Problema Dos 6 Casais
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De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher n~ ao ¯quem juntos? 1) Podemos colocar os 6 casais ao redor da mesa de 11! modos(permuta» c~ ao circular de 12 pessoas). 2) Numeremos os casais com os n¶ umeros 1,2,3,4,5,6. Seja A i , i =1; 2; 3; 4; 5; 6, o conjunto das maneiros de colocar os casais onde o casal i aparece junto. Queremos o n¶ umero de lelementos de (A 1 [ A 2 [ A 3 [ A 4 [ A 5 [ A 6 ) c : Designando por n(B) o n¶ umeros de elementos do conjunto B, sabemos que n (A 1 [ A 2 [ A 3 [ A 4 [ A 5 [ A 6 )= 6 X i=1 n (A i ) ¡ X 1·i<j·6 n (A i \ A j ) + X 1·i<j<k·6 n (A i \ A j \ A k ) ¡ X 1·i<j<k<l·6 n (A i \ A j \ A k \ A l ) + X 1·i<j<k<l<u·6 n (A i \ A j \ A k \ A l \ A u ) ¡ n (A 1 \ A 2 \ A 3 \ A 4 \ A 5 \ A 6 ) Para calcular n (A i ), olhamos o casal i como se fosse um ¶ unico elemento e distribu¶ ³mos 11 ao redor da mesa, o que podemos fazer de 10! maneiras. Como o casal pode permutar as posi»c~ oes, temos 2 £ 10! maneiras de dispor os 6 casais onde o casal i permanece junto. Para calcular n (A i \ A j ) olhamos os casais i e j como se cada um fosse um ¶ unico elemento e distribu¶ ³mos 10 ao redor da mesa, o que podemos fazer de 9! maneiras. Como cada casal pode permutar as posi» c~ oes, temos 2 2 £ 9! maneiras de dispor os 6 casais onde os casais i e j permanecem juntos. De maneira an¶ aloga, calculamos n (A i \ A j \ A k )=2 3 £ 8!; n (A i \ A j \ A k \ A l )=2 4 £ 7!; n (A i \ A j \ A k \ A l \ A u )=2 5 £ 6!; n (A 1 \ A 2 \ A 3 \ A 4 \ A 5 \ A 6 )=2 6 £ 5!: Consequentemente, n (A 1 [ A 2 [ A 3 [ A 4 [ A 5 [ A 6 )=6 £ 2 £ 10! ¡ C 2 6 £ 2 2 £ 9! + C 3 6 £ 2 3 £ 8! ¡ C 4 6 £ 2 4 £ 7! + C 5 6 £ 2 5 £ 6! ¡ 2 6 £ 5! = 43545600 ¡ 21772800 + 6451200 ¡ 1209600 + 138240 ¡ 7680 = 27144960 Portanto, n (A 1 [ A 2 [ A 3 [ A 4 [ A 5 [ A 6 ) c = 11! ¡27144960 = 12771840 ¶ e o n¶ umero de maneiras de colocar os 6 casais em c¶ ³rculo de tal modo que nenhum casal permane»ca junto.
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De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulhern~ao ¯quem juntos?
1) Podemos colocar os 6 casais ao redor da mesa de 11! modos(permuta»c~ao circular de 12 pessoas).
2) Numeremos os casais com os n¶umeros 1,2,3,4,5,6. Seja Ai, i = 1; 2; 3; 4; 5; 6, o conjunto das maneiros decolocar os casais onde o casal i aparece junto. Queremos o n¶umero de lelementos de
(A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6)c :
Designando por n(B) o n¶umeros de elementos do conjunto B, sabemos que
n (A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6) =6Xi=1
n (Ai)¡X
1·i<j·6n (Ai \Aj)
+X
1·i<j<k·6n (Ai \Aj \Ak)¡
X1·i<j<k<l·6
n (Ai \Aj \Ak \Al)
+X
1·i<j<k<l<u·6n (Ai \Aj \Ak \Al \Au)
¡ n (A1 \A2 \A3 \A4 \A5 \A6)
Para calcular n (Ai), olhamos o casal i como se fosse um ¶unico elemento e distribu¶³mos 11 ao redor da mesa,o que podemos fazer de 10! maneiras. Como o casal pode permutar as posi»c~oes, temos 2£ 10! maneiras dedispor os 6 casais onde o casal i permanece junto.
Para calcular n (Ai \Aj) olhamos os casais i e j como se cada um fosse um ¶unico elemento e distribu¶³mos10 ao redor da mesa, o que podemos fazer de 9! maneiras. Como cada casal pode permutar as posi»c~oes,temos 22 £ 9! maneiras de dispor os 6 casais onde os casais i e j permanecem juntos.
De maneira an¶aloga, calculamosn (Ai \Aj \Ak) = 23 £ 8!;
n (Ai \Aj \Ak \Al) = 24 £ 7!;n (Ai \Aj \Ak \Al \Au) = 25 £ 6!;
n (A1 \A2 \A3 \A4 \A5 \A6) = 26 £ 5!:Consequentemente,
n (A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6) = 6£ 2£ 10!¡ C26 £ 22 £ 9!+ C36 £ 23 £ 8!¡ C46 £ 24 £ 7! + C56 £ 25 £ 6!¡ 26 £ 5!= 43545600¡ 21772800 + 6451200¡ 1209600 + 138240¡ 7680 = 27144960
Portanto, n (A1 [A2 [A3 [A4 [A5 [A6)c = 11!¡27144960 = 12771840 ¶e o n¶umero de maneiras de colocaros 6 casais em c¶³rculo de tal modo que nenhum casal permane»ca junto.
