De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulhern~ao ¯quem juntos?

1) Podemos colocar os 6 casais ao redor da mesa de 11! modos(permuta»c~ao circular de 12 pessoas).

2) Numeremos os casais com os n¶umeros 1,2,3,4,5,6. Seja Ai, i = 1; 2; 3; 4; 5; 6, o conjunto das maneiros decolocar os casais onde o casal i aparece junto. Queremos o n¶umero de lelementos de

(A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6)c :

Designando por n(B) o n¶umeros de elementos do conjunto B, sabemos que

n (A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6) =6Xi=1

n (Ai)¡X

1·i<j·6n (Ai \Aj)

+X

1·i<j<k·6n (Ai \Aj \Ak)¡

X1·i<j<k<l·6

n (Ai \Aj \Ak \Al)

+X

1·i<j<k<l<u·6n (Ai \Aj \Ak \Al \Au)

¡ n (A1 \A2 \A3 \A4 \A5 \A6)

Para calcular n (Ai), olhamos o casal i como se fosse um ¶unico elemento e distribu¶³mos 11 ao redor da mesa,o que podemos fazer de 10! maneiras. Como o casal pode permutar as posi»c~oes, temos 2£ 10! maneiras dedispor os 6 casais onde o casal i permanece junto.

Para calcular n (Ai \Aj) olhamos os casais i e j como se cada um fosse um ¶unico elemento e distribu¶³mos10 ao redor da mesa, o que podemos fazer de 9! maneiras. Como cada casal pode permutar as posi»c~oes,temos 22 £ 9! maneiras de dispor os 6 casais onde os casais i e j permanecem juntos.

De maneira an¶aloga, calculamosn (Ai \Aj \Ak) = 23 £ 8!;

n (Ai \Aj \Ak \Al) = 24 £ 7!;n (Ai \Aj \Ak \Al \Au) = 25 £ 6!;

n (A1 \A2 \A3 \A4 \A5 \A6) = 26 £ 5!:Consequentemente,

n (A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6) = 6£ 2£ 10!¡ C26 £ 22 £ 9!+ C36 £ 23 £ 8!¡ C46 £ 24 £ 7! + C56 £ 25 £ 6!¡ 26 £ 5!= 43545600¡ 21772800 + 6451200¡ 1209600 + 138240¡ 7680 = 27144960

Portanto, n (A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6)c = 11!¡27144960 = 12771840 ¶e o n¶umero de maneiras de colocaros 6 casais em c¶³rculo de tal modo que nenhum casal permane»ca junto.