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7/23/2019 Resoluo Grfica_ Exerccios de exame
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MATEMATICA A - 12o Ano
Funcoes - Resolucao grafica de problemas e equacoes
Exerccios de exames e testes intermedios
1. Seja fa funcao, de domnio R, definida por
f(x) =
2x + 1 + ex se x 0
3x + ln x
x se x >0
Na figura ao lado, estao representados, num referencial o.n. xOy,parte do grafico da funcaof, os pontos A e B , ambos pertencentesao grafico de f, e a reta AB
Sabe-se que:
a reta AB e paralela a bissetriz dos quadrantes pares; os pontos A e B tem abcissas simetricas; a abcissa do ponto A pertence ao intervalo ]0, 1[
x
y
O
f
A
B
Seja a a abcissa do ponto ADetermine o valor de a, recorrendo a calculadora grafica.Na sua resposta, deve:
equacionar o problema; reproduzir, num referencial, o grafico da funcao ou os graficos das funcoes que visualizar na calcula-
dora, devidamente identificado(s);
indicar o valor de a, com arredondamento as milesimas.
Teste Intermedio 12o ano 30.04.2014
2. Considere a funcao f, de domnio ]0, [ definida por f(x) = ln x + cos x 1Sabe-se que:
A e um ponto do grafico de f a reta tangente ao grafico de f, no ponto A, tem inclinacao
4 radianos.
Determine a abcissa do ponto A, recorrendo a calculadora grafica.Na sua resposta, deve:
equacionar o problema; reproduzir o grafico da funcao ou os graficos das funcoes que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar a abcissa do ponto Acom arredondamento as centesimas.
Exame 2013, Ep. especial
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3. Considere, num referencial o.n. xOy, a representacao grafica da funcao f, de domnio [1, 2] definida porf(x) = x31+ln(x2+1), o pontoA de coordenadas (2, 0) e um ponto Pque se desloca ao longo do graficoda funcao fExiste uma posicao do ponto Ppara a qual a area do triangulo [AOP] e mnima.Determine a area desse triangulo, recorrendo a calculadora grafica.Na sua resposta, deve:
reproduzir o grafico da funcao ou os graficos das funcoes que tiver necessidade de visualizar nacalculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar o valor da area do triangulo [AOP] com arredondamento as centesimas.
Exame 2013, 2a Fase
4. Considere a funcao f, de domnio R \ 0, definida por
f(x) =
ex1
e4x1 se x 0
Resolva, recorrendo a calculadora grafica.Considere, num referencial o.n. xOy, a representacao grafica da funcao g, de domnio R+, definida porg(x) =f(x) x + ln2 xSabe-se que:
A e o ponto de coordenadas (2, 0) B e o ponto de coordenadas (5, 0) P e um ponto que se desloca ao longo do grafico da funcao g
Para cada posicao do ponto P, considere o triangulo [ABP]Determine as abcissas dos pontos Ppara os quais a area do triangulo [ABP] e 1Na sua resposta, deve:
equacionar o problema; reproduzir o grafico da funcao ou os graficos das funcoes que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar as abcissas dos pontos P com arredondamento as centesimas.
Exame 2013, 1a Fase
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5. Seja fa funcao, de domnio R, definida por f(x) =
3x + 3x2 + 9
se x 4
ln(3x 11)x 4 se x >4
Considere, num referencial o.n. xOy, o triangulo [OP Q] tal que:
o ponto P e o ponto de interseccao do grafico da funcao fcom o eixo das ordenadas; o ponto Q e o ponto do grafico da funcaofque tem abcissa positiva e ordenada igual a ordenada do
ponto P
Determine um valor aproximado da area do triangulo [OP Q], recorrendo a calculadora grafica.Na sua resposta, deve:
reproduzir, num referencial, o grafico da funcao f para x [0, 10] desenhar o triangulo [OP Q] indicar a abcissa do ponto Qarredondada as milesimas; apresentar a area do triangulo [OP Q] arredondada as centesimas.
Nota Sempre que, nos calculos intermedios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo, trescasas decimais.
Teste Intermedio 12o ano 24.05.2013
6. Considere, num referencial o. n. xOy, o grafico da funcao f, de domnio R+, definida por
f(x) =e0,1x + ln(3x + 1)
Seja Pum ponto do grafico de fA distancia do ponto P a origem e igual a 2Determine a abcissa do ponto P, recorrendo a calculadora grafica.
Na sua resposta, deve:
equacionar o problema; reproduzir o grafico da funcao ou os graficos das funcoes que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar a abcissa do ponto P com arredondamento as centesimas.
Exame 2012, Ep. especial
7. Considere a funcao f, de domnio [7, 0[, definida por
f(x) =ex + ln(x2) + 3
Sejam A e B os pontos de interseccao do grafico de f com a bissetriz dos quadrantes pares, e seja d adistancia entre os pontos Ae BDetermine d, recorrendo a calculadora grafica.Na sua resposta, deve:
reproduzir o grafico da funcao ou os graficos das funcoes que tiver necessidade de visualizar nacalculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
assinalar os pontos A e B indicar as coordenadas dos pontos Ae B com arredondamento as centesimas; apresentar o valor de d com arredondamento as centesimas.
Exame 2012, 2a
Fase
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8. Considere a funcao f, de domnio R, e a funcao g, de domnio ]0, +[, definidas por
f(x) =ex2 4ex + 4
e2 e g = ln(x) + 4
Considere, num referencial o. n. xOy, os graficos das funcoes f e g e o triangulo [OAB]Sabe-se que:
O e a origem do referencial; A e B sao pontos do grafico de f a abcissa do ponto A e o zero da funcao f o ponto B e o ponto de interseccao do grafico da funcao fcom o grafico da funcao g
Determine a area do triangulo [OAB], recorrendo a calculadora grafica. Na sua resposta, deve:
reproduzir os graficos das funcoes f e g, devidamente identificados, incluindo o referencial; assinalar os pontos A e B indicar a abcissa do ponto Ae as coordenadas do ponto B com arredondamento as centesimas;
apresentar o valor da area pedida com arredondamento as decimas.Exame 2012, 1a Fase
9. De uma certa funcao fsabe-se que:
o seu domnio e ]1, +[ a sua derivada e dada por f(x) =x2 4x +9
2 4ln(x 1)
Na figura ao lado, estao representadas:
parte do grafico da funcao f
a reta r que e tangente ao grafico da funcaofno ponto A, de abcissa 2
a reta sque e tangente ao grafico da funcao fno ponto B x
y
0
f
2 b
A
B
r
s
As retas r e ssao paralelas.Seja ba abcissa do ponto BDetermine, recorrendo a calculadora grafica, o valor de bNa sua resposta, deve:
equacionar o problema; reproduzir e identificar o(s) grafico(s) que tiver necessidade de visualizar na calculadora para resolver
graficamente a equacao;
assinalar o ponto relevante para a resolucao do problema; apresentar o valor de b arredondado as centesimas.
Teste Intermedio 12o ano 24.05.2012
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10. Na figura ao lado, esta representada, num referencial o. n.xOy, parte do grafico da funcao f, de domnio ] , 6[,definida por f(x) = 2 + 15ln
3 1
2x
Considere que um ponto C se desloca ao longo do grafico def, e que C tem coordenadas positivas.Para cada posicao do ponto C, considere o rectangulo
[OACB], em que o ponto A pertence ao eixo das abcissas eo ponto B pertence ao eixo das ordenadas.
Determine, recorrendo a calculadora grafica, a abcissado ponto A para a qual a area do rectangulo [OACB] emaxima.
x
y
0
B
A
C
f
Na sua resposta, deve:
escrever a expressao que da a area do rectangulo [OACB] em funcao da abcissa do ponto A; reproduzir o grafico da funcao ou os graficos das funcoes que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar a abcissa do ponto Acom arredondamento as centesimas.Exame 2011, Prova especial
11. De duas funcoesf e g sabe-se que:
ftem domnio Re e definida por f(x) = 4sen(5x) g tem domnio
2
3 ,
3
, e g , primeira derivada de g , tem domnio,
2
3 ,
3
; e e definida por
g(x) = log2
6 x
Seja ha funcao, de domnio
2
3 ,
3
, definida por h(x) =f(x) g(x)
O ponto A pertence ao grafico da funcao h
Sabe-se que a reta tangente ao grafico da funcao h no ponto A e paralela ao eixo OxRecorrendo as capacidades graficas da sua calculadora, determine a abcissa do pontoA. Na sua resposta,deve:
equacionar o problema; reproduzir o grafico da funcao, ou os graficos das funcoes, que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar a abcissa do ponto com arredondamento as decimas.
Exame 2011, Ep. especial
12. Considere a funcao f, de domnio 0,
2 ,definida por f(x) =e2x + cos x 2x2
Sabe-se que:
B e um ponto do grafico de f a reta de equacao y= 8x e paralela a reta tangente ao grafico de fno ponto B
Determine, recorrendo a calculadora grafica, a abcissa do ponto B
Na sua resposta, deve:
equacionar o problema; reproduzir o grafico da funcao, ou os graficos das funcoes, que tiver necessidade de visualizar na
calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar a abcissa do ponto B com arredondamento as centesimas.
Exame 2011, 2a Fase
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13. Considere a funcao f , de domnio R, definida por f(x) =
3
x 1 se x
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16. Considere a funcao f, de domnio ]0, +[, definida por
f(x) =
ex 3xx
se 0< x 2
1
5x ln x se x >2
Determine a area do triangulo [ABC], recorrendo as capacidades graficas da sua calculadora.Sabe-se que:
A, B e C sao pontos do grafico da funcao f A e B sao os pontos cujas abcissas sao as solucoes, no intervalo ]0, 2], da equacao f(x) =f(15) C e o ponto cuja ordenada e o mnimo da funcao f, no intervalo ]0, 2], e cuja abcissa pertence ao
intervalo ]0, 2]
Na sua resposta, deve:
reproduzir o grafico da funcao, ou os graficos das funcoes, que tiver necessidade de visualizar nacalculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar as coordenadas dos pontos A, B e C, com arredondamento as centesimas; apresentar o resultado pedido, com arredondamento as decimas.
Exame 2010, 2a Fase
17. Considere uma funcao f , de domnio ]0, 3[, cuja derivada f, de domnio ]0, 3[, e definida por
f(x) =ex 1x
Estude a funcaofquanto a monotonia e quanto a existencia de extremos relativos, recorrendo as capaci-dades graficas da sua calculadora.Na sua resposta, deve:
reproduzir o grafico da funcao, ou os graficos das funcoes, que tiver necessidade de visualizar nacalculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
indicar os intervalos de monotonia da funcao f; assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento as centesimas.
Exame 2010, 1a Fase
18. Na figura ao lado, esta representado um triangulo retangulo [ABC], cujoscatetos [AB] e [BC], medem 5 unidades.Considere que um ponto Pse desloca sobre o cateto [BC], nunca coincidindocom nem B comCPara cada posicao do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do angulo
BAP
x
0,
4
Seja f a funcao que, a cada valor de x, faz corresponder o permetro dotriangulo [AP C]
Sabe-se que f(x) = 5
cos x 5 tg x + 50 + 5
A B
C
P
x
5
5
Existe um valor de xpara o qual o permetro do triangulo [AP C] e igual a 16Determine esse valor, arredondado as centesimas, recorrendo as capacidades graficas da calculadora.Apresente o(s) grafico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolucao doproblema.
Teste Intermedio 12o ano 19.05.2010
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19. Seja fa funcao, de domnio R+, definida por f(x) =
x 2x 2x se 0 < x
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23. Sejafa funcao de domnio R definida por
f(x) =
3x2 3x2 2x + 1 se x g(x), recorrendo as capacidades graficas da suacalculadora.Para resolver esta inequacao, percorra os seguintes passos:
visualize as curvas representativas dos graficos das duas funcoes; reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; assinale, ainda, os pontos A e B, de interseccao dos graficos das duas funcoes, indicando as suas
coordenadas, com aproximacao as decimas.
Exame 2008, 2a Fase
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26. Considere, num referencial ortonormado xOy, os graficos das funcoes f e g, de domnio [0, 3], definidaspor f(x) = ln(x + 2) e g(x) =e ex1 (ln designa logaritmo de base e).Determine aarea de um triangulo [OAB], com aproximacao as decimas,recorrendo as capacidadesgraficas da sua calculadora.Para construir o triangulo [OAB], percorra os seguintes passos:
visualize as curvas representativas dos graficos das duas funcoes, no domnio indicado; reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora; assinale, ainda:
a origem O do referencial;
o ponto A de intersecao do grafico das duas funcoes, indicando as suas coordenadas, com apro-ximacao as decimas;
o ponto B de intersecao do grafico da funcao g com o eixo Ox.
Exame 2008, 1a Fase
27. Seja fa funcao de domnio [3, 3] definida por
f(x) =
ex
1 + xx
se 3 x
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28. Admita que uma certa populacao de seres vivos evolui de acordo com a seguinte lei: o numero de indivduosda populacao, tdias apos um certo instante inicial, e dado aproximadamente por
P(t) =aekt
t R0+
em que
a
e o numero de indivduos da populacao no instante inicial (a >
0) k e uma constante realAdmita que, as zero horas do dia 1 do corrente mes, se iniciou, em laboratorio, uma cultura de bacterias,em pequena escala, na qual se juntaram 500 indivduos de uma estirpe A e 500 indivduos de uma estirpeB.Sabe-se que
no caso da estirpe A, o valor da constante kA, com quatro casas decimais, e kA= 0, 6931 no caso da estirpe B, o valor da constante kB, com quatro casas decimais, e kB = 0, 1155
Nunca foram introduzidos mais indivduos destas duas estirpes nesta cultura.Quer a estirpe A, quer a estirpe B, evoluram de acordo com a acima lei referida.
Durante a primeira semana, houve um momento em que o numero total de indivduos destas duasestirpes, existentes na cultura, atingiu o valor mnimo.Utilizando os valores de ka e de kb e recorrendo as capacidades graficas da sua calculadora, determine odia e a hora em que tal aconteceu (hora arredondada as unidades).Apresente, na sua resposta:
a expressao da funcao que da o numero total de indivduos destas duas estirpes, existentes na cultura,em funcao do tempo;
o grafico dessa funcao, para t [0, 7], no qual deve estar devidamente assinalado o ponto necessarioa resolucao do problema;
a coordenada relevante desse ponto, arredondada as milesimas.
Teste Intermedio 12o
ano 17.01.2008
29. Considere a funcao g , definida no intervalo ]1, 7[ por g (x) =sen x + ln x
x (ln designa logaritmo na basee)
Recorrendo as capacidades graficas da calculadora, visualize o grafico da funcao g e reproduza-ona sua folha de prova.Com base nesse grafico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolva o seguinteproblema:Seja a funcao g derivada de g. O conjunto solucao da inequacao g(x) < 0 e um intervalo aberto ]a, b[.Determine os valores dea e deb. Apresente os resultados arredondados as centesimas.Justifique a sua resposta.
Exame 2007, 2a Fase
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30. Sejafa funcao, de domnio [1, 5], definida porf(x) = ln x(ln designa logaritmo na base e)
Na figura ao lado esta representado, em referencialortonormadoxOy, o grafico da funcao f.
Considere que um ponto P se desloca ao longo dografico de f. Para cada posicao do ponto P, considere oretangulo em que um dos lados esta contido no eixo Ox,outro na reta de equacao x = 5 e os outros dois nas retasvertical e horizontal que passam pelo ponto P.
x
y
0
f
1 5
P
Exprima a area do retangulo em funcao da abcissa de P, e, recorrendo a calculadora grafica, determinea abcissa de P (aproximada as centesimas) para a qual a area do retangulo e maxima. Apresente oselementos recolhidos na utilizacao da calculadora:
o grafico obtido; o ponto de ordenada maxima e respetivas coordenadas.
Exame 2007, 1a
Fase
31. Considere, num referencial o. n. xoy,
a curva C, que representa graficamente a funcao f, de domnio [0, 1], definida por f(x) =ex + 3x a reta r, de equacao y= 5
Recorrendo as capacidades graficas da sua calculadora, visualize a curva Ce a reta r, na janela[0, 1] [0, 7] (janela em que x [0, 1] e y [0, 7]).Reproduza, na sua folha de teste, o referencial, a curva Ce a reta r , visualizados na calculadora.Assinale ainda os pontos O, P e Q, em que:
O e a origem do referencial; P e o ponto de coordenadas (0, e); Q e o ponto de intersecao da curva Ccom a reta r; relativamente a este ponto, indique, com duas
casas decimais, a sua abcissa, que deve determinar com recurso a calculadora.
Desenhe o triangulo [OP Q] e determine a sua area. Apresente o resultado final arredondado as decimas.Se, em calculos intermedios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo, duas casas decimais.
Teste Intermedio 12o ano 15.03.2007
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32. Como sabe, a Terra descreve uma orbita elptica em torno do Sol.Na figura esta representado um esquema dessa orbita. Esta as-sinalado o perielio, o ponto da orbita da Terra mais proximo doSol.Na figura esta assinalado um angulo de amplitude x radianos(x [0, 2[).Este angulo tem o seu vertice no Sol, o seu lado origem passa noperielio e o seu lado extremidade passa na Terra.
A distancia d, em milhoes de quilometros, da Terra ao Sol, e (aproximadamente) dada, em funcao de xpor d= 149, 6(1 0, 0167 cos x).
Sabe-se que xverifica a relacao 2t
T =x 0, 0167 sen xem que:
t e o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo perielio ate ao instante em queatinge a posicao correspondente ao angulox;
T e o tempo que a Terra demora a descrever uma orbita completa (365,24 dias).Sabe-se que a ultima passagem da Terra pelo perielio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de Janeiro.
Determine a distancia a que a Terra se encontrava do Sol, a mesma hora do dia 14 de Fevereiro. Apresente oresultado em milhoes de quilometros, arredondado as decimas. Nos valores intermedios, utilize, no mnimo,quatro casas decimais.Nota: a resolucao desta questao envolve uma equacao que deve ser resolvida graficamente, com recursoa calculadora; os apresente todos elementos recolhidos na utilizacao da calculadora, nomeadamente ografico, ou graficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum, ou de alguns, ponto(s).
Exame 2006, 2a Fase
33. Considere a funcaofdefinida no intervalo [1, 2] por f(x) = cos(x 1)+ln x(ln designa logaritmo de basee).Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real f, a funcao g, definida no intervalo [1, 2]por g(x) =a.f(x) + btem por contradomnio o intervalo [4, 5].
Utilizando as capacidades graficas da sua calculadora, determine os valores de a e de b, arredondados ascentesimas.Explique como procedeu. Na sua explicacao, deve incluir o grafico, ou graficos, que tenha visualizado nacalculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos.Sempre que, em valores intermedios, proceder a arredondamentos, conserve um mnimo de tres casasdecimais.
Exame 2006, 1a Fase
34. Um estudo de mercado, encomendado por uma empresa de venda de produtos alimentares, concluiu quea quantidade de azeite Azeitona do Campo, vendida num mes por essa empresa, depende do lucro obtido,de acordo com a funcao
L(x) = (x
3)e14x
sendo xo preco de venda ao publico, em euros, de 1 litro desse azeite e L(x) o lucro mensal da empresa(em euros), resultante da venda do azeite.Utilize a calculadora para resolvergraficamenteo seguinte problema:Entre que valores deve variar o preco de um litro de azeite de venda ao publico para que o lucro mensalseja superior a dezasseis mil e quinhentos euros?Apresente os valores em euros, arredondados aos centimos (de euro).Apresente na sua resposta os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora: graficos e coordenadasrelevantes de alguns pontos.
Teste Intermedio 12o ano 17.03.2006
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35. Na figura ao lado, estao representadas uma semir-reta AB e uma circunferencia de centro O e de raio1 (os pontos O, A e B sao colineares; o ponto Apertence a circunferencia.
Considere que o ponto P se desloca ao longoda semirreta AB, nunca coincidindo com o ponto A.
Os pontos R e S acompanham o movimento doponto P, de tal forma que as retas P R e P S saosempre tangentes a circunferencia, nos pontos R eS, respetivamente.Seja a amplitude, em radianos, do angulo SOR( ]0, [).
AO
P
B
R
S
1
A area do quadrilatero[ORPS] e dada, em funcao de , por f() = tg
2
Recorra a calculadora para determinar graficamente a solucao da equacao que lhe permite resolver oseguinte problema:
Qual e o valor de, para o qual a area do quadrilatero [ORPS] e igual a area da regiao sombreada?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora, nomeadamente o grafico, ougraficos, obtido(s), bem como as coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente o valor pedidona forma de dzima, arredondado as decimas.
Exame 2005, Ep. especial
36. Na figura ao lado esta repre-sentada a trajetoria de umabola de futebol, depois deter sido pontapeada por umjogador de da selecao portu-guesa, durante um treino de
preparacao para o EURO-2004.
Designou-se por a a distancia,em metros, entre o ponto ondea bola foi pontapeada e oponto onde ela caiu.
Considere a funcao h defi-nida em [0, a] por
h(x) = 2x + 10 ln(1 0, 1x) (ln designa logaritmo de basee)
Admita que h(x) e a distancia, em metros, da bola ao solo, no momento em que a sua proje cao no
solo se encontra a x metros do local onde foi pontapeada.
Recorrendo a calculadora, determine o valor de a, arredondado as centesimas.Explique como procedeu, apresentando todos os elementos recolhidos na utilizacao da cal-culadora.
Exame 2005, 2a Fase
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37. No incio de 1972, havia quatrocentos lobos num determinado parque natural.As medidadas de protecao a lobos fizeram com que o referido numero aumentasse continuamente. Osrecursos do parque permitem que o numero de lobos cresca ate bastante perto de um milhar, mas naopermitem que esse valor seja ultrapassado.Nestas condicoes, apenas uma das expressoes seguintes pode definir a funcao P que da o numero aproxi-mado de lobos existentes no parque natural, t anos apos o incio de 1972.
(A) 10001 + e0,5t
(B) 10001 + 1, 5e0,5t
(C) 12001 + 2et
(D)1000 600(t3 + 1)et
Qual e a expressao correta? Numa pequena composicao, com cerca de dez linhas, explique as razoesque o levariam a rejeitar as outras tres opcoes (apresente tres razoes diferentes, uma por cadaopcao rejeitada).Nota: poder-lhe-a ser util recorrer as capacidades graficas da sua calculadora. Se o fizer, deve repro-duzir o(s) grafico(s) obtido(s).
Exame 2005, 2a Fase
38. Na figura ao lado esta representada uma circunferencia com centrono ponto O e raio 3.Os diametros [EF] e [GH] sao perpendiculares.
Considere que o ponto B se desloca sobre o arco F G.Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B, detal forma que:
as cordas [AB] e [CD] permanecem paralelas a [EF]; [AD] e [BC] sao sempre diametros da circunferencia
Os pontosIe Jtambem acompanham o mesmo movimento, de talforma que sao sempre os pontos de intersecao de [GH] com [AB] e[CD], respetivamente.
FE
G
H
A
C
B
D
O
I
J
x
3
Para cada posicao do ponto B , sejax a amplitude, em radianos, do anguloF OB,
x 0,
2
e a a areada regiao sombreada e dada, em funcao de xpor A(x) = 18(x + sen x. cos x)
Recorra a calculadora para determinar graficamente a solucao da equacao que lhe permite resolvero seguinte problema: Qual e o valor dex para o qual a area da regiao sombreada e igual a metade da areado crculo?Apresente todos os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora, nomeadamente obtido(s), bem comocoordenadas relevantes o grafico, ou graficos, de algum, ou de alguns, ponto(s). Apresente o resultado naforma de dzima, arredondado as centesimas.
Exame 2005, 1a Fase
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39. Considere a funcaof, de domnio R, definidapor f(x) = sen (ax), onde a designa umaconstante real (o argumento da funcaosenoesta expresso emradianos).
Na figura ao lado esta parte da repre-
sentacao grafica da funcao f.Na figura estao tambem representadas:
uma reta r tangente ao grafico fde noponto de abcissa 0;
uma reta s tangente ao grafico fde noponto de abcissa 2.
x
y
0
f
r s
2
Recorra a calculadora para determinar graficamente a solucao da equacao que lhe permite resolver oseguinte problema:
Sabendo que as retasr es sao perpendiculares e quea
3
2, 2
, qual e o valor dea?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora, nomeadamente o grafico, ou
graficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum (ou alguns) ponto(s). Apresente o valorpedido na forma de dzima, arredondado as decimas.
Exame 2004, Ep. especial
40. Considere a funcao f, de domnio R+, definida por f(x) = ex 1
x
O conjunto solucao da inequacao f(x) 3 + ln x e um intervalo fechado [a, b] (ln designa logaritmode base e).Recorrendo a sua calculadora, determine, graficamente, valores para a e b, arredondados as centesimas.Nota: apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora, nomeadamente,o grafico ou graficos obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos.
Exame 2004, 2a Fase
41. A figura ao lado, a esquerda, representa umdeposito de forma cilndrica, que contem umcerto volume de um combustvel.Admita que a funcao V, de domnio [0, 2],definida por
V(x) = 80(x sen x)
da o volume, em metros cubicos, de com-bustvel existente no deposito, em funcao da
amplitude x, em radianos, do arco ABC(que, como se sabe, e igual a amplitude doangulo ao centro correspondente, assinaladona figura da direita).
Recorra a calculadora para determinar graficamente a solucao da equacao que lhe permite resolvero seguinte problema: Qual tera de ser a amplitude, em radianos, do arco ABC para que existam300m3
de combustvel no deposito ?Apresente todos os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora, nomeadamente o grafico, ougraficos, obtido(s). Apresente o resultado na forma de dzima, arredondado as decimas.
Exame 2004, 1a Fase
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42. O polinomio A(x) = x4 7x3 + 7x2 + 15x6 tem quatro razes reais distintas. Recorrendo a suacalculadora, determine, com aproximacao as decimas, o numero real positivo k para o qual o polinomioA(x) k tenha tres razes reais distintas.Explique como procedeu. Na sua explicacao, deve incluir o(s) grafico(s) obtido(s) na sua calculadora, bemcomo coordenada(s) que considere relevante(s) de algun(s) ponto(s).
Exame 2003, Prova para militares
43. A Rita esta a participar num concurso de papagaios de papel.No regulamento do concurso, estao as condicoes de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir:
Apos um certo instante, indicado pelo juri:
o papagaio nao pode permanecer no ar mais do que um minuto; o papagaio tem de permanecer no ar, pelo menos doze segundos seguidos, a uma altura
superior a dez metros;
o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura.
Admita que a distancia, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos apos o instante indicadopelo juri, e dada por
d(t) = 9, 5 + 7sen
t2
200
+ 5 cos
t
4
(os argumentos das funcoes seno e co-seno estao expressos em radianos).
Note-se que, a partir do momento em que o papagaio atinge o solo, a distancia do papagaio ao solodeixa de ser dada pela expressao, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero.
Devera a Rita ser apurada para a final?
Utilize a calculadora para investigar esta questao. Numa pequena composicao, com cerca de dez li-nhas, explicite as conclusoes a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, oselementos recolhidos na utilizacao da calculadora: graficos e coordenadas de alguns pontos(coordenadas arredondadas as decimas).
Exame 2003, 2a Fase
44. De uma funcao f, de domnio R, sabe-se que a sua derivada e dada por
f(x) = (x + 1)ex 10x
Seja Ao unico ponto de inflexao do grafico de f.Recorrendo as capacidades graficas da sua calculadora, determine a abcissa do ponto A, arredondada as
decimas.Explique como procedeu. Inclua, na sua explicacao, o(s) grafico(s) que obteve na calculadora.
Exame 2003, 1a fase - 2a chamada
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45. Na figura ao lado esta representado a sombreado um polgono[ABEG].Tem-se que:
[ABFG]e um quadrado de lado 2 F D e um arco de circunferencia de centro em B; o ponto
Emove-se ao longo desse arco; em consequencia, o pontoC
desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se temsempre [EC] [BD]
x designa a amplitude, em radianos, do anguloCBE
x
0,
2
A
G
C
F
DB
x
E
2
2
2
Sabendo que a area do polgono [ABEG] e dada, em funcao de x, por A(x) = 2(1+ sen x +cos x), recorraa calculadora para determinar graficamenteas solucoes da equacao que lhe permite resolver o seguinteproblema:Quais sao os valores dex para os quais a area do polgono [ABEG] e4, 3?Apresente todos os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora, nomeadamente o grafico, ougraficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos naforma de dzima, arredondados as decimas.
Exame 2003, 1a fase - 1a chamada
46. Considere as funcoes f : R+ R e g: R R, definidas por:
f(x) = ln x (ln designa logaritmo de basee)
g(x) =x2 3
Utilizando as capacidades graficas da sua calculadora, investigue se todo o numerox do intervalo [0, 1; 1, 8]e solucao da inequacao f(x)> g(x). Indique a conclusao a que chegou e explique como procedeu. Deveraincluir na sua explicacao os graficos obtidos na sua calculadora.
Exame 2002, Prova para militares
47. Considere as funcoes f e g de domnio R, definidas por
f(x) = 1
3+ 2e1x g(x) = 2sen x cos x
Recorrendo a calculadora, determine as solucoes inteiras da inequacao f(x) > g(x), no intervalo de[0, 2].Explique como procedeu.
Exame 2002, 2a Fase
48. De uma funcaof, de domnio [, ], sabe-se que a suaderivadaf esta definida igualmente no intervalo[, ] e e dada por
f(x) =x + 2 cos x
O grafico de fcontem um unico ponto onde a reta tangente e paralela ao eixo Ox.Recorrendo a sua calculadora, determine um valor arredondado as centesimas para a abcissa desse ponto.Explique como procedeu.
Exame 2002, 1a fase - 2a chamada
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49. Doses terapeuticas iguais de um certo antibiotico sao administradas, pela primeira vez, a duas pessoas: aAna e o Carlos.Admita que, durante as doze primeiras horas apos a tomada simultanea do medicamento pela Ana e peloCarlos, as concentracoes de antibiotico, medidas em miligramas por litro de sangue, s ao dadas, respetiva-mente, por
A(t) = 4t3et e C(t) = 2t3e0,7t
A variavel t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o medicamento etomado (t [0, 12]).Considere as seguintes questoes:
1. Quando a concentracao ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento podeter efeitos secundarios indesejaveis. Esta situacao ocorrera, neste caso, com alguma destasduas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o referidolimiar sera ultrapassado?
2. Depois de atingir o nvel maximo, a concentracao comeca a diminuir. Quando fica inferiora 1 miligrama por litro de sangue, e necessario tomar nova dose do medicamento. Quemdeve toma-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro?
Utilize as capacidades graficas da sua calculadora para investigar estas duas questoes.Numa pequena composicao, com cerca de dez linhas, explicite as conclusoes a que chegou, justificando-asdevidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilizacao da calculadora: graficos ecoordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas as decimas).
Exame 2002, 1a fase - 1a chamada
50. Considere a funcao, de domnio R+, definida por f(x) =x + sen
xRecorrendo as capacidades graficas da sua calculadora, determine o numero de zeros da funcao f, no
intervalo
1
4, +
Explique como procedeu, apresentando o grafico, ou graficos, em que se baseou para dar a sua resposta.
Exame 2001, Prova para militares
51. Na figura ao lado estao representadas, em referencial o. n. xOy
uma curva C, grafico da funcaof, de domnio R, definida porf(x) =ex
uma reta r, grafico da funcao g, de domnio R, definida porg(x) =x 2
uma reta sparalela ao eixo OySejam A e B os pontos de intersecao da reta s com a curva C ecom a reta r , respetivamente.
Imagine que a reta s se desloca, mantendo-se sempre paralela aoeixoOy.Os pontos A e B acompanham, naturalmente, o deslocamento daretas.
Sejaxa abcissa do ponto A.
x
y
0
C
r
s
A
B
Recorrendo a calculadora, determine x [0, 2] tal que AB = 5. Apresente o resultado aproximadoas decimas. Explique como procedeu (na sua explicacao, deve incluir o grafico, ou graficos, que consideroupara resolver esta questao).
Exame 2001, Ep. especial
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52. Admita que, num dia de Verao, a temperatura da agua de um lago, em graus centgrados, pode ser dada,aproximadamente, por
f(t) = 17 + 4 cos
(t + 7)
12
onde tdesigna o tempo, em horas, decorrido desde as zero horas desse dia.(Considere que o argumento da funcao cosseno esta expresso em radianos.)
Numa pequena composicao, com cerca de quinze linhas, indique como varia a temperatura da agua dolago, ao longo do dia.Nao deixe de referir os seguintes aspetos:
quando e que a temperatura aumenta, e quando e que diminui; a que horas e que a temperatura e maxima, e qual e o valor desse maximo; a que horas e que a temperatura e mnima, e qual e o valor desse mnimo; as melhores horas para se tomar banho, admitindo que um banho so e realmente bom se a temperatura
da agua nao for inferior a 19 graus.
Utilize a calculadora, se considerar que lhe pode ser util.Se o desejar, pode enriquecer a sua composicao com o tracado de um ou mais graficos.
Exame 2001, Ep. especial
53. Na figura ao lado esta representado o grafico da funcao f, dedomnio [0, 2], definida por f(x) =x + 2 cos x.
A e B sao pontos do grafico cujas ordenadas sao extremos
relativos de f, e a ordenada do ponto A e + 6
3
6
Considere a reta tangente ao grafico de fno ponto A.
Essa reta interseta o grafico num outro ponto C.Recorrendo a calculadora, determine um valor aproximado paraa abcissa do ponto C (apresente o resultado arredondado asdecimas).Explique como procedeu (na sua explicacao, deve incluir o grafico,ou graficos, que considerou para resolver esta questao).
x
y
0 2
A
B
Exame 2001, 1a fase - 2a chamada
54. Considere a funcao f, de domnio R+, definida por f(x) = 3x 2 ln x(ln designa o logaritmo de base e).O grafico de fcontem um unico ponto cuja ordenada e o quadrado da abcissa.Recorrendo a calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa desse ponto (apresente o resul-
tado arredondado as decimas).Explique como procedeu (na sua explicacao, deve incluir o grafico, ou graficos, que considerou para resolveresta questao).
Exame 2001, 1a fase - 1a chamada
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55. Considere a funcao h, de domnio R, definida por
h(x) =
x + 1
x se x 0
Considere a funcao j, de domnio R \ {0}, definida por j (x) = 13x
No intervalo [1, 1000], os graficos de j e de h intersetam-se em 1001 pontos.Destes 1001 pontos, seja A o que tem menor abcissa positiva. Determine as coordenadas desse ponto(apresente os valores na forma de dzima com aproximacao as decimas).
Exame 2001, Prova modelo
56. Considere a funcao f, de domnio R, definido por f(x) =x + 3 sen
x
2
ln(ex
+ 4)56.1. Sabe-se que existe lim
x+f(x) e que o seu valor e um numero inteiro.
Recorrendo a sua calculadora, conjeture-o. Explique como procedeu.
56.2. Sera conclusivo, para a determinacao de limx+
f(x), um metodo que se baseie exclusivamente na
utilizacao da calculadora? Justifique a sua resposta.
Exame 2001, Prova modelo
57. Considere a funcao f de domnio Rdefinida por f(x) = 2x cos x
Na figura ao lado estao representadas:
parte do grafico da funcao f parte de uma retar, cuja inclinacao e 45o, que contem o ponto
A(3, 0) e que interseta o grafico da funcao fno ponto BRecorrendo a sua calculadora, determine a area do triangulo[AOB], onde O designa a origem do referencial. Apresente oresultado arredondado as unidades.
Nota: sempre que, nos valores intermedios, proceder a arre-dondamentos, conserve, no mnimo, uma casa decimal. x
y
0
f
r
A
B
Exame 2000, 2a fase
58. No ano de 2000, em Lisboa, o tempo que decorreu entre o nascer e o por do Sol, no dia de ordem n doano, e dado em horas, aproximadamente por
f(n) = 12, 2 + 2, 64 sen(n 81)
183 n {1, 2, 3, ......, 366}
(o argumento da funcao seno esta expresso em radianos).
Por exemplo: No dia 3 de fevereiro, trigesimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascere o por do Sol foi de f(34) 10, 3 horas.
Em alguns dias do ano, o tempo entre o nascer e o p or do Sol e superior a 14,7 horas. Recorrendo asua calculadora, determine em quantos dias do ano e que isso acontece. Indique como procedeu.
Exame 2000, 1a fase - 1a chamada
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59. Um laboratorio farmaceutico lancou no mercado um novo analgesico: oAntiDor.A concentracao deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas apos ter sido administradoa uma pessoa, e dado por
c(t) =t2e0,6t (t 0)O mesmo laboratorio realizou uma campanha de promocao deste medicamento, baseado no slogan: AntiDor - Acao rapida e prolongada!
Numa breve composicao, comente o slogan, tendo em conta que: para a maioria das dores, o AntiDor so produz efeito se a sua concentracao for superior a 1 decigrama
por litro de sangue;
de acordo com uma associacao de defesa do consumidor, um bom analgesico deve comecar a produzirefeito, no maximo, meia hora apos ter sido tomado, e a sua a cao deve permanecer durante, pelomenos, cinco horas (apos ter comecado a produzir efeito).
Nota: na resolucao deste item, deve utilizar as capacidades graficas da sua calculadora e enriquecer a suacomposicao com o tracado de um ou mais graficos.
Exame 2000, Prova modelo
60. Um paraquedista salta de um helicoptero. Ao fim de algum tempo, o paraquedas abre.Admita que a distancia (em metros) a que o paraquedista se encontra do solo, tsegundosapos a aberturado paraquedas, e dada por
d(t) = 840 6t + 25e1,7t
Utilize a calculadora para determinar, com aproximacao ao segundo, quanto tempo, apos a abertura doparaquedas, demora o paraquedista a atingir o solo. Explique como procedeu.
Exame 1998, Prova para militares (prog. antigo)
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