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Resistências dos Materiais Prof. José Wallace B. do Nascimento
Universidade Federal de Campina Grande/ Departamento de Engenharia Agrícola /1
Ca
pítu
lo 2
Tensão & deformação: Carregamento Axial
• Adequação de uma estrutura ou máquina pode depender das
deformações na estrutura bem como das tensões induzidas sob
carregamento. Muitas vezes só as Análises estáticas não são suficiente.
• Considerando as estruturas como deformáveis possibilitará a determinação
das forças nos membros e reações as quais são estaticamente
indeterminada.
• Determinação da distribuição de tensão no interior dos membros
sempre exige consideração de deformação.
• Neste capítulo tem o objetivo avaliar a deformação de um membro de
uma estrutura sob carregamento axial. Posteriormente, será estudado
torção e flexão pura.
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Ca
pítu
lo 2
strain normal
stress
L
A
P
L
A
P
A
P
2
2
LL
A
P
2
2
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Ensaio de tração: TensãoxDeformação
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Diagrama de TensãoxDeformação: Materiais dúctil
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Diagrama de TensãoxDeformação: Materiais frágil
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Ca
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Lei de Hooke: Módulo de Elasticidades
• Definição de tensão:
E= Módulo de Young/Módulo de
elasticidade
E
• A resistência é afetada pelo fusão dos
metais, tratamento térmico e processo
de fabricação, mas a dureza (módulo
de elasticidade) não é.
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Ca
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Comportamento Elástico versus Plástico
• Se a deformação desaparecer
quando retirar a tensão, o material
é considerado de comportamento
elástico.
• As maiores tensões para a qual
esta ocorre é chamada de limite
elástico.
• Quando a deformação na retorna
ao zero após a retirada da tensão,
o material é considerado de
comportamento plástico.
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Fadiga
• Propriedades de fadiga são
mostrada no diagrama
• Um membro pode falhar devido aos
níveis de tensões de fadiga bem
abaixo da resistência última se
submetido a muitos ciclos de
carregamento.
• Quando a tensão é reduzida
abaixo do limite de endurecimento,
falhas por fadiga não ocorre para
algum número de ciclo.
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AE
P
EE
• Lei de Hooke:
• Definição de deformação:
L
• Definição de alongamento,
AE
PL
• Situação em que existe várias cargas, seções
transversais e comprimentos:
i ii
ii
EA
LP
Deformação sob carregamento axial
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Ca
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Exemplo 2.01
in. 618.0 in. 07.1
psi1029 6
dD
E
Determinar a deformação do
peça mostrada sob a carga
dada.
SOLUÇÃO:
• Divide a peça nos pontas de aplicação
da carga
• Aplica do DCL para analisar cada
componente e determinar a força
interna.
• Avaliação total do deformação
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Ca
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SOLUÇÃO:
• Divide a´peça em três
partes:
221
21
in 9.0
in. 12
AA
LL
23
3
in 3.0
in. 16
A
L
• Aplica o DCL para cada parte e determina a
força interna.
lb1030
lb1015
lb1060
33
32
31
P
P
P
• Avaliação do alongamento total,
in.109.75
3.0
161030
9.0
121015
9.0
121060
1029
1
1
3
333
6
3
33
2
22
1
11
A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i ii
ii
in. 109.75 3
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Problema 2.1
A barra rígida BDE é suportada por
dois ligações AB e CD.
A ligação AB é feita be alumínio
(E=70GPa) e com área de 500mm2. A
ligação CD é de aço (E=200GPa) e
sua área de 600 mm2.
Para a força de 30kN aplicada no
ponto E, determine o deflexão em: a)
de B; b) de D e c) de E.
SOLUÇÃO:
• Aplica-se o DCL para a barra BDE
para encontrar as forças externas
pelas ligações AB e DC
• Avaliar a deformação da ligação AB
e DC ou o deslocamento de B e D.
• Pela geometria encontra-se a
deflexão em E dada a deflexões de
B e D.
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Ca
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Problema 2.1
DCL: Barra BDE
ncompressioF
F
tensionF
F
M
AB
AB
CD
CD
B
kN60
m2.0m4.0kN300
0M
kN90
m2.0m6.0kN300
0
D
SOLUÇÃO: Deslocamento de B:
m10514
Pa1070m10500
m3.0N1060
6
926-
3
AE
PLB
mm 514.0B
Deslocamento de D:
m10300
Pa10200m10600
m4.0N1090
6
926-
3
AE
PLD
mm 300.0D
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Ca
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Deslocamento de D:
mm 7.73
mm 200
mm 0.300
mm 514.0
x
x
x
HD
BH
DD
BB
mm 928.1E
mm 928.1
mm 7.73
mm7.73400
mm 300.0
E
E
HD
HE
DD
EE
Problema 2.1
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Ca
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Estaticamente Indeterminado
• Estruturas para as quais as forças internas e
reações não pedem ser determinas só pela estática
são classificada com estaticamente indeterminada.
• Uma estrutura será estaticamente indeterminada
sempre que existir mais suporte que o necessário
para mantê-la em equilíbrio.
• Reações redundantes são consideradas cargas
desconhecidas as aquais juntamente com
outras cargas podem produzir compatibilidade de
deformações.
• Deformações devido as cargas e reações
redundantes são determinadas separadamente e
em seguida adicionada ou superpostas.
0 RL
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Ca
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Exemplo 2.04Determinar as reações em A e B para a barra de
aço e cargas mostrada na figura.
SOLUÇÃO:
• Considerar a reação de B redundante, libera-
se a barra no suporte, e resolve o
deslocamento em B devido as cargas
aplicadas.
• Resolve o deslocamento em B devido a reação
redundante em B.
• Necessita que a deslocamento devido a as
cargas e devido a reação redundante sejam
compatíveis, i.e., requer que a soma seja zero.
• Encontrar a reação em A devido as cargas
aplicadas e a reação determinada em B.
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Ca
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SOLUTION:
• Determinar o deslocamento em B devido as cargas
aplicada com a liberaão da restrção,
EEA
LP
LLLL
AAAA
PPPP
i ii
ii9
L
4321
2643
2621
34
3321
10125.1
m 150.0
m10250m10400
N10900N106000
• Determinar o deslocamento de B devido a redundante
restrição,
i
B
ii
iiR
B
E
R
EA
LPδ
LL
AA
RPP
3
21
262
261
21
1095.1
m 300.0
m10250m10400
Exemplo 2.04
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Ca
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• Requer que os deslocamentos devido as cargas e devido a
reação redundante sejam compatíveis.
kN 577N10577
01095.110125.1
0
3
39
B
B
RL
R
E
R
E
• Encontra-se a reação em A devido as carags e a reação em
B.
kN323
kN577kN600kN 3000
A
Ay
R
RF
kN577
kN323
B
A
R
R
Exemplo 2.04
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Tensões Térmicas
térmicaexpansão de coef.
AE
PLLT PT
0
0
AE
PLLT
PT
TEA
P
TAEPPT
0
• As mudanças de temperatura resultam em variação
no comprimento ou tensão térmica. Não existe
tensões associada com a tensão térmica, a menos
que o alongamento seja restringido por suportes.
• Considerar o suporte adicional como redundante e
aplicar o princípio de superposição.
• A deformação térmica e a deformação do suporte
redundante deve ser compatível.
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Ca
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Coeficiente de Poisson
• Para uma barra esbelta submetida ao
carregamento axial: :
0 zyx
xE
• Coeficiente de Poisson é definido como,
x
z
x
y
strain axial
strain lateral
0 zy
• O alongamento na direção x é acompanhada pela
contração nas outras direções. Assumindo que o
material é isotrópico (não há dependência
direcional).
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Ca
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lo 2
Generalização da Lei de Hooke
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
• Com estas restrições:
• Para um elemento submetido a um
carregamento multi-axial, a componente de
tensão normal resultante das componentes de
tensões pode ser determinada pelo princípio da
superposição. Isto requer:
1) deformação seja linear em relação a tensão
2) pequenas deformações
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Ca
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Dilatação: Módulo de Volume• Relativo ao estado pouco articulado, a mudança no
volume é:
devolume) unidadepor volumeno (mudança dilatação
21
111111
zyx
zyx
zyxzyx
E
e
• Para elemento submetido a pressão hidrostática
uniforme,
volumede Módulo
213
213
Ek
k
p
Epe
• Submetida a pressão uniforme, a dilçatação pode ser
negativa, então
210
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Ca
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Tensão de cisalhamento
xyxy f
zxzxyzyzxyxy GGG
Onde G é o módulo de rigidez ou módulo de
cisalhamento.
• Um elemento cúbico submetido a tensão de
cisalhamento deformará internamente de forma
romboidal. A correspondente tensão de cisalhamento
é quantificada em termos de mudança no ângulo
entre os lados,
• O diagrama de tensão de cisalhamento versus
deformação de cisalhamento é semelhante ao
diagrama de tensão normal X deformação normal,
exceto que o valores da resistência que são
aproximadamente a metade,
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Ca
pítu
lo 2
Exemplo 2.10
O bloco retangular de material
com módulo de rigidez G=90ksi é
colado horizontalmente a duas
placas rígidas. A placa inferior é
fixa, enquanto a superior está
submetida a uma força horizontal
P. Conhecendo que a placa
superior move 0,04in sob ação da
força, determine a) a tensão de
cisalhamento média no material,
e b) a força P exercida na placa.
SOLUÇÃO:
• Determinar a deformação angular média
ou tensão de cisalhamento do bloco.
• Aplicar a lei de Hooke para tensão de
cisalhamento e deformação, determine a
correspondente tensão de cisalhamento.
• Use a definição de tensão de
cisalhamento para encontrar a força P.
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Ca
pítu
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rad020.0in.2
in.04.0tan xyxyxy
psi1800rad020.0psi1090 3 xyxy G
lb1036in.5.2in.8psi1800 3 AP xy
• Determine a deformação angular média do
bloco.
• Aplica-se a lei de Hooke para encontrar a
tensão de cisalhamento.
• Usando a definição de tensão de
cisalhamento, encontra-se a força P.
kips0.36P
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Ca
pítu
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Relação entre E, e G
12G
E
• Uma barra esbelta carregada axialmente
alongará na direção axial e se contraíra-
se nas direções transversais.
• Um elemento cúbico inicialmente
orientado como indicado na figura, se
deformará para um paralelepípedo. A
Carga axial produz tensão normal.
• Se o elemento cúbico estar orientado
como mostrado na figura ao lado,
deformará para um paralelogramo. A
carga axial resultara em tensão axial.
• Componentes de tensões normal e de
cisalhamento são relacionadas,
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Ca
pítu
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Exemplo 2.5
O circulo com diâmetro d=9in é traçado em um
placa de alumínio de espessura t=3/4in.
Forças atuando no plano da placa provoca
tensão normal x=12ksi e z=20ksi .
Para E=10x106psi e =1/3, determine a
variação no:
a) comprimento AB;
b) Comprimento CD;
c) Espessura da placa;
d) Volume da placa.
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Ca
pítu
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SOLUÇÃO:
• Aplica-se a lei generalizada de Hooke para encontar as três componentes de deformação normal..
in./in.10600.1
in./in.10067.1
in./in.10533.0
ksi203
10ksi12
psi1010
1
3
3
3
6
EEE
EEE
EEE
zyxz
zyxy
zyxx
• Determinar os alongamentos:
in.9in./in.10533.0 3 dxAB
in.9in./in.10600.1 3 dzDC
in.75.0in./in.10067.1 3 tyt
in.108.4 3AB
in.104.14 3DC
in.10800.0 3t
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Ca
pítu
lo 2
Materiais Compósitos
z
zz
y
yy
x
xx EEE
x
zxz
x
yxy
• Materiais compósito são formados de laminas de
fibras de grafite, vidro, vegetais ou polímeros
inseridas numa matriz.
• Tensões e deformações normais são relacionadas
pela Lei de Hooke mas com direcionamento
dependente do módulo de eleasticidade,
• Contrações transversais são relacionadas pela
direção dependente da razão de Poisson, ex.
• Materiais com propriedades mecânicas com
dependência direcional são anisotrópicos.
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Ca
pítu
lo 2
Princípio de Saint-Venant
• Cargas transmitidas através de placas
rígidas produz distribuição uniforme de
tensão e deformação.
• Cargas concentradas provocam altas
tensões na vizinhança do ponto de
aplicação da carga.
• Distribuições de tensões e deformações
torna-se uniforme numa distância
relativamente pequena do ponto de
aplicação da carga.
• Princípio de Sanit-Venant:
Distribuição de tensões pode ser
considerada independente do modo de
aplicação da carga, exceto na
vizinhança dos pontos de aplicação da
carga.
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Ca
pítu
lo 2
• Cargas transmitidas através de placas rígidas produz
distribuição uniforme de tensão e deformação.
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Ca
pítu
lo 2
• Cargas concentradas provocam altas tensões na
vizinhança do ponto de aplicação da carga.
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Ca
pítu
lo 2
• Distribuições de tensões e deformações torna-
se uniforme numa distância relativamente
pequena do ponto de aplicação da carga.
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Ca
pítu
lo 2
• Princípio de Sanit-Venant:
Distribuição de tensões pode ser considerada
independente do modo de aplicação da carga,
exceto na vizinhança dos pontos de aplicação
da carga.
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Ca
pítu
lo 2
"Aquele que não tem um objetivo,
raramente sente prazer em
qualquer empreendimento."
Giacomo Leopardi
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