, botões. A atividade foi realizada em duplas, pois a construção
do caleidoscópio é de difícil execução para uma pessoa sozinha.
Ao final da construção, os alunos calcularam e registraram a área da face,
área da superfície lateral, área da superfície total e volume do prisma formado.
FIGURA 15: Materiais para confecção do
caleidoscópio.
FIGURA 16: Vista interna de um caleidoscópio.
Fonte: Acervo pessoal.
4. Considerações Finais
Conforme este pesquisa mostrou, o ensino da geometria estava se tornando
desgostoso para os estudantes, já que os professores raramente utilizam qualquer
tipo de recurso para tornar a aprendizagem mais prazerosa. Dessa forma, os
estudantes não têm motivação alguma para que a aprendizagem da matemática e,
em particular, da geometria.
A adoção de uma prática pedagógica diferenciada contribuiu para que o
estudante tivesse uma identificação mais significativa com a disciplina, visualizando
que a geometria não é “difícil” quando apresentada de uma forma dinâmica,
envolvendo o aluno nas atividades de sala de aula para que possa ser assimilada
significativamente.
Pode-se perceber que o uso de materiais manipuláveis provoca o interesse
e exercita a concentração, dando prioridades significativas a esse tipo de
metodologia, pois ela envolve o lúdico, a manipulação de objeto concreto, facilitando
a visualização.
Ao trabalhar com as dobraduras, os alunos vão fazendo a “Distinção, em
contextos variados, de figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo
algumas de suas características, estabelecendo relações entre elas e utilizando
nomenclaturas próprias” (BRASIL, 1998, p.72).
Muitos dos alunos adquiriram as noções precisas e definições de polígono e
poliedro, outros ainda apresentaram dificuldade para diferenciar os objetos em duas
e três dimensões, exemplificando corretamente a distinção entre um e outro.
O material manipulável proporcionou uma aula em que todos os alunos foram
envolvidos pelas atividades, com diferentes ritmos de produção. Alguns
apresentaram dificuldades na execução das dobras dos origamis, mas tiveram
auxílio dos alunos monitores, de outros colegas e da professora.
Os trabalhos realizados pelos alunos possibilitaram a integração entre os
conceitos geométricos e a prática e manipulação do objeto em estudo, possibilitando
ao estudante uma conduta ativa no desenvolvimento das atividades propostas pelo
professor.
As discussões surgidas e o comportamento dos participantes da pesquisa
demonstram que o uso de técnicas de dobraduras como instrumento pedagógico é
bem sucedido no que diz respeito ao ensino de Geometria.
O trabalho com o Origami fez com que os alunos mostrassem-se mais
interessados e participativos do que outros que não foram privilegiados com esse
recurso. Como professora, também me senti motivada com o uso desse recurso e
participei ativamente de todas as atividades, observar o interesse dos estudantes
constitui um incentivo para o professor.
Na realização de cada etapa das atividades, notou-se que os estudantes
interagiram cada vez mais, a partir do uso do Origami na Geometria, colaborando
entre si. Sempre notavam algum conceito geométrico nas figuras que estavam
construindo. Logo, percebe-se a importância do uso do Origami como recurso, não
só pela aprendizagem adquirida sobre os conceitos geométricos, mas também para
a socialização, criatividade, concentração dos estudantes.
O trabalho com dobraduras estimula habilidades, ressaltando que o Origami
serve como um exemplo de recurso metodológico que é de fácil acesso, baixo custo
e grande efeito.
Em última análise, cumpre dizer que atividades que envolvem dobraduras
favorecem o aumento do conhecimento dos elementos geométricos, cabendo ao
professor mediar a aquisição e a construção de novos conhecimentos, além de
estimular a participação, criatividade e motivação, tornando as aulas mais
prazerosas e produtivas.
Os resultados obtidos, tendo como base as diretrizes curriculares atuais,
enfatizam que a matemática escolar deve permitir que os estudantes não só
adquiram uma ampla compreensão racional e conceitual, como também
desenvolvam a habilidade própria para o pensamento matemático, fornecendo
experiências que os encorajem e que lhes permitam solucionar problemas,
comunicarem-se e desenvolverem diferentes maneiras de raciocinar
matematicamente.
Entende-se que o trabalho não se esgota com esta pesquisa, do qual é o
início de outros estudos para aqueles que se interessam por uma educação de
qualidade.
5. Referências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE DIFUSÃO DO ORIGAMI. A História do Origami. Associação Brasileira de Difusão do Origami, 2005. Disponível em <http://www.abdo.kit.net/abdo/historia.html>. Acesso em: 29 jul. 2013. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática/Secretaria da Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF,1997.
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática/Secretaria da Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF,1998.
GENOVA, C. Origami, contos e encantos. São Paulo: Escrituras Editora, 2008. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede
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PASSOS, Carmen Lucia Brancaglion. Materiais Manipuláveis como recursos
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de Matemática na Formação de Professores. Sérgio Lorenzato (org). 3ª edição.
Campinas; Autores Associados, 2010.
PONTE, João da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações
Matemáticas na Sala de Aula. Coleção Tendências em Educação Matemática. Belo
Horizonte: Autentica, 2009.
RÊGO, Rogéria Gaudêncio do; RÊGO, Rômulo Marinho; GAUDÊNCIO, Severino
Júnior. A Geometria do Origami. João Pessoa, PA: Editora Universitária/ UFPB, 2003. SHENG, Lee Yun. PONCE, Vanessa. FENG, Lee. PIGIANI, André. Utilização da Arte
do Origami no Ensino de Geometria; 2005. Acesso em 23 de junho de 2012.
Disponível em:<http://www.ime.unicamp.br/erpm2005/anais/c3.pdf.
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