Probabilidades
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Modelos Parametricos
Probabilidades- conceitos basicos -
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...um pouco de historia o calculo de probabilidadesteve, eventualmente o seu inicio por volta de 1684(sec. XVII), como resultado da troca de correspondenciaentre Fermat e Pascal. A Pascal foi dito que resolve-se alguns problemas de azar.
...alguns nomes
Thomas Bayes (1708-1761) teorema de BayesJacob Bernoulli (1654-1705) lei dos grandes numerosAbraham Moivre (1667-1754) distribuicao normalPierre Simon Laplace (1748-1827) 1a sistematizacao do
calculo das probabilidadesA.N. Kolmogorov (1903-1987) Teoria Axiomatica das
probabilidades
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Em contraste com as
experiencias deterministas, que produzem o mesmoresultado quando repetidas nas mesmas condicoes(a` mesma velocidade e durante o mesmo perodo detempo, o espaco percorrido e o mesmo, e = vt),
temos as experiencias aleatorias, em que o resultadovaria com as diferentes realizacoes da experiencia(lancar um dado, o resultado e incerto podendo ser1, 2, 3, 4, 5, 6)
As Probabilidades tratam de estudar esta realidadenao determinista (casual, aleatoria, estocastica).
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Experiencia aleatoria:
pode ser repetida em condicoes analogas,
conhecemos todos os resultados possveis,
antes de ser realizada nao sabemos o resultadoque ira ocorrer (podemos atribuir a cada um dos resul-tados um grau de probabilidade de ocorrencia)
Exemplo:
1. lancamento de uma moeda. Que face sa?
2. lancamento de tres moedas. Qual o no de euros/caras?
3. uma caixa tem 5 bolas brancas e 5 pretas. Retiramos duasbolas em simultaneo, que cor tem?
4. lancamento de um dado. Que face sa?
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Experiencia aleatoria:
Espaco amostral: (espaco de resultados) e consti-tudo por todos os resultados possveis,
= {R1, R2, . . . , Rn}
Exemplo:
1. = {=C, Ca}
2. = {CaCaCa,CaCa=C, Ca=C=C, Ca=CCa,=CCaCa, =CCa=C, =C=CCa, =C=C=C}
3. = {, , }
4. = {1,2,3,4,5,6}
Acontecimento: e um subconjunto qualquer do espacoamostral
A,B,C, . . . subconjuntos de Exemplo:
1. A = sada de cara
2. A = sada de duas caras = {CaCa=C, Ca=CCa, =CCaCa}
3. B = sada de bola
4. C = sada de face par = {2,4,6}
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Acontecimento elementar: e um acontecimento comum unico modo de realizacao, isto e, constitudo porum unico elemento do espaco amostral.Exemplo:
C = sada de face 2 = {2}
Acontecimento impossvel: e um acontecimento quenunca ocorre na realizacao de uma experiencia,
Acontecimento certo: e um acontecimento que ocorresempre.Exemplo:
sada de zero no totoloto - acontecimento impossvel
sada de um no positivo no totoloto - acontecimento certo
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Na medida em que os acontecimentos sao subcon-juntos do espaco de resultados, a` algebra de acon-tecimentos associa-se a algebra de conjuntos.
espaco amostralA A
acontecimento impossvel acontecimento certo complementar de um acontecimento A A = Aoperacoes entre acontecimentos ,,
Notas
A e o acontecimento que se realiza quando nao se realiza A,
o complementar do acontecimento certo e o acontecimento impossvel,
o complementar do acontecimento impossvel e o acontecimento certo,
A B e o acontecimento que consiste na realizacao de A ou de B,
A B e o acontecimento que consiste na realizacao de A e de B,
A e B dizem-se acontecimentos exclusivos se A B = .
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Exemplo 1:Sejam A,B e C acontecimentos associados a uma certa ex-periencia aleatoria. Definam-se os seguintes acontecimentos:
pelo menos um dos acontecimentos ocorre
A B C
apenas ocorre o acontecimento A
A B C
ocorre exactamente um dos acontecimentos
(A B C) (B A C) (C A B)
ocorrem exactamente dois acontecimentos
(A B C) (B A C) (C A B)
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Probabilidades
P - denota a probabilidade,
A,B,C - sao acontecimentos especficos,
P(A) - denota a probabilidade de ocorrer o acon-tecimento A,
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Interpretacoes do conceito de probabilidade
1. Interpretacao classica
Sendo finito com n resultados possveis e A um acontecimento, obe-decendo ao princpio de simetria (todos os resultados sao igualmentepossveis)
P (A) =no casos favoraveis
no total de casos possveis=
(A)
()
Exemplo:
A: sada de face 3 num dado
P (A) = 1/6
A: sada de face par num dado
P (A) = 3/6 = 1/2
: lancamento de duas moedas
A: sada de pelo menos uma cara
P (A) = 3/4
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2. Interpretacao frequencista
a probabilidade de um acontecimento pode ser avaliada ou estimadaobservando a frequencia relativa do mesmo acontecimento numa sucessaonumerosa de provas ou experiencias identicas e independentes
P (A) no de vezes que A ocorreno experiencias realizadas
=f
n
f : frequencia absoluta de A;
fn: frequencia relativa de A
Lei dos grandes numeros: quando uma experiencia e repetida um grandeno de vezes, o valor da frequencia relativa de um acontecimento tendea aproximar-se do valor da verdadeira probabilidade
Propriedades:
0 fn 1
fn= 1, sse A ocorre nas n provas.
3. Interpretacao axiomatica
Definicao axiomatica:
Seja o espaco amostral associado a uma experiencia aleatoria. `Afuncao que a cada acontecimento A associa um valor real P (A), quesatisfaz os seguintes axiomas, chama-se medida de probabilidade ousimplesmente probabilidade:
(i) P (A) 0 (nao negatividade)
(ii) P () = 1
(iii) P (Ai) =P (Ai) (aditividade)(se os Ai forem disjuntos dois a dois)(P (A B) = P (A) + P (B))
Propriedades:
(a) P () = 0
(b) P (A) = 1 P (A)
(c) P (A B = P (A) + P (B) P (A B) (regra da adicao)
(d) se A B entaoP (B A) = P (B) P (A)
(e) se A B entaoP (A) P (B)
Exerccio 1:Um dado e lancado 2 vezes.SejaA = {sada de um no de pintas, no 1o lanc., nao superior a 2}B = {sada de um no de pintas, no 2o lanc., superior ou igual a 5}Qual a probabilidade que se verifique A ou B?
Exerccio 2:Sabe-se que numa determinada populacao, 9.8% das pessoasadquirem a revista A, 22.9% adquirem a revista B e 5.1% am-bas as revistas.Admite-se que a medida de proporcionalidade e a proporcao deindivduos da populacao que adquirem as revistas.Defina os acontecimentos:A: adquirir a revista AB: adquirir a revista B
1. Determine a probabilidade de adquirir somente a revista A.
2. Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aoacaso adquirir pelo menos uma das revistas.
3. Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aoacaso nao adquirir nem a revista A nem a revista B.
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1. A B = A BP (AB) = P (A)P (AB) = 0.0980.051 = 0.047
2. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) =0.098+ 0.229 0.051 = 0.276
3. P (A B) = 1 P (A B) = 1 0.276 = 0.724
Acontecimentos independentesDois acontecimentos dizem-se acontecimentos independentes se a realizacaode qualquer um deles nao influencia nem e influenciado pela realizacao dooutro.
Matematicamente: A e B dizem-se independentes se:
P (A B) = P (A) P (B)
Generalizando: A1, . . . , An sao acontecimentos independentes se:
P (A1 An) = P (A1) P (An)
Exemplo 1: Lancamento de um dado 2 vezes.
A: sada de face par no 1o lancamento
B: sada de face superior a 4 no 2o lancamento
Qual a probabilidade de se obter uma face par no 1o lancamento e um nosuperior a 4 no 2o lancamento?
(Estes acontecimentos sao independentes; o dado nao tem memoria)P (A) = 3/6 = 1/2; P (B) = 2/6 = 1/3; P (A B) = 6/36 = 1/6
ou, de outro modo, P (A B) = P (A).P (B) = 1/2.1/3 = 1/6
Exemplo 2: Consideremos a experiencia que consiste em retirar uma cartade um baralho de 52 cartas. Seja A o acontecimento, sada de uma copa eB o acontecimento sada de uma figura.
Os acontecimentos sao independentes?
P (A) = 13/52; P (B) = 12/52;
P (A B) = P (A\B).P (A) = 3/13 13/52
P (A).P (B) = 13/52 12/52 = 3/52
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Probabilidade condicionalConsidere-se que se sabe que numa determinada experienciaaleatoria ocorreu um acontecimento B. Para qualquer acontec-imento A que se realize ha que considerar o facto de se ter re-alizado anteriormente B. Define-se uma nova probabilidade, efalamos de probabilidade de A dado B , ou condicional de B ,ou probabilidade de A se B .
Matematicamente: Sejam A e B acontecimentos de um espaco e
P (B) > 0. A probabilidade de A dado B e definida por:
P (A\B) = P(AB)P(B)
Nota: se B ocorreu, os unicos resultados de A que podem terocorrido sao os de A B.
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Exemplo:
No lancamento simultaneo de 2 dados equilibrados, sejamA eB os seguintesacontecimentos:
A: sada da face 5; B: soma dos pontos igual a 7;
Qual a probabilidade de a soma dos pontos ser igual a 7, sabendo que a saiua face 5?
1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
P (A) = 11/36;
P (B) = 6/36;
P (A B) = 2/36 = 1/18
P (A\B) =118636
=1
3
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Exemplo:Numa Universidade 60% dos alunos estudam Matematica, 20% dos alunosestudam Informatica e 10% dos alunos estudam Matematica e Informatica.
Seleccionou-se aleatoriamente um aluno dessa Universidade e verificou-seque estudava Matematica. Qual a probabilidade de estudar tambem Informatica?
M = {alunos que estudam Matematica} ;P (M) = 0.6;
I = {alunos que estudam Informatica} ;P (I) = 0.2;
P (I M) = 0.1
P (I \M) =P (M I)
P (M)=
0.1
0.6=
1
6
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Propriedades
1. Se A e B sao acontecimentos independentes,
entao A e B tambem o sao.
A = (A B) (A B)
P (A) = P (A B) + P (A B) = P (A B) + P (A).P (B),
porque A e B sao independentes
Tem-se entao P (A B) = P (A) (1 P (B)) = P (A).P (B)
2. Se A e B sao acontecimentos independentes e P (B) > 0
entao P (A \B) = P (A)
P (A \B) =P (A B)
P (B)=
P (A).P (B)
P (B)= P (A)
3. Se P (A \B) < P (A) entao P (B \A) < P (B)
P (A \B) =P (A B)
P (B)=
P (B \A).P (A)
P (B)
Se P (A \B) < P (A) = P (B \A).P (A)P (B)
< P (A)
= P (B \A) < P (B)
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Arvores de ProbabilidadeFrequentemente precisamos de calcular a probabilidade de ocorrencia si-multanea de mais do que um acontecimento. De acordo com a probabilidadecondicional tem-se que:
P (A \B) =P (A B)
P (B)= P (A B) = P (A \B).P (B)
Podemos entao estabelecer a seguinte regra da multiplicacao
P (A1 A2 . . . An) = P (A1).P (A2 \A1).P (A3 \A1 A2) . . .
. . . P (An \A1 . . . An1)
Demonstracao:
P (A1).P (A2 \A1).P (A3 \A1 A2) . . . P (An \A1 . . . An1) =
= P (A1).P (A1 A2)
P (A1).P (A3 A2 A1)
P (A1 A2). . .
P (A1 An)
P (A1 An1)=
= P (A1 An)
Exemplo:
Um saco contem 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 verdes. Tiramse (semreposicao), 4 bolas desse saco.Qual a probabilidade de nenhuma das bolas ser azul?Ai: a bola i nao e azul
P (A1 A2 A3 A4) = P (A1).P (A2 \A1).P (A3 \A1 A2).
.P (A4 \A1 A2 A3)
=8
107
96
85
7=
30
90=
1
3
(Ver como se constroem arvores de probabilidades)18
Exemplo:Qual a probabilidade de nao sair a bola no 1 no concurso detotoloto (7 extraccoes sem reposicao e bolas numeradas de 1 a47)?Ai : nao sair a bola 1 na i-esima extraccaoP (A1 A2 A7) = P (A1).P (A2 \A1).P (A3 \A1 A2).P (A7 \A1 A6) =
=46
47.45
46.44
45.43
44.42
43.41
42.40
41=
40
47
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Teorema das Probabilidades TotaisSejam A1 . . . An acontecimentos que formam uma particao deum espaco amostral (nao se intersectam e a sua uniao e oespaco).Considere-se um acontecimento B definido em .O acontecimento B nao pode ocorrer isoladamente, tera que severificar pelo menos um dos acontecimentos Aj.
Se P (Ai) > 0 entao
P (B) =
i P (B \ Ai).P (Ai)
Demonstracao:
P (B) = P (B ) = P (B (A1 A2 An)) =
= P ((B A1) (B A2) (B An))
acontecimentos mutuamente exclusivos, ja que Ai o sao= P (B A1) + P (B A2) + . . . P (B An)
= P (B \A1).P (A1) + P (B A2)P (A2) + . . . P (B An)P (An)
Exemplo:
Um aluno tem um despertador que toca na hora pretendida com probabili-dade 0.7. Se tocar, a probabilidade de o aluno acordar e 0.8, se nao tocar,a probabilidade de o aluno acordar a tempo de ir a`s aulas e 0.3. Qual aprobabilidade do aluno chegar a horas a` aula?D = o despertador toca na hora pretendida; A = o aluno acorda a tempo; H=o aluno chega a horasP (H) = P (A \D).P (D) + P (A \D).P (D) = 0.8 0.7+ 0.3 0.3
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Teorema de BayesEste teorema e uma consequencia da definicao de probabilidade condicionale do teorema das probabilidades totais
Sejam A1 . . . An acontecimentos que formam uma particao deum espaco amostral .
Considere-se um acontecimento B, em , tal que P (B) > 0.
Entao, para cada k, k = 1, . . . , n tem-se:
P (Ak \B) =P (B \Ak).P (Ak)i P (B \ Ai).P (Ai)
Tambem conhecido como formula das probabilidades das causas permitecalcular a probabilidade do evento B ocorrer (causa) dado que A ocorreuDemonstracao:
P (Ak \B) =P (Ak B)
P (B)=
P (B \Ak)P (Ak)
B=
tendo-se pelo teorema das probabilidades totais
=P (B \Ak)P (Ak)iP (B \Ai)P (Ai)
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Exemplo:Admita-se que, num determinado pais, em 1% da populacao tem tuberculosee, ainda que:
para uma pessoa que tenha, de facto contrado a doenca, uma micror-radiografia tem resultado positivo (isto e detecta a doenca) em 95%dos casos
para uma pessoa nao tuberculosa, esta percentagem e de apenas0.5%
Pretende-se saber qual a probabilidade de uma pessoa a quem a microrra-diografia tenha dado resultado positivo tenha tuberculose.
Consideremos os acontecimentos
T = pessoa seleccionada tem tuberculose,
T= pessoa seleccionada tem nao tuberculose,
Pos=resultado positivo
Pretende-se calcular P (T \ Pos) =?
P (T \ Pos) =P (T Pos)
P (Pos)
(faca-se a arvore das probabilidades)tem-se entao que
P (Pos) = P (Pos \T ).P (T )+P (Pos \ T ) = 0.95 0.01+0.005 0.99
Assim
P (T \ Pos) =0.95 0.001
0.95 0.01+ 0.005 0.99= 0.657 = 65.7%
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Analise CombinatoriaA definicao classica de probabilidade (definicao de Laplace) exige o conhec-imento do no de caso favoraveis e do no de casos possveis. E pois conve-niente dispor de certas tecnicas de contagem, dizendo essencialmente re-speito ao no de subcoleccoes (ordenadas ou nao), satisfazendo uma dadadefinicao, que se podem formar a partir de um conjunto inicial.Essas tecnicas de contagem sao conhecidas por analise combinatoria.
Principio Basico da Analise Combinatoria
Se o acontecimento Ai, i = 1,2, . . . , r se pode realizar de ni maneirasdiferentes, entao o acontecimento
A1A2 . . . Ar pode realizar-se de n1n2 . . . nr maneiras.
Exemplo:
Um exame e constitudo por 12 perguntas de V/F e 5 perguntas de escolhamultipla com 4 opcoes.
De quantas maneiras diferentes e possvel responde no exame?
Consideremos os acontecimentos A1 . . . A12 referentes a`s questoes de re-spostas V/F, os quais se podem realizar de duas maneiras diferentes, isto en1 = = n12 = 2,
e os acontecimentos A13 . . . A17 referentes a`s questoes de escolha multiplaos quais se podem realizar de quatro maneiras diferentes, isto e n13 = =n17 = 4
Assim, n = 212 45 = 4194394
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Define-se por permutacao de n objectos, o no de maneiras de dispor emlinha (sem repeticao) n objectos, o qual e igual a n!.Escreve-se:
Pn = n!
Exemplo:Quantas palavras de 4 letras podemos escrever com todas as letras da palavraMESA?
P4 = 4! = 24
Define-se por arranjos de r em n, o no de maneiras de dispor r objectos(distintos) em linha escolhidos de um total de n, o qual e igual a n!/(n r)!.Escreve-se:
Anr =n!
(nr)!
Exemplo Quantas palavras de 2 letras podemos escrever com todas as letrasda palavra MESA?
A42 =4!
2!=
4 3 2 1
2 1= 12
ExemploCom oito bandeiras diferentes, quantos sinais podem ser feitos com 3 ban-deiras diferentes?Entendendo-se que a ordem pela qual se vao apresentando as bandeiras erelevante para o sinal a realizar, tem-se que:
A83 =8!
(8 3)!= 336
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Define-se por combinacoes de r em n, o no de maneiras de escolher robjectos (distintos) independentemente da ordem, de um total de n objectos,o qual e igual a n!
r!(n r)!.
Escreve-se:
Cnr =
(nr
)= n!
r!(nr)!
Exemplo
Num teste de 5 perguntas de quantas maneiras se podem escolher 3 pararesponder?
Considerando que Pi, i = 1,2,3,4,5, denota a pergunta i, podemos orga-nizar as perguntas do seguinte modo:
P1P2P3P1P2P4P1P2P5P1P3P4P1P3P5P1P4P5
perfaz um total de 6 possveis respostas
{P2P3P4P2P3P5P2P4P5
perfaz um total de 3 possveis respostas
{ P3P4P5 perfaz mais uma possvel resposta
Assim temos: C53 =(
53
)=
5!
3!(5 3)!=
5 4 3 2 1
3 2 1 2 1= 10
Exemplo
Qual o no possvel de resultados distintos no sorteio do totoloto?
C496 =
(496
)=
49!
6!(43)!= 13.983.816
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Exemplo
De entre oito pessoas, quantas comissoes de 3 membros se podem formar?
Entendendo-se que duas comissoes sao iguais se forem constitudas pelasmesmas pessoas independentemente da ordem de escolha, temos que saopossveis
C38 =
(83
)=
8!
3!(5)!= 56
Define-se por arranjos com repeticao o no de maneiras de dispor r ob-jectos com repeticao em linha escolhidos de um total de n, o qual e igual anr.
Escreve-se:
Anr = n
r
Exemplo
Quantos numeros de 2 algarismos se podem formar com os algarismos 3, 5e 7?
Observando que: 3{
357
5
{357
7
{357
temos
A32 = 3
2 = 9
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Em sntese:
No de maneiras de escolher r objectos de um total de n?
r < n?
SIM interessa a ordem
SIM com repeticao
SIM Anr = nr
N AO Anr = n!(nr)!
N AO Cnr = n!r!(nr)!N AO
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