Prof. Eng. Francisco LemosDisciplina: Mecânica Geral
Vetores Cartesianos
Vetores Cartesianos
Componentes Retangulares de um Vetor
Considere um vetor A localizado no espaço como ilustrado na figura abaixo (no sistema x, y, z).
Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo podemos decompô-lo em componentes, como:
A = A’ + Az; onde A’ = Ax + Ay
Logo: A = Ax + Ay + Az
Vetores Cartesianos
Vetor Unitário
- Vetor que especifica a direção do vetor A, tem esse nome porque apresenta intensidade 1 (vetor unitário).
Representação: uA = A/A (vetor adimensional)
logo A = AuA
- Essa última expressão indica que A define sua intensidade, e uA (vetor adimensional) define a direção e o sentido de A.
Representação de um Vetor Cartesiano
Vetores Cartesianos
- Como as três componentes de A atuam nas direções positivas i, j, k, podemos escrever sob a forma de vetor cartesiano como:
A = Axi + Ayj + Azk
Vetores Cartesianos
Intensidade de um Vetor Cartesiano
222zyx AAAA
Através de relações trigonométrica temos:
22'
22'
,
,
yx
z
AAAonde
AAA
Vetores Cartesianos
Direção de um Vetor Cartesiano- A orientação de A é definida pelos ângulos diretores coordenados α (alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos positivos x, y, z localizados na origem de A.
Vetores Cartesianos
A
Axcos
A
Aycos
A
Axcos
Direção de um Vetor Cartesiano
- Para determinamos α, β e γ, vamos considerar a projeção de A sobre os eixos x, y, z.
- Esses números são conhecidos como cossenos diretores de A.
A
Azcos
Vetores Cartesianos
kjiA
uA A
A
A
A
A
A
AZyX
Direção de um Vetor Cartesiano
- Outro modo fácil de obter os cossenos diretores de A é criar um vetor unitário na direção de A.
- Por comparação com a equação anterior vemos que as componentes de uA (i, j, K) representam os cossenos diretores de A, isto é:
k j i uA coscoscos
Vetores Cartesianos
- Como a intensidade do vetor é igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados da intensidade de seus componentes e uA tem intensidade 1, então se pode estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores:
1coscoscos 222
Vetores Cartesianos
- Portanto se a intensidade e os ângulos de coordenada de direção de A são dados, A pode ser expresso sob forma vetorial cartesiana como:
k ji
k j i
uA
zyx
A
AAA
AAA
A
coscoscos
Adição e Subtração de Vetores
- Dados dois vetores A e B em função de suas componentes.
k j i
B AR
ResultanteVetor
kjiB
e
kjiA
zzyyxx
zyX
zyX
BABABA
BBB
AAA
Adição e Subtração de Vetores
k j i
B AR
ResultanteVetor
kjiB
e
kjiA
zzyyxx
zyX
zyX
BABABA
BBB
AAA
- Dados dois vetores A e B em função de suas componentes.
k j i
B AR
Subtração da ResultanteVetor
k j i
B AR
Adiçãoda ResultanteVetor
kjiB
e
kjiA
'
zzyyxx
zzyyxx
zyX
zyX
BABABA
BABABA
BBB
AAA
Adição e Subtração de Vetores
- Sistemas de forças Concorrentes
kjiFFzyxR FFF
Exemplo 5
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força F que atua sobre a estaca.
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