EletromagnetismoIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl

etromag

netism

oI

Prof.Dan

ielO

rquiza

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Revisão da Lei de Coulomb

•  Força entre cargas pontuais

•  Intensidade de Campo Elétrico

•  Princípio da Superposição

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Lei de Coulomb (Páginas 26 a 33 no Livro texto)

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Uma Carga Pontual é uma carga com volume infinitesimal (não ocupa lugar no espaço) posicionada no espaço tridimensional.

•  A Lei de Coulomb estabelece que a força entre duas cargas pontuais Q1 e Q2 é:

1.  Ao longo da linha que une as duas cargas.

2.  Diretamente proporcional ao produto das cargas.

3.  Inversamente proporcional ao quadrado da distância R entre elas.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2

Lei de Coulomb – revisão conceitual

F = k Q1Q2

R2

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  A constante de proporcionalidade ‘k’ é dada por:

•  A permissividade do espaço livre ε0 é:

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza3

Lei de Coulomb – revisão conceitual

k = 14πε0

≈ 9×109    m / F[ ]

ε0 = 8,854×10−12    F /m[ ]

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza4

•  Balança de Torção de Coulomb

Lei de Coulomb – revisão

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Balança de Torção de Coulomb

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza5

Lei de Coulomb – revisão

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Balança de Torção de Coulomb

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza6

Lei de Coulomb – revisão

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza7

θ

•  Experimento da balança de Torção

τ = −κθ ⇒ F = τb

braço

b

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  A forma completa da L.C. exige levar em conta a direção e sentido do vetor Força entre as duas cargas em um dado sistema de coordenadas.

•  Isso é feito utilizando o vetor unitário a12 que tem origem na carga 1 e que aponta da direção da carga 2.

•  A Força que Q1 exerce em Q2 é:

•  Vetor distância:

•  Vetor unitário:

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza8

!F12 =

14πε0

Q1Q2!R12

2 a12

Lei de Coulomb

!R12 =

!r2 −!r1

a12 =!R12!R12

Origem

!r1!r2

Q1 Q2

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Calcular as forças produzidas por duas cargas pontuais de mesmo sinal, localizadas nas posições r1 e r2 do espaço cartesiano, onde:

r1 = (1nm, 2nm, 3nm), Q1 = 1 pC

r2 = (2nm, 2nm, 3nm) , Q2 = 1 pC

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza9

Exemplo

Resp: F21 = - 9 ax [kN]

Qual é a força que Q2 aplica em Q1?

Origem

!r1!r2

Q1 Q2

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  O que esta expressão implica?

1)  A força F12 é igual à força F21 mas em sentido oposto.

2)  Cargas de mesmo sinal se repelem e de sinais diferentes se atraem (os sinais de Q1 e Q2 têm que ser levado em conta).

•  Esta equação é válida para cargas pontuais e estáticas.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza10

Origem

!r1!r2

Q1 Q2

Lei de Coulomb

!F12 =

14πε0

Q1Q2!R12

2 a12

!F12 = −

!F21

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Se considerarmos uma carga de teste Qt posicionada próxima a uma carga Q1, a força aplicada na carga de teste é:

•  O Campo Elétrico E1 gerado por Q1 na posição rt é definido como a força elétrica por unidade de carga de teste.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza11

Intensidade de Campo Elétrico

!F1t =

14πε0

Q1Qt!R1t

2 a1t

!E1 =

!F1tQt

=14πε0

Q1!R1t

2 a1t

Origem

!r1!rt

Q1 Qt

[V/m]

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Podemos generalizar, escrevendo o campo elétrico como:

•  Lembre-se que para uma carga que está presente numa região com Campo

Elétrico, se:

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza12

!E =

!FQt

Qt > 0

Qt < 0

!F

!F

E

E

Intensidade de Campo Elétrico

[V/m]

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Cargas positivas são fonte de Campo Elétrico e cargas negativas são sumidouros de Campo Elétrico.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza13

Intensidade de Campo Elétrico

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  O campo elétrico gerado por uma carga pontual Q no ponto r' de um dado sistema de coordenadas é:

•  Adotaremos a seguinte convenção:

à r’ = (x’, y’, z’) são as coordenadas da fonte de campo

à r = (x, y, z) são as coordenadas do ponto de cálculo

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza14

!E(!r ) = Q

4πε0!R2 aR =

Q4πε0

!r − !r '( )!r − !r ' 3

Intensidade de Campo Elétrico

Origem

!r !r '

Q

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Existem diferentes formas de representar o campo elétrico (campo vetorial).

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza15

Intensidade de Campo Elétrico

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  Em coordenadas cartesianas, o campo elétrico gerado por uma carga pontual Q no ponto (x, y, z) é:

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza16

!E(x, y, z) = Q

4πε0

x − x '( ) ax + y− y '( ) ay + z− z '( ) az⎡⎣ ⎤⎦

x − x '( )2 + y− y '( )2 + z− z '( )2⎡⎣

⎤⎦3/2

Intensidade de Campo Elétrico

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  O campo gerado na posição r devido a ‘n’ cargas Qm distintas situadas nas posições rm é a superposição (soma) dos campos gerados por cada uma das cargas no ponto r.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza17

!E(!r ) = Qm

4πε0!r − !rm

2 amm=1

n

∑

Princípio da superposição

Origem

!r1

!rQ1

Q2

•  Como fica an em coordenadas cartesianas?

Pergunta?

!r2

Qn

!rn

Eletromagnetismo I - Eletrostática

•  O campo gerado na posição r =(x, y ,z) devido a ‘m’ cargas Qm distintas situadas nas posições rm = (xm , ym ,zm ) é a superposição (soma) dos campos gerados por cada uma das cargas no ponto r.

•  Explicitamente, em coordenadas cartesianas, o campo total é:

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza18

Princípio da superposição

!E(!r ) = Qm

4πε0

x − xm( ) ax + y− ym( ) ay + z− zm( ) az⎡⎣ ⎤⎦

x − xm( )2 + y− ym( )2 + z− zm( )2⎡⎣

⎤⎦3/2

m=1

n

∑

Eletromagnetismo I - Eletrostática

Considere duas cargas pontuais Q1=1nC e Q2 = 2nC situadas nos pontos (1, 2, 0)m e (3, 1, 0)m, respectivamente.

Calcule o campo elétrico resultante no ponto P = (1, 1, 0)m.

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza19

Exemplo