Rio de Janeiro, 2013
Exerccios de Clculo
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 1 03/06/2013 16:59:46
iiiO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Sumrio
Introduo ix
Captulo 1: Equaes Lineares e Desigualdades 1
Geometria Linear .....................................................................................................................2
Desigualdades Lineares e Representaes de Intervalos ...................................................................6
Equaes e Desigualdades de Mdulo ..........................................................................................9
Sistemas de Equaes e Desigualdades ....................................................................................... 12
Captulo 2: Polinmios 17
Expresses Exponenciais e Radicais ........................................................................................... 18
Operaes com Expresses Polinomiais ....................................................................................... 20
Fatorando Polinmios ............................................................................................................. 24
Resolvendo Equaes Quadrticas ............................................................................................ 26
Captulo 3: Expresses Racionais 29
Adicionando e Subtraindo Expresses Racionais ......................................................................... 30
Multiplicando e Dividindo Expresses Racionais ........................................................................ 32
Resolvendo Equaes Racionais ................................................................................................ 35
Desigualdades Polinomiais e Racionais ..................................................................................... 38
Captulo 4: Funes 45
Combinando Funes .............................................................................................................. 46
Elaborando o Grfico de Transformaes de Funo .................................................................... 49
Funes Inversas .................................................................................................................... 54
Assntotas de Funes Racionais ............................................................................................... 57
Problemas com x elevado primeira potncia
Criando, fazendo o grfico e medindo retas e segmentos de reta
Adeus, sinal de igualdade. Ol, parnteses e colchetes
Resolva dois pelo preo de um
Encontre uma soluo comum compartilhada entre mltiplas equaes ou desigualdades
Porque no d para ter expoentes de 1 para sempre
Potncias e razes quadradasComo +, , x e polinmios
Reverta o processo de multiplicaoEquaes com expoente mais alto 2
Fraes, fraes e mais fraes
Lembra do mnimo denominador comum?
Multiplicar = fcil, dividir = quase to fcilAqui entra a regra de trs simples
Nmeros crticos dividem sua reta numrica
Agora voc vai comear a ver f(x) em todo lugar
Faa o (+, , x, ) normal ou insira-os um no outro
Extenses, compresses, reflexes e deslizamentos
Funes que cancelam outras funes
Equaes da intocvel linha tracejada
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Sumrio
iv O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Captulo 5: Funes Logartmicas e Exponenciais 61
Explorando as Funes Exponenciais e Logartmicas ................................................................... 62
Funes Exponenciais e Logartmicas Naturais ........................................................................... 66
Propriedades dos Logaritmos .................................................................................................... 67
Resolvendo Equaes Exponenciais e Logartmicas ...................................................................... 70
Captulo 6: Sees Cnicas 73
Parbolas .............................................................................................................................. 74
Crculos ................................................................................................................................ 80
Elipses .................................................................................................................................. 83
Hiprboles ............................................................................................................................. 89
Captulo 7: Fundamentos da Trigonometria 95
Medindo ngulos ................................................................................................................... 96
Relaes entre ngulos ............................................................................................................ 97
Avaliando Funes Trigonomtricas .......................................................................................... 99
Funes Trigonomtricas Inversas ........................................................................................... 106
Captulo 8: Grficos, Identidades e Equaes Trigonomtricos 109
Desenhando o Grfico de Transformaes Trigonomtricas .......................................................... 110
Aplicando Identidades Trigonomtricas ................................................................................... 114
Resolvendo Equaes Trigonomtricas ...................................................................................... 119
Captulo 9: Investigando Limites 127
Avaliando Limites de Um Lado e Gerais Graficamente .............................................................. 128
Limites e Infinito .................................................................................................................. 133
Definio Formal de Limite .................................................................................................... 138
Captulo 10: Avaliando Limites 141
Mtodo da Substituio ......................................................................................................... 142
Mtodo de Fatorao ............................................................................................................. 145
Mtodo do Conjugado ........................................................................................................... 150
Teoremas de Limite Especiais .................................................................................................. 153
Funes como log3 x, ln x, 4x e ex
Domine todas essas potncias
Bases no escritas, bases de e e frmula da mudana de base
Expandindo e simplicando expresses de log
Expoentes e logs se cancelam
Parbolas, crculos, elipses e hiprboles
Grficos de equaes quadrticas
Centro + raio = formas redondas e problemas fceisUma palavra rebuscada para ovais
Coisas que parecem com duas parbolas
Adicione seno, cosseno e tangente mistura
Radianos, graus e revolues
ngulos coterminais, complementares e suplementares
Trigonometria e ngulos de referncia do tringulo retnguloInsira um nmero e obtenha um ngulo para variar
Provas de Equaes e identidade trigonomtricas
Expanso e deslocamento de grficos de onda
Simplifique expresses e prove identidades
Resolva para em vez de x
Qual altura a funo PRETENDE alcanar?
Encontre limites em um grfico de funo
O que acontece quando x ou f(x) fica enorme?
Problemas com psilon-delta no so divertidos
Calculando limites sem um grfico da funo
To fcil quanto inserir um valor para x
A primeira coisa que voc deve tentar se a substituio no funcionarPara lidar com radicais problemticos
Frmulas de limite que voc deve memorizar
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Sumrio
vO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Captulo 11: Continuidade e o Coeficiente Diferencial 155
Continuidade ...................................................................................................................... 156
Tipos de Descontinuidade ...................................................................................................... 157
O Coeficiente Diferencial ........................................................................................................ 166
Diferenciao ....................................................................................................................... 170
Captulo 12: Mtodos Bsicos de Diferenciao 173
Derivadas Trigonomtricas, Logartmicas e Exponenciais ........................................................... 174
A Regra da Potncia ............................................................................................................. 176
As Regras do Produto e do Quociente ....................................................................................... 179
A Regra da Cadeia ............................................................................................................... 183
Captulo 13: Grficos de Funo e Derivadas 191
Nmeros Crticos .................................................................................................................. 192
Sinais da Primeira Derivada .................................................................................................. 195
Sinais da Segunda Derivada.................................................................................................. 201
Grficos de Funo e Derivada ............................................................................................... 206
Captulo 14: Aplicaes Bsicas da Diferenciao 209
Equaes de Tangentes .......................................................................................................... 210
O Teorema de Valor Extremo ................................................................................................... 215
Mtodo de Newton ................................................................................................................ 218
Regra de LHpital ............................................................................................................... 222
Captulo 15: Aplicaes Avanadas da Diferenciao 227
Os Teoremas do Valor Mdio e de Rolle .................................................................................... 228
Movimento Retilneo ............................................................................................................. 233
Taxas Relacionadas .............................................................................................................. 237
Otimizao .......................................................................................................................... 244
Captulo 16: Tcnicas de Diferenciao Adicionais 251
Diferenciao Implcita.......................................................................................................... 252
Diferenciao Logartmica ..................................................................................................... 259
Diferenciando Funes Trigonomtricas Inversas ....................................................................... 264
Diferenciando Funes Inversas .............................................................................................. 266
Grficos indivisveis e uma prvia das derivadas
Limite existente + funo definida = continuidade
Buracos vs. quebras, removvel vs. no removvel
O caminho mais longo para encontrar a derivadaQuando existe uma derivada?
Os quatro pesos pesados para encontrar derivadas
Memorize frmulas especficas para essas funes
Um atalho para diferenciar xn
Diferencie funes que so multiplicadas ou divididas
Diferencie funes que so inseridas em funes
O que os sinais das derivadas dizem sobre os grficos
Nmeros que separam grficos ondulados
Use grficos ondulados para determinar a direo da funo
Pontos de inflexo e concavidade
Como os grficos de f, f e f se relacionam?
Coloque suas habilidades com derivadas em uso
Ponto de tangncia + derivada = equao da tangente
Toda funo tem seus altos e baixosAproxime os zeros de uma funo
Encontre limites que costumavam ser impossveis
Usos complicados, mas interessantes, das derivadas
Inclinaes mdias = inclinaes imediatas
Funes de posio, velocidade e acelerao
Descubra a rapidez com que as variveis mudam em uma funoEncontre os maiores ou menores valores de uma funo
Ainda mais maneiras de diferenciar
Essencial quando voc no consegue resolver uma funo para encontrar y
Use as propriedades de log para tornar as derivadas complicadas mais fceisPorque a derivada de tg1 x no sec2 x
Sem nem saber o que elas so!
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Sumrio
vi O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Captulo 17: Aproximando reas 273
Somas Informais de Riemann ................................................................................................. 274
Regra dos Trapzios .............................................................................................................. 285
Regra de Simpson ................................................................................................................. 293
Somas Formais de Riemann ................................................................................................... 295
Captulo 18: Integrao 301
Regra da Potncia para Integrao ......................................................................................... 302
Integrando Funes Trigonomtricas e Exponenciais .................................................................. 305
O Teorema Fundamental de Clculo ....................................................................................... 307
Substituio de Variveis ....................................................................................................... 317
Captulo 19: Aplicaes do Teorema Fundamental 323
Calculando a rea entre duas curvas ...................................................................................... 324
O Teorema do Valor Mdio para Integrao .............................................................................. 330
Funes de Acumulao e Mudana Acumulada ...................................................................... 338
Captulo 20: Integrando Expresses Racionais 347
Separao............................................................................................................................ 348
Diviso Longa ..................................................................................................................... 351
Aplicando Funes Trigonomtricas Inversas ............................................................................ 354
Completamento de Quadrados ................................................................................................ 357
Fraes Parciais ................................................................................................................... 361
Captulo 21: Tcnicas de Integrao Avanadas 367
Integrao por Partes ............................................................................................................ 368
Substituio Trigonomtrica ................................................................................................... 372
Integrais Imprprias ............................................................................................................. 387
Captulo 22: Volume Rotacional e de Seo Transversal 393
Volume de um Slido com Sees Transversais Conhecidas .......................................................... 394
Mtodo do Disco ................................................................................................................... 401
Mtodo dos Anis ................................................................................................................. 410
Mtodo das Cascas ............................................................................................................... 421
Estime a rea entre uma curva e um eixo x
Somas esquerda, direita, do ponto mdio, acima e abaixo
Parecida com as somas de Riemann, mas muito mais precisa
Aproxima muito bem a rea abaixo de funes curvasVoc vai querer colocar os pingos nos is
Agora, a derivada no a resposta, a pergunta
Adicione 1 ao expoente e divida pela nova potnciaAs integrais trigonomtricas no se parecem nem um pouco com as derivadas
Integrao e rea esto profundamente relacionadas
Geralmente chamada de substituio
O que fazer com as integrais definidas
Em vez de apenas uma funo e o eixo xCrie uma rea retangular que equivalha rea abaixo de uma curva
Integrais com limites x e aplicaes da integrao na vida real
O que fazer quando h uma frao dentro da integral
Transforme uma grande e feia frao em fraes menores e menos feias
Divida antes de integrarMuito til, mas apenas em algumas circunstncias
Para quando h quadrticas embaixo e nenhuma varivel em cimaUma maneira rebuscada de separar grandes fraes
H ainda mais maneiras de encontrar integrais deve ser o seu aniversrio
como a regra do produto, mas para integrais
Usando identidades e pequenos diagramas de tringulos retngulos
Integrando apesar das assntotas e limites de integrao infinitivos
Por favor, coloque seus culos 3D agora
Corte o slido em partes e mea essas partes
Crculos so as sees transversais mais fceis possveisEncontre volumes mesmo se os slidos no forem slidos
Algo em que se apoiar quando o mtodo dos anis no funcionar
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Sumrio
viiO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Captulo 23: Aplicaes Avanadas de Integrais Definidas 427
Comprimento do Arco ............................................................................................................ 428
rea da Superfcie ................................................................................................................ 431
Centroides ........................................................................................................................... 436
Captulo 24: Equaes Paramtricas e Polares 447
Equaes Paramtricas .......................................................................................................... 448
Coordenadas Polares ............................................................................................................. 452
Desenhando o Grfico de Curvas Polares ................................................................................. 455
Aplicaes da Diferenciao Paramtrica e Polar ....................................................................... 460
Aplicaes da Integrao Paramtrica e Polar ........................................................................... 466
Captulo 25: Equaes Diferenciais 471
Separao de Variveis .......................................................................................................... 472
Crescimento e Decaimento Exponenciais ................................................................................... 477
Aproximaes Lineares .......................................................................................................... 484
Campos Direcionais .............................................................................................................. 486
Mtodo de Euler ................................................................................................................... 492
Captulo 26: Sequncias e Sries Bsicas 499
Sequncias e Convergncia ..................................................................................................... 500
Sries e Testes de Convergncia Bsicos .................................................................................... 502
Soma Telescpica e Srie de p .................................................................................................. 506
Sries Geomtricas ................................................................................................................. 509
O Teste da Integral ............................................................................................................... 510
Captulo 27: Testes Adicionais de Convergncia de Sries Infinitas 513
Teste da Comparao ............................................................................................................ 514
Teste da Comparao do Limite .............................................................................................. 516
Teste da Razo ..................................................................................................................... 519
Teste da Raiz ....................................................................................................................... 522
Teste da Srie Alternada e Convergncia Absoluta ..................................................................... 526
Mais problemas envolvendo integrais limitadas
Qual a distncia do ponto A para o ponto B em uma estrada cheia de curvas?
Mea a pele de um slido de revoluo
Encontre o centro de gravidade de uma forma em duas dimenses
Escrevendo equaes sem x e y
Assim como os revolucionrios o Porto Boston, apenas adicione tConverta de (x, y) para (r, ) e vice-versa
Fazendo grficos com r e em vez de x e y
Ensine alguns velhos truques de diferenciao a um cachorro novo
Talvez algumas integrais tambm interessem ao cachorro novo
Equaes que contm uma derivada
Separe y e dy dos x e dx
Quando a mudana de uma populao proporcional ao seu tamanho
Um grfico e sua reta tangente s vezes so bastante parecidos
Parecem-se com padres de vento em um mapa meteorolgico
Pequenos passos para encontrar a soluo da equao diferencial
O que pior que uma frao? Infinitas Fraes
As listas de nmeros sabem para onde esto indo?
Teste de divergncia de representao de sigma e do termo geral
Como lidar com essas sries fceis de serem identificadas
Elas convergem? E, caso o faam, qual a soma?Sries infinitas e integrais imprprias esto relacionados
Para usar com sries
infinitas
ainda mais feias
Provando que as sries so maiores do que grandes e menores do que pequenas
Sries que convergem ou divergem por associao
Compare termos vizinhos de uma srietil para termos dentro de sinais de radical
E se as sries tiverem termos negativos?
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Sumrio
viii O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Captulo 28: Sries Infinitas Avanadas 531
Sries de Potncia ................................................................................................................. 532
Sries de Taylor e Maclaurin .................................................................................................. 540
Apndice A: Grficos e transformaes grficas importantes para memorizar 547
Apndice B: O crculo unitrio 553
Apndice C: Identidades trigonomtricas 555
Apndice D: Frmulas de Derivadas 557
Apndice E: Frmulas de Antiderivadas 559
ndice 561
Sries que contm x
Encontrando intervalos de convergnciaSries que aproximam valores de funo
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 8 03/06/2013 16:59:47
ixO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
IntroduoVoc est tendo aulas de clculo? Sim? Ento voc PRECISA deste livro. Vou dizer o porqu:
Fato n 1: A melhor maneira de aprender clculo trabalhando com problemas de clculo.
No h como negar. Se fosse possvel entender as aulas apenas lendo o livro terico ou fazendo boas anotaes, todos seriam aprovados com louvor. Infelizmente, a dura verdade que voc precisa apertar os cintos e trabalhar os problemas at sentir seus dedos dormentes.
Fato n 2: A maioria dos livros apenas diz QUAIS so as respostas dos problemas prticos, mas no COMO chegar a elas!
claro que o seu livro pode ter 175 problemas para cada tpico apresentado, mas a maioria deles apenas traz as respostas. Isso significa que se voc no acertar a resposta, estar completamente perdido! Saber que errou no ajuda em nada se voc no souber POR QUE errou. Os livros de matemtica ficam sentados em um enorme trono, assim como o Grande e Terrvel Oz, e dizem No, tente de novo. E isso o que fazemos. Repetidas vezes. E continuamos a chegar resposta errada para o problema. Que maneira deliciosa de aprender! (No vamos nem discutir por que eles apenas dizem as respostas dos problemas pares. Isso significa que de fato o AUTOR do livro nem ao menos sentiu vontade de trabalhar os mpares?)
Fato n 3: Mesmo quando os livros de matemtica tentam mostrar os passos de um problema, eles no fazem um trabalho muito bom.
Os matemticos adoram pular passos. Voc pode estar conseguindo seguir bem uma explicao e, ento, de repente, PUF, se perde. Voc pensa consigo mesmo, Como eles fizeram isso? ou De onde veio esse 42? Ele no estava a no passo anterior!. Por que quase todos esses livros presumem que, para trabalhar um problema na pgina 200, melhor que voc conhea o que h nas pginas de 1 a 199 como a palma da sua mo? Voc no quer passar o resto da sua vida fazendo uma lio de casa! Voc s quer saber por que continua chegando a um nmero negativo ao calcular o custo mnimo para a construo de uma piscina cujo comprimento quatro vezes a soma de sua profundidade, adicionado razo pela qual a gua vaza de um trem que saiu de Chicago s 4h da manh, viajando na direo oeste mesma velocidade que o carbono se decompe.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 9 03/06/2013 16:59:47
Introduo
x O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Fato n 4: Ler listas de fatos divertido por um tempo, mas depois a piada fica velha. Vamos direto ao assunto.
Praticamente todo tipo de problema de clculo com o qual voc poderia se deparar est aqui afinal, este livro GIGANTE! Se mil problemas no forem suficientes, ento voc tem algum tipo de apetite maluco por matemtica e, meu amigo, eu procuraria ajuda profissional. Este livro de prtica era bom, mas para torn-lo TIMO, eu revisei e trabalhei todos os problemas e fiz anotaes nas margens quando achei que algo estava confuso ou precisava de um pouco mais de explicao. Tambm desenhei pequenos crnios ao lado dos problemas mais difceis, para que voc saiba que no precisa entrar em pnico se o exerccio for muito desafiador. Afinal, se voc est trabalhando em um problema e fica completamente desnorteado, no melhor saber que o problema FOI FEITO para ser difcil? reconfortante, pelo menos para mim.
Imagino que voc ter uma surpresa agradvel ao ver como as explicaes das respostas so detalhadas, e espero que ache que as minhas pequenas notas so teis ao longo do caminho. Pode me chamar de louco, mas acho que as pessoas que QUEREM aprender clculo e esto dispostas a gastar seu tempo abrindo o caminho por meio da prtica dos problemas devem, de fato, ser capazes de entender os problemas e aprender durante o percurso, mas essa s a minha opinio.
Boa sorte, e no se esquea de visitar o meu site, em www.calculus-help.com. Se tiver vontade, mande-me um e-mail com aquilo que anda pensando com seus botes. (Mas no literalmente, pois botes de verdade podem entupir os encanamentos da Internet.)
Mike Kelley
Todas as minhas
notas so feitas ao lado, como nesse caso, e indicam as partes do livro que eu estou tentando explicar.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 10 03/06/2013 16:59:47
Introduo
xiO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
DedicatriaEste livro para a minha famlia, que iria me amar e me apoiar, eu escrevendo livros de matemtica absurdamente grandes ou no. Para a minha esposa, Lisa, cujo apego sanidade permanece firme mesmo quando a minha comea a se esgotar, eu no poderia te amar mais. Ao meu valente filho pirata, Nick, de quem eu espero que continue a terminar a maioria de suas frases com macacos me mordam, mesmo quando ele no tiver mais 3 anos. E para as minhas lindas gmeas, Erin e Sara, que acabaram de dizer sua primeira palavra: sapatos. Imagino que eu vou continuar a ouvir essa palavra muito mais vezes em um futuro no muito distante.
Um agradecimento especial a Mike Sanders, que me ajudou a transformar minha ideia de um livro de matemtica cheio de marcaes em realidade, e s minhas editoras, Sue Strickland e Ginny Munroe, que trabalham bastante para evitar que eu parea bobo.
Este livro em memria a Joe, que nos deixou em 2006. Quando eu escrevi o livro O Guia Completo Para Quem No CDF Clculo Joe me disse (com um pesado sotaque de ex-caminhoneiro de Long Island) que ele seria um tiro na mosca. Com uma sinceridade que no vi igual em nenhuma pessoa que j conheci, suas simples palavras de encorajamento significavam muito para mim, como um novo autor na luta. Obrigado, Joe. Voc estava certo.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 11 03/06/2013 16:59:47
Captulo 1EQUAES LINEARES E DESIGUALDADES
Um entendimento adequado e rigoroso das equaes lineares e seus formatos padro, dos segmentos lineares e dos algoritmos associados, dos sistemas de equaes lineares mltiplas e das desigualdades lineares um pr-requisito essencial para o estudo do clculo. Embora a maioria dos alunos de clculo esteja familiarizada com os tpicos presentes neste captulo, a mera familiaridade no suficiente. Para ter xito com tpicos mais avanados dos captulos que se seguem, o domnio dessas habilidades e desses conceitos fundamentais por parte do aluno deve ser assegurado.
Problemas com x elevado primeira potncia
Pontos e retas so os conceitos geomtricos mais bsicos, por isso,
voc vai
precisar entender como eles se relacionam antes de poder avanar
para
funes mais complexas e seus grficos. Voc precisar saber como
criar
equaes de retas, desenhar o grfico de retas no plano de coorde
nadas e,
at mesmo, encontrar os comprimentos e pontos mdios de segm
entos de
reta. Voc tambm precisar saber o que fazer com expresses qu
e contm
sinais de , e . Depois que voc dominar
isso, revisar como encontrar
solues de sistemas de equaes e desigualdades (quando voc tra
balha com
mais de uma equao ou desigualdade por vez).
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 1 03/06/2013 16:59:47
Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
2 O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Geometria LinearCriando, fazendo o grfico e medindo retas e segmentos de reta
1.1 Resolva a equao: 3x (x 7) = 4x 5.
Distribua 1 nos parnteses e combine os termos semelhantes.
Subtraia 4x e 7 de ambos os lados da equao para separar a varivel e os termos constantes.
Divida ambos os lados por 2 para obter a soluo.
1.2 Calcule a inclinao, m, da reta 4x 3y = 9.
Resolva a equao para encontrar y e para reescrev-la no formato de interceptao e inclinao.
A inclinao da reta o coeficiente de
1.3 Prove que a inclinao de uma reta no formato padro, B 0
Escreva a equao no formato de interceptao de inclinao encontrando y.
O coeficiente de x a inclinao da reta: m=
O formato de interceptao e
inclinao de uma reta
y = mx + b, em que m a
inclinao da reta e b a
interceptao de y.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 2 03/06/2013 16:59:48
Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
3O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
1.4 Reescreva a equao linear no formato padro.
Distribua os termos constantes e combine os semelhantes.
Multiplique por 15 o mnimo denominador comum, para eliminar as fraes.
Separe a varivel e os termos constantes.
1.5 Escreva a equao da reta que passa pelos pontos (3, 8) e (6,2) no formato de interceptao e inclinao.
Calcule a inclinao da reta.
Substitua a inclinao na frmula de interceptao e inclinao (y = mx + b) no lugar de m, substitua x e y usando um dos pares de coordenadas e encontre b.
Substitua m e b na frmula de interceptao e inclinao.
1.6 Calcule as interceptaes de x e y em 3x 4y = 6 e use-as para fazer o grfico da reta.
Para calcular a interceptao de x, substitua 0 no lugar de y e encontre x. Da mesma forma, substitua 0 no lugar de x para calcular a interceptao de y.
A equao estar no formato padro se tiver: (1) Nenhuma frao, (2) Somente termos com
x e y do lado esquerdo, (3) Somente o termo constante do lado direito e (4) Um
coeficiente de x positivo.
Multiplique toda a equao por 1 para que o coeficiente de x seja positivo. ( um requisito do formato padro.)
Pense no ponto (3, 8) como (x1, y1) e em (6, 2) como (x2, y2), ento, x1 = 3, y1 = 8, x2 = 6 e y2 = 2.
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
4 O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Portanto, o grfico de 3x 4y = 6 corta o eixo x em (2,0) e o eixo y em como ilustra a Figura 1-1.
Figura 1-1
O grfico de 3x 4y = 6 com suas interceptaes de x e y identificadas.
1.7 Presuma que a reta p contm o ponto (3,1) e que ela seja paralela a x 4y = 1. Escreva a equao de p no formato de interceptao e inclinao.
Calcule a inclinao de x 4y = 1, usando o mtodo do Problema 1.3.
Insira esta interceptao e as coordenadas (x1,y1) = (3,1) na frmula de inclinao e ponto.
Isole y para expressar a equao no formato de interceptao de inclinao.
A frmula
de inclinao e ponto
cria uma equao com
base
na inclinao da reta,
m, e
um ponto na reta, (x1
, y1).
No insira nada no lu
gar
de x e y que no tenh
a
pequenos nmeros ao
lado.
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
5O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Nota: Os problemas 1.8 - 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD, da Figura 1-2.
1.8 De acordo com um teorema bsico da geometria euclidiana, as diagonais de um paralelogramo se interceptam nos pontos mdios. Verifique que esse teorema vlido para o paralelogramo ABCD.
Figura 1-2
Paralelogramo ABCD.
Calcule os pontos mdios de AC e BD; as diagonais interceptar-se-o nos pontos mdios se, e somente se, esses pontos mdios coincidirem.
Ponto mdio de AC: Ponto mdio de BD:
Nota: Os problemas 1.8 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD na Figura 1-2.
1.9 Prove que ABCD um losango verificando que seus lados so congruentes.
Aplique a frmula da distncia quatro vezes, uma em cada lado.
O ponto mdio de um segmento de reta com pontos terminais (x1,y1) e (x2,y2) . Em outras palavras, a coordenada de x do ponto mdio de um segmento a mdia das coordenadas de x de seus extremos. O mesmo se aplica para a coordenada de y.
A distncia entre os pontos
(x1,y1) e (x2,y2)
.
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Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades
6 O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
1.10 Prove que ABCD um losango verificando que suas diagonais so perpendiculares umas s outras.
Calcule as inclinaes das diagonais usando a frmula de inclinao do Problema 1.5.
Inclinao de AC: Inclinao de BD:
As diagonais so recprocas negativas, por isso, os segmentos de reta so perpendiculares.
Desigualdades Lineares e Representaes de IntervalosAdeus, sinal de igualdade. Ol, parnteses e colchetes.
1.11 Escreva a expresso x 4 usando a representao de intervalos.
Um intervalo definido pelos dois valores que ligam uma desigualdade, o valor inferior seguido pelo valor superior. Voc deve indicar se cada ponto terminal est includo no intervalo ou no. (Um colchete prximo a um ponto terminal significa que ele est incluso, e um parntese indica sua excluso.)
Qualquer nmero maior que ou igual a 4 torna esta afirmao verdadeira; 4 o limite mais baixo e deve ser includo. O limite maior o infinito. Portanto, x 4 representado como [4,).
1.12 Escreva a expresso x < 10 usando a representao de intervalos.
O limite superior 10 e deve ser excludo (j que 10 no menor do que 10). Qualquer nmero menor que 10 torna essa afirmao verdadeira; h valores infinitos na direo negativa, por isso, o limite inferior . Portanto, a afirmao da desigualdade escrita como (,10).
1.13 Escreva a expresso 6 x > 1 usando a representao de intervalos.
O limite inferior deve sempre preceder o limite superior, independentemente de como a expresso esteja escrita: (1,6].
1.14 Escreva a soluo para a desigualdade usando a representao de intervalos: 4x 2 > x + 13.
Separe as variveis e os termos constantes e, depois, divida pelo coeficiente de x.
As retas paralelas
tm inclinaes iguais.
As inclinaes de reta
s
perpendiculares so
recprocas umas s ou
tras e
possuem sinais opostos
.
Sempre
use parnteses ao
lado de ao rep
resentar
intervalos. Voc no p
ode
incluir algo qu
e no seja
um nmero real
, finito.
REGRA GERAL:
Use um colchete se o
smbolo da desigualdade
prximo ao nmero for
ou do contrrio, use
um parntese. Sempre
use parnteses prximos
a e .
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7O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
Escreva a soluo como uma representao de intervalos: (5,).
1.15 Escreva a soluo da desigualdade usando a representao de intervalos:
3 (2x 1) 5 10x + 19
Distribua o termo constante, combine os termos semelhantes e isole x do lado esquerdo da equao.
A diviso por um termo constante negativo altera fundamentalmente a desigualdade:
Escreva a soluo na forma de representao de intervalos:
1.16 Desenhe o grfico da desigualdade: 2 x < 3.
Reescreva a desigualdade como um intervalo: [2,3). Para desenhar o grfico do intervalo em uma reta numrica, insira um ponto para cada limite (pontos cheios para limites includos e pontos vazados para limites excludos). Todos os valores entre esses limites pertencem ao intervalo, por isso, trace uma reta mais escura entre os pontos, como ilustrado na Figura 1-3.
Figura 1-3O grfico de 2 x < 3 inclui o limite de intervalo x = 2, mas exclui x = 3.
1.17 Desenhe o grfico da desigualdade: x > 1.
No h limite superior para o intervalo (1,), mas todos os valores maiores que 1 satisfazem a desigualdade. Portanto, escurea todos os nmeros maiores que 1 na reta numrica, como ilustrado na Figura 1-4.
Figura 1-4 O grfico de x > 1 exclui o limite inferior, x = 1.
Se voc multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um nmero negativo, inverta o sinal da desigualdade. Nesse caso, se torna .
Alguns livros usam colchetes em vez de pontos cheios e parnteses em vez de pontos vazados na reta numrica.
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1.18 Solucione e desenhe o grfico da desigualdade: 7 1 2x < 11.
Isole 2x no meio da desigualdade composta subtraindo 1 de cada expresso. Em seguida, divida cada expresso por 2 para isolar x, invertendo os sinais da desigualdade ao fazer isso.
O grfico da soluo, (5,4] ilustrado na Figura 1-5.
Figura 1-5 O grfico de 7 1 2x < 11 inclui x = 4 e exclui x = 5.
1.19 Desenhe o grfico da desigualdade:
Essa desigualdade contm duas variveis, x e y, por isto, seu grfico deve ser desenhado no plano de coordenadas. Observe que a desigualdade resolvida para encontrar y e (desconsiderando o sinal de desigualdade) ela se parece com uma equao linear no formato de interceptao de inclinao. A desigualdade linear possui a interceptao de y (0,2) e a inclinao
Figura 1-6
O grfico de tracejado,
e no slido, pois ele est excludo da
soluo (assim como um ponto vazado
indica a excluso de um grfico de
desigualdade em uma reta numrica).
O grfico tracejado separa o plano de coordenadas em duas regies (uma acima e outra abaixo da reta). Para determinar qual regio representa a soluo, escolha um ponto (x,y) em uma das regies e substitua os valores na desigualdade. Caso a afirmao resultante seja verdadeira, sombreie a regio que contm esse ponto. Caso contrrio, sombreie a outra regio.
Deixe o sinal de
negativo na parte
superior: Comeand
o
pela interceptao de
y,
desa em uma unidad
e
e ande em 3 direita
e
marque o ponto. Cone
cte os
pontos para desenhar
o
grfico da reta.
Ao sombrear a regio, voc est
dizendo: Todos esses
pontos, e no apenas aquele
que eu testei, tornam a
desigualdade verdadeira.
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9O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
1.20 Resolva a equao: 2x y 4.
Resolva a desigualdade para encontrar y.
Este grfico slido (e no tracejado), pois a reta em si pertence soluo. Sombreie a regio acima da reta, como ilustrado na Figura 1-7.
Figura 1-7
Todos os pares ordenados acima da reta so solues vlidas para a desigualdade 2x y 4.
Equaes e Desigualdades de MduloResolva dois pelo preo de um
1.21 Resolva a equao: |3x 7| = 8.
Para que esta afirmao seja vlida, a expresso dentro do mdulo deve ser igual a 8 (j que |8| = 8) ou a 8 (j que |8| = 8).
A soluo x ou x = 5.
Se voc no quiser testar pontos para descobrir onde deve sombrear, resolva a equao para encontrar y e use essa regra geral: Sombreie acima da reta para maior que e abaixo da reta para menor que.
No solicitado que voc desenhe o grfico da soluo, pois uma reta numrica com pontos em e 5 no muito interessante.
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10 O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo
1.22 Resolva a equao: 1 2|x + 6| = 4.
Isole o mdulo absoluto do lado esquerdo da equao.
Aplique a tcnica descrita no Problema 1.21.
1.23 Resolva a equao: 9 3|x + 2| = 15.
Isole o mdulo do lado esquerdo da equao.
Esta equao no tem soluo.
1.24 Resolva a desigualdade: |x 5| < 1.
A soluo para a desigualdade de valor absoluto |x + a| < b, em que a e b so nmeros reais (e b > 0), equivale soluo da desigualdade composta b < x + a < b.
1 < x 5 < 1
Resolva a desigualdade usando o mtodo descrito no Problema 1.18.
A soluo, em representao de intervalos, (4,6).
1.25 Desenhe o grfico da soluo para a desigualdade: 2|x 7| 5 1.
Isole o mdulo do lado esquerdo da desigualdade.
Remova as barras de mdulo e
crie
duas equaes uma com o
lado direito positivo e outra
com o lado direito negativo.
O mdulo de
um nmero sempre
positivo ou zero, por is
so,
no h como algo em
mdulo ser igual a 2
.
Corte as barras de desigualdade, coloqu
e
um sinal de desigualdade
equivalente esquerda, e
depois coloque o oposto do
lado direito no lado esquerdo.
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