1
11Produtos Notveis e Fatorao
11.1Os Produtos Notveis
11.1.1Propriedade distributivas
41.1.2Como Desenvolver um Binmio com Expoentes Contendo Varivel
41.2Fatorao
41.2.1Fator Comum em evidncia
51.2.2Fatorao por agrupamento
51.2.3Fatorao por diferena de quadrados
51.2.4Fatorao do trinmio quadrado perfeito
61.2.5Trinmio Imperfeito Favorveis
71.2.6Outros casos de fatorao
71.3Exerccios Resolvidos - Simplificar
81.4Exerccios Propostos
1 Produtos Notveis e Fatorao
1.1 Os Produtos Notveis
Os produtos notveis que mais se destacam na lgebra so :
( a + b ) ; ( a b ) ; ( a + b ) ( a b ) ; (a + b ) ; (a b )
1.1.1 Propriedade distributivas
1) ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b )
( a + b ) = a + ab + ab + b
( a + b ) = a + 2ab + b
2) ( a b ) = ( a b ) ( a b )
( a b ) = a - ab ab + b
( a b ) = a -2 ab + b
3) ( a + b ) ( a b ) = a - ab + ab b
( a + b ) ( a b ) = a - b
Obs : O conjugado de (a + b ) ( a b ) e sempre quando os multiplicamos obtemos como resultado a diferena entre dois quadrados ( a + b ) ( a b ) = a - b
4) ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b )
( a + b) = ( a + 2ab + b ) ( a +b )
( a + b ) = a + ab + 2ab + 2ab + ab + b
( a + b ) = a + 3ab + 3ab + b
MACETE: Para desenvolver (a + b )4 passo a passo
1 passo: coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades assim :
a4 .....................................................................b42 passo : entre a4 e b4 coloque os produto ab ( n-1) vezes obtemos :
a4 + ab + ab + ab + b4
3 passo : decrescer os expoentes a4 at a1 e crescer os expoentes b1 at b4 veja :
a4 + ab1 + ab + a b + b4
4 passo : coloque o expoente ( 4 ) no coeficiente do termo seguinte e multiplique pelo
valor do expoente de a e em seguida dividir pela quantidade de termos :
a4 + 4a b1 + 6ab + 4 a1 b + 1b4
4 x 3 = 6 6 x 2 = 4 4 x 1 = 1
2 3 4
ento : ( a + b )3 = a4 + 4 ab1 + 6ab + 4 a1b + 1b4Desenvolvendo agora ( a + b )5
( a + b )5 = a5 .........................................b5
(a + b ) = a5 + ab + ab + ab + ab + b5
( a + b ) = a5 a4b1 a3b ab a1b4 b5
( a + b ) = a5 + 5 a4b1 + 10ab + 10 ab + 5 a1b4 + 1b5
5 x 4 = 10 10 x 3 = 10 10 x 2 = 5 5 x 1 = 1
2 3 4 5
Obs : mesmo que entre os termos tenha sinal; no desenvolvimento do binmio coloque sempre o sinal de mais entre eles veja:
( a b ) = a + a (-b )1 + 3 a1 (- b ) + (-b )
3 x 2 = 3
2
( a b ) = a - 3 ab + 3 ab - b
Obs: elevar mentalmente o termo negativo ao respectivo expoente e faa o produto dos sinais
(a b ) = a..............................(- b )
(a b ) = a - 2ab + bGENERALIZANDO:
(3x + 2y) = ?
a b
(a + b ) = a + 3 ab + 3 ab + b
SUBTITUINDO a = ( 3x ) e b = ( 2y )
( 3x + 2y) = ( 3x ) + 3( 3x ) (2y) + 3( 3x )(2y ) + (2y)
( 3x + 2y) = 27x6 + 3 (9x4 )(2y) + 3 ( 3x)(4y) + 8y
(3x + 2y) = 27x6 + 54xy + 36xy + 8y
Importantssimo: saber desenvolver produtos notveis assunto bsico de matemtica; por isso voc deve desenvolv-los com rapidez. Veja:
01- ( x + a ) = ( x + a ) ( x + a )
( x + a ) = ( x + 2ax + a ) ( x + a )
( x + a ) = x + ax + 2ax + 2ax + ax + a
( x + a ) = x + 3ax + 3ax + a
Obs.: Este mtodo trabalhoso e lento faa assim( x + a ) = x 3 ax 3ax 1 a
3 x 2 = 3 x 1 =
2 3
( x + a ) = x + 3ax + 3ax +a
02- ( x + a ) (x + b ) = x + ax + bx +ab
( x + a ) ( x + b ) = x + ( a + b ) + a..b
Ento desenvolver ( x + 2) ( x + 3) = x + 5x + 6 basta multiplicar os x em seguida somar os termos independentes e multiplicar por x e em seguida multiplicar os termos independente
Ex.01-
( x 5 ) (x + 2 ) = x -3x 10
faa isso -5 + 2 = 3
mentalmente ( -5 ) ( 2 ) = 10
Ex.02- ( x 2 ) ( x + 2 ) = x - 4
-2 +2 = 0
(-2 ) (+2) = -4
* NEM TUDO SO FLORES
4
VEJA Ex. 01- ( 2x + 3) ( x + 4)
NESTE CASO PREFERVEL APLICAR A PROPIEDADE DISTRIBUTIVA
( 2x + 3).( x + 4 ) = 2x + 8x + 3x +12
( 2x + 3 ) ( x + 4 ) = 2x + 11x + 12
Ex.02- 2 x + 5 x - 3 =
3 7 2 4
2 x + 5 x 3 = 2x . 1x - 2x .3 + 5 .x - 5 . 3
3 7 2 4 3 2 3 4 7 2 7 4
2 x + 5 x 3 = 2 x - 6 x + 5 x 15
3 7 2 4 6 12 14 28
MMC 6 , 12 , 14 , 28 2
3 , 6 , 7 , 14 2
3 , 3, 7 , 7 3
1 , 1 , 7 , 7 7
1 , 1 , 1 , 1 84
28x - 42x + 30 45 =
84
28x - 12x 45
84
COMO SABER SE O PRODUTO EST CORRETO ?
BASTA ATRIBUIR VALORES NUMRICOS
VEJA EX.01-
( x + 2 ) ( x + 3 ) = x + 5x +6
ATRIBUIR UM VALOR QUALQUER A x POR EXEMPLO x = 1
OBTEMOS : ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) = ( 1) + 5 ( 1 ) + 6
3 . 4 = 1 + 5 +6
12 = 12 EST CORRETO A IDENTIDADE
Ao substituir o valor numrico e no ocorrer a identidade, ento houve erro no desenvolvimento.EX. 02 ( x + y )
a b
( a + b ) = a + 3ab + 3 ab + b
substituindo : a = ( x ) e b = ( y )
( x + y ) = ( x) + 3 ( x) (y) + 3 (x ) ( y ) + ( y )
( x + y) = x 6 + 3 x4y + 3 xy +y
Verificando faa x = 2 e y = 2
( 2 + 2 ) = ( 2 )6 + 3.( 2 )4.( 2 ) + 3. 2 .2 +2
6 = 64 + 96 +48 +8
216 = 216 CORRETO
COMO ELEVAR UM TRINMIO DO QUADRADO
Ex. ( a + b + c ) = (a +b ) + 2 ( a + b ) + c
1 2
( a + b + c ) = a + 2ab + b + 2 ac + 2bc + c
( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2 ac + 2bc
ou ( a + b + c ) = desenvolva voc
1 2
1.1.2 Como Desenvolver um Binmio com Expoentes Contendo VarivelEx. ( 2p + 3 ) = ( 2p ) + 2.(2p . 3 ) + (3 )
( 2 + 3 ) = 2.p + 2 p+1. 3 + 32n
Ex. ( x m-1 + x 1-m ) = ( x 2 m-1) + 2x m-1. x 1-m + ( x1-m)
( x m-1 + x 1-m ) = x 2m-2 + 2 x + x-2-2m
( x m-1 + x 1-m ) = x 2m-2 + 2 + x-2-2m
Ex.
x + 1 = ( x ) + 2x .1 + 1
x x x
x + 1 = x 4 + 2x +x -2
x
1.2 Fatorao
Fatorar transformar equaes algbricas em produtos de duas ou mais expresses, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vrios casos de fatorao como:
1.2.1 Fator Comum em evidncia
Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinmio: ax + ay Ambos os termos apresentam o fator a em evidncia. Assim: ax + ay = a.(x+y) - forma fatorada
Exemplo: Fatore:
a) bx + by - bz = b.(x+y-z)
b) c) d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e) 1.2.2 Fatorao por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinmios especiais. Como por exemplo:ax + ay + bx + byOs dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois ltimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidncia:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidncia: (x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)Exs: Fatore:
a) x fator a fator (x-3) fator comum Formacomum comum fatoradab) fator fator (2+a) fator comum Formacomum comum fatorada
1.2.3 Fatorao por diferena de quadradosConsiste em transformar as expresses em produtos da soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado. Assim: Exemplos: Fatore:
a) b) c) Note que possvel fatorar a expresso duas vezes.
1.2.4 Fatorao do trinmio quadrado perfeitoO trinmio que se obtm quando se eleva um binmio ao quadrado chama-se trinmio quadrado perfeito. Por exemplo, os trinmios () e () so quadrados perfeitos porque so obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
INCLUDEPICTURE "http://www.exatas.mat.br/images/fatoracao_htm_eqn17.gif" \* MERGEFORMATINET Assim: | | | |2x 3y|__________||2.2x.3y = 12xy note que igual ao segundo termo de Portanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito. = forma fatorada |_______________|Sinal
Logo: = forma fatorada |_______________|Sinal
Exemplos:
a) b) *Convm lembrarmos que ao fatorarmos uma expresso algbrica, devemos fator-la por completo. Veja os exemplos:a) b) 1.2.5 Trinmio Imperfeito FavorveisSe os quadrados do trinmio perfeito no so quadrados perfeitos
Ex.01) x - 5x + 6. No tem raiz exata
Use ento fatorao por agrupamento decompondo:
-5x em dois termos
-3x 2x = -5x
(-3).(-2x) = 6
x - 3x 2x + 6
x (x 3) 2.(x-3)
(x 3).(x-2)
Importantssimo: ao surgir mais de um caso de fatorao aplicado vrios casos de fatorao. veja
Ex.1) ax -ay
a.(x - y)
a . (x y) . (x + y)
Ex.2) x +2ax + a -9
( x + a) - 9
[ ( x + a ) 3 ] [ x + a +3 ]
(x + a 3) (x + a 3)
Ex.3) 5xy ( a + 2ab +b) 4x.(a +b)
5xy (a+b) - 4x (a + b)
x (a + b) [ 5y 4.(a + b ) ]
x (a + b ) (5y 4a 4b )
Ex.4) y - b -y + b
( y b).(y + b) (y b)
(y b ) . ( y + b 1)
1.2.6 Outros casos de fatorao
1) 2) 3)
1.3 Exerccios Resolvidos - Simplificar
a) x -y = (x-y) (x + y) = x + y
x - 2xy +y ( x y) x - y
b) x - a = ( x - a) (x + ax + a) = x + ax + a
x - a ( x a) ( x + a) x + a
c) x - 5x + 6 = ( x 2) (x 3) = x 2
x - 9 (x 3) ( x +3) x + 3
d) x 4 + x - 6x = x (x + x 6) = x ( x + 3) ( x 2) = x ( x 2)
x - 9x x ( x-0 ) x ( x-3) ( x + 3) x 3
e) ( a - b - c -2bc) ( a + b - c) = ( a - b - 2bc c ) ( a + b - c) =
( a + b + c) ( a - 2ac + c b) ( a + b + c) ( a + c - 2ac b)
[ a - (b - 2bc c) ] [ a + b + c ] = [ a- ( b + c ) ] [ a + ( b + c ) ] ( a + b c ) =
(a + b + c ) [ ( a c ) - b ] ( a + b + c ) [ ( a c ) b ] [ ( a c ) b ]
(a - b + c) (a + b + c) (a + b c) = 1
(a + b + c) (a c b ) (a c b)
1.4 Exerccios Propostos
01) 3x y + b xy - 12 xyz
02) 162 a4b + 108 a7b - 378 ab4
03) 12 a4bn - 16 a bn + 1 20 ab n+ 2
04) 16 (x y) x + 24 ( x y ) y + 32 ( x y) z
05) 4x - 9
06) 1 x 4
07) a .b - 25
08) (a + 36) - 9 ( b c)
09) ( a+b).x - ( a - b).x + (a +b)
10) x y + 162xy + 6561
11) 25x4 y -30x yz + 9z6
12) [ (x +y) -z] : [ x - (y z)]
13) x + 3xy + 2y
14) a4 10a +9
15) 2bc + b + c -a
16) y -5y 14
17) xy - 12xy +27
18) 1 6x +12x - 8x
19) 27x +54ab +36ab4 + 8b6
20) y + 8
21) x 6 -64
22) 6ax +2ay 3x 3y
23) x4 a x - bx +ab
24) 2ax 2ay cx 36y +36x +cy
25) (2a +3b 1) - (a b +2)
26) x + y -2xy a - b +2ab
27) a - b -a (a - b) +b (a b)
28) 125 a - 8b9
29) a4 4 a b + 16b4
PAGE 1