A TERRA ESFÉRICA
Profª. Érica S. Matos
Departamento de Geomática
Setor de Ciências da Terra
Universidade Federal do Paraná -UFPR
Parte II – Trigonometria Esférica, Ortodrômica e Loxodrômica
GA116 – Sistemas de Referência e Tempo
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
Triângulos esféricos compostos por 3 arcos de circunferência máxima.
ângulos (diedros) መ𝐴, 𝐵, መ𝐶e lados 𝑎, 𝑏, 𝑐
▼
medidas angulares
መ𝐶
መ𝐴
𝐵
𝑎
𝑏
𝑐
Características
✓ Todos os lados são menores que 180°
(triângulo euleriano)
✓ A soma dos ângulos internos
180° < መ𝐴 + 𝐵 + መ𝐶 < 540°
✓ Excesso esférico
𝜀 = መ𝐴 + 𝐵 + መ𝐶 − 180°
✓ Área do triângulo esférico
𝐴Δ = 𝜀 𝑟𝑎𝑑 . 𝑅2
O que “sobra” do
180° do 𝚫 plano
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
Resolução de um triângulo esférico
Principais formulas
LEI DOS SENOS2 lados e 2 ângulos opostos
sen 𝑎
sen መ𝐴=𝑠𝑒𝑛 𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=𝑠𝑒𝑛 𝑐
𝑠𝑒𝑛 መ𝐶
መ𝐶
መ𝐴
𝐵
𝑎
𝑏
𝑐
Resolução de um triângulo esférico
Principais formulas
LEI DOS COSSENOSAplicada aos lados do triângulo esférico
3 lados e 1 ângulo
cos 𝑎 = cos 𝑏 . cos 𝑐 + sen 𝑏 . sen 𝑐 . cos መ𝐴cos 𝑏 = cos 𝑎 . cos 𝑐 + sen 𝑎 . sen 𝑐 . cos 𝐵cos 𝑐 = cos 𝑎 . cos 𝑏 + sen 𝑎 . sen 𝑏 . cos መ𝐶
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
መ𝐶
መ𝐴
𝐵
𝑎
𝑏
𝑐
Calcule o lado c do seguinte
triângulo esférico
𝑎 = 78°12′52"𝑏 = 50° 31′18"መ𝐶 = 81°48′40"
cos 𝑐 = cos 𝑎 . cos 𝑏 + sen 𝑎 . sen 𝑏 . cos መ𝐶
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
መ𝐶
መ𝐴
𝐵
𝑎
𝑏
𝑐
SOLUÇÃO
𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (cos 𝑎 . cos 𝑏 + sen𝑎 . sen 𝑏 . cos መ𝐶)𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (0,237483339)
𝒄 = 𝟕𝟔°𝟏𝟓′𝟒𝟑"
መ𝐶
መ𝐴
𝐵
𝑎
𝑏
𝑐
Resolução de um triângulo esférico
Principais formulas
FÓRMULA DAS COTANGENTES2 lados e 2 ângulos não opostos
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
sen 𝑎 . cotg 𝑐 = sen 𝐵 . cotg መ𝐶 + cos 𝑎 . cos 𝐵sen 𝑎 . cotg 𝑏 = sen መ𝐶 . cotg 𝐵 + cos 𝑎 . cos መ𝐶
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
sen 𝑏 . cotg 𝑎 = sen መ𝐶 . cotg መ𝐴 + cos 𝑏 . cos መ𝐶sen 𝑏 . cotg 𝑐 = sen መ𝐴 . cotg መ𝐶 + cos 𝑏 . cos መ𝐴
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
sen 𝑐 . cotg 𝑎 = sen 𝐵 . cotg መ𝐴 + cos 𝑐 . cos 𝐵sen 𝑐 . cotg 𝑏 = sen መ𝐴 . cotg 𝐵 + cos 𝑐 . cos መ𝐴
መ𝐶
መ𝐴
𝐵
𝑎
𝑏
𝑐COMPLEMENTOS
𝜷 = 𝟗𝟎° − 𝜶
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
cos 90° − α = sen αsen 90° − α = cos αtg 90° − α = cotg(α)
-----------------------------------------
cotg 90° − α = tg(α)sec 90° − α = cossec αcossec 90° − α = sec α
Tráfego aéreo – 24 horas
https://www.youtube.com/watch?v=LrxalYXXBfI
Tráfego marítimo – 30 dias
https://www.youtube.com/watch?v=Vb-uniqYd7Q
LOXODRÔMICA
É a linha na superfície da Terra, faz um
ângulo constante (rumo/azimute) com
todos os meridianos. Tem o formato de
espiral
ORTODRÔMICA
Fonte: R.E. DEAKIN and
M.N. HUNTER,2010
É a menor distância entre dois pontos na esfera.
Possui rumo/azimute variável.
É um arco de círculo máximo.
Los Angeles
(LAX)
Londres
(LHR)
Rota Distância (km)
Ortodrômica (Great Circle) 8755,7
Loxodrômica (Rhumb Line) 9727,5
https://blogs.esri.com/esri/arcgis/2012/03/05/mercators-500th-birthday/
PROJEÇÃO DE MERCATOR
Representação
• Ortodrômica (Great Circle Route) curva
• Loxôdromica (Rhumb Line) reta
https://blogs.esri.com/esri/arcgis/2012/03/05/mercators-500th-birthday/
PROJEÇÃO GNOMÔMICA
Representação
• Ortodrômica (Great Circle Route) reta
CURITIBA
𝝋 = 𝟐𝟓°𝟐𝟔′𝑺𝝀 = 𝟒𝟗°𝟏𝟔′𝑾
http://www.voacap.com/11m/index.html
~12.153 km
MOSCOU
𝝋 = 𝟓𝟓°𝟒𝟓′𝑵𝝀 = 𝟑𝟕°𝟑𝟕′𝑬
A
17942
CURITIBA
𝝋 = 𝟐𝟓°𝟐𝟔′𝑺𝝀 = 𝟒𝟗°𝟏𝟔′𝑾
PEQUIM
𝝋 = 𝟑𝟗°𝟓𝟒′𝑵𝝀 = 𝟏𝟏𝟔°𝟐𝟒′𝑬
~17.942 km
http://www.voacap.com/11m/index.html
http://www.voacap.com/11m/index.html
MIAMI
𝝋 = 𝟐𝟓°𝟒𝟕′𝐍𝝀 = 𝟖𝟎°𝟏𝟑′𝑾
TÓQUIO
𝝋 = 𝟑𝟓°𝟒𝟏′𝑵𝝀 = 𝟏𝟑𝟗°𝟒𝟐′𝑬
~12.007 km
Distância esférica (𝒅𝑨𝑩)
Distância esférica é a distância entre dois pontos A e B, na
superfície da esfera, considerando a medida sobre um
arco de circunferência máxima.
ORTODRÔMICA
2 soluções possíveis
▼
é a menor distância
entre dois pontos na
superfície esférica
Ou seja 𝒅𝑨𝑩 ≤ 𝟏𝟖𝟎°
𝜑𝐴
𝜑𝐵𝒅𝑨𝑩
𝜆𝐴𝜆𝐵
A
G’
G
Q’Q
PN
PS
O
Δ𝜆
B
Distância esférica
(𝒅𝑨𝑩)
𝟗𝟎° − 𝝋𝑨
𝜑𝐵𝜆𝐴
𝜆𝐵
A
G’
G
Q’Q
PN
PS
O
Δ𝜆
B
Δ𝜆
𝜑𝐴
𝟗𝟎° − 𝝋𝑩
lei dos cossenos
𝒅𝑨𝑩
Distância esférica
(𝒅𝑨𝑩)
lei dos cossenos
𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝜑𝐴) . 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝜑𝐵) + 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝜑𝐴) . 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝜑𝐵) . 𝑐𝑜𝑠 Δ𝜆
Então:
Onde
𝑑 é um comprimento expresso
em arco de circunferência
Δ𝜆 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴
E para expressar na forma linear:
𝐷𝐴𝐵 = 𝑅 ∙ 𝑑𝐴𝐵
Com
𝑅 = 6372,000 𝑘𝑚𝑑𝐴𝐵 expressa em radianos
𝒄𝒐𝒔𝒅𝑨𝑩 = 𝐬𝐞𝐧(𝝋𝑨) . 𝐬𝐞𝐧(𝝋𝑩) + 𝐜𝐨𝐬(𝝋𝑨) . 𝐜𝐨𝐬(𝝋𝑩) . 𝐜𝐨𝐬𝜟𝝀
Distância esférica (𝒅𝑨𝑩)
𝒅𝑨𝑩 ≤ 𝟏𝟖𝟎°
Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩) de uma ortodrômica
Ângulo diedro formado entre o meridiano e a ortodrômica
no ponto considerado.
É contado a partir do ponto cardeal norte, no sentido
horário e varia de 0° a 360°.
ORTODRÔMICA
É a menor distância, mas de azimute variável (não constante)
Azimute constante LOXODRÔMICA
𝜑𝐴
𝜑𝐵𝒅𝑨𝑩
𝜆𝐴𝜆𝐵
A
G’
G
Q’Q
PN
PS
O
Δ𝜆
B
𝑨𝒛𝑨𝑩
Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩)
de uma ortodrômica
𝟗𝟎° − 𝝋𝑨
𝜑𝐵𝜆𝐴
𝜆𝐵
A
G’
G
Q’Q
PN
PS
O
Δ𝜆
B
Δ𝜆
𝜑𝐴
𝟗𝟎° − 𝝋𝑩
𝒅𝑨𝑩
𝑨𝒛𝑨𝑩
cotangentes
Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩)
de uma ortodrômica
Onde
Δ𝜆 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴
𝑨𝒛𝑨𝑩 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠𝐬𝐞𝐧𝜟𝝀
𝐜𝐨𝐬 𝝋𝑨 . 𝐭𝐠 𝝋𝑩 − 𝐬𝐞𝐧 𝝋𝑨 . 𝐜𝐨𝐬𝜟𝝀
Azimute esférico (𝑨𝒛𝑨𝑩) de uma ortodrômica
Análise de sinal do numeradores edenominador(definição de quadrantes)
𝑨𝒛𝑨𝑩
cotangentes
EXERCÍCIO
Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372,0 km, calcule o comprimento
da ortodrômica e o azimute inicial para navegar do ponto A (São Paulo) até o
ponto B (Cidade do Cabo). As coordenadas de ambos os pontos são
fornecidas.
Cidade do Cabo (B)
φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸
São Paulo (A)
φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W
𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆
cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos𝛥𝜆
𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos𝛥𝜆
𝒅𝑨𝑩
𝑨𝒛𝑨𝑩
DICA ARMAZENANDO VALORES NA MEMÓRIA DA CALCULADORA
1. Digite o valor a ser armazenado
2. SHIFT STO A
“variável em rosa”
3. Para usar o valor armazenado em A numa
fórmula, basta digitar ALPHA A
O valor da tela é o
seno de 23°35’39”
DICA LIMPANDO OS VALORES NA MEMÓRIA DA CALCULADORA
1ª opção: Armazenar um novo valor para a
variável
2ª opção: limpar a memória
SHIFTCLRALL(3)
A função CLR, em muitas calculadoras,
está posicionada junto ao botão MODE
(1ª linha embaixo da tela)
Atenção: Variações entre modelos de
calculadoras podem ocorrer! É bom verificar
como funciona a sua...
EXERCÍCIO
Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372,0 km, calcule o comprimento
da ortodrômica e o azimute inicial para navegar do ponto A (São Paulo) até o
ponto B (Cidade do Cabo). As coordenadas de ambos os pontos são
fornecidas.
Cidade do Cabo (B)
φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸
São Paulo (A)
φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W
𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆𝐴𝐵
cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos 𝛥𝜆𝐴𝐵
𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos 𝛥𝜆𝐴𝐵
𝒅𝑨𝑩
𝑨𝒛𝑨𝑩
𝑅 = 6372,0 𝑘𝑚
Δ𝜆𝐴𝐵 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 = 18°34′11" − (−46°32′01")Δ𝜆𝐴𝐵 = 65°06′12“
Sejam os valores parciaissen 𝜑𝐴 = −0,400344589
sen 𝜑𝐵 = −0,561269116cos(𝜑𝐴) = 0,91636467
cos 𝜑𝐵 = 0,82763336cos 𝛥𝜆𝐴𝐵 = 0,420983043
Que podem ser inseridos na fórmula:
𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos𝛥𝜆𝐴𝐵cos 𝑑𝐴𝐵 =0,543980475 → 𝑑𝐴𝐵 = arccos(0,543980475)
𝑑𝐴𝐵 = 57° 02′41,93"
Convertendo para medida linear:
𝐷𝐴𝐵 = 𝑅. 𝑑𝐴𝐵.𝜋
180°= 57° 02′41,93". 6372.
𝜋
180°
𝑫𝑨𝑩 = 𝟔𝟑𝟒𝟒, 𝟏 𝐤𝐦
Cidade do Cabo (B)
φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸
São Paulo (A)
φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W
SOLUÇÃO
comprimento da ortodrômica
𝑅 = 6372,0 𝑘𝑚
Δ𝜆𝐴𝐵 = 𝜆𝐵 − 𝜆𝐴 = 18°34′11" − (−46°32′01")Δ𝜆𝐴𝐵 = 65°06′12“
Sejam os valores parciaissen 𝜑𝐴 = −0,400344589
cos 𝜑𝐴 = 0,91636467
𝑡𝑔 𝜑𝐵 = −0,678161542𝑠𝑒𝑛 Δ𝜆𝐴𝐵 = 0,907068507cos 𝛥𝜆𝐴𝐵 = 0,420983043
Que podem ser inseridos na fórmula:
𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆𝐴𝐵
cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos 𝛥𝜆𝐴𝐵
𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctg −2,002778767 analisando sinais 2º Q
𝐴𝑧𝐴𝐵 = 180° − 63°28′00"Az𝐴𝐵 = 116°32′00"
Cidade do Cabo (B)
φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸
São Paulo (A)
φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W
SOLUÇÃO
+
-
Azimute inicial AB
EXERCÍCIO
E o azimute inicial da ortodrômica, para sair do ponto B e navegar em direção
ao ponto A?
Cidade do Cabo (B)
φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸
São Paulo (A)
φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W
𝐴𝑧𝐴𝐵 = arctgsen 𝛥𝜆
cos 𝜑𝐴 . tg 𝜑𝐵 − sen 𝜑𝐴 . cos 𝛥𝜆
𝑐𝑜𝑠 𝑑𝐴𝐵 = sen(𝜑𝐴) . sen(𝜑𝐵) + cos(𝜑𝐴) . cos(𝜑𝐵) . cos𝛥𝜆
𝒅𝑨𝑩
𝑨𝒛𝑩𝑨
inverter AB e BA
𝑅 = 6372,0 𝑘𝑚
Δ𝜆𝐵𝐴 = 𝜆𝐴 − 𝜆𝐵 = −46°32′01" − 18°34′11“Δ𝜆𝐵𝐴 = −65°06′12“
Sejam os valores parciaissen 𝜑𝐵 = −0,561269116
cos 𝜑𝐵 = 0,82763336
𝑡𝑔 𝜑𝐴 = −0,436883484𝑠𝑒𝑛 Δ𝜆𝐵𝐴 = −0,907068507cos 𝛥𝜆𝐵𝐴 = 0,420983043
Que podem ser inseridos na fórmula:
𝐴𝑧𝐵𝐴 = arctgsen𝛥𝜆𝐵𝐴
cos 𝜑𝐵 . tg 𝜑𝐴 − sen 𝜑𝐵 . cos 𝛥𝜆𝐵𝐴
𝐴𝑧𝐵𝐴 = arctg +7,239488041 analisando sinais 3º Q
𝐴𝑧𝐵𝐴 = 180° + 82°08′08"Az𝐵𝐴 = 262°08′08"
Cidade do Cabo (B)
φ = 34°08′37" Sλ = 18°34′11" 𝐸
São Paulo (A)
φ = 23°35′59" Sλ = 46°32′01"W
SOLUÇÃO
-
Azimute inicial BA
-
NAVEGAÇÃO ENTRE PONTOS
DERROTA MISTA: aproximar a rota à ortodrômica (menor caminho),
por um conjunto de loxodrômicas (azimute constante).
Cálculo das coordenadas do ponto de rota (waypoint)
Para calcular as coordenadas do ponto W (1° ponto de rota) saindo de
A, a uma distância d (arco de circunferência):
𝑠𝑒𝑛 𝜑𝑊 = sen 𝜑𝐴 . cos 𝑑 + cos(𝜑𝐴) . 𝑠𝑒𝑛 𝑑 . cos(𝐴𝐴𝐵)
tg Δ𝜆 =sen(𝐴𝐴𝐵)
cos 𝜑𝐴 . cotg 𝑑 − sen 𝜑𝐴 . cos(𝐴𝐴𝐵)
𝜆𝑊 = 𝜆𝐴 + Δ𝜆 1 m.n. = 1’ = 0°01’
A
B
𝑨𝒛𝑨𝑩𝑨𝒛𝑨𝑩
A
WW
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